DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med entimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a Antall elever i klassen: 3 + 12 + 25 + 12 + 6 + 2 = 60 3 + 12 15 = = 0, 25 = 25 % 60 60 25 % av elevene fikk karakteren 1 eller 2. Det er 60 elever i klassen, altså er mediankarakteren gjennomsnittet av verdi 30 og 31 når elevenes karakterer er ordnet i stigende rekkefølge. Av taellen ser vi at til sammen 15 elever har fått karakteren 1 eller 2, og at til sammen 50 elever har fått karakteren 1 eller 2 eller 3. Altså er mediankarakteren 30. Mediankarakteren er 3. 1 3+ 2 12 + 3 25 + 4 12 + 5 6 + 6 2 3+ 24 + 75 + 48 + 30 + 12 192 = = = 3, 2 60 60 60 Gjennomsnittskarakteren er 3,2. Oppgave 2 6 6 4 6 6 6 3,54 10 + 60 000 = 3,54 10 + 6,0 10 = 3,54 10 + 0,060 10 = 3,60 10 Oppgave 3 a Teller vi langs førsteaksen, ser vi at det er 10 minutter per delstrek. Toget starter fra y A kl. 13.40 og er framme i y B kl. 14.50. Reisetiden er 1 time og 10 minutter. Toget er 20 km fra y A kl. 14.00. De neste 10 minuttene er grafen vannrett, antall kilometer på andreaksen er konstant. Toget gjør altså et opphold. 20 km fra y A gjør toget et opphold på 10 minutter. Ashehoug www.lokus.no Side 1 av 12
Når grafen er en rett linje, er farten konstant. Farten er da lik stigningstallet til grafen. 10 km fra y A: 10 km fra y B: 20 0 km 20 km 20 km 20 60 km km v = = = = = 60 14.10 13.40 min 20 min 20 h 20 h h 60 80 20 km 60 km 60 km 60 60 km km v = = = = = 90 14.50 14.10 min 40 min 40 h 40 h h 60 10 km fra y A er farten 60 km/h. 10 km fra y B er farten 90 km/h. Oppgave 4 Det er 360 rundt en sirkel. Vi utvider taellen og regner ut hvor mange grader hver sirkelsektor er på. Aktivitetsgruppe Antall medlemmer Størrelse på sirkelsektoren Langrenn 60 60 1 360 = 360 = 90 240 4 Hopp 40 40 1 360 = 360 = 60 240 6 Freestyle 80 80 1 360 = 360 = 120 240 3 Alpint 60 60 1 360 = 360 = 90 240 4 Sum 240 360 Oppgave 5 7 6 42 7 P (Begge ønsker å studere) = = = 10 9 90 15 Sannsynligheten for at egge elevene ønsker å studere er 7 15. Ashehoug www.lokus.no Side 2 av 12
Oppgave 6 a Et armånd med tre harms koster 1350 kr. Et armånde med sju harms koster 2140 kr 1350 kr = 1100 kr mer. Da vet at fire harms koster 1100 kr. 1100 kr Én harm koster = 275 kr. 4 Et armånd med tre harms koster 1350 kr. Da koster armåndet 1350 kr 3 275 kr = 1350 kr 825 kr = 525 kr. Armåndet koster 525 kr, og hver harm koster 275 kr. En lineær modell er på formen f ( x) = ax +. Samlet pris for armåndet = pris per harm antall harms + prisen for armåndet. Samlet pris f( x ) kr for et armånd med x harms er da f( x) = 275x+ 525 Vi trekker fra prisen for selv armåndet og finner hvor mye Hanne etalte for harms. Deretter deler vi på prisen for én harm for å finne antall harms. Pris for harms: 3825 kr 525 kr = 3300 kr. Antall harms: 3300 kr 12 275 kr = Hanne har 12 harms på armåndet. Oppgave 7 a Tenk deg at figurene er hunder med hode (H), hale (h), mage (M) og ein (B). Vi viser inndelingen på figur 2: Sammenlikner vi de tre figurene, ser vi at hodet er et kvadrat med sidelengde lik nummeret på figuren. halen estår at et antall små kvadrater. Antallet er lik nummeret på figuren. magen er et rektangel. Lengden av rektanglet er to ganger figurnummeret pluss én, og redden er figurnummeret. antall små kvadrater i eina er to ganger figurnummeret. Figur 4 skal dermed estå av hode med 16 kvadrater hale med 4 kvadrater mage med 36 kvadrater ein med 8 kvadrater Figur 4 estår av 16 + 4 + 36 + 8 = 64 små kvadrater. (NB: Andre inndelinger av figuren er fullt mulig.) Ashehoug www.lokus.no Side 3 av 12
Vi skaffer oss oversikt over figurene ved å ruke inndelingen fra oppgave a: Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur n Hode 1 4 9 n 2 Hale 1 2 3 n Mage 3= 3 1 10 = 5 2 21 = 7 3 (2n+ 1) n Bein 2 4 6 2n Antall kvadrater i figur n: 2 2 2 2 n + n+ (2n+ 1) n+ 2n= n + n+ 2n + n+ 2n= 3n + 4n Figur n inneholder 2 3n 4 + n kvadrater. Vi setter inn 20 for n i formelen i oppgave og regner ut. 2 3 20 + 4 20 = 3 400 + 80 = 1200 + 80 = 1280 Figur 20 inneholder 1280 kvadrater. Ashehoug www.lokus.no Side 4 av 12
DEL 2 Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 a Vi ruker regresjon i GeoGera. Vi åpner regnearket, legger inn x-verdiene i kolonne A og innyggertallet i kolonne B. Vi merker alle ellene, klikker på verktøyknappen Regresjonsanlyse, deretter Analyser og velger Regresjonsmodell Eksponentiell. Da får vi: Vi ser at f( x ) = 3,57 1,006 x er en modell som passer godt med tallene i taellen. I oppgave a har vi funnet en eksponentiell modell. Da vet vi at tallet 1,006 er vekstfaktoren. p Innyggertallet øker, altså er vekstfaktoren gitt ved 1+, der p er den årlige økningen i 100 prosent. p 1+ = 1,006 100 Vi løser likningen p 1+ = 1,006 100 p = 1,006 1 100 p = 0,006 100 p = 0,006 100 p = 0,6 Tallet 1,006 forteller at i denne perioden er den årlige gjennomsnittlige økningen i innyggertallet 0,6 %. Ashehoug www.lokus.no Side 5 av 12
Vi løser likningen x 3,57 1,006 = 10 med CAS. x = 172 svarer til 1960 + 172 = 2132. Etter modellen i oppgave a vil innyggertallet i Norge passere 10 millioner i løpet av 2132. (Hvis vi antar en jevn økning gjennom året, vil innyggertallet i Norge passere 10 millioner i mars 2132.) Oppgave 2 a Vi tegner grafen til G i GeoGera med kommandoen G(x) = Dersom(0 x 100, 0.0008x 2 + 0.08x + 1.0) Se figuren til oppgave a. Vi tegner grafen til gx= ( ) 2,9 og ser hvordan grafen til g ligger i forhold til grafen til G. Vi ser at grafen til g ligger under grafen til G i et område omkring toppunktet. Vi kan dermed slutte at åten kan passere under roen. Se figuren til oppgave a. Av figuren i oppgaven ser vi at C og D ligger på samme loddrette linje, og det gjør også E og F. Punktene D og F har egge y-koordinat lik 2,5. Vi tegner linja h(x) = 2,5 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til G med verktøyknappen Skjæring mellom to ojekt. Da finner vi koordinatene til punktene D og F. Avstanden mellom D og F er 75 m 25 m = 50 m. Avstanden mellom C og E er den samme som avstanden mellom D og F. Avstanden fra C til E er 50 m. Ashehoug www.lokus.no Side 6 av 12
Oppgave 3 a Vi legger dataene inn i kolonne A i regnearket i GGB. Deretter merker vi alle ellene med data. Klikker på verktøyknappen Analyse av en variael. Deretter på Analyser. Gjennomsnittet er 501,7 ml, og standardavviket er 10,5 ml. Standardavviket er et spredningsmål. Standardavviket fra maskin A er 10,5 ml og standardavviket fra maskin B er 2,5 ml. Hvis vi måler hvor mye vann det er i de 20 flaskene fra maskin B, vil det være mindre spredning i resultatene enn det var i de 20 flaskene fra maskin A. Vi kan også si at maskin B fyller mer nøyaktig enn maskin A. Oppgave 4 a Hvis antall kaniner avtar med samme antall per måned, avtar antallet lineært. Etter x måneder er antallet kaniner N(x) gitt ved N( x) = ax +. 40 280 240 a = = = 12 20 0 20 Antall kaniner avtar med 12 kaniner per år. er konstantleddet, dvs. antall kaniner når x = 0. = 280 kaniner. En lineær modell er N( x) = 12x+ 280. Hvis antall kaniner avtar eksponentielt, avtar antallet med like mange prosent hvert år. x Etter x måneder er antall kaniner n(x) gitt ved nx ( ) = a. a er antall kaniner når x = 0, a = 280. er vekstfaktoren. Vi finner vekstfaktoren ved å løse likningen 20 40 = 280. Ashehoug www.lokus.no Side 7 av 12
40 = 280 20 = =± 40 280 20 20 20 280 Vekstfaktoren er positiv, så det er are den positive løsningen av likningen som har mening. = = 20 40 280 0,907 En eksponentiell modell er nx ( ) = 280 0,907 x. Vi regner ut antall kaniner etter ett år (etter 12 måneder) ifølge de to modellene. N (12) = 12 12 + 280 = 136 Den lineære modellen gir at det er igjen 136 kaniner etter ett år. 12 n (12) = 280 0,907 = 87 Den eksponentielle modellen gir at det er igjen 87 kaniner etter ett år. Den eksponentielle modellen «kommer nærmest». Det er altså rimelig å anta at nedgangen i antall kaniner er eksponentiell. Oppgave 5 a Vi kopierer taellen. Antall minutter Antall elever Kumulativ frekvens Relativ frekvens Kumulativ relativ frekvens 0, 60 3 3 3 0,1 10 % 30 = = 10 % 60,180 6 9 6 0,2 20 % 30 = = 30 % 180, 300 12 21 12 0,4 40 % 30 = = 70 % 300, 420 6 27 6 0,2 20 % 30 = = 90 % 420, 540 3 30 3 0,1 10 % 30 = = 100 % Sum 30 Ashehoug www.lokus.no Side 8 av 12
Det er ulik klasseredde. Da skal arealene av rektanglene i histogrammer svare til frekvensene. frekvens Da finner vi høyden av rektanglene slik: høyde =. klasseredde Antall minutter Antall elever Høyde av rektangel 0, 60 3 3 0,05 60 = 60,180 6 6 0,05 120 = 180, 300 12 12 0,10 120 = 300, 420 6 6 0,05 120 = 420, 540 3 3 0,025 120 = Så åpner vi GGB og lager to lister, én med høyder og én med klassegrenser: Histogrammet lager vi med kommandoen Histogram(Klassegrenser,Høyde). Ashehoug www.lokus.no Side 9 av 12
Vi finner gjennomsnittet i et klassedelt materiale ved å gange klassemidtpunktet med frekvensen for hver klasse, legge sammen og dele på antall antall elever. Antall minutter Antall elever f Klassemidtpunkt 0, 60 3 30 90 60,180 6 120 720 180, 300 12 240 2880 300, 420 6 360 2160 420, 540 3 480 1440 Sum 30 7290 7290 243 30 = I gjennomsnitt trente elevene 243 minutter utenom skoletiden. xm xm f d Det er 30 elever i klassen. Når vi ordner dataverdiene i stigende rekkefølge, er medianen dataverdi nr. 15. Av taellen i oppgaven ser vi at den verdien ligger i klassen 180, 300. Klassene 0, 60 og 60,180 inneholder til sammen 9 dataverdier. Medianen lir dermed dataverdi nr. 6 i klassen 180, 300. Vi antar at dataverdiene fordeler seg jevnt utover innenfor hver klasse. Dataverdi nr. 6 i klassen 180, 300 er da en elev som trener 300 180 180 + 6 minutter = 240 minutter. 12 Medianen er 240 minutter trening utenom skoletiden. Oppgave 6 a Første termineløp = avdrag på 2500 kr + rente av 90 000 kr i én måned + termingeyr 90 000 0,4 Første termineløp: 2500 kr + kr + 50 kr = 2500 kr + 260 kr + 50 kr = 2910 kr 100 Ashehoug www.lokus.no Side 10 av 12
Vi lager regnearket i Exel. Ashehoug www.lokus.no Side 11 av 12
Totalt tilakeetalt eløp er summen av alle termineløpene. Se regnearket i oppgave. Totalt tilakeetalt eløp er 98 460 kr. d Vi endrer starten på regnearket vi rukte i oppgave, slik at det lir seende slik ut: Formlene i regnearket er de samme som i oppgave. Slutten på regnearket ser nå slik ut: Karen må totalt etale tilake 98 325 kr for dette lånet. Ashehoug www.lokus.no Side 12 av 12