Faktor 1 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1 2 4 5 6... Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 124 = 1 1000 + 2 100 + 10 + 4 1 Partall og oddetall Partall er hele tall som er delelige med 2. 2 4 6 8 10... Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2. 1 5 7 9 11... Primtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv. 2 5 7 11 1 17... Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1. 42 = 2 7 Faktorisering Når vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer. 24 = 8 24 = 4 6 24 = 2 12 Primtallsfaktorisering: 24 = 2 2 2 Alle faktorene er primtall 46
Desimaltall Et desimaltall består av et helt tall og desimaler. Tallet 64,2 har to desimaler. Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for verdien til sifferet. 6 4, 2 TIERE ENERE TIDELER HUNDRE- DELER De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum Subtraksjon Ledd ledd = differanse Multiplikasjon Faktor. faktor = produkt Divisjon Dividend : divisor = kvotient Potenser Når vi multipliserer tall eller variabler som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5 = 5 6 x x x = x Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 2 2 4 = 2 + 4 = 2 7 x x 2 = x + 2 = x 5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 5 6 : 5 2 = 56 5 2 = 56 -- 2 = 5 4 x 6 : x 2 = x6 x 2 = x6 -- 2 = x 4 47
Tall på standardform og på utvidet form Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på standardform. 250 000 = 2,5 10 5 Vanlig form Standardform 0,0025 = 2,5 10 Vanlig form Standardform Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form. 24 57 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 10 + 7 1 = 2 10 4 + 4 10 + 5 10 2 + 10 1 + 7 10 0 85,9 = 100 + 8 10 + 5 1 + 0,1 + 9 0,01 = 10 2 + 8 10 1 + 5 10 0 + 10 1 + 9 10 2 Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5 = 5 2 = 25 25 er et kvadrattall. Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. p ffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25 Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1 + 2 = er et trekanttall 1 + 2 + = 6 6 er et trekanttall 48
Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0. 4 2 1 0 1 2 4 Negative tall Positive tall Regning med fortegnstall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7þ = 10 -- 7 = Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7þ = 10 + 7 = 17 Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5þ = --125 25 : ð--5þ ¼ --5 Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5þ = 125 --25 : ð--5þ = 5 Romertall I romertallsystemet bruker vi bokstaver som symboler for tall. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Når et mindre romertall står foran et større tall, trekker vi det minste tallet fra det største. Når det største tallet står først, skal du addere tallene. Vi plasserer aldri romertallene V, L eller D foran et tegn med høyere verdi. 49
Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.). 1 1 0 1 1 16 (2 4 ) 8 (2 ) 4 (2 2 ) 2 (2 1 ) 1 (2 0 ) Tallet 11011 i totallssystemet er 11011 = 1 2 4 + 1 2 + 0 2 2 + 1 2 + 1 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 i titallssystemet. Brøk En brøk består av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn. 4 Teller Brøkstrek Nevner Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. 5 5 = 1 Uekte brøk og blandet tall 2 = 1 1 2 Uekte brøk Blandet tall 50
Utviding og forkorting av brøk Når vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 5 = 1 5 = 15 Når vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 4 16 = 4 : 4 16 : 4 = 1 4 Addisjon og subtraksjon av brøker Når vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. 7 9 -- 5 9 = 7 -- 5 = 2 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, må vi først finne fellesnevner. 2 + 1 4 = 2 4 4 + 1 4 = 8 12 + 12 = 8 + 12 = 11 12 Brøk og desimaltall En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren. 5 = : 5 = 0,6 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 = 12 100 Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler. 2 = 0,6666... 0,67 51
Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren. 4 2 = 4 2 = 8 = 2 2 Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 2 = 1 2 = 2 9 Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved å multiplisere med den omvendte brøken. 4 9 : 1 2 = 4 9 2 1 = 8 9 4 : 2 = 4 1 2 = 12 2 = 6 Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 5 = 1 : 5 Prosent Prosent betyr hundredeler. 5 % = 5 100 Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall 5 % = 5 100 = 0,05 Prosent Brøk Desimaltall 52
Prosenten av et tall Når vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og multipliserer med tallet. 5 % av 500 kr er 0,05 500 kr = 25 kr Å finne prosenten Vi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik: 40 kr 250 kr = 0,16 0,16 = 16 100 Det betyr at 0,16 = 16 % 40 kr er 16 % av 250 kr Promille Promille betyr tusendeler. Vi regner med promille på samme måte som vi regner med prosent. 5 = 5 1000 = 0,005 5 av 12 000 kr er 0,005 12 000 kr = 60 kr Utregning av talluttrykk Når det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 parenteser 2 multiplikasjon og divisjon addisjon og subtraksjon 5 + (4 + 2) = 5 + 6 = 5 + 18 = 2 Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O = 2a + 2b 5
Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b får vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20 Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a + b + 2a -- 2b = 7a + b x 5y = 15xy a 2 2a = 6a 5 4x 7 : 2x = 2x 4 Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. 4x + ð2x + Þ = 4x + 2x + = 6x + Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 6x -- ðx -- yþ = 6x -- x + y = x + y Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7þ = --10x + 14x = 4x 54
Multiplikasjon av to parentesuttrykk Når vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ ð2a -- Þ = a 2a + a ð -- Þ + 2 2a + 2 ð -- Þ = 2a 2 -- a + 4a -- 6 = 2a 2 + a -- 6 Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y = 5 x x y Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk. 4x 2 y 6xy = 2 2 x x y = 2x 2 x y Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. 4x + 5 6x -- 2 x = 4x + 5 2 6x 2 -- 2 4 x 4 = 9 12x + 10 12x -- 8 12x = 11 12x Fellesnevner er 12x. Likninger og ulikheter Løsing av likninger I en likning er det to uttrykk som har samme verdi, ett på hver sin side av likhetstegnet. Å løse en likning vil si å bestemme den ukjente, slik at begge sider av likhetstegnet får samme verdi. x + 5 = 11 har løsningen x = 6, fordi 6 + 5 = 11 55
Regneregler for likninger Vi kan addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med samme tall på begge sidene av likhetstegnet i en likning. Addisjon x -- = 11 x -- + = 11 + x = 14 Subtraksjon x + 6 = 1 x + 6 -- 6 = 1 -- 6 x = 7 Divisjon 4x = 20 4x 4 = 20 4 x = 5 Multiplikasjon x 7 = 4 x 7 7 = 4 7 x = 28 Å sette prøve på likninger Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi. x + 4 = 8 + 2x x -- 2x = 8 -- 4 x = 4 Prøve: Venstre side: x + 4 4 + 4 12 + 4 16 Høyre side: 8 + 2x 8 + 2 4 8 + 8 16 Setter inn 4 i stedet for x. Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning. 56
Kvadratiske likninger Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 p x = ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 25 og x = -- 25 x = 5 og x = --5 Likninger med brøk Når vi skal løse en likning med brøk, multipliserer vi hvert ledd i likningen med fellesnevneren. 2x 12 2x -- x 4 = x 6 + 1 4 -- x 12 = x 12 4 6 8x -- x = 2x + 8x -- x -- 2x = x = x = x = 1 + 1 12 4 Her er fellesnevneren 12. Grafisk løsing av likninger Vi løser likningen x + 2 = 2x -- grafisk ved å tegne linjene y = x + 2 og y = 2x -- i det samme koordinatsystemet. Førstekoordinaten til skjæringspunktet gir løsningen. 7 6 5 y y = x + 2 4 y = 2x 2 1 Løsningen er x = 5. 1 2 4 5 x 57
Likninger med to ukjente Å løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente som passer i begge likningene. Løsning av likningssett ved regning: I 2x + y = 7 II y -- x = 1 II y = x + 1 Vi finner et uttrykk for en av de ukjente fra en av likningene. I 2x + x + 1 = 7 x = 6 x = 2 II y = x + 1 y = 2 + 1 y = Vi setter dette uttrykket inn i den andre likningen og løser denne. Vi finner verdien av den andre ukjente ved å sette inn verdien til x. x = 2 og y = Grafisk løsning av likningssett: I 2x + y = 7 II y -- x = 1 I y = --2x + 7 II y = x + 1 Vi uttrykker y ved hjelp av x i begge likningene. 58
Vi tegner til slutt de to linjene i det samme koordinatsystemet og leser av koordinatene til skjæringspunktet. 7 6 5 y y = x + 1 4 2 1 y = 2x + 7 Løsningen er: x = 2 og y = 1 2 4 x Ulikheter I en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. 2x -- < 7 2x < 7 + 2x < 10 x < 5 Vi kan dividere med positive tall på begge sider av ulikhetstegnet. x > 12 x > 12 x > 4 Vi kan dividere med negative tall på begge sider av ulikhetstegnet hvis vi samtidig snur ulikhetstegnet. --x > 12 --x -- < 12 -- x < --4 59
Omforming av formler Vi kan bruke en formel til å lage en ny formel. Formelen for omkretsen O av et kvadrat er O = 4s, der s er siden i kvadratet. Vi kan lage en formel for s: O = 4s O 4 = 4s 4 O 4 = s s = O 4 Økonomi Merverdiavgift På de fleste varer og tjenester må vi betale merverdiavgift (mva.). Merverdiavgift blir ofte kalt moms. I 2008 var avgiften 25 % på de fleste varene. På matvarer var avgiften 14 %. Ekskl. mva. betyr at prisen er oppgitt uten merverdiavgift. Inkl. mva. betyr at prisen er oppgitt med merverdiavgift. Rabatt Rabatt er avslag i pris. Det betyr at en vare blir solgt for en lavere pris enn den opprinnelige. Rabatten blir ofte gitt i prosent. Rente Banken betaler oss renter når vi har penger i banken. På samme måte betaler vi renter til banken når vi låner penger av banken. Vi finner rentene for ett år ved å multiplisere renten i prosent med kapitalen. Kapitalen er 5000 kr. Renten er % p.a. Rentene for ett år er 0,0 5000 kr = 150 kr Rentedager regner vi ut ved å telle dager på kalenderen. Rentene for én dag er Rente for ett år 65 Rente for 120 dager er: Rente for én dag 120 60
Avbetaling Når vi kjøper noe på avbetaling, betaler vi bare en viss del kontant (med én gang). Resten betaler vi etter hvert, men da ofte med ganske store rentetillegg. Lønn Fast lønn er avtalt lønn for den tiden vi arbeider. Det kan være fast timelønn eller fast månedslønn. Skatt Skatt blir regnet ut etter et tabellkort eller etter en bestemt prosent av trekkgrunnlaget. Trekkgrunnlaget blir ofte regnet ut slik: Bruttolønn Pensjonstrekk -- Fagforeningskontingent = Trekkgrunnlag Serielån I et serielån er avdragene like store hver termin. Terminbeløpet er summen av renter og avdrag. Annuitetslån I et annuitetslån er terminbeløpene like store hver termin. Avdragene er minst i begynnelsen og blir større etter hvert. Forsikringer Forsikring er en ordning som sikrer oss økonomisk mot uventede forhold som brann, tyveri, trafikkuhell osv. Vi betaler en årlig sum, forsikringspremie, for de forskjellige forsikringsordningene. Budsjett og regnskap Et budsjett er en plan for hvordan vi skal bruke pengene. Vi setter det opp før vi skal bruke pengene. Et regnskap er en oversikt over hva vi faktisk har brukt pengene til. Regnskapet fører vi etter at vi har brukt pengene. 61
0 Geometri Linjer og punkter Et linjestykke har et startpunkt og et endepunkt. En stråle har et startpunkt, men ikke noe endepunkt. A B A En linje fortsetter uendelig i begge retninger. Et punkt tegnes ofte med et kryss eller en prikk. l P P P Skjæringspunktet mellom to linjer merkes med en stor bokstav. l To linjer er parallelle når avstanden mellom dem hele tiden er den samme. l Vi skriver: l m m P m Vinkler Venstre vinkelbein Toppunkt Slik måler vi en vinkel med gradskive: 180 170 160 150 140 10 120 110 100 Høyre vinkelbein 90 80 70 60 62 50 40 0 20 10 En spiss vinkel er En rett vinkel mindre enn 90 : er lik 90. En stump vinkel er større enn 90 : 62
Nabovinkler har samme toppunkt og ett vinkelbein felles. u + v = 180 u v Toppvinkler har samme toppunkt og felles vinkelbein i motsatt retning. u w v u = w = v x x Konstruksjon Når vi skal konstruere mangekanter, kan vi få bruk for disse konstruksjonene: Konstruksjon av 90 Konstruksjon av 60 Halvering av en vinkel Nedfelling av en normal fra et punkt til en linje Midtnormal P 6
Trekanter I en rettvinklet trekant er én av vinklene 90. I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store. I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180. 60 0 0 + 60 + 90 = 180 Firkanter I et kvadrat er alle sidene like lange og alle vinklene 90. I et rektangel er to og to sider like lange og alle vinklene 90. I et trapes er to av sidene parallelle. I en rombe er alle sidene like lange og motstående vinkler like store. I et parallellogram er to og to sider like lange og parallelle. Motstående vinkler er like store. 64
Sirkelen Vi kaller linjestykket fra sentrum til sirkellinjen radius. Linjestykket fra et punkt på sirkellinjen til et annet, kaller vi en korde. Diameteren er den lengste korden vi kan trekke. sentrum korde radius Ei linje som rører ved (tangerer) sirkellinjen i et punkt, kaller vi en tangent. Tangenten står alltid vinkelrett på radien fra tangeringspunktet. sirkellinje diameter tangent Vinkelsummen i mangekanter Vi kan finne vinkelsummen i mangekanter ved å dele disse inn i trekanter. Vinkelsummen i femkanten er: 180 = 540 Regulær mangekant I en regulær mangekant er alle vinklene like store og alle sidene like lange. Figurer og mønstre Et regulært mønster består av like regulære mangekanter. Et semiregulært mønster består av to eller flere slag regulære mangekanter. 65
Det gylne snitt og det gylne rektangel Det gylne snitt deler en lengde i forholdet 1,618. I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden 1,618.,18 cm 5,15 cm 5,15 cm :,18 cm 1,62 Pytagoras-setningen Vi bruker Pytagoras-setningen til å finne en ukjent side i en rettvinklet trekant. Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2 C Katet Katet A Hypotenus Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen Trekanter med vinkler på 45 º, 45 º og 90 º I en slik trekant er katetene like lange. Dersom vi kjenner lengden til bare én av sidene, kan vi finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen. B 66
Vi finner katetene på denne måten: x 2 + x 2 = BC 2 2x 2 = 8 2 2x 2 = 64 x 2 = 64 2 = 2 p x = ffiffiffiffiffi 2 x 5,7 x C A x 8 cm B Trekanter med vinkler på 0 º, 60 º og 90 º I en rettvinklet trekant der vinklene er 0, 60 og 90, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Vi finner den minste kateten (x) og hypotenusen (2x) på denne måten når vi kjenner bare den lengste kateten (AC): x 2 + AC 2 = ð2xþ 2 C x 2 + 5 2 = 4x 2 25 = 4x 2 --x 2 25 = x 2 25 = x2 x 2 8, p x ffiffiffiffiffiffiffiffi 8, x 2,9 0 5 cm 90 A x 2x 60 B Formlikhet Når to figurer er formlike, er vinklene parvis like store. Forholdet mellom ensliggende sider er likt. C 60 F 60 A 0 B D 0 E 4ABC 4DEF Trekant ABC er formlik med trekant DEF. 67
Kongruens To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig kan dekke den andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. C F A B D E 4ABC ffi 4DEF Trekant ABC er kongruent med trekant DEF. Kongruensavbildninger Speilingssymmetri En figur er symmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som dekker hverandre når vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur kan ha flere symmetriakser. Symmetriakse Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Når vi speiler en figur ved Andreaksen hjelp av et koordinatsystem, speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen. y x Førsteaksen 68
Speiling ved hjelp av passer og linjal Når vi speiler en figur om en linje, bruker vi passer og linjal. Vi nedfeller normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktet til motsatt side av normalen slik at vi får et nytt punkt. l Rotasjon Hvis det ikke er gitt beskjed om noe annet, utfører vi rotasjonen mot venstre. Rotasjon om punktet P. Rotasjon om hjørnet A. C B C B A C B P A B C A Parallellforskyving C C A B A B 69
Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter Måling og enheter Omkretsen og arealet til mangekanter Vi finner omkretsen til en mangekant ved å summere alle sidene. Vi finner arealet til en mangekant ved å bruke formlene som er vist nedenfor: Rektangel b A = l b Parallellogram A = g h Trapes A = ða + bþ h 2 l h g h a b 70
Trekant A = g h 2 h g Omkretsen og arealet til en sirkel Vi regner ut omkretsen til en sirkel ved hjelp av denne formelen: O =. d der =,14 Arealet regner vi ut ved hjelp av denne formelen: A = r 2 radius (r) diameter (d) Enheter for lengde De vanligste lengdeenhetene er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm), millimeter (mm), kilometer (km) og mil. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 mil = 10 km = 10 000 m Målestokk Målestokken er et mål for hvor stor en forstørring eller forminskning er. M = 20 : 1 betyr at 1 cm i virkeligheten svarer til 20 cm på tegningen. Det vil si at tegningen er en forstørring av virkeligheten. M = 1 : 10 betyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. Det vil si at tegningen er en forminskning av virkeligheten. Vi finner målestokken til en forstørring ved å dividere forstørringen med den virkelige lengden. Vi finner målestokken til en forminskning ved å dividere den virkelige lengden med den målte lengden. 71
Enheter for areal De vanligste arealenhetene er kvadratmeter (m 2 ), kvadratdesimeter (dm 2 ), kvadratcentimeter (cm 2 ), kvadratmillimeter (mm 2 ), kvadratkilometer (km 2 ) og mål/dekar (daa). 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 1 mål 1 daa = 1000 m 2 Enheter for volum De vanligste volumenhetene er kubikkmeter (m ), kubikkdesimeter (dm ), kubikkcentimeter (cm ) og kubikkmillimeter (mm ). 1 m = 1000 dm = 1000 liter 1 dm = 1000 cm = 1 liter 1 cm = 1000 mm 1 liter = 10 dl = 100 cl = 1000 ml Vei, fart og tid Vi bruker forskjellige enheter for tid, for eksempel timer (h), minutter (min), sekunder (s), dager, uker og år. 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 60 60 s = 600 s Sammenhengen mellom vei, fart og tid kan vi skrive slik: veilengde = fart tid fart = veilengde : tid tid = veilengde : fart 72
Romgeometri og massetetthet Volumet og arealet av overflaten til et prisme Vi finner volumet V til et prisme ved å multiplisere arealet av grunnflaten G med høyden h. V = G h G h Overflaten til et rett firkantet prisme består av seks rektangler. Vi finner arealet til overflaten ved å summere arealene til rektanglene. Volumet og arealet av overflaten til en sylinder Vi finner volumet V til en sylinder ved å multiplisere arealet av grunnflaten G med høyden h. V = G h eller V = r 2 h G r h Overflaten til en sylinder er satt sammen av to like store sirkelflater og et rektangel. Arealet er: h A = 2r 2 + 2r h r Volumet til en pyramide Volumet V til en pyramide er: V = G h G h Volumet til en kjegle Volumet V til en kjegle er: V = G h = r2 h G h 7
Volumet og arealet av overflaten til en kule Volumet V til en kule er: V = 4r Arealet A av overflaten til en kule er: A = 4r 2 r Masse De vanligste enhetene for masse er kilogram (kg), hektogram (hg), gram (g), milligram (mg) og tonn. 1 kg = 10 hg = 1000 g 1 g = 1000 mg 1 hg = 100 g 1 tonn = 1000 kg Massetetthet Massetettheten til et stoff oppgis ofte i gram per kubikkcentimeter (g/cm ) eller i kilogram per kubikkdesimeter (kg/dm ). Massetettheten = massen (vekten) volumet Vi skriver det også slik: T = M V Gull har for eksempel massetettheten 19, g/cm. 1 tonn/m = 1 kg/dm = 1 g/cm 74
Statistikk Frekvens og relativ frekvens Frekvens er hvor mange ganger en bestemt observasjon eller hendelse forekommer. Relativ frekvens er frekvensen dividert på antall observasjoner. Vi kan skrive den relative frekvensen som: 1 4 = 0,25 = 25 % Brøk Desimaltall Prosent Vi presenterer frekvensene i en frekvenstabell: Kjønn Frekvens Relativ frekvens Jenter 12 Gutter 1 Sum 25 12 = 0,48 = 48 % 25 1 = 0,52 = 52 % 25 25 = 1,00 = 100 % 25 Gjennomsnitt Vi regner ut gjennomsnittet ved å summere alle observasjonene og dividere på antall observasjoner. Gjennomsnittet av tallene 4, 6 og 8 er 4 + 6 + 8 = 6 75
Median Medianen er den midterste observasjonen når observasjonene er ordnet i stigende rekkefølge. 12 14 17 21 0 Medianen er 17. Hvis antall observasjoner er partall, finner vi gjennomsnittet av de to midterste observasjonene. Typetall Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen. Rød Blå Blå Gul Rød Grønn Blå Typetallet er blå. Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste verdien til observasjonene i en undersøkelse. 6 km 2 km 8 km km 9 km 9 km 2 km = 7 km Variasjonsbredden er 7 km. Søylediagram Vi bruker søylediagram når observasjonene ikke er tall. Frekvensen merker vi av på andreaksen. Antall elever 9 8 7 6 5 Andreaksen 4 2 1 0 Katt Hund Kjæledyr Førsteaksen 76
Stolpediagram Vi bruker stolpediagram når observasjonene er tall. Frekvensen merker vi av på andreaksen. Antall elever 9 8 7 6 5 4 2 1 0 1 2 4 5 6 Karakter Linjediagram Vi bruker linjediagram når vi vil vise forandring eller utvikling over tid. Tidsenhetene merker vi av på førsteaksen. Centimeter snø 45 40 5 0 25 20 15 10 5 0 Januar Februar Mars 77
Sektordiagram Vi finner gradtallet til hver sektor ved å multiplisere prosenten eller den relative frekvensen med 60. Svar (Alternativ) Frekvens Relativ frekvens Prosent Gradtall til sirkelsektorene Ja 5 = 0,6 0,6 100 = 60 % 0,6 60 = 216 Nei 2 2 5 = 0,4 0,4 100 = 40 % 0,4 60 = 144 Sum 5 1 100 % 60 Nei Ja Sannsynlighet Kombinatorikk Vi bruker kombinatorikk for å finne antallet kombinasjoner eller antallet mulige måter å kombinere ting på. Vi kan kombinere bokstavene A, B og C på seks ulike måter: ABC BAC CAB ACB BCA CBA Trediagrammet viser antallet mulige utfall på tre spørsmål der svaralternativene er JA eller NEI: 1. spørsmål JA 2. spørsmål JA NEI JA NEI. spørsmål JA NEI JA NEI JA NEI JA NEI Vi teller de nederste greinene for å finne antallet kombinasjoner. Her er det åtte mulige kombinasjoner eller utfall. NEI 78
Sannsynlighet Hvis alle utfallene for en hendelse er like sannsynlige, finner vi sannsynligheten for et utfall slik: Sannsynligheten = antallet gunstige utfall antallet mulige utfall Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1 og oppgis som brøk, desimaltall eller prosent. Sannsynlighet ved flere utfall Når sannsynligheten bestemmes av flere utfall, kan vi bruke et trediagram for å finne alle mulighetene. 1. kast krone mynt 2. kast krone mynt krone mynt Antall mulige utfall er fire. Sannsynligheten for å få krone i første kast og mynt i andre kast er 1 4 : Vi kan også bestemme sannsynligheten ved hjelp av multiplikasjon. P ðkrone, myntþ = 1 2 1 2 = 1 = 0,25 = 25 % 4 Sannsynlighet bestemt ved forsøk Vi kan bestemme sannsynligheten for et utfall ved forsøk. Den relative frekvensen er omtrent lik sannsynligheten for utfallet. Vi finner den relative frekvensen slik: Den relative frekvensen = antall ganger vi får utfallet antall forsøk Jo flere forsøk vi gjør, jo bedre verdier vil vi finne for sannsynligheten. 79
Funksjoner Koordinatsystem Et koordinatsystem består av to akser, førsteaksen og andreaksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. Aksene skjærer hverandre i origo. Andreaksen 5 4 A 2 1 Origo -5-4 - -2-1 1 2 4 5-1 Førsteaksen -2 - -4-5 Koordinater Alle punktene i et koordinatsystem er bestemt av et tallpar som vi kaller koordinatene til punktet. Vi finner førstekoordinaten på førsteaksen, og andrekoordinaten på andreaksen. Koordinatene til punktet A ovenfor er (2, ). Funksjon En størrelse y er en funksjon av en annen størrelse x hvis det til hver verdi av x svarer én verdi av y. y er for eksempel en funksjon av x gitt ved formelen y = 70 x: 80
Grafen til en funksjon En graf viser sammenhengen mellom to variabler x og y. Når vi lager grafen, velger vi verdier for x og regner ut verdier for y. De tallene vi velger, skal stå langs førsteaksen. De tallene vi regner ut, skal stå langs andreaksen. Vi kan tegne en graf på grunnlag av en likning eller funksjonsuttrykk: y = 2x Grafen til funksjonen y = 2x er en rett linje. Vi velger verdier for førstekoordinaten og setter opp en tabell. Så regner vi ut verdiene for andrekoordinatene og tegner grafen til likningen. x 2 4 y 4 6 8 8 7 6 5 4 2 1-5 -4 - -2-1 1 2 4-1 -2 81
Lineære funksjoner En lineær funksjon er av typen y = ax + b. 7 y Tallet b i uttrykket kaller vi konstantleddet. Dette forteller hvor linja skjærer andreaksen. Tallet a i uttrykket kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet forteller hvor mye y øker eller minker når x øker med 1. 6 5 4 2 Hvis tallet b er 0, går linja gjennom origo. Funksjonen y = 2x + er et eksempel på en lineær funksjon. Her er konstantleddet, og linja skjærer andreaksen gjennom tallet. Stigningstallet er 2. Når x øker med 1, øker y med 2. 1 2 1 origo 2 1 1 2 1 x Kvadratiske funksjoner y = x 2 -- 2 er et eksempel på en kvadratisk funksjon. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. x 2 1 0,5 0 0,5 1 2 y 2 1 1,75 2 1,75 1 2 5 y 4 2 1-4 - -2-1 1 2 4 x -1-2 82
Proporsjonale størrelser Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltid uttrykke på formen y = k x, der k er et hvilket som helst tall bortsett fra 0. Grafen til proporsjonale størrelser er alltid en rett linje gjennom origo. Til høyre ser du grafen til funksjonen y = 2x. 4 y x 0 1 2 y 0 2 4 2 y = 2x 1 2 1 1 2 x 1 Omvendt proporsjonale størrelser Sammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt proporsjonale, kan vi uttrykke på formen y = k, der k kan være et hvilket som helst tall x bortsett fra 0. Grafen til omvendt proporsjonale størrelser er en hyperbel. På neste side ser du grafen til funksjonen y = 10 x : x 1 2 4 5 10 y 10 5 2,5 2 1 8
10 y 9 8 7 6 5 4 2 1 1 2 4 5 6 7 8 9 10 x 84