5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like lange og 3) at de fire vinklene mellom sidekantene er 90. Vi kan vise det slik: 1) Den første, oransje trekanten er rettvinklet. Vinkelsummen i en trekant er 180, så summen av de to spisse vinklene, merket rødt på figuren over, er 180 90 90. Fordi trekantene er kongruente og vinkelen til hjørnet av det indre kvadratet er 90, blir vinkelsummen der to trekanter møtes 90 90 180. Altså utgjør de tilsammen rette linjestykker. ) Ettersom trekantene er kongruente, blir lengden av alle linjestykkene i det ytre området a b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90. Den ytre figuren må derfor være et kvadrat, hvilket skulle vises. b) Arealet av det ytre kvadratet er a b. Arealet av hver av de fire kongruente trekantene er 1 a b. Arealet av det indre kvadratet er lik arealet av det ytre kvadratet fratrukket arealet av de fire trekantene. Arealet blir dermed 1 a b 4 a b Arealet av det indre kvadratet er også lik 1 a b 4 a b c a ab b ab c a b c c, så vi kan skrive Vi har dermed vist pytagorassetningen.
OPPGAVE 5.91 Gitt et kvadrat med sider a b, deler vi opp figuren i fire rettvinklede, kongruente trekanter med kateter a og b og hypotenus c, som vist på figuren til venstre ovenfor. Sidene i det gule området blir like lange fordi de blå trekantene er kongruente. Hjørnene i det gule området blir rettvinklede fordi summen av de to spisse, blå vinklene utgjør 90 (se også punkt 1 i løsningen til oppgave 5.90). Da er hjørnet i det gule området 180 90 90. Altså er det gule området kvadratisk. Vi forskyver to av trekantene slik at de danner rektangler som vist på figuren til høyre ovenfor. Arealet av det gule området er imidlertid uendret. Vi får dermed at a b c Dermed har vi vist pytagorassetningen. OPPGAVE 5.9 La A, B, C og D være fire punkter slik at AB CD. For å vise at trekantene ABC og ABD har samme areal, kan vi vise at de har like lange grunnlinjer og høyder. ABC og ABD har felles grunnlinje AB, så grunnlinjene må være like lange. Normalen fra D ned på linja AB skjærer i et punkt E, slik at DE er høyden i ABD. Normalen fra C ned på linja AB skjærer i et punkt F slik at CF er høyden i ABC. Ettersom linjene AB og CD er parallelle, er linjestykkene DE og CF like lange. Det følger at trekantene har like lange grunnlinjer g AB og like lange høyder h DE CF, og dermed har de samme areal g h A, hvilket skulle vises.
OPPGAVE 5.93 a) Hjørnet BFJ i kvadratet er rettvinklet. Dessuten er KJG en rett vinkel fordi J er fotpunktet til normalen fra A ned på FG. Dermed er de samsvarende skjæringsvinklene BFJ KJG, og det følger at AK BF. I oppgave 5.9 viste vi da at BFA og BFK har samme areal. b) Linjestykket BK står vinkelrett på linjestykket BF. Arealet av rektangelet BFJK er BF BK. BFK har grunnlinje BF og høyde BK. Dermed er BF BK arealet. Fra oppgave a) vet vi at arealet av BFA er like stort som arealet av BFK. Dermed har vi vist at arealet av så stort som arealet av BFA. BFJK er dobbelt c) Sidene BE og AD i kvadratet er parallelle. Dermed er også AC BE. Fra oppgave 5.9 vet vi da at BEA og BEC har samme areal. d) Linjestykket AB står vinkelrett på BE. Arealet av kvadratet ABED er er AB BE. AB BE EBA har grunnlinje BE og høyde AB. Dermed er arealet. Fra oppgave c) vet vi at arealet av EBC er like stort som arealet av EBA. Dermed har vi vist at arealet av ABED er dobbelt så stort som arealet av EBC. e) EBA og CBF er begge rette vinkler, fordi de er hjørner i kvadrater. Dermed er EBC EBA ABC 90 ABC ABF ABC CBF ABC 90 Vi har dermed vist at EBC ABF. f) AB BE fordi begge linjestykkene er sider i kvadratet ABED. BF BC fordi begge linjestykkene er sider i kvadratet BFGC. EBC ABF, som vist i oppgave e). Vi har vist at to av sidene er parvis like lange og at vinklene mellom de to sidene er like store. Det følger da av kongruenskrav at ABF EBC. Dermed har de to trekantene også samme areal.
g) I oppgave b) viste vi at arealet av BFJK er dobbelt så stort som arealet av ABF. I oppgave d) viste vi at arealet av ABED er dobbelt så stort som arealet av EBC. I oppgave f) viste vi at arealet av ABF er like stort som arealet av EBC. h) Dermed har både BFJK og ABED dobbelt så stort areal som ABF, og vi har vist at BFJK og ABED har samme areal. Vinklene HCB og ACG er like store (lik vinkelen ACB pluss en vinkel på 90 ), på samme måte som i punkt e). Trekantene HCB og ACG er dermed kongruente (to sider er parvis like store og vinklene mellom dem er like store), på samme måte som i punkt f). Dermed er arealet av HCB like stort som arealet av ACG. CH AC Trekanten HCB har grunnlinje CH og høyde AC, og dermed areal Arealet av kvadratet ACHI er CH AC og dermed dobbelt så stort. CG CK Trekanten ACG har grunnlinje CG og høyde CK, og dermed areal Arealet av rektangelet CGJK er CG CK og dermed dobbelt så stort... Men siden HCB og ACG har like store areal, er arealet av kvadratet ACHI like stort som rektangelet CGJK. i) I oppgave g) viste vi at kvadratet ABED og rektangelet BFJK har samme areal. I oppgave h) viste vi at kvadratet ACHI og rektangelet CGJK har samme areal. Arealet av kvadratet CBFG er lik summen av arealene til de to mindre rektanglene, og dermed lik summen av de to mindre kvadratene. A A A CKJG BFJK CBFG A A A ACHI ADEB CBFG a b c Dermed har vi vist pytagorassetningen slik Euklid gjorde.
OPPGAVE 5.94 a) Trekantene ABC og ACD har felles vinkel i A og har begge en rett vinkel. Dermed er to vinkler parvis like store og etter formlikhetskrav 1 er ABC og ACD formlike. Trekantene ABC og CBD har felles vinkel i B og har begge en rett vinkel. Dermed er to vinkler parvis like store og etter formlikhetskrav 1 er ABC og CBD formlike. Altså er ABC ACD CBD Forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er like. Dermed er 1) CB AB a c a cc BD BC c a ) AC AB b c b cc AD AC c b 3) CD BC h a ab h AC AB b c c 1 1 b) a b c c1 c c c c c cc c 1 c Vi har dermed vist pytagorassetningen.