DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Antall søsken i klassen er: 0 5 + 1 6 + 2 2 + 3 2 + 4 1 = 0 + 6 + 4 + 6 + 4 = 20 20 5 = = 1,25 16 4 I gjennomsnitt har hver elev 1,25 søsken. Det er 16 elever i klassen, altså er medianen gjennomsnittet av verdi 8 og 9 når antall søsken er ordnet i stigende rekkefølge. Vi ser at det er fem elever som har null søsken, og det er seks elever som har ett søsken. Medianen må derfor være ett søsken. Medianen er ett søsken. Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Typetallet er ett søsken. Variasjonsredden er differansen mellom største og minste verdi. Største verdi er fire søsken og minste verdi er null søsken. Variasjonsredden er fire søsken. Oppgave 2 25 1 1 100 % 100 % = 100 % = = 20 % 125 5 5 20 % av elevene tok uss til skolen denne dagen. Oppgave 3 5 2 8 4 ( ) 3 0 3 2 1 1 = 12 4 8 1 3 = 18 4 64 1 = 1 8 64 64 = 8 3 ( 1) ( 3) 2 Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 10
Oppgave 4 10 L er det samme som 100 dl. Vi ruker «veien om 1»: 25 25 3,0 10 3,0 10 1,5 = 1,5 = 3,0 1,5 10 1,5 = 4,5 10 2 100 10 Det er 23 4,5 10 vannmolekyler i 1,5 dl vann. 25 2 23 Oppgave 5 a Per antar at verdien vil øke med 80 000 kr per år, altså en lineær økning. Altså vil modellen være på formen f ( x) = ax +, der a er stigningstallet som er lik 80 000. Lar vi x være antall år etter 2017, svarer verdien i 2017 til konstantleddet. Pers modell er: f( x) = 80 000x+ 1 200 000 Kari antar at verdien vil øke med 8 % per år. En fast årlig prosentvis økning svarer til x eksponentiell vekst. Karis modell vil være på formen gx ( ) = a, der vekstfaktoren og a er funksjonsverdien når x = 0. 8 En økning på 8 % svarer til en vekstfaktor på 1+ = 1,08. 100 x = 0 svarer til 2017, og verdien i 2017 er 1 200 000 kr. Karis modell er: gx= ( ) 1 200 000 1,08 x c Pers modell er en lineær modell. Grafen til en lineær modell er en rett linje. Altså figur B. Karis modell er en eksponentiell modell der vekstfaktoren er er større enn 1. Litt uformelt kan vi si at funksjonsverdien øker mer og mer når x øker. Altså figur A. Oppgave 6 a Tallene som er hentet fra oppgaveteksten er med rød skrift. Poengsum Frekvens f Relativ frekvens Klassemidtpunkt [0, 30 100 0,1 15 [30, 50 100 0,1 40 [50, 70 600 0,6 60 [70,100 200 0,2 85 Sum 1000 1,0 x m Aschehoug www.lokus.no Side 2 av 10
Vi utvider taellen med en kolonne der vi regner ut og summerer f xm. Poengsum Frekvens f Relativ frekvens Klassemidtpunkt x m f x m [0, 30 100 0,1 15 1500 [30, 50 100 0,1 40 4000 [50, 70 600 0,6 60 36000 [70,100 200 0,2 85 17 000 Sum 1000 1,0 58 500 58 500 1000 = 58,5 Gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok, var 58,5 poeng. c Det deltok 3525 elever, et oddetall elever. Når poengsummene er ordnet i stigende rekkefølge er medianen poengsum nummer 3525 + 1 3526 = = 1763 2 2 Legger vi sammen antall elever i poengintervallene [0, 30 og [30, 50 får vi: 563 + 700 = 1263. Mediaen må altså ligge i poengintervallet [50, 70. Hvis vi ordner poengsummene i dette intervallet i stigende rekkefølge, er medianen poengsum nr. 500. Det er 2000 poengsummer i dette intervallet, og vi skal finne poengsum nr. 500. Altså en fjerdedel «inn i intervallet». Hvis vi antar at poengsummene øker jevnt gjennom intervallet, er medianen 55 poeng. Oppgave 7 a Figur 1 estår av én likesidet trekant. Vi ser at vi får figur 2 ved å ta figur 1 og legge til én likesidet trekant «snudd på hodet» i forhold til trekanten i figur 1. Figur 3 er figur 2 pluss trekanten i figur 1. For å få figur 4 tar vi figur 3 og legger til en trekant «snudd på hodet». Figur 4 vil dermed se slik ut: Vi teller opp og finner at vi trenger 9 pinner for å lage figur 4. Vi teller opp pinnene som danner omkretsen. Omkretsen estår av 6 pinner. Hver pinne er 2,5 cm lang. Omkrets: 62,5 cm = 15 cm For å få oversikt lager vi en taell. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 10
Figur nr. 1 2 3 4 Antall pinner 3 5 7 9 Antall pinner i figur nr. 1: 21 + 1= 3 Antall pinner i figur nr. 2: 22 + 1= 5 Antall pinner i figur nr. 3: 23 + 1= 7 Antall pinner i figur nr. 4: 24 + 1= 9 Antall pinner i figur n er: 2 n + 1 c Vi lager en tilsvarende taell som i oppgave. Figur nr. 1 2 3 4 Antall pinner i omkretsen 3 4 5 6 Vi ser at vi får antall pinner i omkretsen når vi tar figurnummeret og legger til to. Antall pinner i omkretsen i figur n er: n + 2. Hver pinne er 2,5 cm. Omkretsen i cm av figuren n er da gitt ved: 2,5( n+ 2) = 2,5n+ 5 d Vi får vite at omkretsen er 105 cm. Vi finner først hvor mange pinner omkretsen estår av. Antall pinner i omkretsen: 105 cm = 210 = 42 2,5 cm 5 Så finner vi hvilket nummer denne figuren har ved å ruke at omkretsen av figur n er gitt ved n + 2. n + 2 = 42 n = 40 Til slutt ruker vi at antall pinner i figur n er gitt ved 2n + 1. Antall pinner i figur nr. 40: 2 40 + 1 = 80 + 1 = 81 Denne figuren har 81 pinner. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 10
DEL 2 Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 a Vi skriver inn punktene (1, V(1)) og (12, V(12)) i innskrivningsfeltet. Se figuren ovenfor. Vi ser at det stemmer at én time etter midnatt er vannstanden ca. 40 cm under middelvann, og 12 timer etter midnatt er vannstanden ca. 31 cm over middelvann. c d Vi finner topp- og unnpunktene på grafen til V med kommandoen Ekstremalpunkt[V]. Se figuren i oppgave a. 59,721 ( 81,509) = 141, 23 Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand er ca. 141 cm. Momentan vekstfart i et punkt på grafen til V er det samme som stigningstallet for tangenten til grafen i punktet. Vi finner likningen for tangenten til grafen i punktet der x = 7 med kommandoen Tangent[7,V]. I Agerafeltet ser vi at tangenten har likningen y = 26,138x 160,332. Momentan vekstfart klokka 07.00 er ca. 26. Det etyr at kl. 07.00 stiger vannstanden med ca. 26 cm/time. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 10
Oppgave 2 Emil etalte 15 % mer enn prisantydningen, dvs. han etalte 115 % av prisantydningen. 3 703 000 100 % = 3 220 000 115 % Prisantydningen for leiligheten var 3 220 000 kr. Oppgave 3 4,25 En rente på 4,25 % svarer til en vekstfaktor på 1+ = 1,0425. 100 Renten har vært den samme hele tiden, altså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. Vi lar x kroner være eløpet hun arvet. Det gir oss likningen: 20 1,0425 1 724 180 x = 1 724180 x = 20 1,0425 x = 750 000,1153 Ida arvet 750 000 kr. 20 x 1,0425 = 1 724 180 Oppgave 4 Vi vet at formelen for konstant fart er avstand delt på tid. Det kan være en person som løper hjemme fra med konstant fart til et punkt der personen snur og løper tilake. Tilaketuren foregår også med konstant fart, men farten på vei tilake er større enn farten på vei ut. Det ser vi fordi personen ruker kortere tid på hjemturen enn på turen ut. Personen ender opp på samme punkt som han startet. Det ser vi fordi y = 0 åde når personen starter løpeturen og når personen avslutter løpeturen. Oppgave 5 a Vi får frekvensen (antall elever i hver klasse) når vi multipliserer høyden av søyla (frekvens/klasseredde) med klasseredden. 1 10 + 6 30 + 2 20 = 10 + 180 + 40 = 230 Det var til sammen 230 elever i 2P gruppene. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 10
Vi lager oss en taell med klasseredde, klassemidtpunkt, frekvens. Vi multipliserer sammen klassemidtpunktet og frekvensen. I oppgave a har vi regnet ut frekvensen for de ulike poengklassene. Poeng Klassemidtpunkt xm Frekvens [0,10 5 10 50 f xm f [10, 40 25 180 4500 [40, 60 50 40 2000 Sum 230 6550 6550 230 = 28,5 Gjennomsnittlig poengsum for elevene var 28,5 poeng. Oppgave 6 a Tempertaturen T( x ) C x meter over Spiterstulen er gitt ved T( x) = 0,0065x+ 12. Vi finner hvor høyt vi er over Spiterstulen når temperaturen er 5 C ved å løse likningen 5 = 0,0065x + 12. 5 = 0,0065x + 12 7 = 0,0065x 7 x = 0,0065 x = 1076,92 Du er ca. 1077 m over Spiterstulen når temperaturen er 5 C. Galdhøpiggen er 2469 m over havet. Spiterstulen er 1106 m over havet. Galdhøpiggen er (2469 1106) m = 1363 m over Spiterstulen. Vi setter inn x = 1363 og regner ut. T (1363) = 0, 0065 1363+ 12 = 3,14 Denne dagen er temperaturen på Galdhøpiggen ca. 3 C. c Temperaturen T( x ) C er gitt ved T( x) = 0,0065x+ 12 der x er antall meter over Spiterstulen. Stigningstallet forteller oss at temperaturen synker med 0,0065 C per meter over Spiterstulen. Per 100 m stigning synker temperaturen med 0,0065 C 100 = 0,65 C. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 10
Oppgave 7 a Vi gjør regresjon i GGB. Vi åpner regnearket og legger inn alderen (x-verdiene) i kolonne A og høydene (f(x) verdiene) i kolonne B. Vi merker cellene, klikker på Regresjonsanalyse og velger Analyser. Deretter velger polynomfunksjon og grad 3 som regresjonsmodell. Tredjegradsfunksjonen taellen. 3 2 f( x) = 0,12x 2,57x + 21,82x + 53,56 passer tilnærmet med dataene i Det står ikke noe om definisjonsmengden til g, men vi velger den til å være [0, 16]. Vi tegner grafen til g. Den gjennomsnittlige vekstfarten fra han var 7 år til han le 12 år er lik stigningstallet for linja 7, (7) 12, g (12). gjennom punktene ( g ) og ( ) Vi tegner linja med kommandoen Linje[(7,g(7),(12,g(12)]. I algerafeltet ser vi at likningen for linja er y = 5,81x+ 79,72. Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var 7 år til han le 12 år var ca. 5,8 cm/år. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 10
c Espens kommer altså i puerteten når han er 12 år. I sitatet står det at vekstfarten er ca 10 cm per år midt i puerteten. Det etyr at vekstfarten til Espen skal være ca. 10 cm per år når han er 13 år. Vekstfarten til Espen når han er 13 år er det samme som momentan vekstfart for g når x = 13, som igjen er det samme som stigningstallet for tangenten til g når x = 13. Vi finner likningen for tangenten med kommandoen Tangent[13,g]. Vi får likningen for tangenten i algerafeltet: Modellen gir at høydeveksten til Espen er ca. 16 cm/år når han er 13 år, altså et for høyt tall. I følge sitatet skal veksfarten avta ned mot null etter puerteten. Vi ser at grafen til g stiger raskere og raskere for x verdier i intervallet [12, 16]. Konklusjonen lir da at funksjonen g ikke kan rukes til å estemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år. Oppgave 8 a Kysstaell (tallene skrevet med rødt er hentet fra oppgaveteksten): Ønsker å studere i utlandet Ønsker ikke å studere i utlandet Jenter Gutter Sum 3 2 5 9 16 25 Sum 12 18 30 c Av taellen ser vi at det er 25 elever som ikke ønsker å studere i utlandet. 25 24 P = = 0,69 30 29 Sannsynligheten for å trekke to elever som ikke ønsker å studere i utlandet er 0,69 = 69 %. Det er to måter du kan trekke én gutt og én jente som ønsker å studere i utlandet. Du kan først trekke én gutt som vil studere i utlandet og deretter én jente som ønsker det, eller du kan først trekke én jente som ønsker det og deretter én gutt som ønsker det. 2 3 3 2 P = + = 0,014 30 29 30 29 Sannsynligheten for at du trekker én jente og én gutt som ønsker å studere i utlandet er 0,014 = 1,4 %. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 10
Oppgave 9 a 2,75 En rente på 2,75 % svarer til en vekstfaktor på 1+ = 1,0275. 100 Etter x år vil de ha S(x) kr i anken der Sx ( ) = B 1,025 x og B er eløpet de satte inn. For Elise er S gitt ved: SElise ( x ) = 20 000 1,025x. For Ådne er S gitt ved: S ( x ) = 25 000 1,025x. Ådne Rentene legges til ved årsskiftet. Når vi kommer til 31.12.2036 er ikke rentene for 2036 lagt til kontoen, men rentene er opptjent. Vi har derfor valgt å ta med rentene for 2036 i rad 24 i regnearket. Vi lager regnearket i Exel. Av rad 21 i regnearket ovenfor ser vi at de til sammen har mer enn 70 000 kr i anken 1. januar 2034, altså etter 17 år. c Se regnearket i oppgave a. De har til sammen 77 419,28 kr i anken. De satte til sammen inn 45 000 kr. Da har til sammen fått i rente: 77 419,28 kr 45 000 kr = 32 419,28 kr Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 10