Imaginaarühik. Reaalarvude vallas ei ole igal võrrandil lahendit. Näiteks puudub lahend ruutvõrrandil (1)

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Imaginaarühik. Reaalarvude vallas ei ole igal võrrandil lahendit. Näiteks puudub lahend ruutvõrrandil (1)"

Carsten Brekke
5 år siden
Visninger:

1 Kompleksarvud

2 Imaginaarühik Reaalarvude vallas ei ole igal võrrandil lahendit. Näiteks puudub lahend ruutvõrrandil x 0. Et oleks võimalik lahendada iga ruutvõrrandit, on kasutusele võetud imaginaarühik, mida tähistatakse sümboliga i: () i. Vastavalt ruutjuure mõistele on siis i. Ruutvõrrandi () lahenditeks saame: x 0 x x ± ± i

3 Kompleksarvu mõiste Ruutvõrrandit x 6x 3 0 lahendades saame: x 3 ± 4 3 ± 4 ( ) 3± 4 3± i, Seega x 3 i ja x 3 i. Arve kujul a bi, kus a ja b on mistahes reaalarvud ja i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja arvu bi imaginaarosaks. Reaalarvu b nimetatakse imaginaarosa kordajaks.

4 Kompleksarvu erikujud Kompleksarvude hulka tähistatakse tähega C. Kui b 0, siis a 0i a R. Seega on reaalarvude hulk kompleksarvude hulga alamhulk: R C. Kui b 0, siis nimetatakse kompleksarvu imaginaararvuks; erijuhul, kui a 0, nimetatakse kompleksarvu puhtimaginaararvuks (bi). Näiteks on puhtimaginaararvud,7i, -i. Arvu 0 komplekskuju on 0 0i.

5 Kaaskompleksarvud Arve a bi ja a bi nimetatakse vastandkompleksarvudeks ning arve a bi ja a bi kaaskompleksarvudeks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosead on omavahel võrdsed ja imaginaarosade kordajad on omavahel võrdsed, s.t. a bi c di a c ja b d. Kompleksarve tähistatakse tavaliselt tähestiku lõpuosa tähtedega (, u, v, w). Avaldist a bi nimetatakse kompleksarvu algebraliseks kujuks. Kompleksarvude hulk ei ole järjestatud, s.t. kompleksarve ei saa võrrelda suuruse järgi. Seetõttu ei saa kompleksarvude hulgal lahendada võrratusi.

6 Tehted kompleksarvudega Tehteid kompleksarvudega sooritatakse nendesamade reeglite kohaselt, mille järgi sooritatakse tehteid algebraliste kaksliikmetega. Iga tehte korral saadakse tulemuseks taas kompleksarv. Kompleksarvude hulk on kinnine kõigi tehete suhtes. Liitmine ( a bi) ( c di) a bi c di ( a c) ( b d) i. Lahutamine ( a bi) ( c di) a bi c di ( a c) ( b d) i. Korrutamine ( a bi) ( c di) ac adi bci bdi ( ac bd) ( ad bc) i.

7 Jagamine Tehted kompleksarvudega (II) Jagamistehe kirjutatakse murruna ning murdu laiendatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: a c bi di ( a bi)( c di) ( c di)( c di) ac adi bci bdi c d i ( ac bd) ( bc c d ad) i ac c bd d bc c ad d i

8 Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus y b (a ; b) imaginaartelg O a x reaaltelg

9 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju y P b r sin ϕ O ϕ r a r cos ϕ x a bi r cosϕ ir sinϕ r(cosϕ i sinϕ). r kompleksarvu moodul; r 0; ϕ - kompleksarvu argument; 0 ϕ < π.

10 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju II Trigonomeetrilise kuju määramine algebralise kuju kaudu: ) ) r a b, b ϕ arctan ; a I veerandis: ϕ ϕ ; II veerandis: ϕ π - ϕ ; III veerandis: ϕ π ϕ ; IV veerandis: ϕ π - ϕ ; Algebralise kuju määramine trigonomeetrilise kuju kaudu: ) a r cosϕ; ) b r sinϕ.

11 ) Korrutamine: Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega r r (cosϕ i sinϕ ), (cosϕ i sinϕ ). (cos( ϕ ϕ) i sin( ϕ )). r r ϕ Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamisel nende moodulid korrutatakse ja argumendid liidetakse. ) Jagamine: r (cos( ϕ ϕ) i sin( ϕ )). r ϕ Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude jagamisel nende moodulid jagatakse ja argumendid lahutatakse.

12 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega (II) r (cosϕ i sinϕ). 3) Astendamine: n r n (cos( nϕ) i sin( nϕ)). Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvu astendamisel tema moodul astendatakse ja argument korrutatakse astendajaga. 4) Juurimine: n cos sin, 0,,..., n ϕ kπ ϕ kπ r i k n n n. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude juurimisel tema moodul juuritakse ja argument (koos perioodiga) jagatakse juurijaga.

13 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega (IV) 4 Näide Leiame. Teisendame kompleksarvu 0i trigonomeetrilisele kujule. Leiame mooduli: r 0... ja argumendi: ϕ 0 arctan Kompleksarv on esimeses veerandis, seetõttu: (cos0 i sin 0) Juurime: 4 0 k π 0 k 4 (cos i sin π kπ kπ ) cos i sin , ϕ ϕ 0

14 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega (V) k : cos i sin. 4 4 k : 4 π π cos i sin i. 4 4 k : 4 4π 4π cos i sin. 4 4 k 3: 4 6π 6π cos i sin i. 4 4

15 Kompleksarvu eksponentkuju Euleri valem: cosϕ i sinϕ e iϕ Kompleksarvu eksponentkuju: r iϕ e Kompleksarvu kolm kuju: a bi r (cosϕ i sinϕ) algebraline kuju trigonomeetriline kuju r e iϕ eksponentuju Näide πi 3 3 π 3 π 3 ( 3 3) i 6(cos i sin ) 6e.

Like dokumenter

Komplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall

Komplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative