Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med sentrum i S og en sirkel med sentrum i B. Se figuren til høyre. Bestem ASB, ACB og ABC. ABS og ABC er likebeinte fordi to sider i hver av trekantene er radius i samme sirkel. ASB 80 8 4 Periferivinkelen ACB og sentralvinkelen ASB spenner over samme sirkelbue. Vi får da ACB 4 =6 ABC 80 6 56 Oppgave Gitt to vektorer u og v. uv, 75, u =4 og v 6 Du får også oppgitt at cos75 6 4 a) Bestem uv 6 uv u v cos u, v 4 6 6 4 4 b) Tegn u og v i besvarelsen din. Tegn så vektorene u v og u v.
c) Bestem u vu v u v u v u v 4 6 6 6 8 4 3 Oppgave 3 I firkanten ABCD er AB 6 cm, CD 4 cm, diagonalen AC 8 cm, B 60 og D 90. Tegn en hjelpefigur og konstruer firkanten. Husk konstruksjonsforklaring! ) Jeg avsatte AB 6 cm. ) Jeg konstruerte B 60. 3) Jeg slo en sirkel om A med radius 8 cm og fant C som skjæringspunktet mellom denne sirkelen og høyre vinkelbein til B. 4) Jeg trakk AC, konstruerte midtpunktet på AC og slo en sirkel med sentrum i midtpunktet og radius lik avstanden fra midtpunktet til A. 5) Jeg slo en sirkel om C med radius 4 cm og fant D som skjæringspunktet mellom denne sirkelen og sirkelen i 4). (Thales setning.) 6) Jeg trakk opp firkanten.
Oppgave 4 Gitt punktene A, og B 6,. a) Bestem koordinatene til AB. AB 6, 4,0 Aog Ber hjørner i ABD. B 90 og AD har lengde 5. b) Vis ved regning at punktet D har koordinater6,5. Vi ser at AB x -aksen. Siden B 90, vet vi at BD y aksen. Derfor vet vi at x -koordinaten til D er lik x-koordinaten til B, altså 6. Vi setter D 6, y. AD 5 6, y 5 4 y 5 6 y 4y 4 5 y 4y 5 0 4 4 45 y y y 5 Siden ABD skal gå «mot klokka», får vi y 5 og D har koordinater 6,5. Sammen med punktene c) Bestem koordinatene til C ved regning. Vi vet at BC AD 6,5 4,3 AD A, B og D danner punktet C et parallellogram. 6, 4,3 0,5 OC OB AD Punktet C har da koordinatene 0,5. Punktet E ligger på AD. AEB 90 c) Bestem koordinatene til E ved regning. Siden E ligger på AD, kan vi sette AE k AD k4,3 4 k,3k OE OA AE, 4 k,3k 4 k, 3k og får E 4 k, 3k. Vi får da BE 4k 6,3k 4k 4,3k 3
AEB 90 ADBE 0 ADBE 0 k k 4,3 4 4,3 0 6k6 9k 0 5k 6 k 6 5 46 36 4 98 E 4 k, 3k,, 5 5 5 5 4
Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Alle hjelpemidler. Ikke Internett eller andre former for kommunikasjon. Oppgave 5 Gitt punktene A,, B8,, C 0,4, D4, 6 og E5,6 a) Undersøk, ved regning, om CD AB. AB 8, 0,4 CD 4 0, 6 4 4, 0 CD AB CD AB 0 CD AB 0,4 4, 0 40 40 0 Har da vist at CD AB b) Undersøk, ved regning, omce AB. AB 0,4 CE 5 0,6 4 5, CE AB CE k AB 5, 0,4 Har da vist at CE AB.. Punktene A, B og C gitt ovenfor er hjørner i ABC. c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene i trekanten ved regning. Vi vet at alle tre medianer skjærer hverandre i samme punkt og at skjæringspunktet deler medianene i forholdet :. Vi kaller midtpunktet på AB for E og finner koordinatene. OE OA AB, 0,4 3,0 Punktet E har da koordinatene 3,0. Vi kaller skjæringspunktet mellom medianene S og får 0 4 OS OA AS OA AF, 4,3,, 3 3. 3 3 3 Punktet S har koordinatene 4,. 3 5
Oppgave 6 Ovenfor ser du en sirkel med sentrum i S. Punktet P ligger utenfor sirkelen. To sekanter til sirkelen går gjennom P. Den ene sekanten skjærer sirkelen i C og D. Den andre skjærer sirkelen i Aog B. Denne sekanten går gjennom sentrum i sirkelen. a) Lag en tilsvarende figur med dynamisk programvare og undersøk forholdet mellom ACP og DBP når punktet D flyttes langs sirkelperiferien. Vi lager figuren og setter på de aktuelle vinklene. Når vi flytter punktet D langs sirkelperiferien, ser vi at de to vinklene alltid er like store. b) Vis ved regning at ACP DBP uavhengig av hvor på sirkelperiferien D ligger. Periferivinkel en DBP spenner over buen AD AD og har derfor et gradtall lik. Periferivinkelen ACD spenner over en bue som er 360 AD og har et gradtall som er 360 AD AD 80 80 DBP. Vi får da at 80 80 80 ACP ACD DBP DBP. c) Forklar at PAC og PDB er formlike. Siden de to trekantene har en vinkel felles og vi har vist at to andre vinkler også er like, vet vi at trekantene er formlike. 6
d) Vis at PC PD PA PB. Siden PAC og PDB er formlike, har vi at PC PA PC PD PA PB. PB PD Radius i sirkelen på figuren under er r. Avstanden PS er r. CSD 60 r e) Bruk resultatet fra d) til å vise at 3 CSD er likesidet. Derfor er CD r kan sette opp likningen r 3r PC PC r PC.. Avstanden fra P til sirkelen er r. Vi bruker resultatet fra d) og som vi løser med GeoGebra: r Vi ser bort fra den negative løsningen og har vist at 3 PC. Resultatet vi kom fram til i oppgave 6d, kalles et punkts potens med hensyn på en sirkel, og det kan formuleres slik: Dersom man har et punkt P utenfor en sirkel og trekker en sekant til sirkelen gjennom P, vil produktet man får, når lengden langs sekanten fra P til første skjæringspunkt med sirkelen multipliseres med lengden fra P til det andre skjæringspunktet, være det samme for alle sekanter gjennom P. Produktet kalles punktets potens med hensyn til sirkelen. 7