1 av 10 Representasjoner i matematikk Forfatter: Olaug Ellen Lona Svingen Publisert dato: November, 2018
2 av 10 Representasjoner i matematikk Forfatter: Olaug Ellen Lona Svingen Publisert dato: November, 2018 2
3 av 10 Kaja kommer med en prestekrage i hånda. Hun kan føle, smake og lukte på prestekragen. Hun kan lære leken med å plukke ut ett og ett kronblad for se om hun blir gift. Hun kan få mange fysiske erfaringer med hva en prestekrage er og hva den består av. Hva om hun skal gjøre det samme med tallet «fire»? Den lar seg ikke direkte føle, smake og lukte på. Matematiske objekter er abstrakte og er bare tilgjengelige gjennom ulike representasjoner (Duval, 2006). En representasjon står for noe annet enn seg selv og representerer et matematisk begrep eller en idé. Omtales heretter som et matematisk objekt. Å kunne bruke matematiske representasjoner og se sammenheng mellom ulike representasjoner er en viktig del av å utvikle en dyp matematisk forståelse (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001; Niss & Jensen, 2002; Utdanningsdirektoratet, 2018). Matematiske tankeprosesser karakteriseres av den store betydningen tegn og symboler har og det mangfoldet i representasjoner vi benytter. Det er vanlig å vise til fem ulike representasjoner for matematiske objekter: visuelle, konkreter, kontekst/hverdagssituasjoner, verbale og symbolske (Kilpatrick et al., 2001; Lesh, Cramer, Doerr, Post, & Zawojewski, 2003). Visuelt Konkreter Symbolsk Matematisk objekt Kontekst/ hverdagssituasjoner Verbalt Disse representasjonene er tilsynelatende veldig ulike, men de er et uttrykk for samme matematiske objekt. Å utvikle dyp forståelse for matematikk, innebærer at man er i stand til å se sammenhenger mellom disse ulike representasjonene. Dette blir viktig når en skal lære matematikk. En viktig oppgave for pedagogen blir å legge til rette for at elevene møter ulike representasjoner i undervisningen, og ikke minst løfte frem sammenhenger mellom representasjonene. Uansett hva man gjør når man arbeider med matematikk, bruker man ulike representasjoner. Disse representasjonene kan enten bearbeides eller konverteres. Når man jobber med samme representasjon, f.eks. tallinjen, bearbeider man denne. Hvis man derimot skifter mellom ulike representasjoner, f.eks. ser på samme regnestykke både med tellebrikker, tallinje og symboler, konverterer man mellom ulike 3
4 av 10 representasjoner (Duval, 2006). Dersom man skal utvikle dyp forståelse for matematikk, kan man ikke bare bearbeide innenfor samme representasjon, men man må også Eksempel: Brøk Symbolsk Visuelt Verbalt Kontekst Konkreter 3 4 Tre firedeler Fire barn deler 3 sjokolader likt. konvertere mellom ulike representasjoner. Å arbeide med bare konkreter, vil ikke gi effekt med tanke på å forstå det symbolske, uten at disse to ulike representasjonene knyttes sammen. For elever som strever med matematikk vil det være særlig viktig å arbeide med å oppdage sammenhenger mellom ulike representasjoner. Egenskaper til ulike representasjoner Det vil også være viktig å tenke igjennom hvor hensiktsmessig en representasjon vil være for å utvikle forståelse. Hvilke representasjoner som er hensiktsmessige, kan vurderes ut fra følgende egenskaper: synlighet, effektivitet, generalitet, klarhet og presisjon (Kilpatrick et al., 2001). Å vurdere ulike representasjoner ut fra egenskapene kan være nyttig for å velge representasjoner som er hensiktsmessige. Forståelse for posisjonssystemet er ofte vanskelig. En grunnleggende matematiske idé er å forstå at ti kan være én tier, men også ti enere. Selv om ulike representasjoner kan støtte opp om og vise ideen, må elevene selv konstruere ideen mentalt. Med utgangspunkt i disse fem egenskapene kan man vurdere i hvilken grad en representasjon kan støtte elevene i å konstruere denne ideen. Synlighet: For å vurdere synlighet kan man spørre, hvor enkelt kan man kan se den matematiske ideen gjennom representasjonen? Ti-basemateriell er mer transparent enn mynter. Tibasemateriell er ferdiggruppert og forholdet mellom enere og tiere er proporsjonalt, en tier er ti ganger større enn en ener. Centikuber, pinner i bunter, kuler i skåler og tellebrikker er eksempler på proporsjonale konkreter. Det er ikke like innlysende at ti enkronemynter er det samme som en tikronemynt. En tikronemynt er ikke ti ganger større enn en enkronemynt. Hundrerutenett er mer transparent enn den symbolske notasjonen og det muntlige språket. I hundrerutenettet består en rad av ti ruter, mens både det muntlige språket og symbolsk notasjon krever at man har en felles forståelse av hva ordene betyr og hvordan symbolene skal tolkes. Effektivitet: Det er et helt nødvendig at man utvikler forståelse for representasjoner som er effektive, både for bruk og kommunikasjon. Her står symbolske representasjoner i særklasse, men det krever at man har felles forståelse for hva symbolene representerer og hva de kommuniserer. Ti-basemateriell kan være mer effektivt enn å tegne, hvis man 4
5 av 10 er avhengig av å «se» alle enerne, men på sikt kan tegning bli mer effektivt enn å bruke ti-basemateriell om man utvikler effektive måter å tegne tiere og enere på. Generalitet: Representasjoner kan også vurderes med bakgrunn i om de kan brukes på et bredt spekter av matematiske objekter. Perlesnor er ikke en generell representasjon. Den fungerer med hele tall, men ikke med desimaltall. Den er heller ikke særlig praktisk når man skal jobbe med større tall. Tallinjen gir mulighet til utvidelse fra hele tall til rasjonale tall og reelle tall. I arbeidet med ulike representasjoner, er det nødvendig å ha som mål at man skal utvikle forståelse for representasjoner som er brukbare etter hvert som man blir introdusert for nye matematiske objekter. Klarhet: Denne egenskapen handler om representasjonen er entydig og enkel å bruke. Entydigheten til hvordan en representasjon skal brukes, er ofte etablert gjennom konvensjoner. Tallinje er et eksempel på at man gjennom bruk legger til rette for en felles forståelse av hva den er og hvordan den kan brukes. Tall skrives i stigende rekkefølge og tallintervallene deles inn i riktig størrelsesforhold. Flytter man seg til høyre på tallinjen, blir tallene større. Presisjon: Her spør man etter hvor nøyaktig representasjonen er. Tallinjen kan ha ulike grad av presisjon. Når man har utviklet forståelse av grunnprinsippene for tallinje, kan man bruke den mer som en mental støtte og trenger ikke hverken å skrive alle tallene eller ha riktig proporsjon mellom tallene. Dette er et eksempel på en åpen tallinje, der bare rekkefølgen på tallene etter størrelse er viktig. En tallinje som modell for alle reelle tall skal ha både rekkefølge og størrelsesforhold presist avmerket og er et eksempel på stor presisjon. Alle egenskapene trenger ikke å være til stede for å velge en representasjon, men egenskapene kan være en støtte til å vurdere når ulike representasjoner er hensiktsmessig. Perlesnora kan være en fin inngang til å utvikle forståelse for tallinja. Elevene jobber konkret med perlesnora over tid. Etter hvert ønsker man at elevene skal kunne jobbe uten å bruke perlesnora, den er tungvint å bruke i det lange løp. Kobler man en visuell representasjon til perlesnora, vil tallinja være et naturlig valg. Man kan tegne perlesnora som en rett linje og i stedet for å tegne hver perle, setter man et merke for hver perle. En lignende kobling kan gjøres mellom centikuber og hundrerutenettet. Fra å jobbe konkret med centikuber kan man knytte disse til hundrerutenettet. Målet må hele tiden være å gi elevene verktøy som kan støtte de i tenkningen sin. Å jobbe med konkreter for deretter å utvikle visuelle representasjoner som også knyttes til symbolske representasjoner, vil gi elevene en dypere forståelse av de matematiske objektene. Bruk av representasjoner i undervisningen Et av hovedproblemene for elever som presterer lavt i matematikk, er at de har uklar forståelse av sammenhengen mellom abstrakte symboler og andre matematiske 5
6 av 10 representasjoner (Gersten et al., 2009). Systematisk undervisning om relasjonen mellom ulike representasjoner er nødvendig for å utvikle robuste begreper i matematikk. Det er tradisjon for at man bruker konkretiseringsmateriell mye i begynneropplæringen. Etter hvert som elevene blir eldre, bruker man i større grad symbolske representasjoner. Bruk av konkretiseringsmateriell kan være effektivt uansett hvilken alder elevene har, men konkreter kan også brukes på en slik måte at det ikke styrker elevenes læring. En undervisning der læreren går igjennom trinn for trinn hvordan konkretiseringsmateriellet skal brukes, er like lite produktivt som der elevene får fritt spillerom og jobber uten veiledning (Stein & Bovalino, 2001). I det første eksemplet styrer læreren skritt for skritt elevene gjennom aktiviteten og gir ikke elevene rom til å tenke igjennom og skape mening i aktiviteten. Læreren tar en snarvei forbi elevenes egen tenkning og viser dem heller hvordan de skal gjøre det. For at bruk av konkretiseringsmateriell skal gi mening, må eleven selv skape denne sammenhengen. Det er ikke nok å få det fortalt. I motsatt ende av skalaen, der elevene jobber fritt med konkretiseringsmateriell, blir elevene i for stor grad overlatt til seg selv, og det resulterer i usystematisk og uproduktiv bruk av konkretiseringsmateriellet. Det blir overlatt til elevene selv å finne den matematiske meningen og den trenger ikke nødvendig vis være opplagt. Det som er en opplagt kobling mellom konkretiseringsmateriell og det matematisk objektet for læreren, trenger ikke å være like opplagt for eleven. Konkretiseringsmateriell er laget for å synliggjøre en ide, og for de som kjenner ideen er sammenhengen tydelig, men for de som ikke kjenner til hvilken ide konkretiseringsmateriellet skal representere, blir denne sammenhengen uklar. Laski, Jor dan, Daoust, and Murray (2015) beskriver fire prinsipper for at bruk av konkretiseringsmateriell skal være effektivt: 1) Bruk konkretiseringsmateriell konsekvent og over lang tid. Elevene trenger tid til å bli kjent med materiellet og skape sammenheng mellom materiellet og det matematiske innholdet. 2) Begynn med konkrete representasjoner der den matematiske ideen er godt synlig og gå gradvis over til representasjoner som er mer abstrakte. Konkretiseringsmateriell der den fysiske likheten mellom den fysiske representasjonen og den matematiske ideen er stor, vil gi elevene større mulighet til å se sammenhengen mellom dem. 3) Unngå konkretiseringsmateriell som likner hverdagsobjekter og har distraherende og irrelevante egenskaper. Konkretiseringsmateriell kan ses på fra to ulike posisjoner, som et objekt for sin egen del og som et symbol for et matematisk objekt. Når et konkretiseringsmateriell er spennende å utforske for sin egen del eller har egenskaper som er irrelevante for det matematiske objektet, kan det distrahere og hindre eleven fra å se sammenhengen mellom representasjon og matematisk objekt. 4) Vis sammenhengen mellom konkretiseringsmateriell og matematisk ide eksplisitt. Det er urealistisk å tro at et elevene selv skal kunne se denne sammenhengen uten veiledning. I avsnittene over, er det beskrevet hvordan bruk av konkretiseringsmateriell kan gi økt læring. Disse beskrivelsene vil også ha betydning i bruk av andre representasjoner, som f.eks. visuelle representasjoner. I læring av nye matematiske objekt, vil det være nødvendig å bruke ulike representasjoner uansett hvor gamle elevene er. Å inkludere ulike representasjoner i undervisningen krever forberedelse av læreren. Det er nødvendig å ha oversikt over og være kjent med fordeler og ulemper ved å bruke ulike representasjoner. I forberedelsene er det viktig å tenke i gjennom hvordan ulike 6
7 av 10 representasjoner skal brukes og knyttes sammen. Det er nødvendig i forberedelsene at læreren selv løser problemet med representasjonen som skal brukes. Sist men ikke minst er det viktig å tenke igjennom praktisk gjennomføring i klasserommet, plassering av elever og gjøre klart materiell som elevene skal bruke (Stein & Bovalino, 2001). Gjennom bruk av ulike representasjoner i det ordinære klasserommet, vil flere elever kunne delta. Det er ønskelig at så mange elever som mulig får utbytte av det ordinære tilbudet. Elever som har behov for særlig tilrettelegging, vil ha det samme behovet for å utvikle forståelse for sammenhenger mellom ulike representasjoner. Bruk av representasjoner blir derfor sentralt i all undervisning, enten det er i det ordinære eller der det er særskilte behov. Uansett på hvilket nivå undervisningen er, vil grundig planlegging og vurdering av egnethet være viktig, for at utbyttet til elevene skal bli best mulig. 7
8 av 10 Eksempler representasjoner Proporsjonale 1 Numicon KONKRETER Egenskaper egne notater Perlesnor Tellerbrikker o.l. Tibase-materiell Brøkbrikker Cuisinarestaver Kulerammer Ikke - proporsjonale Penger Posisjonstabell Andre Geobrett Klosser Geometriske figurer Jovo-brikker 1 Proporsjonale representasjoner er representasjoner for posisjonssystemet, der en representasjon for ti er ti ganger større enn en ener og en hundrer er ti ganger større enn en tier. 8
9 av 10 Tallinjer VISUELLE Egenskaper egne notater Grafer Tabeller Hundrerutenett Tegning Barmodell (Singapore) Rutenett/arealmodell Elevens eget språk MUNTLIG Tall SYMBOLSK Bokstaver Symbol Regnefortellinger KONTEKST Hverdagssituasjoner 9
10 av 10 Referanser Duval, R. (2006). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-102), p.103-131. doi:10.1007/s10649-006-0400- z Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to intervention (RtI) for elementary and middle schools. In. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Washington, DC: National Academy Press. Laski, E. V., Jor dan, J. R., Daoust, C., & Murray, A. K. J. S. O. (2015). What makes mathematics manipulatives effective? Lessons from cognitive science and Montessori education. 5(2), 2158244015589588. Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H., Post, T., & Zawojewski, J. (2003). Model development sequences. Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark (Vol. 18): Undervisningsministeriet. Stein, M. K., & Bovalino, J. W. (2001). Manipulatives: One piece of the puzzle. Mathematics Teaching in the Middle School, 6(6), 356. Utdanningsdirektoratet. (2018). Høringsutkast kjerneelementer i Matematikk fellesfag og programfag. Retrieved from https://hoering.udir.no/hoering/v2/197?notatid=358 10