Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f( ) cos5 f 5 si5 0 si5 g e si Vi bruker produktregele for derivasjo, uv u v. b) Vi bruker kjereregele på e og setter u og h u e u h u u e e u Vi får da g e si e cos e cos si Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side av 7
Oppgave (4 poeg) Bestem itegralee a) e 3 e d 3l 3le 3l 3 30 3 b) d Vi bruker delbrøkoppspaltig. Vi faktorisere evere til og ka skrive Vi fier koeffisietee A og B A B d d d A d B d A B A B A A B B A B A B A B 0 A B B A A B B B A B B A B B A Vi setter A og B i i det opprielige itegralet og får d A d B d d d l l C Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side av 7
Oppgave 3 (6 poeg) Fuksjoe f er gitt ved si, 0, f Et flatestykke er avgreset av -akse og grafe til f. a) Reg ut arealet av flatestykket. Vi vet at si 0 år 0,. Vi reger ut som bestemt itegral. Arealet av flatestykket blir 0 si d cos cos cos 0 0 b) Vis ved derivasjo at si d si cos C Vi deriverer høyreside i uttrykket ovefor ved å bruke blat aet produktregele for derivasjo. Videre aveder vi at si cos cos si si cos C cos cos si si 0 cos si si si si si Vi dermed vist at si d si cos C Vi roterer flatestykket 360 om -akse. c) Reg ut volumet av det omdreiigslegemet vi da får. Volum for omdreiigslegeme er gitt ved formele V f d. Vi bruker opplysige fra oppgave b), si d si cos C og fier V si d si cos 0 si cos 0 si0 cos 0 0 0 0 0 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 3 av 7
Oppgave 4 (5 poeg) Rekke 4 8 6 er gitt. a) Forklar at dette er e geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summe S av de første leddee i rekke. a Vi ser at k. Rekke er dermed geometrisk. S a k a k Vi har gitt produktet 8 6 P b) Vis at 4 P, 0 4 8 6 4 8 6 4 8 6 P lim P. c) Bestem 0 lim P lim Oppgave 5 (6 poeg) Fuksjoe f er gitt ved f 3cos, 0, a) Bestem evetuelle ullpukter til f. f 0 0, 3cos 0 cos 0 k k 4 I vårt defiisjosområde får vi løsiger av 0 3 5 7 L,,, 4 4 4 4 f for k 0, k, k og k 3 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 4 av 7
b) Bestem evetuelle topp- eller bupukter på grafe til f. Fra ehetssirkele vet vi at cos vil ha si største verdi ved 0 k Vi fier dermed -verdiee til evetuelle toppukter ved å løse likige cos 0 k k I vårt itervall har vi dermed et toppukt i, f, 3 Fra ehetssirkele vet vi at cos vil ha si miste verdi ved k For å fie -verdiee til evetuelle bupukter løse vi likige cos k k I vårt itervall har vi dermed bupukter i, f, 3 og i 3 3 3, f, 3 c) Lag e skisse av grafe til f. Dee grafe er laget i GeoGebra. E skisse har ikke samme krav til øyaktighet som e graf, me det er svært viktig at puktee vi fat i a) og b) markeres og at skisse følger opplysige som er gitt i oppgave. I tillegg må grafe være glatt, dvs. ige spisse hjører. De må også teges ie sitt defiisjosområde. Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 5 av 7
Oppgave 6 (3 poeg) Løs differesiallikige y y, der y 0 Likige ovefor ka skrives som e lieær, førsteordes differesiallikig på forme y p y q. Vi velger å bruke metode med itegrerede faktor for å løse likige. De itegrerede faktor er gitt ved p e. I dette tilfellet blir itegrerede faktor e y y e e y e y e e y e e y e d her har vi itegrert ved hjelp e y e C e av variabelskifte, se edefor y C e Itegrasjo ved variabelskifte Vi har e du du d, setter u d d og får du u u u u e d e e du e du e C e C Gitt y 0 0 Ce C C Dermed er y e Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 6 av 7
Oppgave 7 (7 poeg) Puktee A, 4, og 3, 0, 5 B ligger i plaet. Vektore k,, k står ormalt på for e bestemt verdi av kostate k. a) Vis at plaet er gitt ved y z 4 0. Vi fier først AB 3, 0 4, 5, 4, 4 Dee vektore ligger i plaet og vi ka sette AB 0, 4, 4 k,, k 0 k 4 4k 0 k Vi har dermed,, Vi har at likige for et pla er gitt ved a b y y cz z 0 der, y, z er et pukt i plaet og a, b, c er ormalvektore til plaet. Vi bruker puktet B og likige for blir 3 y 0 z 5 0 y z 4 0 Plaet skjærer z-akse i puktet C. b) Bestem koordiatee til C. Puktet C vil ha - og y-koordiat lik 0. Vi bruker likige vi fat i b) og fier koordiatee til puktet C. 0 0 z 4 0 z Puktet C 0, 0, c) Bestem volumet av pyramide ABCO, der O er origo. Vi har fire pukter. Det betyr at pyramide er et tetraeder der volumet, V, ka fies ved V OBOC 6 OA. Vi har valgt å bruke vektorer som gir eklest regig. OA, 4, OB 3, 0, 5 OC 0, 0, e ey ez OB OC 3 0 5 0 50, 3 50 30 00 0, 6, 0 0 0 OB OC OA 0, 6, 0, 4, 0 6 4 0 4 V 4 6 6 6 6 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 7 av 7
E kule har setrum i origo og tagerer plaet i et pukt P. d) Bestem koordiatee til puktet P. Vi har at radie gitt ved OP vil stå vikelrett på plaet. Det betyr at OP må være parallell med. Det gir videre at OP t t,, t, t, t. Tagerigspuktet P har dermed koordiatee P t, t, t at likige for plaet er gitt ved y z 4 0.. Fra oppgave a) har vi Tagerigspuktet P mellom plaet og kula må passe i likige for dette plaet. Vi setter koordiatee til P i i likige og får t t t 4 0 4t t 4t 4 4 t 9 4 4 4 8 4 8 Tagerigspuktet er dermed P,,,, 9 9 9 9 9 9 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 8 av 7
Oppgave 8 ( poeg) Bruk iduksjo til å bevise påstade P gitt ved k 3 P : k k k k, k Tri, Iduksjosgrulaget Vi skal vise at formele gjelder for. Bevis k k Vestre side: k k Formele gjelder for Høyre side: Tri, Iduksjostriet Vi atar at formele gjelder for t. t k k k k k k 3 t Det betyr at P t Vi må vise at formele gjelder for t. Vi må altså vise at t 3 t P t k k k k k k k t Bevis. Vi viser at høyre side i likige ovefor blir lik vestre side av likige. Høyre side: 3 t t 3 t t k k k k k k k k k k t k t k k k k k k k k k k k k k t t t t t t Vestre side: t k k Vi ser at høyre side er lik vestre side. Vi har dermed vist at formele gjelder for t I følge iduksjosprisippet gjelder formele da for alle verdier av. Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 9 av 7
Oppgave (6 poeg) E stige, som ka justeres, skal stå på skrå mot e husvegg og berøre et,0 m høyt gjerde. Gjerdet står,0 m fra husvegge. La være vikele mellom stige og bakke. Se skisse edefor. a) Vis at legde av stige, målt i meter, er Vi lar L L, der 0 90 cos si berører gjerdet og være legde av stige som går fra bakkeivå opp til puktet der stige L Legde L av stige fier vi ved Legde L av stige fier vi ved være legde av reste av stige. si som gir L L si cos som gir L L cos Legde av hele stige blir da L L L cos si, der 0 90 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 0 av 7
b) Bestem slik at legde av stige blir kortest mulig. Hvor høyt opp på vegge rekker stige da? Vi teger grafe til L og fier bupuktet på grafe med kommadoe «Ekstremalpukt L, 0, 80». Legg merke til at vi har brukt grader i fuksjosuttrykket. Bupuktet viser at de miste legde stige ka ha er 4,6 m. Det skjer år vikel 5,56. Høyde h stige år opp på vegge er gitt ved h si5,56 som gir h 3,6 m 4,6 m Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side av 7
Oppgave (8 poeg) Daglegde D i Berge er tilærmet gitt ved fuksjoe Her er t D t 6,63 si 0,07,39,5 Dt daglegde målt i timer, og t er atall dager fra yttår. a) Bruk uttrykket Dt til å bestemme de korteste og de legste daglegde i Berge. Vi vet at de største verdie til sius er og de miste verdie er. De legste daglegde blir dermed 6,63,5 9,3 dvs. 9,3 timer. Vi gjør om 0,3 timer til miutter og får 0,3 60mi 7,8 mi De legste daglegde i Berge er 9 timer og 8 miutter. De korteste daglegde blir 6,63,5 5,87 dvs. 5,87 timer. Vi gjør om 0,87 timer til miutter og får 0,87 60mi 5, mi De korteste daglegde i Berge er 5 timer og 5 miutter. b) Bruk grafteger til å tege grafe til D for t 0, 365. Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side av 7
c) Når er daglegde i Berge 4 timer? Vi legger i lije y 4 og bruker kommadoe «Skjærig mellom to objekt» for å fie skjærigspuktee mellom dee lije og grafe til D. Vi leser av at daglegde er 4 timer 94 dager etter yttår og 50 dager etter yttår. d) Udersøk på hvilke dato daglegde vokser raskest. Hvor mye øker daglegde per døg da?. Vi fier ifleksjosverdiee til vedepuktee ved å løse likige D t 0 Vedepuktee viser hvor daglegde øker eller avtar mest. Fra grafe vi teget i deloppgave b) ser vi at daglegde øker raskest 8 dager etter yttår. I lije 3 ovefor har vi også vist at stigigstallet er positivt for dee verdie. Ser vi bort fra skuddår vi dette være. mars, (jauar 3 dager, februar 8 dager og mars dager). I lije 3 ovefor ser vi at daglegde øker med 0, timer de. mars. I lije 5 og 6 har vi reget om til miutter og sekuder og fier at daglegde øker med 6 miutt og 5 sekud de. mars i Berge. Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 3 av 7
Oppgave 3 (6 poeg) E fuksjo f er gitt ved f Puktee A a, a og B b, b der a b, ligger på grafe til f. Se figur edefor. a) Grafe til f og lijestykket AB avgreser et flatestykke med areal T. Bruk CAS til å bestemme T uttrykt ved a og b. Vi bruker CAS og fier T a b 3 6 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 4 av 7
Puktet C på grafe har koordiatee c, c, der a b c. Se figur edefor.. 8 Vi velger først å fie lijee gjeom CA og CB. Deretter fier vi arealet mellom disse to lijee og grafe til f. Arealet S er da differase av arealet T vi fat i a) og arealet mellom disse to lijee. b) Bruk CAS til å vise at arealet S av ABC er S b a 3 Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 5 av 7
8 Lije gir at S b a 3 c) Bestem forholdet T S. Vi bruker CAS og fier at forholdet T 4 S 3 Oppgave 4 (4 poeg) I e bygd med 00 ibyggere spres et rykte. La y være atall ibyggere som kjeer til ryktet ved tide t, der t er tide målt i dager etter at ryktet oppsto. Vi atar at ryktet spres med e fart som til ehver tid er proporsjoal med produktet av atall ibyggere som kjeer ryktet, og atall ibyggere som ikke kjeer det. Proporsjoalitetskostate har verdie 0,0006. Ved tide t 0 var det ku é perso som kjete til ryktet. a) Sett opp e differesiallikig som beskriver situasjoe over. Vi har følgede opplysiger fra oppgavetekste y er atall ibyggere som kjeer til ryktet t dager etter at det oppsto 00 y er atall ibyggere som ikke kjeer til ryktet y er farte ryktet spres med. Vi får oppgitt at ryktet spres med e fart som til ehver tid er proporsjoal med produktet av atall ibyggere som kjeer ryktet, og atall ibyggere som ikke kjeer det. Det gir oss følgede differesiallikig y 0,0006 y 00 y der y 0 b) Hvor lag tid tar det før halve bygda kjeer til ryktet? Vi løser differesiallikig i CAS. Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 6 av 7
Lije 3 viser at det tar este 0 dager før halve bygda kjeer rykte. Eksame REA30 Matematikk R Våre 06 Side 7 av 7