TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til systemet; Ã = () Tilbakesubstitusjon gir løsningen (x,x,x 3 ) = (,,). b) Finner når koeffisientmatrisen er singulær, dvs. det(a) =, ved å utvikle determinanten etter 3.linje; α det(a) = = α = (α ) = α () det(a) = α = (3) Setter α = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til systemet; Ã = β β = ÃG β β Ser av matrisen ÃG at rang(a) = = rang(ã) hvis og bare hvis β =. Så hvis α = og β så er systemet i a) selvmotsigende. c) Nullrommet til en matrise er definert som N A = {x : Ax = }. For å løse det homogene ligningssystemet Ax = må vi finne den gausseliminerte av matrisen A. Den kan vi lese ut av svaret i oppgave b: A G = (4) Denne matrisen svarer til ligningssystemet x x 3 = x x 3 = Vi har en fri variabel, og velger x 3 = s, der s R. Da blir løsningen av ligningssystemet (5) x = s (6) (5). april 6 Side av 6
En basis for nullrommet til matrisen A, N A, blir da { [ ] T }. Siden det er én vektor i basisen er dimensjonen til nullrommet lik, dimn A =. d) En kvadratisk matrise B er symmetrisk hvis og bare hvis B T = B. Velger å vise det generelt, B = A T A, siden dette blir mindre arbeid. B T = (A T A) T = A T (A T ) T = A T A = B. (7) a) 4) En vektor som ikke ligger i V kan ikke skrives som en lineær kombinasjon av de to gitte vektorene, dvs. s t En kan da ganske greit se at vektoren i alternativ ) fåes av kombinasjonen s = og t =, alternativ ) av s = og t =, alternativ 3) av s = og t =, mens alternativ 4 er umulig å få ved å kombinere de to gitte vektorene. Dette kan vises ved å sette de tre vektorene opp i en matrise, for deretter å vise at rangen til matrisen er 3, dvs. full rang, og derved 3 lineært uavhengige vektorer. b) ) Ved å la det ukjente formatet til matrise B være m n og formatet til den kvadratiske matrisen C være p p kan vi sette opp en formatligning : ( 4) T (m n)(p p) = (4 3). (8) Da har vi brukt at det å gange matrisen C med et tall ikke endrer formatet. For at formatet på høyre og venstre side skal stemme overens må p være lik 3, og n = p. Det gir følgende ligning: så m =. Da har B formatet 3. (4 )(m 3)(3 3) = (4 3), (9) c) ) Når en multipliserer et tall k inn i en matrise av orden n endres determinanten til matrisen med en faktor k n. I denne oppgaven er k = og n = 3. Dermed er det(c) = det( A T B ) = det( A T )det(b ) = ( ) 3 det(a)det(b) = 8 4 4 = 8 d) ) Ved å vite at en basis til et -dimensjonalt vektorrom består av nøyaktig vektorer ser vi at påstand ) er gal. 3 a) ) Vi bestemmer egenverdiene til A ved å finne de λ som gjør at følgende matrise blir singulær: λ A λi = λ () λ. april 6 Side av 6
En matrise er singulær når determinanten til matrisen er lik. Utvikler det(a λi) etter. linje og får: det(a λi) = ( λ) λ λ λ ( ) λ = ( λ)(( λ) ) (( λ) ) ( ( λ)) = ( λ)(λ λ) λ λ = λ( λ)(λ ) det(a λi) = λ( λ)(λ ) = λ =,, Egenverdiene til A er λ =, λ = og λ 3 =. Siden egenverdiene er forskjellige, så vil ethvert sett av tilhørende egenvektorer være lineært uavhengige. ) I punkt 3 er alle egenvektorene bestemt ved standard metode. Dette er ikke nødvendig i forhold til punkt ). Der kreves det kun å vise at den gitte vektoren er en egenvektor som hører til egenverdien. Da må ligningen Ax = λx være oppfylt: = = = 3) Standardmetode for å bestemme egenvektorene, er å løse (A λi)x = ved Gausseliminasjon for hver av egenverdiene. For kompletthets skyld er utregningen av alle egenvektorene tatt med her. λ = : A λ I =, gir løsningen k = t, () der t R \ {}. λ = : () gir løsningen k = s, (3). april 6 Side 3 av 6
der s R \ {}. λ 3 = : (4) gir løsningen k 3 = u, (5) der u R\{}. Så egenverdiene til matrisen A er {,,} og det tilhørende egenvektorsettet er { [ ] T, [ ] T, [ ] T }. b) K er egenvektormatrisen, og D er egenverdimatrisen med egenverdiene langs diagonalen: K =, D = (6) Det finnes også andre alternativer ved å velge andre egenvektorer og evt. bytte om på rekkefølgen på egenvektorene i K og de korresponderende søylene med egenverdiene i D. c) Den generelle løsningen av differensialligningssystemet er gitt som x(t) = c c e t c 3 e t (7) 4 a) Setter inn i rotasjonsmatrisen gitt i formelsamlingen; [ cos(45 R = ) sin(45 ] [ ] ) sin(45 ) cos(45 = ) Punktene til trekanten sammenstiller vi i en matrise; [ ] P = = [ ] (8) (9) For å finne den roterte trekanten A B C multipliserer vi disse to matrisene. RP = [ ][ ] = [ ] () 4 Trekanten A B C er dermed gitt ved punktene A (,), B (, ) og C (, ) b) ) I homogene koordinater er skaleringsmatrisen S og translasjonsmatrisen T gitt ved,5 6 S =,5 T = 4 (). april 6 Side 4 av 6
) Den sammensatte transformasjonsmatrisen får vi ved å multiplisere sammen matrisene T og S. Husk at den matrisen som transformerer først (her skaleringen) skal stå lengst til høyre: 6,5 M = TS = 4,5,5 6 =,5 4 3) Utvider hjørnepunktene A, B og C i trekanten til homogene koordinater og sammenstiller disse i en matrise kalt Q: Q = () Den transformerte trekanten finner vi ved å multiplisere med M fra venstre:,5 6 6 7 7 MQ =,5 4 = 4 4 5 (3) Den transformerte trekanten DEF får da koordinatene D(6, 4), E(7, 4) og F(7,5). 8 7 6 5 F 4 3 D E C C B - A A B - 3 4 5 6 7 8 Figur : Transformasjoner på trekanten ABC.. april 6 Side 5 av 6
4) Når rekkefølgen byttes om får vi,5 6,5 3 M = ST =,5 4 =,5 (4) Vi ser at transformasjonsmatrisene M og M ikke er like, dermed har rekkefølgen som transformasjonene utføres i betydning. (Dette visste vi jo fra før, siden matriseproduktet ikke er kommutativt.). april 6 Side 6 av 6