Kan brukes på eksamen! Matematikk 1P Super hefte En komprimert teorioversikt Tips og hint Egne notatsider Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud
Realfag for alle! House of Math tilbyr privatundervisning i realfagene matematikk, fysikk, kjemi, biologi, naturfag, statistikk og økonomi, samt skreddersydd SATtutoring program. Vi arrangerer også jevnlig Workshoper og Superkurs som er rettet direkte mot eksamen/tentamen. Undervisningen gis på grunnskole-, videregående skole- og høyskolenivå, da fagkompetansen blant våre lærere er svært stor. Vår visjon er å øke realfagskompetansen og realfagsgleden i Norge ved hjelp av motiverende og inspirerende lærere og hardt arbeid. Finn ut mer på www.houseofmath.no Tlf: 22 150 300 Dette Superheftet er utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud. 2013 House of Math AS Takk til Ida Hovind Landsverk for eminent korrekturlesing gjennom lange netter! Takk til Hans Sverre Smalø og Brynjar Arnfinnsson for hjelp med programmeringen! Design: Lunde Reklamebyrå
3 Vibeke Gwendoline Fængsrud Superhefte P1 Kapittel 1: Tall og algebra 4 Kapittel 2: Økonomi 8 Kapittel 3: Geometri 12 Kapittel 4: Sannsynlighet 16 Kapittel 5: Funksjoner 20
4 Kapittel 1: Tall og algebra Regnerekkefølge 1. Parenteser 2. Potenser 3. Gange og Dele 4. Pluss og Minus Fortegn + +=+ =+ + = += Brøkregning Multiplikasjon a b c d = a c b d Divisjon (Saltoformelen) a b : c d = a d b c Addisjon og subtraksjon: Finn fellesnevneren a b + c d = a d b d + c b b d Forkorte en brøk 15 25 = 15 : 5 25 : 5 = 3 5 Utvide en brøk 6 7 = 6 4 7 4 = 24 28 Parenteser Standardform (a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d a +(c + d) = a + c + d a (c + d) = a c d a (b + c) = a b + a c Et tall på standarform er skrevet som: a 10 n, der n er et helt tall og a er et tall fra og med 1 til 10. N å rn er positiv flytter vi komma mot venstre: 120000 = 1, 2 10 5 N å rn er negativ flytter vi komma mot høyre: 0, 0024 = 2, 4 10 3 1
Egne Notater 5
6 Egne Notater
Likninger 7 Flytte og Bytte: Flytte til andre side av likhetstegnet og bytte fortegn. Har du x a, så gang alle Har du a x, så del begge leddene i likningen med a: sidene i likningen med a: x 3 = 6 7 x = 28 x 3 = 6 3 7 x Algebra (bokstavregning) 3 7 = 28 7 x = 18 x = 4 Man kan legge sammen ledd som inneholder samme bokstavkombinasjoner. x 2 2a + 3x 2 + a + 3 = 4x 2 a + 3 Det er som å telle opp hvor mange epler og bananer man har, vi teller dem hver for seg! Overslag For å gjøre et overslag forenkler man et regnestykke slik at det kan gjøres i hodet. Formålet er å vite ca hva svaret blir. Pluss og Gange: Velge større og mindre tall om hverandre. Minus og Dele: Velge alle tall større eller alle mindre. Avrunding Vi runder opp dersom tallet er 5, 6, 7, 8 eller 9: 3, 6 4 Vi runder ned dersom tallet er 1, 2, 3 eller 4: 3, 4 3 Veien om 1 Finn verdien av én enhet, deretter gang det tallet med det oppgaven spør etter! En kurv jordbær koster 39kr og veier 500g. Hvor my koster 2.2kg=2200g jordbær? Løsning: 39kr = 0, 078kr/g 500g 0, 078kr/g 2200g = 171, 6kr = 172kr 2
8 Kapittel 2: Økonomi Forhold Forholdet mellom a og b er a b. Prosent Prosent betyr hundredeler eller per hundre. Ex: 12% = 12 100 =0, 12. Vekstfaktor vekstfaktor =1± P 100 Ex: Øker prisen med 12%, blir vekstfaktoren 1 + 12 100 =1, 12. Avtar prisen med 15%, blir vekstfaktoren 1 15 100 =0, 85. gammelverdi = nyverdi vekstfaktor nyverdi = gammelverdi vekstfaktor Prisindeks vekstfaktor = Indekstallet for et bestemt år nyverdi gammelverdi I basisåret er indeksen 100 Kroneverdi Reallønn kroneverdi = pris pris basis 100 indeks 1 indeks 2 = pris 1 pris 2 100 konsumprisindeks = 100 kpi Når man skal sammenligne lønninger før og nå må man ta hensyn til inflasjonen. Reallønn er et mål på hvor mye varer og tjenester du får for lønnen din. reallønn = lønn kroneverdi = lønn 100 kpi 3
Egne Notater 9
10 Egne Notater
Lønn Timelønn: Lønn basert på antall timer arbeidet. Akkordlønn: En bestemt sum for prosjektarbeid uavhengig av tid benyttet. Provisjonslønn: Prestasjonsbasert lønn. Ofte med lav grunnlønn i bunnen. Feripenger Feriepengegrunnalget er fjorårets lønn minus fjorårets feripenger. Personer under 60 år: 10,2% eller 12%. Personer over 60 år: 2,3% ekstra pga ekstra ferieuke. Skattetrekk Forskuddsinnbetaling av skatt trekkes av arbeidsgiver ved utbetaling av lønn. Skatt beregnes av hvor mye du har tjent i løpet av året. Trekkgrunnlaget for skattetrekket er brutto lønn minus pensjonstrekk og kontigent til fagforening. Inntektsskatt: (avhenger av inntekt): Regnes ut av lønnen som er igjen etter personfradraget er trukket fra. Toppskatt: (9 12%): Regnes av personinntekt over et gitt beløp. Trygdeavgiften: (7, 8%): Regnes av personinntekten. Merverdiavgift: (15% 25%): Avgift på kjøp av varer og tjenester. Disse satsene blir bestemt i Stortinget hvert år. Budsjett og Regnskap Budsjett er et estimat over fremtidige inntekter og utgifter (bedrift, forening, privat person). Ideelt sett skal man prøve å holde seg til budsjettet. Regnskap viser faktiske inntekter og utgifter. L å n Nominell rente er den renten banken krever. Effektiv rente forteller hvor mye lånet faktisk koster inklusive alle gebyrer. T erminbeløp = renter + avdrag Avdrag er det beløpet som går til å nedbetale selve lånet. Ved serielån er alle avdrag like store. lånesum Avdrag = antall terminer Ved annuitetslån er alle terminbeløp like store. Avdrag = terminbeløp rentene 11 4
12 Kapittel 3: Geometri Målenøyaktighet All måling har et snev av unøyaktighet. (1, 10 ± 0, 02)g vil si at vekten høyst sannsynligvis ligger mellom 1,08g og 1,12g. Absolutt usikkerhet er 0,02 Relativ usikkerhet = avviket utgangspunkt = 0,02/1,10 = 0,0182 = 1,82% Formlikhet To figurer er formlike hvis vi kan få den ene ved å forstørre/forminske den andre. Forholdet mellom to tilsvarende sider kaller vi det lineære forholdstallet f. Figurer er formlike når vinklene er parvis like store. Pytagorassetningen Gjelder kun rettvinklede trekanter. Brukes til å finne lengder i trekanten, men også til å finne ut om en trekanten er rettvinklet. Sett inn for a, b og c og se om likheten stemmer. motstående katet til A B hypotenus Målestokk C A hosliggende katet til A a 2 + b 2 = c 2 Målestokk brukes bl.a. i kartsammenheng og sier hvor mye 1cm på kartet tilsvarer i virkeligheten. M = 1 : 100000 betyr at 1cm på kartet tilsvarer 100000cm = 1000m = 1km i virkeligheten. Man kan også bruke målestokk til å beskrive forstørringer ved at M =5:1.Daer5cm på tegningen lik 1cm i virkeligheten. Generelt har vi at M = lengde tegning lengde i virkeligheten Det gylne snitt Gjenstander som fremstår som vakre følger gjerne det gyldne snitt Φ (phi), som er lik forholdet 5+1 Φ= 2 Overflate Sylinder: O =2πr 2 +2πrh, Kjegle: S = πr 2 + πrs, Kule: O =4πr 2 5
Egne Notater 13
14 Egne Notater
Enheter (1dm 3 =1l) 15 Lengde: km 1000 m 10 dm 10 cm 10 mm :1000 :10 :10 :10 1000 2 10 2 10 2 10 2 Areal: km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 :1000 2 :10 2 :10 2 :10 2 1000 3 10 3 10 3 10 3 Volum: km 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 :1000 3 :10 3 :10 3 :10 3 Areal, Omkrets og Volum Areal Omkrets Volum Rektangel A = l b O =2l +2b Prisme V = G h Parallellogram A = g h O =2g +2s Sylinder V = G h = πr 2 h Trekant A = g h 2 O = a + b + g Pyramide V = G h 3 Trapes A = (a+b) 2 h O = a + b + x Kjegle V = G h 3 = πr2 h 3 Sirkel A = πr 2 O =2πr Kule V = 4πr3 3 Flislegging/Tesselering At et mønster kan fylle planet, betyr at det kan utvides i det udendelig i alle retninger, uten at det blir noen hull. En regulær mangekant er en mangekant der alle sider er like lange og alle vinkler like store. Med regulære mangekanter er det bare trekanter, firkanter og sekskanter som kan fylle planet, da summen av kantvinklene er 360. Vinkelsummen Kantvinkelen Sentralvinkelen i en n-kant i en regulær n-kant i en regulær n-kant: (n 2) 180 u = (n 2) 180 n s = 360 n Perspektiver Horisonten er en horisontallinje i øyehøyde. Ved perspektiver vil linjer som er parallelle i virkeligheten møtes i et forsvinningspunkt som ligger på horisontallinja. Ettpunktsperspektiv har ett forsvinningspunkt. Topunktsperspektiv har to forsvinningspunkt. Isometriskperspektiv gir romvirkning ved å skråstille parallelle linjer. 6
16 Kapittel 4: Sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynlighet er et teoretisk mål på hvor ofte en gitt hendelse A inntrer. Dette skrives gjerne P (A). Når en hendelse A inntreffer n ganger når et forsøk gjentaes N ganger. Da er Relativ frekvens = n N Når vi gjør mange nok forsøk vil relativ frekvens for en hendelse A nærme seg den faktiske sannsynligheten. Uniform fordeling I en unifrom sannsynlighetsmodel har alle mulige utfall samme sannsynlighet. Da er P (A) = g antall gunstige = m antallmulige Utfall og utfallsrom Et utfall er et mulig resultat. Å få en 6 er ved kast med én terning. Et utfallsrom er samlingen av alle utfall i forsøket. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} En hendelse består av ett eller flere utfall. Ex: A =antall øyne er oddetall Sannsynlighetsprinsipper Sannsynligheten for et utfall er et tall mellom 0 og 1, hvor 1 = 100%. Den totale sannsynligheten for alle utfallene er til sammen 1, fordi dersom vi kaster en terning er vi garantert å få et tall mellom 1 og 6. Komplementære hendelser En hendelse A inneholder en eller flere av utfallene i utfallsrommet. De utfallene som da er igjen kalles ikke A, A. Vi vet derfor at P (A)+P (A) =1 Tips: I enkelte tilfeller kan det være enklere å beregne P (A) enn P (A). En viktig anvendelse er: P (minst en) =1 P (ingen) 7
Egne Notater 17
18 Egne Notater
isjunkte Disjunkte hendelser hendelser 19 og BAer og Adisjunkte og B er B er disjunkte dersom dersom ikkede har de ikke noen ikke harfelles noen noen utfall. felles felles Da utfall. utfall. er Da Da er er P (A B) P (A P =0 (A B) B) =0 =0 Mengdenotasjon B leses A A B ABleses union leses A Bunion Aog union betyr B BAog betyr eller betyr AB. eller A eller B. B. B leses A A B ABleses snitt leses AB Aogsnitt betyr B BAog ogbetyr B. A og A og B. B. Addisjonssetningen P (A B) P (A P =P (A B) (A)+P B) =P =P (A)+P (B) P (B) (A(B) B) P (A P (A B) B) år A og Når Når BAer og Adisjunkte og B er B er disjunkte hendelser hendelser er P (Aer B) er P (A P = (A 0 ogb) = 0= og 0 og P (A B) P (A P =P (A B) (A)+P B) =P =P (A)+P (B) (B) (B) Produktsetningen og BAuavhengige og A og B uavhengige B hendelser hendelser ma og ma B ma avhengige og og B avhengige B hendelser hendelser P (A B) P (A P =P (A B) (A) B) =P P =P (B) (A) (A) P (B) P (B) P (A B) P (A P =P (A B) (A) B) =P P =P (B (A) (A) P (B P (B A) A) iktige Viktige hjelpemidler hjelpemidler or å illustrerer For For å illustrerer å utfall og utfall tilhørende utfall og og tilhørende sannsynligheter sannsynligheter kan man kan bruke kan man man valgtrær, bruke bruke valgtrær, enndiagram venndiagram eller krysstabeller. krysstabeller. Her er eksempler Her Her er eksempler på disse: på på disse: disse: algtre Valgtre Venndiagram Venndiagram A B Utfallsrommet Utfallsrommet A BA B Fargesyn Fargesyn Fargesyn A B A A B B Kjønn Kjønn Kjønn A B A BA B Fargesyn Fargesyn Fargesyn Krysstabell Krysstabell Gutt Gutt Jente Gutt Jente JenteSumSum Fargeblind Fargeblind 0,08 0,08 0,04 0,08 0,04 0,12 0,04 0,12 0,12 Ikke fargeblind Ikke Ikke fargeblind 0,434 0,434 0,446 0,4340,446 0,88 0,446 0,88 0,88 Sum Sum Sum 0,514 0,514 0,486 0,5140,486 0,486 1 1 1 8 8 8
20 Kapittel 5: Funksjoner Funksjoner Dersom det til enhver verdi av x finnes kun én verdi av y, sier vi at y er en funksjon f av x. Vi skriver y = f(x). Ex: f(2) gir verdien til f når x=2. x inn i maskinen f y = f(x) y = f(x) kalles funksjonsverdien x kalles argumentet Lineær funksjon En linær funksjon skrives f(x) =ax + b a er stigningstallet og forteller hvor mye grafen stiger eller synker (negativ a) n å rx øker med 1. b viser hvor grafen skjærer y-aksen. Grafen er en rett linje med koordinater (x, y) =(x, f(x)). y b a x 1 Proporsjonale og omvendt proporsjonale funksjoner To variabler x og y er proporsjonale hvis Grafen er en rett linje gjennom origo. y = konstant x x og y sies å være omvendt proporsjonale hvis y = konstant x 9
Egne Notater 21
22 Egne Notater
Gjennomsnittlig vektsfart Gjennomsnittlig vekstfart mellom punkt A og B finner vi ved å regne ut stigningstallet til linja som går gjennom punkt A og punkt B. 23 Gjennomsnittlig vekstfart = endring i y endring i x f(b) f(a) f(x) a Momentan vekstfart } endring i x Momentan vekstfart er vekstsfarten i et bestemt punkt P. Vi finner denne vekstfarten ved å regne ut stigningstallet til tangenten i punktet P. Momentant vekstfart = } endring i y b x endring i y til tangenten endring i x Ekstremalpunkter f(b) f(a) f(x) Ekstremalpunkter er topp- og bunnpunkter. a } endring i x } endring i y til tangenten b x 2 f(x) toppunkt 1 4 2 2 4 6 1 2 bunnpunkt 10
Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud Superheftene er tilgjengelig i alle fag: Kan brukes på eksamen! MateMatikk 1t SupeR hefte En komprimert teorioversikt Tips og hint Egne notatsider Kan brukes på eksamen! MateMatikk 1p SupeR hefte En komprimert teorioversikt Tips og hint Egne notatsider Kan brukes på eksamen! MateMatikk 2p SupeR hefte En komprimert teorioversikt Tips og hint Egne notatsider Kan brukes på eksamen! MateMatikk S1 SupeR hefte En komprimert teorioversikt Kan brukes på eksamen! MateMatikk S2 SupeR hefte En komprimert teorioversikt Kan brukes på eksamen! MateMatikk R1 SupeR hefte En komprimert teorioversikt Kan brukes på eksamen! MateMatikk R2 SupeR hefte En komprimert teorioversikt Tips og hint Egne notatsider Tips og hint Egne notatsider Tips og hint Egne notatsider Tips og hint Egne notatsider Superheftet du nå holder i hånden er utviklet av Vibeke Gwendoline Fængsrud. Dette er et kompri mert teori- og forklaringshefte som inneholder hele pensum. Meningen med Superheftet er at det skal kunne fungere som støttespiller under del 2 av eksamen, hvor hjelpemidler er lov, i tillegg til å være et kjapt og effektivt oppslagsverk gjennom hele året. På notatsidene skal du fylle inn de tingene du trenger for å lage det beste heftet ut i fra ditt behov. Dette er også et fenomenalt pensumverktøy. Kan du anvende det som står i heftet så kan du pensum!!! Superheftene brukes også som utgangspunkt for våre Superkurs. Et Super kurs er en svært komprimert gjennomgang av hele pensum før juletentamen eller avsluttende eksamen. Superkurset arrangeres sammen med en påfølgende Workshop et todagers helgeseminar vi kaller RealfagsBonanza. Finn ut mer om Superkurs og hvordan House of Math kan hjelpe deg mot eksamen på www.houseofmath.no. House of Math AS Vika atrium Munkedamsveien 45 0250 Oslo Tlf: 22 150 300 E-post: post@houseofmath.no https://www.facebook.com/houseofmath.as https://twitter.com/vibekegf www.houseofmath.no