Løsningsforslag Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 0 4.3 Andre funksjoner... 48 4.4 Vekstfart og derivasjon... 60 4.5 Eksamensoppgaver... 7 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Oppgaver og løsningsforslag Stein Aanensen og Olav Kristensen Eksamensoppgevene er hentet fra www.udir.no 1
4.1 Funksjonsbegrepet 4.1.1 Marker punktene 1, 1, 1,,, 1,, 3, 3, 0 og 0, i et koordinatsystem. 4.1. Gitt koordinatsystemet til høyre. Angi koordinatene for punktene A til I. A 4,3, B 1, 4, C 0,, 4, 1, 1, 0, 3, 1 D E F 0, 4, 3, 4, 4,0 G H I Utfordring! Kan du finne avstanden fra origo til punktet H? x x 3 4 5 x 5 5 Avstanden fra origo til punktet H er 5.
4.1.3 Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f, g, h og j. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene. a) b) D g 6, 6, V 1,1 g Df 1,, Vf 0,4 c) d) Dh R, Vh, D R, V,5 i i 3
4.1.4 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet. Df 0,4 V f 5,5 b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen. D g 0,1 Vg 60, 30 4
c) Funksjonen h viser vannstanden i forhold til laveste observerte vannstand i Bergen fra en flomåling til neste flo-måling. For opplysninger om tidevann og vannstand for Norskekysten, se : http://vannstand.statkart.no Vannstand og antall timer mellom hver flo-måling varierer litt fra døgn til døgn. Vi har tatt utgangspunkt i data fra Bergen 04.01.010 og laget en tilnærmet riktig kurve. D h 0,1 Vh 40,160 d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en 5-timer lang handletur til nærmeste handlesenter. D i 0,5 Vi 60,1000 5
4.1.5 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen B viser folketallet i verden fra og med 1900 til 000. D B 0,100 VB 1, 5, 5, 7 b) Funksjonen S viser antall sau (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer. DS 0,1 V S 100,170 6
c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for 40 000 kr og fem år framover. 0,5 140000,40000 D V R R d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter til den er framme på skolen en time senere. 0,60 0,50 D V E E 7
4.1.6 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever på skolen. 50,000 5,150 D V L L b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere på skolen. 5,150 50,000 D V E E c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall appelsiner i posen. D V 0,5 V 0,5 V d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i husstanden. D M 1,8 V 3,5 M 8
4.1.7 Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret. a) b) Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi. Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi. c) d) Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi. Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi. 9
4.1.8 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. f( x) 1,40x b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time. f( t) 80t c) viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x. f( x) x 18 x d) viser hva hver elev må betale, dersom en gruppe elever skal leie en buss. Det koster 3000 kroner å leie bussen og x er antall elever i gruppa. fx ( ) 3000 x 4.1.9 Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) f x x x ( ) 10 0 D 15,3 f 10
b) g x x x 3 ( ) D, g c) i x x x 3 ( ) 0 D 5,5 i 11
d) A x ( ) 10x 0 D 1,1 A e) K x x x ( ) 0,1 100 0000 D 0,1000 f 1
f) Bx ( ) 00000 1,07 x D f 0,0 4.1.10 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutt på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? timer og 4 minutt er 14 minutt. 4 195m Distanse per minutt: 340m 14 b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. d t t 340 c) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen i b)? Definisjonsmengden blir tiden fra løperne starter til de er i mål. I dette tilfellet blir det fra og med D 0,14 0 til og med 14 minutt. f 13
d) Lag en verditabell for følgende t-verdier 30, 60, 90, 10 t dt 30 10 00 60 0 400 90 30 600 10 40 800 e) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet. Leser av grafen at de har løpt 15 300 meter, dvs. 15,3 km på 45 minutt. f) Hva er verdimengden til funksjonen i b)? Verdimengden til funksjonen er distansen maratonløperne tilbakelegger, dvs. fra og med 0 til 4 195 meter. V 0, 4195 d 14
4.1.11 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Forklar at definisjonsmengden til funksjonen T er fra og med 0 til og med 4. Antall timer i et døgn er 4. Funksjonen gjelder for et døgn. Definisjonsmengden er da fra og med 0 til og med 4. b) Tegn grafen til funksjonen T. c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. Temperaturen er 6 C omtrent klokka 11.00 og klokka 0.00. 15
d) Finn verdimengden til funksjonen T og forklar hva verdimengden forteller om temperatursvingningene dette døgnet. Verdimengden forteller i hvilket område temperaturen beveger seg gjennom døgnet. Av grafen ser vi at den laveste temperaturen er Cog den høyeste temperaturen er ca 8, C. Verdimengden til grafen vil ligge fra og med Ctil og med 8, C. V, 8, Bruker vi parenteser, skriver vi T 4.1.1 Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Hva er definisjonsmengden til k? D 50, 00 Definisjonsmengden er k b) Lag en verditabell for k. Verditabell: t 50 100 150 kt 13,50 148,00 17,50 16
c) Tegn grafen til k. d) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. Camilla har ringt i ca 15 minutt når kostnaden er 160 kroner. e) Finn verdimengden til k. Ved en ringetid på 50 minutter er kostnaden 13,50 kroner. Ved en ringetid på 00 minutter er kostnaden 197,00 kroner. Verdimengden til k er dermed fra og med 13,50 til og med 197,00. V 13,50, 197,00 Bruker vi parenteser, skriver vi k 17
4.1.13 Et rektangel har en omkrets på 100 m. a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x. xh100 100 x 50 x h 50 x b) Forklar at funksjonen A gitt ved A( x) x 50x gir arealet av rektangelet for ulike verdier av x. A gh x 50 x x 50x c) Tegn grafen til A. d) Bestem D A og V A D 0,50 V 0,65 A A 18
e) Hva er den største verdien arealet kan få? Den største verdien er 65 m. (Se grafen.) (Da har vi et kvadrat, grunnlinja og høyden er begge 5 meter.) f) For hvilke x-verdier er arealet lik 400 m? Forklar hvorfor du får to løsninger. Arealet blir 400 m når x er 10 meter og når x er 40 meter. Vi får to løsninger som gir samme rektangel. I det ene er grunnlinja 10 meter og høyden 40 meter og i det andre er grunnlinja 40 meter og høyden 10 meter. 19
4. Lineære funksjoner 4..1 a) De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved x f x Stigningstall Konstantledd 3x g x Stigningstall 3 Konstantledd hx x Stigningstall 1 Konstantledd 0 Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene. b) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon? Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0. 0
4.. De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x h x For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne ei rett linje gjennom punktene 0,5x f x Verditabell x fx Punkter og linje 1 0 3 x g x Verditabell x gx Punkter og linje 6 0 1
h x x Verditabell x hx Punkter og linje 4 0 0 4
4..3 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x 1 x x 3 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? Konstantleddet til fx er 1. Grafen til fx skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet til Konstantleddet til gx er. Grafen til hx er 3. Grafen til g x skjærer dermed andreaksen i punktet 0,. h x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 3. c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? Funksjonene har samme stigningstall. Linjene er derfor parallelle. 3
4..4 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f x x Grafen til f har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. b) gx x Grafen til g har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, synker grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. c) hx x 0,5 Grafen til h har stigningstall og konstantledd 0,5, dvs. at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. 4
4..5 På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? Konstantleddet finner vi ved å se på hvor grafene skjærer andreaksen. Den røde linja skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1. Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik 0. 4..6 a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. Vi kan ta utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet 1, 1. Når vi beveger oss 1 enhet langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Stigningstallet er 1 b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. Kaller funksjonen for f. Grafen til funksjonen f skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1 Funksjonsuttrykket kan da skrives som x 1 f x 5
c) Hva er nullpunktet til funksjonen? Nullpunktet er der grafen skjærer førsteaksen. 1 Grafisk ser vi at nullpunktet er,0. Ved regning setter vi f x 0 x 1 0 x 1 1 x 6
4..7 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. x 1 f x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Blå graf x g x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Gul graf hx x Stigningstall 1. Skjærer andreaksen i origo 0,0. Rød graf ix Stigningstall 0. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Grønn graf 7
4..8 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene. Funksjonsuttrykket til den røde grafen kan skrives som f x 3 Funksjonsuttrykket til den blå grafen kan skrives som g x x Funksjonsuttrykket til den svarte grafen kan skrives som hx 4x 1 Funksjonsuttrykket til den lilla grafen kan skrives som i x 3x Funksjonsuttrykket til den grønne grafen kan skrives som j x 1 3 x 8
4..9 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y 1 1 1 Stigningstallet er gitt ved x x 10 1 1 b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. Bruker punktet (1,1) og stigningstallet fra a) og får likningen y y a x x 1 1 y1 x1 y1 x y x1 c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 1 og har stigningstall. Løsningen er riktig. 9
4..10 Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet (,). a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. y y a x x 1 1 y x y x 4 y x b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i og har stigningstall. Løsningen er riktig. 30
4..11 Gitt funksjonen f x 3x 1 gjennom punktet 1,. Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g.. Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går Når grafene til f og g er parallelle, har de samme stigningstall. En likning for funksjonen g blir 3x 1 y y 3x 3 y 3x 5 Funksjonen g kan da skrives g x 3x 5 4..1 Ei rett linje går gjennom punktene, 100 og 5, 4800. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y1 4800 100 3600 a 100 x x 5 3 1 b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a( x x ) 1 1 y100 100( x) y 100x 400 100 y 100x100 31
c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 100 og har stigningstall 100. Løsningen er riktig. 4..13 Ei rett linje går gjennom punktene 0,, 0,5 og 0,5,,6. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y1,6 0,5,1 a 7,0 x x 0,50, 0,3 1 b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a( x x ) 1 1 y 0, 5 7, 0( x 0,) y 7,0x1,4 0,5 y 7, 0x0,9 3
c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 0,9 og har stigningstall 7. Løsningen er riktig. 4..14 Ei rett linje har stigningstall 0,01 og går gjennom punktet, 0,05. a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. y y a( x x ) 1 1 y 0, 05 0, 01( x ) y 0,01x 0,0 0,05 y 0,01x0,03 33
b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Siden linja går gjennom punktet, 0,05 og har stigningstall 0,01, må den også gå gjennom punktet 3, 0,06 Linja skjærer andreaksen i 0,9. Løsningen er riktig. 34
4..15 Gitt funksjonene 3 x 5 og gx x f x a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. Jeg bruker kommandoen «Skjæring[ f, g ]» i GeoGebra. Vi ser grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er (, ). 35
c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning. f x g x 3 x 5 x 3x 10 4x 4 3x 4x 4 10 7x 14 x g 4 Skjæringspunktet er,. d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Jeg bruker kommandoene «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Leser av grafisk at funksjonen f har nullpunkt for x 3,3 og at funksjonen g har nullpunkt for x 1 Ved regning for f : g : 0 f x 3 x 5 0 3x 10 x 10 3 Ved regning for 0 g x x 0 x x 1 36
4..16 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. L s s 10 105 b) D 0,15 L. Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? Vi ser av grafen ovenfor at Per da har hatt 7 salg. d) Finn verdimengden til funksjonen L. Den største timelønnen Per kan oppnå er 1015 kroner 105 kroner 55 kroner. Den laveste er 105 kroner. Verdimengden blir V 105, 55 L 37
4..17 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt. Temperaturstigningen er 5,4 C 0,09 C per minutt 60min 0,09x 5 T x b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? T 90 0,0990 5 13,1 C c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. 38
d) Når var temperaturen i vannet 14 C? Vi kan se grafisk at temperaturen i vannet var 14 C etter 100 minutt, altså etter 1 time og 40 minutt. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? Da prøven starter, er x 0. Temperaturen i vannflasken til Anette er dermed 6,5 C ved prøvestart. 39
4..18 Løs likningssettene grafisk. a) x y x3y 6 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : x y y x x 3y 6 y x 3 Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Løsning på likningssettet er 0,. 40
b) 6xy8 xy6 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : 6x y 8 y 3x 4 x y 6 y x 6 Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Løsning på likningssettet er,. 41
c) 5xy 4 x3y 6 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : 5 5x y 4 y x x 3y 6 y x 3 Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Løsning på likningssettet er 0,. 4
d) 4x 3y 6y 8x 4 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : 4 4x 3y y x 3 3 4 6y 8x 4 y x 3 3 Grafene får samme funksjonsuttrykk. Det vil si at de faller sammen Alle punkt som ligger på linja e) y x 6 4y 4x 4 y x 3 3 er løsninger av likningssettet. Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : y x 6 y x 6 1 4y 4x y x Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Siden linjene har samme stigningstall og ulikt konstantledd er de parallelle og vil ikke skjære hverandre. Likningssettet har ingen løsning. 43
4..19 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. År 1950 1960 1970 1980 1990 000 Folkemengde 3 49 954 3 567 707 3 863 1 4 078 900 4 33 116 4 478 497 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner. Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen f kan beskrives med uttrykket f x 0,04x 3,315 b) Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)? Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,04. Økningen i folkemengde per år er 0,04 millioner, altså 4 000 individer. 44
c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? Variabelen x er antall år etter 1950. Vi setter da x lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 050. f 100 0,04 100 3,315 5,715 Folkemengden i Norge vil være 5 715 000 i år 050 etter denne modellen. 4..0 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Mandal for noen utvalgte år i perioden 1990 til 006. År 1990 1995 1998 00 006 Folkemengde 1 465 1 910 13 181 13 417 14 069 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være antall år etter 1990 og f x folkemengden i antall tusen. Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen f kan beskrives med uttrykket f x 0,095x 1,4 b) Hva blir folkemengden i Mandal etter denne modellen i år 050? Da vi laget modellen, satte vi x 0 i år 1990. I år 050 er da x lik 60 og vi får f 60 0,09560 1,4 18,1 Folkemengden i Mandal i år 050 vil være 18 100 etter denne modellen. c) Når vil folkemengden i Mandal passere 0 000 etter denne modellen? 45
0,095x 1,4 0 7,6 x 0,095 x 80 Folkemengden vil etter denne modellen passere 0 000 når x 80, dvs. 80 år etter 1990. Folkemengden vil altså passere 0 000 i år 070. 4..1 Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 000. År Utslipp til luft SO i 1000 tonn 1973 1980 1987 199 1996 000 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp. La x være antall år etter 1973 og Sx utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen S kan beskrives S x x med uttrykket 5,39 158 46
b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn? Finner grafisk at utslippet av SO er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984. c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret. S 37 5,39 37 158 41,43 Utslipp i år 010: Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til 1996. Etter det blir ikke utslippene lenger så mye mindre for hvert år. En lineær modell passer dårlig etter 1996. 4.. Gjør oppgavene 4..19 og 4..1 uten å bruke digitale verktøy. Får du andre resultater nå? 47
4.3 Andre funksjoner 4.3.1 a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning - hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur ) - hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt - hvor grafene skjærer andreaksen - likningen for symmetrilinja til hver av grafene - koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene - verdimengden til funksjonene - nullpunktene til funksjonene f x x 7x 1 Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 1 fordi konstantleddet, c 1. Symmetrilinja er b 7 x a Bunnpunkt har koordinater 7 7 7 1 (, f( )) (, ) 4 7 7 7 1 f( ) 7 1 4 Verdimengden blir da 1, 4 For å finne nullpunktene løser vi likningen f x x 0 7x1 0 7 7 41 7 1 x x 3 x 4 1 Nullpunktene er 3 og 4. 48
g x x x 4 Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet, c 4. Symmetrilinja blir 1 x Toppunktet har koordinater 1 1 1 9 (, g( )) (, ) 1 1 1 9 g( ) 4 Verdimengden blir da 9, For å finne nullpunktene løser vi likningen g x 0 x x 4 0 1 44 6 x 4 x 1 x Nullpunktene er -1 og. x h x Når 8 f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 8 fordi konstantleddet, c 8. b 0 Symmetrilinja: x 0 a Toppunkt faller da sammen med skjæring med andreaksen: (0, 8) Verdimengden:, 8 Grafen til h ligger under x-aksen. V =, 8. Funksjonen har derfor ingen nulpunkt. f 49
i x 3x 1x Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet, c 0. Symmetrilinja blir b 1 x a 3 Bunnpunktet har koordinater (, i( )) (, 1) i( ) 3 1 1 Verdimengden blir da 1, For å finne nullpunktene løser vi likningen i x 0 3x 1x0 3 xx ( 4) 0 x 4 x 0 1 Nullpunktene er - 4 og 0. b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem. 50
4.3. Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. f x x x 6 for x - verdier mellom 4 og 3. b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning. Jeg bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[f]» i GeoGebra. Vi ser av grafen at bunnpunktet er 0.5, 6.5. Ved regning Symmetrilinja blir y-verdien blir da 1 x 0,5 1 f 0,5 0,5 0,56 6,5 0.5, 6.5 Bunnpunktet blir c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene. Grafen til f skjærer førsteaksen i 3, 0 og,0. Grafen til f skjærer andreaksen i 0, 6. 51
d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene. Grafen skjærer andreaksen når x 0 : f 0 6 Skjæringspunkt 0, 6. Grafen skjærer andreaksen når y 0 : f x x 0 x 6 0 1 1 4 6 x x 3 x Grafen skjærer førsteaksen i punktene 3, 0 og, 0. e) Hva er verdimengden til f? I denne oppgaven skulle vi velge x-verdier fra og med 4 til og med 3. Definisjonsmengden D til funksjonen blir dermed D 4,3 f Den laveste verdien til funksjonen f er 6,5. Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6. Verdimengden f V blir dermed V 6,5, 6 f f 5
4.3.3 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen 14,1 4,9 1,8 0, 3 h t t t D h. a) Tegn grafen til h. Skriver inn funksjonen i et digitalt hjelpemiddel, og tegner grafen b) Når er ballen 10 meter over bakken? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. Grafisk Ved regning Løser likningen h( t) 10 14,1t 4,9t 1,8 10 med digitalt hjelpemiddel og får t 0,8 og t=,1 Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter,1 sekund. 53
c) Når treffer ballen bakken? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. Grafisk Ved regning Vi løser likningen h t t t ( ) 014,1 4,9 1,8 0 med digitalt hjelpemiddel og får t 0,1 og t=3,0 Ballen treffer bakken etter ca. 3 sekund. Den negative løsningen er ikke en løsning av den praktiske oppgaven. d) Når er ballen 15 meter over bakken? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. Ved regning Vi løser likningen h( t) 1514,1t 4,9t 1,8 15 med digitalt hjelpemiddel og ser at likningen ikke har løsning. Det betyr at ballen aldri når denne høyden. Grafisk Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden! e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. Grafisk 54
Ved regning Vi finner likningen for symmetrilinja: b 14,1 x 1,4 a 4,9 og finner h(1,4) 1,0 Ballen når sitt høyeste punkt etter ca. 1,4 sekund og den er da 1,0 meter over bakken. f) Finn verdimengden til h. Hva forteller verdimengden oss? Verdimengden V til h er V h h 0, 1. Verdimengden forteller oss i hvilket område ballen beveger seg i høyde over bakken. 55
4.3.4 Gitt grafene nedenfor. Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene. B A C x f x x x f x x x f x x x f x x x f x f 0,5 0,5x x 6 x x 4 6 56
4.3.5 a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle Jeg finner grafisk bunnpunktet 0,6,, og toppunktet 3,4, 7,8 med kommandoen «Ekstremalpunkt[ f ]» i GeoGebra. Jeg finner grafisk, med kommandoen «Nullpunkt[ f ]» i GeoGebra, at det er et nullpunkt i 5,0. Skjæring med andreaksen i 0,3. 57
b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk eventuelle Toppunkt i 0,4. Bunnpunkt i, 3,. Skjæring med førsteaksen i,0. Skjæring med andreaksen i 0,4. 58
4.3.6 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er, h rh () dh, rh,, h rh V h h h 4 b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som ( ), Volumet til en sylinder er gitt ved V r h. Bruker uttrykket fra a) og får, h V( h) h, h h 4 c) Hva slags funksjon er V? Dette er en tredjegradsfunksjon. Hvis vi multipliserer ut parentesen får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med h gir et tredjegradsuttrykk. d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. Bruker digitalt verktøy og finner at V(1) 1,1 Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm. e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. Løser likningen Vh ( ) 1,0 med digitalt verktøy og får h0,39 og h 1, Høyden kan være 0,39 dm eller 1, dm for at volumet skal bli 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. Bruker digitalt verktøy og bestemmer 0,39 0,91 Radius i sylindrene er 0,53 dm eller 0,91 dm. r og r 1,15 0,53 59
4.4 Vekstfart og derivasjon 4.4.1 Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) gx x 4 y 4 0 4 Vekstfart x 0 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx x 8 y 4 6 6 Vekstfart 1 x 4 10 4 10 6 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 60
c) ix 1 x y 1 1 4 Vekstfart 1 x 1 1 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 4.4. Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) gx x 4 Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. 4 g 4 4 4 1 8 y g Vekstfarten x 4 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx 3x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. hx y h x 3 4 3 10 4 10 4 x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 1 Vekstfarten 3 61
c) ix 600 5 x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. i y i 4 600 5 4 600 5 600 0 600 10 10 Vekstfarten 5 x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. x 7 3 Jeg velger ut verdiene x 1 og x 4. d) f x 4 4 7 7 8 4 7 7 y f4 f 3 3 3 3 3 3 Vekstfarten 4 x x x 4 3 6 3 1 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 4.4.3 Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5,9 y 9 7 a 1 x 53 b) 1, 8 og 4,1 y 8 1 9 a 3 x 1 4 3 4.4.4 Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. f x1 y f x 9 3 1 a x x x 4 6 1 3 og at 6
4.4.5 Funksjonen hx 0.003 x 3 0.09x 1 x 0,0 viser høyden til et morelltre x antall år etter at det ble plantet i 1986. a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til 1999. Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1994 til 1999. b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til 006. Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 4 cm per år i perioden fra 003 til 006. 63
4.4.6 3 3 Funksjonene f og g er gitt ved f x 0,5x 3x 3x 3 og gx x x 0,0 0,60 4 For hver av funksjonene skal du a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen f fra x1 1 til x 1 f f 1,5 Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen g fra x1 1 til x g g 1 0,4 1 b) Finne gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra x 1 1 til x 1.1 Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen f fra x1 1 til x 1,1 f 1,1 f1 1,1 1 1,65 Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen g fra x1 1 til x 1,1 g 1,1 g1 1,1 1 0,60 c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når x 1? Vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1. Se figur for funksjonen f. 64
4.4.7 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, ht (), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen: 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? Vi bruker et digitalt verktøy: Den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til 4 er cm 3 år b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende: Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tiden etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten stadig sterkere. 65
4.4.8 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når ringetiden øker fra a) 0 minutt til 00 minutt per måned? b) 00 minutt til 400 minutt per måned? c) 400 minutt til 100 minutt per måned? For å løse oppgave a), b) og c) tegner vi først grafen til K i et koordinatsystem og finner K (0), K (00), K (400) og K (1000). Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 0 minutt til 00 minutt er 0,79 3,44 0,015 00 0 Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 1,5 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 0 og 00 minutt. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 00 minutt til 400 minutt er 66
0,64 0,79 0, 0008 400 00 Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,08 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 00 og 400 minutt. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 400 minutt til 100 minutt er 0,54 0,64 0, 0001 100 400 Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,01 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 400 og 100 minutt. d) Hvilken benevning får du? Kan du forklare hva det betyr i praksis? Kx måles i kr min mindre blir kostnadene per minutt. kr. x måles i minutt. Benevningen blir per min minutt. Jo mer han ringer, jo 4.4.9 Russen skal ha fest. De leier et selskapslokale. Prisen per deltaker, er gitt ved f x 8500 175 hvor x er antall festdeltakere. x fx kroner, a) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når antall festdeltakere øker fra 50 til 60? 67
Gjennomsnittlig vekstfart: 317 345,8 60 50 (Se grafen ovenfor.) b) Hva betyr i praksis det svaret du fikk i a)? 4.4.10 Prisen avtar gjennomsnittlig med,80 kroner per deltaker når antall festdeltakere øker fra 50 til 60. Funksjonen f gitt ved f x x x D R 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x x 1 x 0 x 1 68
Den momentane vekstfarten når x er 3. Den momentane vekstfarten når x 1 er 1. Den momentane vekstfarten når x 0 er 1. Den momentane vekstfarten når x 1 er 3. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 69
4.4.11 g x x x 4 Funksjonen g er gitt ved a) Finn grafisk den momentane vekstfarten for x 1 x 0 x 1 x Den momentane vekstfarten når x 1 er 6. Den momentane vekstfarten når x 0 er. Den momentane vekstfarten når x 1 er. Den momentane vekstfarten når x er 6. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, så synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, så stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 70
4.4.1 Gå tilbake til oppgave 4.4.9. Finn grafisk den momentane vekstfarten for x 50 og x 60. Hva forteller svarene deg? Den momentane vekstfarten når x 50 er 3,4. Det betyr at en ekstra festdeltaker da vil redusere stykkprisen med ca. 3,40 kroner. Den momentane vekstfarten når x 60 er,36. Det betyr at en ekstra festdeltaker da vil redusere stykkprisen med ca,36 kroner. 71
4.5 Eksamensoppgaver 4.5.1X (Eksamen 1MX med IKT, Våren 00) I en rettvinklet trekant er lengden av hypotenusen 10 cm og den ene kateten er x cm. a) Vis at arealet av trekanten kan skrives som x A( x) 100 x Vi kan bruke Pytagoras og finner da at den andre kateten k 10 x 100 x Siden trekanten er rettvinklet får vi arealet: 1 1 A( x) gh x 100 x b) Hvilken verdi av x gir størst areal? Vi kan tegne grafen til A og lese av toppunktet. Arealet et størst når x 7,1. c) Hvordan kan du vurdere om svaret i b) er rimelig? Tegn trekanten. Du finner da at begge katetene er like for denne x-verdien, altså er trekanten likebent. Det er rimelig at det gir det største arealet. 4.5.X (Eksamen 1MX, Våren 004) 7
Du kan bruke linjene i koordinatsystemet til høyre for å løse et likningssystem. a) Hva blir løsningen på dette likningssystemet? Løsningen blir x og y 1. (Skjæringspunktet mellom linjene.) b) Skriv et likningssystem som svarer til disse to linjene. Et likningssystem kan være: 1 y x y x 1 4.5.3X (Eksamen 1MX, Våren 004) I koordinatsystemet til høyre er det tegnet inn tre punkter. Undersøk ved regning om de tre punktene ligger på ei rett linje. Finner først likninga for linja gjennom 7, og,3 : y y y y x x 1 1 1 x x1 3 y( ) x 7 7 5 57 y x 9 9 5 17 y x 9 9 73
Undersøker så om punktet 7,7 ligger på denne linja: Venstre side: y 7 Høyre side: 57 17 5 y 7 9 9 9 Punktene ligger ikke på ei rett linje. 4.5.4X (Eksamen 1MX, Våren 004) Funksjonen f er gitt ved f x x x ( ) 4 6 a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Velg x - verdier i intervallet,6. b) Finn bunnpunktet på grafen. Hva er verdimengden til f? Leser av bunnpunktet (,). Hvis D,6, vil verdimengden være,18 f Se grafen. Ei rett linje går gjennom punktet 4,6 og har stigningstall 1. 74
c) Vis at uttrykket for linja er g( x) x Bruker ettpunktsformelen og finner likninga for linja y 6 1 x 4 y x d) Løs likningen f( x) g( x) grafisk og ved regning. Grafisk løsning x1 og x 4 Ved regning f ( x) g( x) x x x x 4 6 5x 4 0 5 5 44 5 3 x x 1, x 4 1 En ny funksjon h er gitt ved h() x g x f x 75
e) Finn maksimalverdien til h. Vi kan tegne grafen til h og lese av maksimalverdien. Maksimalverdien er,. 4.5.5X (Eksamen 1MY, Våren 004) Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde. Det viser seg at høyden til et tre ht (), målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplantingen. a) Hvor høyt var treet da det ble plantet? Da treet ble plantet, var t lik null. Treet var da 0,15 meter høyt. 76
b) Tegn grafen til h. c) Hvor mange prosent har treet vokst fra år 1 til år? Vi ser av grafen at treet vokser fra ca. 1,1 meter til ca. 1,6 meter fra år 1 til år. Dette tilsvarer en økning på 1,6 1,1 0,5 0,45 dvs 45 % 1,1 1,1 d) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. Treet vokser raskt til å begynne med, men etter år flater veksten ut for så å øke igjen etter ca. 6 år. 77
e) Finn ut hvor lang tid det tar før treet er,5 meter høyt. Vi kan tegne linja y,5 i samme koordinatsystem som grafen til h. Vi ser grafisk at treet er,5 meter høyt etter ca. 6,4 år. 4.5.6X (Eksamen 1MY, Våren 005) Oppgaven er noe utvidet Ved en bedrift blir det produsert sykkelhjelmer. Ved produksjon av x hjelmer er totalkostnaden Kx kroner. Kx er gitt ved 150x 10 500 K x a) Hva er totalkostnaden ved produksjon av 300 hjelmer? Totalkostnaden er K(300) 150 kr300 10 500 kr 55 500 kr 10 500 f x 150 x Skal vi finne gjennomsnittskostnaden per sykkelhjelm, må vi dele på antall hjelmer bedriften 150 10 500 150 produserer. Vi har x x 10 500 10 500 150 x x x x b) Vis at gjennomsnittskostnaden fx kroner per hjelm er gitt ved c) Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Bruk x - verdier fra 0 til 500. 78
d) Hva er gjennomsnittskostnaden per hjelm når totalkostnaden er 84 300 kroner? Finner først hvor mange hjelmer som blir produsert når totalkostnaden 84 300 kroner. 150x 10 500 84 300 x 49 Finner grafisk at gjennomsnittskostnaden ved en produksjon av 49 hjelmer blir 171 kroner. e) Bestem den horisontale asymptoten til grafen til f. Forklar med egne ord hva denne asymptoten beskriver. 79
Finner likningen for den horisontale asymptoten i GeoGebra, y 150 Dersom produksjonen av hjelmer blir svært stor, vil det etter denne modellen gå mot en enhetskostnad på 150 kroner. 80
4.5.7X (Eksamen 1MX, Våren 006) Til høyre ser du et bilde av Preikestolen. Dette platået ligger ved Lysefjorden i Ryfylke og er 604 meter over havet. Tenk deg at du kaster en liten ball rett opp fra platået slik at den lander oppå platået igjen. Funksjonsuttrykket h( t) 0t 4,9t viser omtrent hvor høyt ballen er over Preikestolen etter t sekund. Høyden a) Løs likningen 0t4,9t 0. Forklar hva løsningene betyr i praksis. 0t4,9t 0 t 0 4,9t 0 t 0 4,9t 0 t 0 t 4,1 ht måles i meter. Løsningene viser at ballen er på Preikestolen når ballen kastes (0 sekund) og når den lander igjen etter 4,1 sekund. Vi tenker oss at du kaster ballen på nytt. Denne gangen kaster du den litt på skrå opp fra Preikestolen. Ballen ender da opp med å treffe havflaten. Også nå viser uttrykket for ht omtrent hvor høyt ballen er over Preikestolen etter t sekund. b) Tegn grafen til funksjonen h. Bruk t - verdier fra 0 til 5. 81
c) Finn ut når ballen er på sitt høyeste punkt. Hvor høyt over havet er den da? Ballen når sitt høyeste punkt etter ca sekund og er da 64 meter over havet. Husk at Preikestolen ligger 604 m over havoverflaten. d) Finn ved regning hvor lang tid det tar før ballen når havflaten. 0t 4,9t 604 Bruker digitalt hjelpemiddel og får løsningene t13,3 t 9, Vi bruker bare den positive løsningen. Det tar 13,3 sekund før ballen når havflaten. 4.5.8X (Eksempeloppgave 1T +T, April 007) Funksjonen f er gitt ved x fx ( ) x 1 a) Finn definisjonsmengden til f. f er definert for alle x-verdier unntatt den som gir 0 i nevneren, altså 1. D b) Tegn grafen til f for x 10,10. f R \ 1 8
83
Grafen til en lineær funksjon g går gjennom punktene,0 og 3,5. c) Finn funksjonsuttrykket gx og tegn grafen til g i samme koordinatsystemet som grafen til f. Bruker ettpunktsformelen og får y y y y ( x x ) 1 1 1 x x1 5 0 g( x) 0 ( x ) 3 g( x) x d) Løs likningen f( x) g( x) grafisk. Løsningene blir x1 og x. Se c). 84
e) Løs likningen i d) ved regning. f ( x) g x x x x 1 x x x 1 x x 0 x 1, x 1 4.5.9X (Eksempeloppgave 1P+P, Desember 007) For å legge opp et effektivt treningsprogram er det lurt at du kjenner makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå). Den nøyaktigste måten å finne makspulsen på, er å gjennomføre en fysisk test. Det betyr i praksis å presse seg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. 5 personer har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor. a) Bruk regresjon og vis at f( x) 0,66x 06 er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls, dersom en tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Bruk y - verdier fra 150 til 0. Bruker regresjon i GeoGebra og får f( x) 0,66x 06,31 85
86
En forenklet metode for å finne en tilnærmet verdi for makspulsen din er å bruke formelen b) Finn et funksjonsuttrykk makspuls = 0 minus alder. g x som illustrerer denne sammenhengen mellom alder og makspuls. Tegn grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f. De to modellene f x og g x gir litt ulike verdier for makspuls for hvert alderstrinn. Studer modellene i området fra og med x 15 til og med x 60. 87
c) For hvilket alderstrinn er forskjellen mellom makspuls minst, og for hvilket alderstrinn er den størst? Ved å se på punktene som er merket av ovenfor, finner vi at forskjellen er størst når x 15. Da er den ca. 8,6. Grafene skjærer hverandre for x 40. Her er det ingen forskjell i det hele tatt. 88
4.5.10X (Eksempelsett 1T+T, Desember 007) La funksjonen f være gitt ved f x x x 3 ( ) 3 5 a) Tegn grafen til f. Bruk x - verdier fra til 5. 89
b) Tegn linja yx i samme koordinatsystem som grafen til f, og finn de tre skjæringspunktene. Finn så summen av x - koordinatene til skjæringspunktene. Summen av x-verdiene til skjæringspunktene blir 11 3 3 90
c) Gjenta det du gjorde i b) med to andre linjer som også skjærer grafen til f i tre punkter. Kommenter de resultatene du får. Blå linje Summen av x-verdiene til skjæringspunktene blir 1,74 1,5 3,3,99 Grønn linje Summen av x-verdiene til skjæringspunktene blir 0,8 0,55,7,99 Det ser ut som om summen av x-verdiene blir tilnærmet lik 3 i hvert tilfelle. d) Sett opp en hypotese på grunnlag av det du har gjort, som sier noe om summen av x - koordinatene til de tre skjæringspunktene mellom en linje og grafen til en tredjegradsfunksjon. Hypotese: Summen av x- koordinatene til de tre skjæringspunktene mellom en linje og grafen til en tredjegradsfunksjon er 3. (Test hypotesen ved å sjekke om dette også gjelder for andre tredjegradsfunksjoner!) 91
4.5.11X (Eksamen 1T+T, Våren 008) La funksjonen f være gitt ved f x x x x 3 ( ) 6 9 1 a) Tegn grafen til f for x - verdier mellom 1 og 5. Finn koordinatene til topp- og bunnpunktet. Toppunkt 1,3 Bunnpunkt 3, 1 b) Finn stigningstallet til linja l gjennom toppunktet og bunnpunktet. Stigningstallet blir 13 31 9
La m være gjennomsnittet av x - koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. c) Finn stigningstallet for tangenten t til f gjennom, m f m. Vis at forholdet mellom stigningstallene til linjene l og t er 3. 1 3 m f x x x x 3 ( ) 6 9 1 f x x x ( ) 3 1 9 f () 3 1 9 3 Forholdet: 3 3 d) Gjennomfør spørsmål a), b), og c) med to andre tredjegradsfunksjoner som har både topp- og bunnpunkt. Sett opp en hypotese som uttaler seg om forholdet mellom stigningstallene til linja l og tangenten t. 93
4.5.1X (Eksamen 1T+T, Høsten 008) La funksjonen f være gitt ved f( x) x x a) Tegn grafen til f for x - verdier mellom og 4. b) Finn gjennomsnittlig veksthastighet for funksjonen fra x til x 3. f() 0 f (3) 3 3 3 Gjennomsnittlig veksthastighet f(3) f() 30 3 3 1 c) Finn likningen for ei rett linje som skjærer x - aksen i punktet 3,0, og som ikke har fellespunkter med grafen til f. En linje parallell med tangenten i, f likningen blir y 0 ( x 3) y x6 vil ikke skjære grafen. Den har stigningstall og 94
4.5.13X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Figuren viser grafene til tre andregradsfunksjoner f, g og h. f ( x) x 4 g( x) x 4 h( x) x 4x 4 Hvilken graf hører til hvilken funksjon? Husk at du må begrunne svarene dine. Graf 3) er den eneste som har toppunkt. Funksjonsuttrykket må ha negativt fortegn foran andregradsleddet, altså g. Graf 1) har y-aksen som symmetrilinje. Da må den mangle førstegradsledd, altså f. Graf ) må da være grafen til h. (Kan kontrollere at bunnpunktet stemmer.) 4.5.14X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Sebastian har en tank som han fyller med vann. Vannstrømmen er jevn. Grafen nedenfor viser høyden h dm til vannoverflaten i tanken som funksjon av tiden t minutter. a) Finn høyden når t 7. Grafen går gjennom punktet 7, 6,8. Når t 7 er høyden 6,8 dm. b) Bruk grafen til å bestemme hvor raskt vannoverflaten stiger når t og når t 8. Vi kan tegne tangenter til grafen i disse punktene og så se på stigningstallene til tangentene. Ca. 1 dm/min for t. Ca. 0,7 dm/min for t 8. 95
c) Nedenfor har vi tegnet en skisse av tre vanntanker. Hvilken av de tre vanntankene mener du ligner mest på tanken til Sebastian? Husk at du må begrunne svaret ditt. Siden vannoverflaten stiger raskest i starten må tverrsnittet til tanken være mindre i bunnen enn lenger opp, altså Tank 1. 96