EKSAMEN EMNE: MA- FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): Antall oppgaver: Antall vedlegg: Tillatte hjelpemidler er: Godkjent kalkulator Formelsamling A-ark med egne formler KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Om eksamen Mellomregninger Ta med mellomregninger og begrunnelser som er relevante for MA- slik at det er tydelig for sensor at du kjenner hele gangen i regningen Mellomregninger som tilhører andre fag er det ikke nødvendig å ta med Er du i tvil om mellomregningen tilhører pensum i MA-, ta den med Formler Når du bruker formler i overgangene dine bør du skrive hvilken formel du har brukt Merk: Etter den vedlagte formelsamlingen står det oppgitt to kjente feil / unøyaktigheter i Haugans formelsamling Det betyr at de formlene slik de står oppgitt i Haugan ikke kan brukes i overgangene på denne eksamenen
Oppgaver Lineær algebra (a) Oppgave: Løs følgende ligningssystem ved å bruke augmentert matrise og radoperasjoner Ta med og indikér samtlige radoperasjoner x x = x + x 5x = x + x = 8 Bytter rad og Trekker rad fra rad Legger ganger rad til rad Legger rad til rad Deler rad på og deler rad på Legger 5 ganger rad til rad Trekker ganger rad fra rad x = x = + x = x =, x =, x =
(b) Oppgave: B = Finn determinanten til B, og gjør tydelig hvilken metode du bruker Hva sier determinanten til matrisen om hvorvidt B er inverterbar? = (uansett hvilken metode du bruker) Siden B, er B inverterbar (c) Oppgave: C = Finn C Vis alle trinn i utregningen, inkludert eventuelle radoperasjoner Sett b = Bruk det du fant ut over til å løse C x = b Setter opp augmentert matrise [AI ] og radreduserer til vi har [I A ]: Trekk rad fra rad, og deretter rad fra rad A = x = C b = Trekk rad fra rad, og deretter rad fra rad =
(d) Oppgave: D = Du får vite at D i Finn en basis for Col D ii La B være basisen for Col D som du fant i oppgaven over, og la x være den kolonnevektoren i matrisen D Finn koordinatvektoren [ x] B til x med hensyn på basisen B iii Finn en basis for Nul D i Basisen for Col D finner vi ved at vi finner pivot-kolonnene til D Vi ser av matrisen D er ekvivalent med at det er og kolonne Altså er B ColD =, ii kolonnevektor [ ] er den andre vektoren i B ColD, så [ x] B = (Hvis man ikke ser dette med en gang er det selvfølgelig også [ ] x helt rett å regne ut x = ved å løse ligningssystemet ) x + x x = iii Basis for Nul D: Vi setter opp augmentert matrise [D ] Først: [D ] Vi leser av, og får x + x + x = x + x x = x er fri er fri x
x = x x x = x + x x = x x = x x x x x B NulD = = x x x + x x, x = x + x (e) Oppgave: Finn x ved hjelp av Cramers regel: (Her er s en ukjent konstant du ikke skal finne) [ ] [ ] s e πs s x = x = x = x = e πs s s s s e πs s s ] [ e πs s s + e πs s + = e πs s s + = e πs s s + = e πs s + = e πs s + (Fler oppgaver på neste side) 5
Differensialligninger (a) Oppgave: Løs følgende differensialligning: e t y + e t y = t Dette er en ordens lineær differensialligning Metode : Del på e t, slik at du har ligningen på normalform, og sett inn i formel: y + y = te t Q(t) = te t, P (t) =, p(t) = P (t)dt = dt = t [ ] y(t) = Q(t) e p(t) dt + C e p(t) [ ] = te t e t dt + C e t [ ] = tdt + C e t = t e t + Ce t Metode : Del på e t, slik at du har ligningen på normalform, finn integrerende faktor, og gang med den Du vil da finne ut at ligningen igjen ser slik ut (og så du det med en gang har du trolig spart litt tid): (b) Oppgave: i Løs e t y + e t y = t (e t y) = t e t y = tdt e t y = t + C y = t e t + Ce t y y + y = ii Finn formen på den partikulære løsningen til når y y + y = f(t)
A f(t) = t B f(t) = e t i Differensialligning: y y + y = Karakteristisk ligning: r r + = Røttene til karakteristisk ligning: r = r = Vi bruker derfor formel 7bII hos Haugan, og får y(t) = c e t + c te t ii A Vi ser etter i Haugans tabell over partikulærløsninger, og setter Y p = K t + K Vi ser etter om noen av de to termene er løsninger av den tilhørende homogene differensialligningen ved å se om vi finner lignende termer i løsningen på differensialligningen i forrige oppgave Det gjør vi ikke Vi trenger derfor ikke gange Y p med t, så Y p = K t + K B Vi ser etter i Haugans tabell over partikulærløsninger, og setter Y p = Ke t Vi ser etter om e t er en løsning av den tilhørende homogene differensialligningen ved å se om vi finner en lignende term i løsningen på differensialligningen i forrige oppgave Det gjør vi Vi ganger derfor Y p med t, og får Y p = Kte t Vi ser etter om te t er en løsning av den tilhørende homogene differensialligningen ved å se om vi finner en lignende term i løsningen på differensialligningen i forrige oppgave Det gjør vi Vi ganger derfor Y p med t, og får Y p = Kt e t Vi ser etter om Y p er en løsning av den tilhørende homogene differensialligningen ved å se om vi finner en lignende term i løsningen på differensialligningen i forrige oppgave Det gjør vi ikke Vi trenger derfor ikke gange Y p videre med t, så Y p = Kt e t (c) Oppgave: Regn ut følgende Laplace-transformasjoner: i L {t + t} 7
ii L {e t u(t )} i L {t + t} = L {t { } + L {t} } = L ( )! t + L {t} ( )! { } = ( )!L + L {t} =! s + s = s + s t ( )! ii Hvilken metode d vil bruke er valgfritt Metode : Bruker Formel og parallellforskyving i s: f(t) = u(t ), så F (s) = e s Formelen for parallellforskyving i t, s L {e at f(t)} = F (s a), gir oss da at L {e t u(t )} = L {e t f(t)} = F (s ) = e (s ) s = e e s s Metode : Bruker Formel 7 og parallellforskyving i t: f(t) = e t, så F (s) = Formelen for parallellforskyving i s, L {f(t a)u(t a)} = s e as F (s), gir oss da at L {e t u(t )} = L { e (t )+ u(t ) } = L {e e t u(t )} = e L {e t u(t )} = e L {f(t )u(t )} = e e s s = e e s s (d) Oppgave: Løs følgende system av differensialligninger: } y y = δ(t π) y + y y = () = y () = Vi tar Laplace på begge sider, og får L {y } L {y } = L {δ(t π)} L {y } + L {y } = L {} 8
Mellomregning: Vi setter Y = L {y } og Y = L {y }, og L {y } = sl {y } = sy L {y } = sl {y } = sy Det gir oss sy Y = e π Y + sy = Skriver vi denne ligningen på matriseform får vi matriseligningen i oppgave e Vi bruker løsningen derfra, og har Y = e πs s s + Y = e πs s + Vi tar nå invers Laplace { } y = L e πs s s + = L { e πs s s +} (bruker så parallellforskyving i t + ) = cos((t π))u(t π) = { cos(t)u(t π) t < π = cos(t) t π { } y = L e πs s s + { } = L e πs s + = L { e πs s +} (bruker så parallellforskyving i t + ) = sin((t π))u(t π) = { sin(t)u(t π) t < π = sin(t) t π