Om tilpasning av funksjoner til observerte dataer

Transkript

1 Om tilpasning av funksjoner til observerte dataer Anta at vi har tilgjengelig noen måledataer for en størrelse y som avhenger av en annen størrelse : : 1 2 $$$ n y : y 1 y 2 $$$ y n I mange situasjoner ønsker å vi tilpasse en funksjon f av en bestemt type slik at grafen til f approksimerer best mulig de gitte dataene. Vi skal se eksempler på tre mulige valg for funksjonen f : 1) f er en lineær funksjon av, dvs. f = a $ C b. 2) f er en eksponensialfunksjon av typen f = b $ a. 3) f er en potensfunksjon av typen f = b $ a. Eksempel 1 : om høyere utdanning i en befolkning. Følgende tabell angir utviklingen i et land over prosentandelen y av de som har en mastergrad (eller tilsvarende utdanning) blandt alle innbyggerne over 25 år : : y : Her angir antall år etter Tegner vi disse målepunktene inn i et y -koordinatsystem får vi følgende bilde :

2 y Det ser ut som disse punktene nesten ligger på en rett linje : Vi kan legge inn et slik linje etter øyemål på "best mulig" måte (f.eks. ved hjelp av papir/linjal/blyant). Dette er ikke veldig vitenskapelig i dagens teknologiske verden, men kan være brukbart hvis man er fornøyd med en grov approksimasjon. Her kan vi f.eks. komme frem til linjen y = 0.5 C 11. Det finnes en linje med likning y = a $ C b som approksimerer de gitte punktene på best mulig måte (i en viss forstand) : denne linjen kalles minstekvadraters linje. Vi skal se hvordan man utleder en formel for denne i kapittel 12. Man beskriver ofte prosessen som såkalt lineær regresjon (eller minste kvadraters metode) på de gitte punktene. Med Maple er det enkelt å finne minstekvadraters linje : På radlinjen øverst i Maple, velg Tools -> Assistants -> Curve Fitting.

3 I boksen som kommer opp, fyll inn datapunktene og trykk Fit. Det kommer da en ny boks der punktene er tegnet inn i. Trykk på Plot i delboksen som heter least squares. Du vil da se minstekvadraters linje tegnet inn i bildet til venstre; likningen for denne linjen er oppgitt under. Hvis du vil importere likningen til dokumenentet du holder på med kan du velge Interpolant nederst ved knappen On 'done' return. Hvis du vil ha hele bildet importert til ditt dokument velger du plot istedet. Så trykker du Done. Gjør vi dette med datatene fra vårt eksempel får vi importert følgende bilde : Vi passet da på å notere oss at Maple oppgir likningen for minste kvadraterslinje til å være y = $ C z $ C

4 Hvis vi forutsetter en tilsvarende utvikling i fremtiden, kan vi bruke dette til å anslå at i året 2020, som svarer til = 40, så vil da y være gitt ved : y z $ 40 C = Eksempel 2 : om befolkningsveksten på jorden etter La angi antall år etter 1900 og y angi anslått befolkning (i milliarder) på jorden ved dette tidspunktet. Vi har tilgjengelig følgende (grove) måledata for og y : : y : y

5 Det kan se ut som y vokser eksponensielt med. Så vi ønsker å skrive y som en funksjon av på formen y = b $ a der a, b er begge positive konstanter. Vi innfører Y = ln y ( her kunne vi også brukt Y = log 10 y ). Poenget med dette er hvis y = b $ a så er da Y = ln y = ln b $ a = ln b C ln a = ln b C ln a dvs. Y = A C B, der A = ln a, B = ln b. Vi beregner nå Y = ln y for alle de målte y - verdiene : : Y : ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln(6) ln(6.3) = = = = = = Grafisk gir dette : 1.8 Y

6 Så bruker vi lineær regresjon på de "nye", Y punktene og bestemmer A og B slik at grafen til Y = A C B approksimerer disse punktene best mulig : Maple gir oss da 1.8 Y Maple gir oss også at A = , B = Dette gir videre at a = e A = e = z og b = e B = e = z Grafen til y = b a z $ vil altså gå approksimativt gjennom de opprinnelige målepunktene; dette kan vi sjekke grafiskt :

7 y 6 5 y = $ Befolkningen i 2050 kan anslåes etter denne modellen til å bli : $ = mens den vil ha vokst i 2100 til : $ = Eksempel 3 : om planter og deres gjennomsnittsmasse En bonde har et jorde der han planter hvert år et vist antall planter (av sammeart). Dette antallet, la oss si, varierer hvert år. Ved innhøstingen veier han plantene og regner ut deres gjennomsnittsmasse y (i kg). Måledataene han har notert ned eter noen år er : y Grafisk gir dette følgende bilde :

8 y Det kan se ut som y kan være på formen y = b $ a ( med a! 0, b O 0 ). Vi innfører nå X = ln, Y = ln y : For dersom y = b $ a vil da Y = ln b $ a = ln b C a $ ln = a$x C B, der B = ln b. Vi beregner nå X = ln og Y = ln y for alle de målte verdiene. Det gir :

9 X Y ln 52 ln 97 ln 200 ln 304 ln 392 ln ln K ln K ln K ln K ln K ln K Så bruker vi lineær regresjon på X, Y punktene og bestemmer a og B slik at grafen til Y = a X C B approksimerer best mulig disse punktene. Maple gir da : X K1.5 K2 K2.5 K3 K3.5 K4 K4.5 Y Maple gir også at a = K zk1.469 og B = z

10 Dermed er b = e B z e Grafen til y = b $ a z $ K1.469 vil gå approksimativt gjennom de opprinnelige målepunktene : y = $ K Dersom bonden planter 75 planter vil deres gjennomsnittsmassen anslagsvis bli : $ 75 K1.469 = Dersom bonden ønsker å finne ut hvor mange planter han bør plante for at gjennomsnittsmassen vil være ca 200 g = 0.2 kg, kan vi anslå dette grafiskt til et sted rundt 60. Alternativt kan vi løse likningen $ K1.469 = 0.2. Det gir ln K1.469 ln = ln 0.2 = K så ln = ln C = C = og dermed = e =