MAT100 Matematikk FORMELSAMLING 2017 Per Kristian Rekdal
Figur 1: Matematikk er viktig. 2
Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2017. Formelsamlingen er ment å brukes når man løser innleveringsoppgavene i dette emnet, dvs. når øvingene 1-6 løses. I tillegg er formelsamlingen et tillatt og nødvendig hjelpemiddel på eksamen. Hjelpemidler eksamen: Godkjent kalkulator og formelsamling: Kun originalversjonen av formelsamlingen 2017 utgitt av SiMolde Bok er lov å ha med på eksamen 2017. 1 (Dette fordi det skal være lett å se at dere har med den riktige og lovlige formelsamlingen på eksamen). 2 Det er lov å skrive egne notater i formelsamlingen som dere kan ta med på eksamen. Men: Ikke skriv av hele eksempler og hele oppgaver. Det vil ikke hjelpe dere på eksamen. Eksamensoppgavene blir ikke laget på en slik måte at det vil være til stor nytte. Molde, oktober 2017. Per Kristian Rekdal Copyright c Høyskolen i Molde, 2017. 1 Man kan IKKE bruke tidligere versjoner av formelsamlingen. Dette fordi pensum har endret seg litt. I tillegg har noen formler blitt tatt ut av formelsamlingen. Og noen nye formler lagt til. Korreksjoner har også blitt gjort. Og sidetall og ligningsnummer har endret seg. 2 Man kan ikke skrive ut formelsamlingen selv og ta med på eksamen. 3
4
Innhold 1 Grunnleggende emner 7 1.1 Tall og tallsystemer................................... 8 1.2 Algebraiske uttrykk................................... 10 1.3 Kvadratsetningene og konjugatsetningen....................... 12 1.4 Potenser......................................... 13 1.5 Prefiks.......................................... 14 1.6 Kvadratrot........................................ 16 1.7 Faktorisering...................................... 18 1.8 Brøkregning....................................... 19 1.8.1 Forkorte og utvide brøker........................... 19 1.8.2 Sum av brøker.................................. 19 1.8.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker..................... 20 1.9 Lovlige operasjoner................................... 21 1.10 To måter å føre ligninger på.............................. 22 1.11 1. gradspolynom..................................... 23 1.12 1. gradsligninger, ligningssystem............................ 24 1.13 2. gradspolynom..................................... 26 1.13.1 ABC-formel................................... 27 1.14 Ulikheter......................................... 28 1.15 Oversikt: nullpunkter for 1., 2. og 3. gradsfunksjoner................ 30 1.16 Absoluttverdi...................................... 32 1.17 Regning med prosent.................................. 33 2 Funksjoner 35 2.1 Funksjoner........................................ 36 2.1.1 Ett- og to-punktsformelen........................... 38 2.2 Simplex-algoritmen................................... 39 2.3 Lineære funksjoner (rette linjer)............................ 40 2.4 Kvadratiske funksjoner (parabler)........................... 41 2.5 Kubiske funksjoner................................... 42 2.6 Rasjonale funksjoner.................................. 43 3 Derivasjon 45 3.1 Derivasjon........................................ 46 3.2 Derivasjonsregler.................................... 48 3.2.1 En økonomisk tolkning av den deriverte: grensekostnad........... 49 3.3 Derivasjon av produkt- og brøkfunksjoner....................... 51 5
3.4 Kjerneregelen...................................... 52 3.5 1. derivasjonstesten................................... 53 3.6 1. og 2. deriverte.................................... 54 3.7 Vendepunkter...................................... 55 3.8 2. derivasjonstesten................................... 58 3.9 Elastistieter....................................... 59 3.9.1 3 kategorier: Priselastisitet........................... 62 4 Eksponensial- og logaritmefunksjoner 63 4.1 Eksponensialfunksjonen................................ 64 4.2 Tallet e, Eulers tall................................... 65 4.3 Logaritmer........................................ 68 4.3.1 Regneregler................................... 69 4.4 Deriverte av ln x.................................... 71 5 Følger og rekker 73 5.1 Regneregler....................................... 74 5.2 Aritmetiske rekker................................... 75 5.2.1 Sum av en aritmetiske rekke.......................... 76 5.3 Geometriske rekker................................... 77 5.3.1 Sum av en geometriske rekke.......................... 78 5.4 Konvergente og divergente rekker: n..................... 79 5.5 Aritmetiske rekker: n............................. 80 5.6 Geometriske rekker: n............................. 81 6 Finansmatematikk 83 6.1 Oversikt......................................... 84 6.2 Aritmetisk rekke: Serielån.............................. 85 6.2.1 Rente R serie n ved serielån............................ 85 6.3 Geometrisk rekke: Annuitetslån.......................... 86 6.3.1 Renteformelen K n og nåverdi K 0....................... 86 6.3.2 Nåverdi K 0 av etterskuddsannuitet...................... 89 6.3.3 Nåverdi K 0 ved utbetaling til evig tid, dvs. n............. 90 6.3.4 Terminbeløp K ved annuitetslån....................... 91 6.3.5 Rente Rn ann ved annuitetsån.......................... 92 6.4 Kontinuerlig rente K t.................................. 93 7 Funksjoner av flere variabler 95 7.1 Funksjoner av to variable................................ 96 7.2 Grafisk fremstilling og nivåkurver........................... 98 7.3 Partielle deriverte.................................... 99 7.4 Kjerneregelen (for en funksjon med to variable)................... 101 7.5 Partiell derivasjon av 2. orden............................. 104 7.6 Maksimum og minimum................................ 105 7.7 Maksimum og minimum (for flater med rand).................... 107 7.8 Maksimering/minimering under bibetingelser..................... 108 6
Kapittel 1 Grunnleggende emner Figur 1.1: Grunnleggende emner i matematikk. 7
1.1 Tall og tallsystemer Notasjon for tall: N = { 1, 2, 3, 4,... } (naturlige tall) (1.1) Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } (hele tall) (1.2) Q = { a b a Z b N } (rasjonale tall) (1.3) R = mengden av reelle tall (alle tall på tall-linja) (1.4) Mengdesymbol, listeform: M = { 3, 6, 7, 9 } (endelig mengde) (1.5) M = { 3, 6, 7, 9,... } (uendelig mengde) (1.6) Mengden kan altså være endelig eller uendelig. 8
Mengdesymbol, intervall: [ a, b ] = { x a x b } (alle reelle tall f.o.m. a t.o.m. b) (1.7) (lukket intervall) a, b = { x a<x<b } (ingen endepunkt er med) (1.8) (åpent intervall) a, b ] = { x a<x b } (bare ene endepunktet er med) (1.9) (halvåpent intervall) [ a, b = { x a x<b } (bare ene endepunktet er med) (1.10) (halvåpent intervall) 9
1.2 Algebraiske uttrykk Generelle regler for algebra: ( algebra = regler for operasjonene og + ) a + a = 2a (1.11) a + b = b + a (1.12) (a + b) = a b (1.13) (a b) = a + b (1.14) Denne parentesregl kalles den distributive lov: a (b + c) = ab + ac (1.15) Fra denne distributive lov følger at: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.16) 10
Husk, når man multipliserer 1 ut parenteser: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + Husk også: a = ( 1) a (1.17) a b = a + ( b) (1.18) a b = b a (1.19) 1 Det er IKKE slik at f.eks. 6 6 = +12. }{{} galt 11
1.3 Kvadratsetningene og konjugatsetningen Lign.(1.16) har følgende spesialtilfeller: ( kvadratsetningene ) faktorisert form {}}{ (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1. kvadratsetning) (1.20) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (2. kvadratsetning) (1.21) (a + b)(a b) }{{} faktorisert form = a 2 b 2 (konjugatsetningen) (1.22) 12
1.4 Potenser Definisjon: ( potens ) a n = } a a {{ a... a} = n faktorer (1.23) hvor n= eksponent, n N, a = grunntall og a R. Potensregler: a m a n = a m+n (1.24) a n = 1 a n, a 0 (1.25) a m a n = a m a n = a m n (1.26) (a m ) n = a mn (1.27) (a b) n = a n b n (1.28) ( ) n a = an, b 0 (1.29) b b n og i tillegg: a 0 = 1 (1.30) a 1 = a (1.31) 13
1.5 Prefiks Normalform: 2 (se også liste av SI prefiks) 1 000 = 10 3 (1.32) 1 000 000 = 10 6 (en million) (1.33) 0, 001 = 10 3 (milli) (1.34) 0, 000 000 063 = 6, 3 10 8 (1.35) 452 000 000 000 = 4, 52 10 }{{ 11 } normalform (1.36) Generelt med 10-potens: tall = a 10 n (1.37) hvor n Z og a 10, 10. 2 Også kalt standardform. 14
Figur 1.2: Prefiks. 15
1.6 Kvadratrot Definisjon: ( kvadratrot ) ( a 0 ) 3 a = det positive tallet som, opphøyd i 2, er a (1.38) Regneregler: ( a, b 0 ) a = 2 a = a 1 2 (1.39) a 2 = a (1.40) ( a) 2 = a (1.41) a b = a b (1.42) a b = a b, b 0 (1.43) Huskeregl: Kvadratrot noe er bare en fancy måte å skrive noe 1/2 på: noe = (noe) 1/2 (1.44) 3 Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. (Komplekse tall er ikke et tema i dette kurset.) 16
Generalisering av kvadratrot: n a, a 0 (1.45) hvor n = roteksponent, n N, a = radikand og a R. Regneregler: ( a 0 ) n a = a 1 n (1.46) ( n a) n = n a n = a (1.47) a m n = (a 1 n ) m = ( n a) m (1.48) a m n = = 1 (a 1 n ) = 1 m ( n (1.49) a) m Legg merke til at for n = 2 i lign.(1.46) og (1.47), så reproduserer man lign.(1.39) og (1.40): a = a 1 2 (1.50) ( a) 2 = a (1.51) 17
1.7 Faktorisering Definisjon: ( faktorisering ) Faktorisering = dekomponering av algebraiske uttrykk (f.eks. tall uttrykk) til et produkt av faktorer. 1) Faktorsert form: A B C... (1.52) men hvor hver av faktorene A, B, C... kan, men må ikke, ha addisjon og subtrasjon internt, f.eks. A = x 2 + 3y 2z 2) Ikke-faktorsert form: A + B C +... (1.53) 18
1.8 Brøkregning Husk: Man kan aldri dividere med 0. 1.8.1 Forkorte og utvide brøker Forkorting av en brøk: ( brøkregning ) a c b c a b = a b = a c b c (forkorting av en brøk) (1.54) (utvidelse av en brøk) (1.55) 1.8.2 Sum av brøker Sum av brøk med samme nevner: a b + c b = a + c b (1.56) 19
1.8.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker Regler for multiplikasjon og divisjon med brøker: c a b a b c d a b : c d = c a b = a c b d = a d b c [1] (Tall multiplisert med brøk) (1.57) [2] (Brøk multiplisert med brøk) (1.58) [3] (Brøk dividert med brøk) (1.59) 20
1.9 Lovlige operasjoner Følgende operasjoner er lov i matematikk når man løser en generell ligning: VS = venstre side, HS = høyre side Addere med samme tall på begge sider VS = HS VS + 4 = HS + 4 (1.60) Subtrahere med samme tall på begge sider VS = HS VS 6 = HS 6 (1.61) Multiplisere ( 0) med samme tall på begge sider VS = HS 4 3 VS = 4 HS (1.62) 3 Dividere ( 0) med samme tall på begge sider VS = HS VS = HS 2 2 (1.63) Huskeregel: Dersom man gjøre noe på den ene siden av ligningen så må man også gjøre det samme på den andre siden. 21
1.10 To måter å føre ligninger på Føringsmessig er det to måter å føre ligninger på: 1) Føringsmåte 1: VS = HS (1.64) VS = HS (1.65) VS = HS (1.66) VS = HS (1.67) VS = HS (1.68) 2) Føringsmåte 2: VS = HS (1.69) = HS (1.70) = HS (1.71) = HS (1.72) 22
1.11 1. gradspolynom Definisjon: ( 1. gradspolynom ) 4 En funksjon på formen: f(x) = ax + b (1.73) kalles en 1. gradspolynom eller en lineær funksjon. Her er a og b konstanter. 4 Her snikinnføres begrepet funksjon, y = f(x). Dette med funksjoner skal vi se mer på i kapittel 2.1. 23
1.12 1. gradsligninger, ligningssystem Setning: ( løsningsmengde ) Tre mulig situasjoner for løsningsmengden for et linært ligningssystem: 5 1) Èn entydig løsning: Like mange uavhengige ligninger som ukjente. (kvadratisk system) 2) Uendelig mange løsninger: Færre uavhengige ligninger enn ukjente. (underbestemt system) 3) Ingen løsninger: Flere uavhengige ligninger enn ukjente. (overbestemt system) 5 To kommentarer: 1) At ligningene er lineært uavhengige betyr at ingen av ligningene kan bli utledet algebraisk a fra den andre. 2) Når ligningen er uavhengige så inneholder hver ligningen ny informasjon av variablene. a Å fjerne noen av ligingene betyr at man øker størrelsen på løsingdmengden. 24
La oss illustrere disse tre alternativene for et ligningsystem med to ukjente: 6 ax + by = A cx + dy = B ax + by = A ax + by = A cx + dy = B ex + fy = C y løsning y løsning y x 0 y 0 x x x Én entydig løsning To ligninger, to ukjente ( Kvadratisk ) Uendelig mange løsn. En ligning, to ukjente ( Underbestemt ) Ingen løsninger Tre ligninger, to ukjente ( Overbestemt ) Figur 1.3: Lineært ligningsystem med to ukjente x og y. 6 Vi antar at ligningene i dette eksemplet er uavhengige. 25
1.13 2. gradspolynom Definisjon: ( 2. gradspolynom ) En funksjon på formen: f(x) = ax 2 + bx + c (1.74) kalles en 2. gradspolynom eller en kvadratisk funksjon. Her er a, b og c er konstanter. 26
1.13.1 ABC-formel Setning: ( ABC-formelen ) 7 En 2. gradsligningen f(x) = ax 2 + bx + c sine nullpunkter bestemt ved f(x) = 0 (1.75) dvs. ax 2 + bx + c = 0, har løsningen: ( løsningene kalles også røtter ) x 1 = b b 2 4ac 2a, x 2 = b + b 2 4ac 2a (1.76) Da kan 2. gradsligningen faktor FAKTORISERES slik: a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 (1.77) 0 løsninger X 1,2 = 2 løsninger 1 løsning Figur 1.4: Mulige løsninger for en 2. gradsligning. 7 Denne læresetningen viser sammenheng mellom nullpunkter og faktorisering. 27
1.14 Ulikheter Ulikhetstegn: > større enn < mindre enn (1.78) og større enn eller lik mindre enn eller lik (1.79) Operasjoner: ( for å løse ulikheter ) Addere med samme tall på begge sider 5 > 3 5+2 > 3+2 (1.80) Subtrahere med samme tall på begge sider 5 > 3 5 2 > 3 2 (1.81) Multiplisere med positivt tall (> 0) på begge sider 5 > 3 2 5 > 2 3 (1.82) Dividere med positivt tall (> 0) på begge sider 5 > 3 5 2 > 3 2 (1.83) 28
For ulikheter har vi i tillegg følgende regler: Multiplisere med negativt tall (< 0), SNU tegnet 5 > 3 ( 1) 5 < ( 1) 3 5 < 3 (1.84) Dividere med negativt tall (< 0), SNU tegnet 5 > 3 5 ( 1) < 3 ( 1) 5 < 3 (1.85) -5-3 3 5 Figur 1.5: Tallinje. 29
1.15 Oversikt: nullpunkter for 1., 2. og 3. gradsfunksjoner 1., 2. og 3. gradsligninger med èn ukjent er gitt ved: 1. gradsfunksjon: f(x) = ax + b (1.86) 2. gradsfunksjon: g(x) = ax 2 + bx + c (1.87) 3. gradsfunksjon: h(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1.88) hvor a, b, c og d er konstanter. Størrelsen x er variabelen. Hvordan tror du en 4. gradsfunksjon med èn ukjent er? 30
Å finne nullpunktene til en funksjon f(x) betyr å finne den/de som gir verdiene av x (1.89) f(x) = 0 (1.90) Her gir vi en oversikt over hvordan man finner nullpunktene til 1., 2. og 3. gradsligninger med èn ukjent: 1. gradslign.: ax + b = 0 max 1. stk nullpunkt x = b a 2. gradslign.: ax 2 + bx + c = 0 max 2. stk nullpunkt x 1,2 = b ± b 2 4ac (se lign.(1.76)) 2a 3. gradslign.: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 max 3. stk nullpunkt komplisert formel / prøve- og feilemetoden / polynomdivisjon 31
1.16 Absoluttverdi Absoluttverdi: a = a, når a 0 a, når a < 0 (1.91) 32
1.17 Regning med prosent Definisjon: ( prosent ) Forholdet mellom a og b kan uttrykkes i prosent, dvs. av hundre : 8 a 100 % (1.92) b Setning: ( %-vis endring ) Når et tall endres fra a til b så er den %-vise endringen iforhold til a: %-vis endring = b a a 100 % (1.93) 8 Hva er promille? 33
34
Kapittel 2 Funksjoner y x company revenue Figur 2.1: Funksjoner. 35
2.1 Funksjoner Definisjon: ( funksjon ) 1 funksjon f = entydig assosiasjon fra en størrelse x til en annen f hvor x ofte kalles den uavhengige variabelen eller bare argumentet, og y = f(x) kalles ofte funksjonsverdien. Definisjon: ( definisjonsmengde og verdimengde ) definisjonsmengde = alle mulige tillatte verdier av x (2.1) verdimengde = alle mulige funksjonsverdier til y = f(x) tilhørende alle (2.2) tillatte verdier av x f(x) x Definisjonsmengde y Verdimengde Figur 2.2: Funksjon y = f(x). 1 Isteden for èn og bare èn verdi kunne vi like gjerne sagt entydig. 36
Input x ( argument ) Funksjon f Output f(x) ( funksjonsverdi ) Figur 2.3: Visualisering av en funksjon f(x). 37
2.1.1 Ett- og to-punktsformelen 1) Setning: ( ett-punktsformelen for lineære funksjoner ) Dersom stigningstallet a og ett punkt (x 1, y 1 ) på en rett linje er kjent så er den lineære funksjonen gitt ved: f(x) = a(x x 1 ) + y 1 (2.3) Denne formelen kalles ett-punktsformelen. 2) Setning: ( to-punktsformelen for lineære funksjoner ) Dersom to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er kjent på en rett linje, så er den lineære funksjonen gitt ved: f(x) = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1 (2.4) Denne formelen kalles to-punktsformelen. Stigningstallet er da y 2 y 1 x 2 x 1. 38
2.2 Simplex-algoritmen Simplex-algoritmen er en matematisk teknikk innen optimaliseringsteori for numerisk løsning av lineærprogrammeringsproblemer. En litt forenklet og kort beskrivelse av Simplex-algoritmen er hjørneløsningsmetoden. Figur 2.4: Simplex metoden = hjørneløsningsmetoden. 39
2.3 Lineære funksjoner (rette linjer) Definisjon: ( lineær funksjon ) En lineær funksjon har formen: y = f(x) = ax + b (2.5) Dette er en RETT LINJE. Her er a og b konstanter. 40
2.4 Kvadratiske funksjoner (parabler) Definisjon: ( 2. gradsligning, parabel ) En kvadratisk funksjon har formen: f(x) = ax 2 + bx + c (2.6) Her er a, b og c konstanter. 41
2.5 Kubiske funksjoner Definisjon: ( kubisk funksjon ) En kubisk funksjon har formen: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (2.7) Her er a, b, c og d konstanter. 42
2.6 Rasjonale funksjoner Definisjon: ( rasjonale funksjon ) En ligning på formen f(x) = P (x) Q(x) (2.8) hvor P (x) og Q(x) er polynomer, kalles en rasjonal funksjon. 43
44
Kapittel 3 Derivasjon Figur 3.1: Deriverte. 45
3.1 Derivasjon Tolkning: ( deriverte, med ord ) f (a) = den deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x = a (3.1) = stigningstallet til tangenten til grafen i punktet x = a (3.2) y f(x) tangent ( a, f(a) ) x Figur 3.2: Den deriverte i punktet x = a, dvs. stigningstallet til tangenten i punktet x = a. 46
Definisjon: ( deriverte, teknisk og med ord ) f (x) = lim x 0 f(x) x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (3.3) = stigningstallet for tangenten i x (3.4) = stigningen i punktet ( x, f(x) ) på grafen (3.5) f(x) x Figur 3.3: Gjennomsnittlig endring. 47
3.2 Derivasjonsregler Generelle derivasjonsregler: f(x) = ax n f (x) = n ax n 1, n R (3.6) og f(x) = k f (x) = 0 (3.7) f(x) = g(x) + h(x) f (x) = g (x) + h (x) (3.8) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x) h (x) (3.9) f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) (3.10) Spesielle derivasjonsregler: f(x) = x f (x) = 1 (3.11) f(x) = 1 x f (x) = 1 x 2, når x 0 (3.12) f(x) = x f (x) = 1 2 x (3.13) 48
3.2.1 En økonomisk tolkning av den deriverte: grensekostnad Definisjon: ( grensekostnad ) La K(x) være en kostnadsfunksjonen som funkjson av variabelen x 1. Da er grensekostnaden er da definert ved: 2 grensekostnad = d K(x) dx (3.14) 1 F.eks. i forbindelse med produksjon av en vare kan K(x) stå for total kostand når vi produserer x antall enheter av varen. 2 Grensekostnaden kalles også marginalkostnaden. 49
Grensekostnaden har en viktig økonomisk tolkning. Via definisjonen i lign.(3.3): K (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x (3.15) I stedet for å la 0 så kan vi se på en liten verdi. Anta at = 1 er en liten verdi. Da er: d K(x) dx = lim x 0 f(x + x) f(x) x K(x + 1) K(x) 1 = K(x + 1) K(x) (3.16) Med andre ord: dersom h er tilstrekkelig liten i forhold til x, dvs. h x, så er: grensekostnad = ekstrakostnaden ved å produsere en ekstra enhet (3.17) Tilsvarende tolkninger av den deriverte fins mange andre steder i økonomi. 3 3 Grenseproduktivitet, grensenytte, etc. 50
3.3 Derivasjon av produkt- og brøkfunksjoner Generelle derivasjonsregler: ( produkt- og brøkfunksjoner ) f(x) = u v f (x) = u v + uv (3.18) f(x) = u v f (x) = u v uv v 2 (3.19) Dette kan også skrives på følgende ekvivalente form: f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) + g(x)h (x) (3.20) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) [h(x)] 2 (3.21) = Figur 3.4: Regneregelen i lign.(3.18) kan huskes via indianerfjærhuskeregelen. 51
3.4 Kjerneregelen Setning: ( kjerneregelen ) Dersom y = g(u) er en funksjon av u, der u = h(x) er en funksjon av x, da er y = f(x) en sammensatt funksjon av x med derivert: f (x) = g (u) u (3.22) En alternativ måte å skrive denne ligningen på er: d f(x) dx = d g(u) du du dx (3.23) Figur 3.5: Kjerneregelen. 52
3.5 1. derivasjonstesten Setning: ( 1. derivasjonstesten, lokale ekstremalpunkter ) Anta at f(x) er kontinuerlig, dvs. sammenhengende. De lokale ekstremalpunktene til f(x) er de punktene hvor f (x) skifter fortegn: f (x) skifter fra + til lokalt maksimum (3.24) f (x) skifter fra til + lokalt minimum (3.25) 53
3.6 1. og 2. deriverte Tolkning: ( 2. deriverte, med ord ) 4 f (a) = den 2. deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x = a (3.26) = stigningstallet til den 1. deriverte f (x) i punktet x = a (3.27) Definisjon: ( 2. deriverte, teknisk ) f (x) = lim x 0 f(x) x = lim x 0 f (x + x) f (x) x (3.28) 4 Den 2. deriverte sier noe om utviklingen til den 1. deriverte. 54
3.7 Vendepunkter Setning: ( vendepunkt ) Dersom f (a) = 0 og skifter fortegn i x = a (3.29) så er x = a et vendepunkt. Et vendepunkt er karakterisert ved at f (x) skifter fortegn i dette punktet. 55
Definisjon: ( konveks ) Funksjonen f(x) kalles konveks (på et intervall) dersom korden mellom to vilkårlige punkter på grafen alltid ligger på eller over grafen til f(x). Definisjon: ( konkav ) Funksjonen f(x) kalles konkav (på et intervall) dersom korden mellom to vilkårlige punkter på grafen alltid ligger på eller under grafen til f(x). f(x) f(x) x x konveks funksjon konkav funksjon Figur 3.6: En konveks og en konkav funksjon. 56
Setning: ( ekstremalverdisetningen ) Dersom en funksjon f er kontinuerlig, dvs. sammenhengende, og definert i et lukket og begrenset intervall: vil f oppnå både [ a, b ] (3.30) globalt max og globalt min (3.31) 57
3.8 2. derivasjonstesten Setning: ( 2. derivasjonstesten ) Anta at c er et kritisk punkt hvor f (c) = 0 (3.32) så gjelder f (c) < 0 x = c er et lokalt maksimum (3.33) f (c) = 0 testen gir oss ingen relevant informasjon (3.34) f (c) > 0 x = c er et lokalt minimum (3.35) PS: Merk at 2. derivasjonstesten ikke gir oss noe nytt i forhold til 1. derivasjonstesten. Man kan derfor velge selv hvilket av de to kriteriene man vil bruke. 58
3.9 Elastistieter Definisjon: ( gjennomsnitts elastisiteten, relativ ) 5 Gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på y i intervallet [y, y + y]: rel. endring i etterspørsel x rel. endring i y = x x y y = x y y x (3.36) hvor x = endringen i x ( etterspørsel ) (3.37) y = endringen i y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ) (3.38) 5 Merk at den relative endringen er dimensjonsløs, dvs. uten enhetsløs. 59
Definisjon: ( gjennomsnitts elastisiteten, %-vis ) Gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på y i intervallet [y, y + y]: %-vis endring i etterspørsel x %-vis endring i y = x 100 % x x = 100 % y y x y y (3.39) hvor x = endringen i x ( etterspørsel ) (3.40) y = endringen i y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ) (3.41) 60
Definisjon: ( momentan elastisiteten ) Momentan elastisiteten av etterspørselen x med hensyn på y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ): E y (x) = d x(y) dy y x(y) (3.42) hvor d x(y) dy = den deriverte av etterspørselen x mhp. y ( f.eks. pris, inntekt osv. ) (3.43) 61
3.9.1 3 kategorier: Priselastisitet Priselastistiteten E p (x) = d x(p) dp p x(p) (3.44) deles ofte inn i 3 kategorier som vist i figuren: -2-1 0 1 E p (x) elastisk (prisfølsomt) uelastisk (ikke prisfølsomt) nøytralelastisk (samme følsomhet) Figur 3.7: Tre kategorier: priselastisitet E p (x). 62
Kapittel 4 Eksponensial- og logaritmefunksjoner f(x) = e x x Figur 4.1: Eksponentiell vekst. 63
4.1 Eksponensialfunksjonen Definisjon: ( eksponensialfunksjon ) Eksponensialfunksjon f(x) er definert ved: f(x) = a x (4.1) hvor x = eksponent, x R, a = grunntall og a > 0. 64
4.2 Tallet e, Eulers tall Definisjon: ( eksponensialfunksjon NB! {}}{ m/grunntall e ) Eksponensialfunksjon f(x) med grunntall e er definert ved: f(x) = e x (4.2) hvor x = eksponent, x R og grunntall e = 2.7 1828 1828 45 90 45... Setning: ( eksponensialfunksjon NB! {}}{ m/grunntall e ) Eksponensialfunksjon f(x) = e x er lik sin egen deriverte: f (x) = e x (4.3) hvor x = eksponent, x R og grunntall e = 2.7 1828 1828 45 90 45... 65
Setning: ( Eulers tall e ) Eulers tall e kan bestemmes av en grenseverdi. Denne grenseverdien er: ( lim 1 + 1 x = e (4.4) x x) hvor e = 2.7 1828 1828 45 90 45... f(x) e = 2.7 1828 1828 45 90 45... x Figur 4.2: Funksjonen f(x) = (1 + 1 x )x. 66
Noen regneregler: e x e y = e x+y (4.5) e x = 1 e x (4.6) e x e y = e x e y = e x y (4.7) (e x ) y = e xy (4.8) (e e) x = e x e x = e 2x (4.9) ( ) x e = ex e e = 1 (4.10) x og i tillegg: e 0 = 1 (4.11) e 1 = e (4.12) 67
4.3 Logaritmer Definisjon: ( logaritmen m/10 som grunntall ) 1 Logaritmen til et tall x er den eksponenten vi må opphøye 10 i for å få x: 10 log(x) = x (4.13) altså log(x) = logaritmen = det tallet vi må opphøye 10 i for å få x. }{{} NB! Definisjon: ( logaritmen m/e som grunntall ) Logaritmen til et tall x er den eksponenten vi må opphøye Eulers tall e i for å få x: e ln(x) = x (4.14) altså ln(x) = den naturlige logaritmen = det tallet vi må opphøye e i for å få x. }{{} NB! 1 Kalles også den Briggske logaritme. 68
4.3.1 Regneregler ln(a b) = ln a + ln b a, b > 0 (4.15) ln ( ) a b = ln a ln b a, b > 0 (4.16) ln(a p ) = p ln a a > 0 (4.17) og i tillegg: ln 1 = 0 (4.18) ln e = 1 (4.19) ln e x = x (4.20) e ln x = x, x > 0 (4.21) 69
Samt: log(a b) = log a + log b a, b > 0 (4.22) log ( ) a b = log a log b a, b > 0 (4.23) log(a p ) = p log a a > 0 (4.24) og i tillegg: log 1 = 0 (4.25) log 10 = 1 (4.26) log 10 x = x (4.27) 10 log x = x, x > 0 (4.28) NB: Det finnes ingen enkle regler for log(a + b) eller log(a b). log x er bare definert for positive verdier av x. 70
4.4 Deriverte av ln x Setning: ( deriverte av ln x ) Den deriverte av f(x) = ln x er: f (x) = 1 x (4.29) 71
72
Kapittel 5 Følger og rekker Figur 5.1: Følger og rekker. 73
5.1 Regneregler Setning: ( regneregler for summetegn ) n i=1 n n a i + b i = ( a i + b i ) (5.1) n i=1 i=1 c a i = c n (a i + c) = i=1 n i=1 i=1 n a i (5.2) i=1 a i + n c (5.3) 74
5.2 Aritmetiske rekker Definisjon: ( aritmetisk rekke ) En rekke er aritmetisk dersom differensen d mellom et ledd og det påfølgende er KONSTANT, dvs. a i+1 = a i + d (5.4) hvor d = konstant og kalles differens. 75
5.2.1 Sum av en aritmetiske rekke Setning: ( sum av ARITMETISK rekke ) Summen S n = n i=1 a i av en aritmetisk rekke er a i+1 = a i + d (5.5) S n = n (a 1 + a n ) 2 (5.6) Siden a n = a 1 + (n 1) d (5.7) for en aritmetisk rekke så kan summen alternativt skrives: S n = n ( ) (n 1) d a 1 + 2 (5.8) 76
5.3 Geometriske rekker Definisjon: ( geometrisk rekke ) En rekke er geometrisk dersom et ledd er lik det foregående multiplisert med en konstant, dvs. a i+1 a i = k (5.9) hvor k = konstant og kalles kvotient. 77
5.3.1 Sum av en geometriske rekke Setning: ( sum av GEOMETRISK rekke, endelig n ) 1 Endelig n: 2 i) k 1: Summen S n = n i=1 a i = a 1 + a 2 +... + a n (5.10) av en geometrisk rekke a i+1 a i = k er S n = a 1 kn 1 k 1 (k 1) (5.11) ii) k = 1: Dersom k = 1, dvs. alle leddene er like, så er summen: S n = a 1 n (k = 1) (5.12) 1 Sammenlign denne setningen med den på side 81. 2 Senere i dette kapitlet skal vi se på uendelige summer, dvs. hvor n. 78
5.4 Konvergente og divergente rekker: n Definisjon: ( konvergens og divergens ) lim S n = S rekken konvergerer (5.13) n lim S n eksisterer ikke rekken divergerer (5.14) n 79
5.5 Aritmetiske rekker: n Setning: ( uendelig sum av en aritmetisk rekke ) Den uendelig summen lim n S n av en aritmetisk rekke: a i+1 = a i + d (5.15) er DIVERGENT (5.16) bortsett fra det trivielle tilfellet hvor a 1 = 0 og d = 0. Da er: lim S n = 0 (5.17) n 80
5.6 Geometriske rekker: n Setning: ( sum av GEOMETRISK rekke, uendelig n ) 3 Uendelig n: i) 1 < k < 1: Dersom 1 < k < 1 så er den uendelige summen: S = lim S n (5.18) n av en geometrisk rekke a i+1 a i = k gitt ved: S = a 1 1 k (5.19) ii) k 1 eller k 1: For k 1 eller k 1 DIVERGERER den uendelige summen. -2-1 0 1 2 k divergerer konvergerer divergerer Figur 5.2: Divergens og konvergens. 3 Sammenlign denne setningen med den på side 78. 81
82
Kapittel 6 Finansmatematikk Figur 6.1: Finansmatematikk. 83
6.1 Oversikt Rekker og følger spiller en viktig rolle i finansmatematikk, dvs. pengenes tidsverdi. Figuren nedenfor viser en oversikt over hva vi skal ta opp som tema i dette avsnittet om finansmatematikk. Rekker Aritmetisk Geometrisk n te ledd i aritmetisk rekke: (kontinuerlig rente) n te ledd i geometrisk rekke: a n = a 1 + (n-1)d K n =K 0 exp(r t n ) K n = K 0 (1+r) n (renteformelen) a 1 = a n - (n-1)d K 0 =K n exp(- r t n ) K 0 = K n /(1+r) n (nåverdi) konstant (nåverdi ved kontinuerlig rente) konstant terminbeløp = avdrag + rente terminbeløp = avdrag + rente Serielån Annuitetslån R n serie S n ann K 0 K R n ann (totalt rentebeløp) (oppsparing) (nåverdi) (terminbeløp) (rente) 84
6.2 Aritmetisk rekke: Serielån Serielån: avtar {}}{ terminbeløp = konstant {}}{ avdrag }{{} + = K 0 n avtar {}}{ renter (6.1) 6.2.1 Rente R serie n ved serielån Setning: ( rente R serie n i et serielån ) Den totale rentebeløpet som må betales for et serielån i lånets løpetid er gitt ved: R serie n = K 0 r n + 1 2 (6.2) Rn serie = det totale rentebeløpet etter n terminer (6.3) K 0 = størrelsen på serielånet (6.4) n = antall terminer for tilbakebetaling (6.5) r = rente (6.6) 85
6.3 Geometrisk rekke: Annuitetslån Annuitetslån: konstant {}}{ terminbeløp }{{} = K = øker {}}{ avdrag + avtar {}}{ renter (6.7) 6.3.1 Renteformelen K n og nåverdi K 0 Definisjon: ( renteformelen K n, rentesrente ) Renteformelen er: 1 K n = K 0 (1 + r) n }{{} akk.faktor (6.8) hvor K n = kapitalen etter n terminer (6.9) K 0 = startkapital, dvs. kapital etter 0 terminer: nåverdi (6.10) r = p = rente med p % per termin 100 (6.11) n = antall terminer (6.12) 1 Faktoren (1 + r) n kalles akkumuleringsfaktoren. 86
Definisjon: ( nåverdi K 0 ) Nåverdien K 0 er: 2 K 0 = K n 1 (1 + r) n }{{} diskont.faktor (6.13) hvor K 0 = nåverdi, dvs. kapital etter 0 terminer, startkapital (6.14) K n = kapitalen etter n terminer (6.15) r = p = rente med p % per termin 100 (6.16) n = antall terminer (6.17) 2 Faktoren 1/(1 + r) n kalles diskonteringsfaktoren. 87
Setning: ( oppsparingsannuitet S ann n ) Dersom man setter av kapitalen K ved begynnelsen av hver termin så er oppspart beløp S ann n en termin etter siste termin n, gitt ved: S ann n = K (1 + r) (1 + r)n 1 r (6.18) Sn ann = oppspart beløp en termin etter siste termin n (6.19) K = sparebeløp per temin (6.20) n = antall terminer (6.21) r = rente (6.22) Oppspart beløp S ann, u n umiddelbart etter at siste beløp K er avsatt, er: 3 S ann, u n = K (1 + r)n 1 r (6.23) 3 Ser du forskjellen på lign.(6.18) og lign.(6.23)? 88
6.3.2 Nåverdi K 0 av etterskuddsannuitet Setning: ( nåverdi K 0 ved etterskuddsannuitet ) Dersom man ønsker å ta ut/må betalte tilbake samme beløp K i hver termin så må startkapitalen, dvs. nåverdien K 0, være: K 0 = K (1 + r)n 1 r (1 + r) n }{{} annuitetsfaktor (6.24) hvor K 0 = nåverdien, dvs. startkapitalen (6.25) K = uttak/tilbakebetalingsbeløp per termin, terminbeløp (6.26) n = antall terminer (6.27) r = terminrente (6.28) Formelen forutsetter at første utbetaling skjer en termin etter startinnskuddet/nåverdien K 0. En alternativ måte å skrive lign.(6.24) på er: K 0 = K 1 1 (1+r) n r }{{} annuitetsfaktor (6.29) 89
6.3.3 Nåverdi K 0 ved utbetaling til evig tid, dvs. n Setning: ( nåverdi K 0 ved etterskuddsannuitet og utbetaling til evig tid ) Dersom man ønsker å ta ut/må betalte tilbake samme beløp K til evig tid i hver termin så må startkapitalen, dvs. nåverdien K 0, være: K 0 = K 1 r }{{} ann.faktor (6.30) hvor K 0 = nåverdien, dvs. startkapitalen (6.31) K = uttak/tilbakebetalingsbeløp per termin, terminbeløp (6.32) r = terminrente (6.33) Formelen forutsetter at første utbetaling skjer en termin etter startinnskuddet/nåverdien K 0. 90
6.3.4 Terminbeløp K ved annuitetslån Setning: ( terminbeløp K ved annuitetslån ) Dersom startkapitalen, dvs. nåverdien, er K 0 og man ønsker å ta ut/må betale tilbake samme beløp K i hver termin, da er dette konstante terminbeløpet K er gitt ved: K = K 0 r (1 + r) n (1 + r) n 1 }{{} inv. annuitetsfaktor (6.34) K = uttak/tilbakebetalingsbeløp per termin, terminbeløp (6.35) K 0 = nåverdien, dvs. startinnskudd (6.36) n = antall terminer (6.37) r = terminrente (6.38) Formelen forutsetter at første utbetaling/tilbakebetaling skjer en termin etter startinnskuddet K 0. En alternativ måte å skrive lign.(6.34) på er: r K = K 0 1 1 (1+r) }{{ n } inv. annuitetsfaktor (6.39) 91
6.3.5 Rente R ann n ved annuitetsån Setning: ( rente R ann n i et annuitetslån ) 4 Det totale rentebeløpet som må betales for et annuitetslån i lånets løpetid er gitt ved: R ann n [ ] lign.(6.2) nr = K 0 1 1 1 (1+r) n (6.41) Rn ann = det totale rentebeløpet etter n terminer (6.42) K 0 = størrelsen på annuitetslånet, dvs. nåverdi (6.43) n = antall terminer for tilbakebetaling (6.44) r = rente (6.45) 4 Til sammenligning: Den totale renten for et serielån er gitt ved lign.(6.2): R serie n = K 0 r n + 1 2 (6.40) 92
6.4 Kontinuerlig rente K t Setning: ( kontinuerlig rente K t, sluttkapital ) I renteformelen: K n lign.(6.8) = K 0 (1 + r) n (6.46) er kapitaliseringen av renten realisert ved slutten av hver termin. Ved kontinuerlig rente er sluttkapitalen gitt ved: hvor K t = K 0 e rt (6.47) K t = kapitalen etter t terminer, sluttkapital (6.48) K 0 = startkapital, dvs. nåverdi (6.49) r = p = rente med p % per termin 100 (6.50) t = antall terminer (dimensjonsløs) (6.51) Nåverdien K 0 kan løses trivielt ut fra lign.(6.47): 93
Setning: ( kontinuerlig rente, nåverdi K 0 ) I renteformelen: K n lign.(6.8) = K 0 (1 + r) n (6.52) er kapitaliseringen av renten realisert ved slutten av hver termin. Ved kontinuerlig rente er nåverdien gitt ved: K 0 = K t e rt (6.53) hvor K 0 = startkapital, dvs. nåverdi (6.54) K t = kapitalen etter t terminer (6.55) r = p = rente med p % per termin 100 (6.56) t = antall terminer (dimensjonsløs) (6.57) 94
Kapittel 7 Funksjoner av flere variabler z y x Figur 7.1: Sadelpunkt. 95
7.1 Funksjoner av to variable Definisjon: ( funksjon av to variable ) z = f(x, y) = funksjon av x og y hvor det for hver verdi av tallparet (x, y) kun finnes en og bare en verdi for f(x, y) (7.1) hvor x og y ofte kalles de uavhengige variabelene eller bare argumentet og z = f(x, y) kalles ofte funksjonsverdien. Definisjon: ( definisjonsmengde og verdimengde ) definisjonsmengde = alle mulige tillatte verdier av x og y (7.2) verdimengde = alle mulige funksjonsverdier til z = f(x, y) tilhørende alle (7.3) tillatte verdier av x og y 96
x y z = f(x,y) Figur 7.2: Skjematisk illustrasjon av en funksjon med to variable, z = f(x, y). 97
7.2 Grafisk fremstilling og nivåkurver Definisjon: ( nivåkurve ) Gitt funksjonen z = f(x, y) av to variable x og y. Nivåkruven i høyde c over (eller under) xy-planet kan da skrives: c = f(x, y) (7.4) Dette er skjæringskurven mellom grafen f og det horisontrale planet z = c. 98
7.3 Partielle deriverte Definisjon: ( partiell deriverte, deriverte med to variabler, med ord ) 1 f(x, y) x = x=a,y=b f(a, b) x (7.5) = den deriverte til funksjonen z = f(x, y) mhp. x i punktet x = a og y = b (7.6) = stigningstallet til grafen i punktet x = a og y = b i x-retning (7.7) z z y y x x Figur 7.3: Venstre: f(x,y) x. Høyre: f(x,y) y. 1 mhp. = med hensyn på 99
Definisjon: ( partiell deriverte, teknisk ) f(x, y) x = lim x 0 f(x + x, y) f(x, y) x (7.8) f(x, y) y = lim y 0 f(x, y + y) f(x, y) y (7.9) 100
7.4 Kjerneregelen (for en funksjon med to variable) Setning: ( kjerneregelen m/to variabler ) Dersom z = f(x, y) er en funksjon hvor både x og y er avhengige av t, da gjelder: d f(x, y) dt = d f(x, y) dx dx dt + d f(x, y) dy dy dt (7.10) 101
Setning: ( stigningstallet til en nivåkurve ) Stigningstallet d y dx = y til et punkt på en nivåkurve: er gitt ved: F (x, y) = c (c = konstant) (7.11) d F (x,y) d y dx = dx d F (x,y) dy (7.12) 102
Definisjon: ( marginal substituasjonsbrøk MSB ) 2 Den marginale substitusjonsbrøken M SB for en indifferenskruve: er definert ved: U(x 1, x 2 ) = U 0 (U 0 = konstant) (7.13) MSB = d x 2 dx 1 (7.14) som er tallverdien av stigningstallet til indifferenskurven bestemt av lign.(7.13). Setning: ( marginal substituasjonsbrøk MSB ) Via total derivasjon kan man vise at den marginale substitusjonsbrøken M SB for en nivåkurve: er: U(x 1, x 2 ) = U 0 (U 0 = konstant) (7.15) MSB = d U(x 1,x 2 ) dx 1 d U(x 1,x 2 ) dx 2 (7.16) hvor U(x 1, x 2 ) er nyttefunksjonen. 2 I SØK200 Mikroøkonomi får man lære mer om MSB. 103
7.5 Partiell derivasjon av 2. orden Setning: ( Youngs setning ) 3 Dersom f(x, y) har kontinuerlig partialt deriverte av 1. og 2. orden så gjelder: 2 f(x, y) x y = 2 f(x, y) y x (7.17) 3 Denne setningen kalles også Eulers teorem for blandede deriverte. Resultatet holder for flere deriverte. 104
7.6 Maksimum og minimum Definisjon: ( stasjonært punkt ) Punktet (x 0, y 0 ) til funksjonen f(x, y) med to variabler kalles stasjonært dersom følgende betingelser er oppfylt: f(x 0, y 0 ) x = 0 og f(x 0, y 0 ) y = 0 (7.18) 105
Setning: ( klassifisering av stasjonære punkter ) La f(x, y) være en funksjon som har kontinuerlige 1. og 2. ordens deriverte i hele sitt definisjonsområde D f. La videre: A B C def. = 2 f(x, y) x 2 (7.19) def. = 2 f(x, y) x y (7.20) def. = 2 f(x, y) y 2 (7.21) Det stasjonære punktet (x 0, y 0 ) bestemt av: f(x 0, y 0 ) x = 0, f(x 0, y 0 ) y = 0 (7.22) er da klassifisert på følgende måte: AC B 2 > 0 og A > 0 : (x 0, y 0 ) er et minimumspunkt (7.23) AC B 2 > 0 og A < 0 : (x 0, y 0 ) er et maksimumspunkt (7.24) AC B 2 < 0 og A < 0 : (x 0, y 0 ) er et sadelpunkt (7.25) AC B 2 = 0 og A < 0 : testen fungerer ikke (7.26) 106
7.7 Maksimum og minimum (for flater med rand) Setning: ( ekstremalverdisetningen ) La f(x, y) være en kontinuerlig funksjon over et lukket og begrenset område. Funksjonen har da: globale maksimum- og minimumspunkter (7.27) 107
7.8 Maksimering/minimering under bibetingelser Setning: ( maks/min med Lagrange multiplikatorer ) Funksjonen f(x, y) skal maksimeres/minimeres under bibetingelsen g(x, y) = c. Dette optimaliseringsproblemet kan løses på følgende måte: 1) Skriv opp Lagrange-funksjonen: L(x, y) = f(x, y) λ g(x, y) (7.28) hvor λ = Lagrange-multiplikatoren, en ukjent (uinteressant) konstant. 2) Finn de stasjonære punktene til F (x, y), dvs. regn ut: L(x, y) x = 0, L(x, y) y = 0 (7.29) 3) De 3 ligningene: L(x, y) x L(x, y) y = 0 (7.30) = 0 (7.31) g(x, y) = c (7.32) danner et ligningssystem som kan løses mhp. x og y. 108