Типовое домашнее задание по курсу Функциональный анализ (ВО: прикладная математика) Часть I: Метрические пространства.
|
|
|
- Vebjørn Nygård
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Bариант 1. Часть I: Метрические пространства. Задача 1: a) Найти расстояние между точками x = (1, 1, 1 4,..., 1,...) и y = n (1,,,...,,...) в пространствах l 1, l, l 3, l, R. b) Найти расстояние между точками x(t) = t и y(t) = 1 t в пространствах C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1], L 3 [, 1]. Задача : a) В каких из пространств l p, p 1, l, R сходится последовательность x k = (1, 1 4, 1 9,..., 1 k,,...,,...)? b) В каких из пространств C[, π], L p [, π], p 1, сходится последовательность x k (t) = 1 ksin kt? Задача 3: Непрерывными? Являются ли следующие отображения линейными? а) F : C[, 1] C[, 1], F (x)(t) = b) F : L [, 1] L [, 1], F (x)(t) = x (t). t (x(s) + 1)ds; Задача 4: Методом последовательных приближений решить уравнение 3x 3 + x + x 1 = с точностью до, 1.
2 Bариант. Часть I: Метрические пространства. Задача 1: a) Найти расстояние между точками x = (1, 1 4,..., 1 n,...) и y = (1,,,...,,...) в пространствах l 1, l, l 3, l, R. b) Найти расстояние между точками x(t) = t + и y(t) = 1 t 3 в пространствах C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1], L 3 [, 1]. Задача : a) В каких из пространств l p, p 1, l, R сходится последовательность x k = (1, 1, 1 4,..., 1 k,,...,,...)? b) В каких из пространств C[, 1], L p [, 1], p 1, сходится последовательность x k (t) = t k? Задача 3: Непрерывными? Являются ли следующие отображения линейными? а) F : C[, 1] C[, 1], F (x)(t) = t x (s)ds; b) F : L [, 1] L [, 1], F (x)(t) = t x(t). Задача 4: Методом последовательных приближений решить уравнение x 3 + x + 3x = с точностью до, 1.
3 3 Bариант 3. Часть I: Метрические пространства. Задача 1: a) Найти расстояние между точками x = (1, 1 4, 1 9, 1 16,..., ( 1)n+1 1 n,...) и y = (1,,,...,,...) в пространствах l 1, l, l 3, l, R. b) Найти расстояние между точками x(t) = e t и y(t) = e t в пространствах C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1], L 3 [, 1]. Задача : a) В каких из пространств l p, p 1, l, R сходится последовательность x k = (1, 9,..., (k+1),,...,,...)? b) В каких из пространств C[1, ], L p [1, ], p 1, сходится последовательность x k (t) = 1? t k Задача 3: Непрерывными? Являются ли следующие отображения линейными? а) F : C[, 1] C[, 1], F (x)(t) = b) F : L [, 1] L [, 1], F (x)(t) = e x(t). t x(s)(s + 1)ds; Задача 4: Методом последовательных приближений решить уравнение 3x 3 4x + 4x 1 = с точностью до, 1.
4 4 Bариант 4. Часть I: Метрические пространства. Задача 1: a) Найти расстояние между точками x = (1, 1, 1 4,..., 1,...) и y = n (1,, 1 4,, 1 16,,...) в пространствах l 1, l, l 3, l, R. b) Найти расстояние между точками x(t) = (t + 1) 3 и y(t) = 1 t в пространствах C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1], L 3 [, 1]. Задача : a) В каких из пространств l p, p 1, l, R сходится последовательность x k = (1, 1, 1 3,..., 1 k,,...,,...)? b) В каких из пространств C[, 1], L p [, 1], p 1, сходится последовательность x k (t) = 1 kt +1? Задача 3: Являются ли следующие отображения линейными? Непрерывными? а) F : C[, 1] C[, 1], F (x)(t) = sin(x(s) + 1); b) F : L [, 1] L [, 1], F (x)(t) = x(t) + 1. Задача 4: Методом последовательных приближений решить уравнение 4x 3 + 3x + 3x 1 = с точностью до, 1.
5 5 Bариант 5. Часть I: Метрические пространства. Задача 1: a) Найти расстояние между точками x = (1,, 1,, 1 4,..., 1,,...) и n y = (1,,,...,,...) в пространствах l 1, l, l 3, l, R. b) Найти расстояние между точками x(t) = t + и y(t) = 1 t в пространствах C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1], L 3 [, 1]. Задача : a) В каких из пространств l p, p 1, l, R сходится последовательность x k = (1, 1 4, 1 9,..., 1 k,,...,,...)? b) В каких из пространств C[, π], L p [, π], p 1, сходится последовательность x k (t) = 1 kcos kt? Задача 3: Непрерывными? Являются ли следующие отображения линейными? а) F : C[, 1] C[, 1], F (x)(t) = b) F : L [, 1] L [, 1], F (x)(t) = x 5 (t). t (x(s) 1)ds; Задача 4: Методом последовательных приближений решить уравнение 5x x + 1x 5 = с точностью до, 1.
6 6 Bариант 6. Часть I: Метрические пространства. Задача 1: a) Найти расстояние между точками x = (1, 1 3, 1 9,..., 1 3,...) и y = n (1,,,...,,...) в пространствах l 1, l, l 3, l, R. b) Найти расстояние между точками x(t) = e t и y(t) = e t в пространствах C[, 1], L 1 [, 1], L [, 1], L 3 [, 1]. Задача : a) В каких из пространств l p, p 1, l, R сходится последовательность x k = (1, 1 5, 1 1,..., 1 k +1,,...,,...)? b) В каких из пространств C[, π], L p [, π], p 1, сходится последовательность x k (t) = 1 kcos kt? Задача 3: Непрерывными? Являются ли следующие отображения линейными? а) F : C[, 1] C[, 1], F (x)(t) = t (3x(s) + 1)ds; b) F : L [, 1] L [, 1], F (x)(t) = cos(x(t)). Задача 4: Методом последовательных приближений решить уравнение 5x x + 13x 15 = с точностью до, 1.
7 7 Bариант 1. Часть II: Линейные операторы. Задача 1: Найти норму линейного функционала f: f(x) = x k, x = (x k 1, x,..., x k,...), где k=1 a) f : l R, b) f : l R, c) f : l 1 R. Задача : Найти норму линейного функционала f: a) f : C[, 1] R, f(x)(t) = x() + b) f : L [, 1] R, f(x)(t) = τx(τ)dτ; (τ + 1)x(τ)dτ. Задача 3: Найти норму линейного оператора A: a) A : C[, 1] C[, 1], Ax(t) = e t τ x(τ)dτ; b) A : l l, A(x 1, x,...) = (, x 1, x,...). Задача 4: Найти сопряжённый к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (, x,..., x k,...). Задача 5: Найти левый обратный к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (x 1,, x,, x 3,.., x k,,...).
8 8 Bариант. Часть II: Линейные операторы. Задача 1: Найти норму линейного функционала f: f(x) = x 1 x 1, x = (x 1, x,..., x k,...), где a) f : l R, b) f : l R, c) f : l 1 R. Задача : Найти норму линейного функционала f: a) f : C[, 1] R, f(x)(t) = x(1) + b) f : L [, 1] R, f(x)(t) = 1/ τ x(τ)dτ. τ x(τ)dτ; Задача 3: Найти норму линейного оператора A: a) A : C[, 1] C[, 1], Ax(t) = t x(t); b) A : l l, A(x 1, x,..., x n,...) = (x 1 + x, x,..., x n,...). Задача 4: Найти сопряжённый к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (, x 1, x,..., x k,...). Задача 5: Найти обратный к оператору A : L [, 1] L [, 1], Ax(t) = e t x(t).
9 9 Bариант 3. Часть II: Линейные операторы. Задача 1: Найти норму линейного функционала f: f(x) = x k k, x = (x 1, x,..., x k,...), где k=1 a) f : l R, b) f : l R, c) f : l 1 R. Задача : Найти норму линейного функционала f: a) f : L [, 1] R, f(x)(t) = b) f : C[, 1] R, f(x)(t) = x() + x(τ) sin τdτ. x(τ)dτ x(1). Задача 3: Найти норму линейного оператора A: π a) A : L [, π] L [, π], Ax(t) = sin(t τ)x(τ)dτ; b) A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = ( x 1, x 4,..., x k..). k Задача 4: Найти сопряжённый к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (x,..., x k,...). Задача 5: Найти обратный к оператору A : C 1 [, 1] C 1 [, 1], Ax(t) = t x(τ)dτ, C 1 [, 1] = {x C 1 [, 1]; x() = }.
10 1 Bариант 4. Часть II: Линейные операторы. Задача 1: Найти норму линейного функционала f: f(x) = x k, x = (x k 1, x,..., x k,...), где k=1 a) f : l R, b) f : l R, c) f : l 1 R. Задача : Найти норму линейного функционала f: 1/ a) f : L [, 1] R, f(x)(t) = τx(τ)dτ τx(τ)dτ. b) f : C[, 1] R, f(x)(t) = x() + 1/ x(τ)dτ x(1). Задача 3: Найти норму линейного оператора A: a) A : C[, 1] C[, 1], Ax(t) = (1 + t + τ)x(τ)dτ; b) A : l l, A(x 1, x, x 3,..., x n,...) = (, x, x 3,..., x n,...). Задача 4: Найти сопряжённый к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = ( x 1, x 4,..., x k,...). k Задача 5: Найти левый обратный к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (,,, x 1, x, x 3,.., x k,...).
11 11 Bариант 5. Часть II: Линейные операторы. Задача 1: Найти норму линейного функционала f: f(x) = x k, x = (x k 1, x,..., x k,...), где k=1 a) f : l R, b) f : l R, c) f : l 1 R. Задача : Найти норму линейного функционала f: a) f : L [, 1] R, f(x)(t) = x(τ )dτ, b) f : C[, 1] R, f(x)(t) = x(1/) + (1 + sin τ)x(τ)dτ. Задача 3: Найти норму линейного оператора A: a) A : L 1 [, 1] L 1 [, 1], Ax(t) = e t τ x(τ)dτ; b) A : l l, A(x 1, x,..., x n,...) = (1x 1, x,..., x n,...). Задача 4: Найти сопряжённый к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (, x 1,,...,,...). Задача 5: Найти обратный к оператору A : l l, A(x 1, x, x 3,..., x k,...) = (x, x 1, x 3,..., x k,...).
12 1 Bариант 6. Часть II: Линейные операторы. Задача 1: Найти норму линейного функционала f: f(x) = 1 x k, x = (x k 1, x,..., x k,...), где k=1 a) f : l R, b) f : l R, c) f : l 1 R. Задача : Найти норму линейного функционала f: a) f : L 1 [, 1] R, f(x)(t) = x(τ)dτ. b) f : C[, 1] R, f(x)(t) = x() + sin τx(τ)dτ x(1). Задача 3: Найти норму линейного оператора A: a) A : C[, 1] L 1 [, 1], Ax(t) = cos(t τ)x(τ)dτ; b) A : l l, A(x 1, x,..., x n,...) = (x 1,, x,,..., x n,,...). Задача 4: Найти сопряжённый к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (x, 3x 3..., kx k,,...,,...). Задача 5: Найти обратный к оператору A : l l, A(x 1, x,..., x k,...) = (x 1, x, 3x 3..., kx k, x k+1,..., x n,...).
dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),...
- ( ) - 3 579 : - - : - / : : 3 4 579-4 5 9 3 9 4 3 5 5 6 3 33 34 3 35 4 36 39 c - ( ) 3 c 3 - - ( ) - ( - ) - - - ( ) - - ( - ) ( t) - dx k = f k (x x n ) k = n () dt x x n f f n - d X = f( X) dt f k
Ordliste for TRINN 1
Ordliste for TRINN 1 (utviklende matematikk-oppgavehefter 1A, 1B,2A, 2B, 3A og 3B, - refleksjonsord som kan hjelpe å forstå oppgaver). Bok og side Ord på norsk Forklaring på norsk/synonym/illustrasjon
СТЕЛС Оптовая торговля изделиями из натурального камня т Дмитрий, т Александр.
СТЕЛС www.stelsoptom.ru Оптовая торговля изделиями из натурального камня т. 8-913-599-0551 Дмитрий, т. 2505527 Александр. E-mail: 5367166@mail.ru Адрес: г. Красноярск, ул. Новая Заря, 16 (склад 7). ПРАЙС-ЛИСТ
y = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
Flervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte
Flervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte Forelest: 5. Nov, 2004 Først skal vi ta for oss kjerneregelen for funksjoner av flere variable. Se metodeark 7 og 8 for flervariable funksjoner.
Oppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 5
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 5 INSTITUTT FOR TELETEKNIKK + 2 sider vedlegg Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anna Kim Tlf.: 50214 KONTINUASJONSEKSAMEN I
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
Bedømmelse: Ved bedømmelse vektlegges oppgavene I, II og III likt.
Side 1 av 5 + 2 sider vedlegg NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR TELETEKNIKK Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.: 94314 KONTINUASJONSEKSAMEN
Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider
Forelesning 9. april 4 Pensum i boken: - og -, noe fra -4 ikke nødvendig å lese, -6., -8-3. og -3.5 3- til 3-4 Oversikt Spektrum for et signal, frekvensinnholdet Bruk av Fourier-transform FT for å beregne
(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
( ) ( Tosidig spektrum for x(t) = cos(100π t π/3) + 15 cos(400π t + π/4) 8 15/2 e jπ/4. absoluttverdi av a k 6. 5 e 5.
dr X A r n rll kontant og X k A k jφ k Forlning,. april 6 Pnum i bokn: - og -, no fra -4 ikk n dvndig å l, -6., INF4-8 -3. og -3.5 3- til 3-4 Ovrikt Spktrum for tignal, frkvninnholdt Bruk av Fourir-tranform
Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Hjelpemidler/hjelpemiddel: D - "Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Enkel kalkulator tillatt."
Side av 8 + sider vedlegg NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.: 46660465
f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
L(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s
Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100
Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.
Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Kandidatnr: Eksamensdato: 27.5.21 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2ET 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):
TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
apple К apple fl 0 0
0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0
1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
Løsningsforslag. Innlevering i FO929A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 15. april 2011 kl Antall oppgaver: 4
Innlevering i FO99A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 5. aril kl. 5. Antall ogaver: 4 Løsningsforslag Ogave Beregn disse ubestemte integralene a 5 cos3t dt 5 3 sin3t + C 5 sin3t
Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i Eksamensdag: 9. april,. Tid for eksamen: : :. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og
EKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG
EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 4K, 3..5. LØSNINGSFORSLAG Oppgave. y + y + t y(τ)e t τ dτ = u(t ) t >, y() = Anta at den Laplacetransformerte Y (s) av y(t) eksisterer. Siden integralet er konvolusjonen av y(t)
KONTINUASONSEKSAMEN I FAG SIE2010 Informasjons- og signalteori
Side/Page 1 av/of 4 + 2 sider vedlegg + enclosure, 2 pages NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR TELETEKNIKK Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.:
Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
![Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.](/thumbs/64/52041444.jpg "Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.")
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
Kap 5 Laplace transformasjon. La f(t) være definert for t 0. Laplace transformasjonen er. F (s) = f(t)e st dt (1)
Kap 5 aplace transformasjon a f(t) være definert for t 0. aplace transformasjonen er F (s) = 0 f(t)e st dt (1) for alle s C der dette er veldefinert. Tilstrekkelig betingelse: f(t) stykkevis kontinuerlig
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 16.mai 1 Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT4T Signalbehandling Klasse(r): EI EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):
SIE30AR Ulineær bevegelsestyring - Servoteknikk Løsningsforslag til øving 11: Passivitet
SIE3AR Ulineær bevegelsestyring - Servoteknikk Løsningsforslag til øving 11: Passivitet u u 1 H 1 y 1 y y H u Figure 1: To systemer i tilbakekobling 1 Fra Figur 1 kandet sees at u = u 1 + y y = y 1 = u
LØSNINGSFORSLAG TIL SIGNALBEHANDLING 1 JUNI 2010
LØSNINGSFORSLAG TIL SIGNALBEHANDLING JUNI Løsningsforslag til eksamen i Signalbehandling, mai Side av 5 Oppgave a) Inngangssignalet x(t) er gitt som x( t) = 5cos(π t) + 8cos(π 4 t). Bruker Eulers formel
РЯДИ. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» РЯДИ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato: 19.5.211 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): Håkon Grønning
Eksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: 90849783 Eksamensdato: 6. juni 2019 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Eksamensdato: 14.5.213 Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT24T Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013 I. FUNKSJONER TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x
Småtriks med integraler
Småtriks med integraler Carl Inge C. Nilsen (carlingn), UiO 28. februar 26 1 Hvordan vise effekten av tidsskift på Fourier koeffisientene. Gitt et signalx(t) med periodet og kjente Fourier koeffisientera
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 7.mai 24 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: Faglærer(e):
Oppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t
Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
Prov i matematik Matematiska institutionen. Transformmetoder Julia Viro
Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 5--9 Skrivtid: 5. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application Maxpoäng
EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2000, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M7 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2, kl. 9-5 Løysingsforslag: a Singulære punkt svarer til nullpunkta for x 2, dvs. x = og x =. Rekkeutvikler om x = : yx = a n x n y x = na n x n
Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid
TMA4125 Matematikk 4N
Norge teknik-naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag TMA4125 Matematikk 4N Løningforlag - Øving 4 Fra Kreyzig, avnitt 5.6 3 Vi øker f(t) L 1 {F ()} for F () ( 2 + 9 9)/( 3 9) og delbrøkopppalter
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, 6/
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00, 6/0-008. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r =, θ = 7π 6. Da er z lik: i + i i i + i Riktig svar: c) i. Begrunnelse: z = ( cos 7π 6 + i
3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
Ubestemt integrasjon.
Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04
TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Løysingsforslag Øving 2 Oppgåver frå læreboka, s. xliv-xlv 9 Me finn først fjørkonstanten k. Når
EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del A: Laplacetransformasjon, Fourieranalyse og PDL
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Oppgave A-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side
EKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 1.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk
TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN I FOA94 Differensialligninger KLASSAR : 08HETK, 08HMAM, 08HMMT, 08HMPR, 08HUVT DATO : 0. desember 200 ANTALL OPPGAVER 3 ANTALL SIDER 3 VEDLEGG
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2
Fasit til utvalgte oppgaver MAT, uka 8-/ Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no February, Oppgave 3.3.6 Vi har funksjonen fx, y, z xyz og kurven Vi ser at rt e t, e t, t, t. vt e t, e t, vt e t + e t + frt t. e
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
Forord. Hilde Vinje Ås, mai iii
Matematisk modellering av utviklingen til HIV/AIDS ved hjelp av differensialligninger Mathematical Modeling of Development of HIV/AIDS by using Differential Equations Hilde Vinje Institutt for matematiske
Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011
Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011 Oppgave 1. a) Vi velger her, og i resten av oppgaven, positiv retning oppover. Dermed gir energibevaring m 1 gh = 1 2 m 1v 2 0 v 0 = 2gh. Rett
ГMHXD(F$ F DDCmаE'' Schindler
В ы с ш ее к а ч ес т о теперь и м еет и м я. Э т о н а ш п а сса ж и рски л и ф т для о ф и сны х з д а н и. Г р H з о вые с п е < а л ь н ы е л ф ы к о м п а н S c hin d l e r Г и б к о с ть п р и м
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel 5 5.5 Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax
Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
EKSAMENSOPPGAVER MATEMATIKKDELEN AV TMA4135 MATEMATIKK 4D H-03
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Oppgave D-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side
Løsningsforslag eksamen i TMA4123/25 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag eksamen i TMA3/5 Matematikk M/N Mandag. mai TMA3 Matematikk M; Alt unntatt oppgave 5 (Laplace. TMA5
Løsningsforslag øving 4
TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u 5 2 0.
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 6.mai 215 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 7 Kapittel 7.3: Rasjonale funksjoner og delbrøkoppspaltning 7.3:3 Bruk polynomdivisjon for
Løsningsforslag: MAT 1110 Obligatorisk oppgave 2, V-12
Løsningsforslag: MAT 0 Obligatorisk oppgave, V- Oppgave a Siden f har en annenderivert, må både funksjonen selv og dens deriverte være kontinuerlige, og det sikrer at vi i regningene nedenfor har 0 0 -uttrykk:
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
x + y z = 0 2x + y z = 2 4x + y 2z = 1 b) Vis at summen av de n første leddene kan skrives som S n = 3 n(n + 1)
Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 17. september 2017 Kommentar: Dette er en innskriving av S2 eksamen, basert på scan av dokumentet lastet opp av matematikk.net-bruker Viks. Det
Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
EKSAMEN I FAG TTT4110 Informasjons- og signalteori. Norsk tekst på oddetalls-sider. ( English text on even numbered pages.)
Side/Page 1 av/of 8 + 2 sider vedlegg + enclosure, 2 pages NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn:
MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
Eksamen i TMA4135 Matematikk 4D
Noreg teknik naturvitkaplege univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Fagleg kontakt under ekamen: Mariu Thaule telefon 73 59 35 30 Ekamen i TMA35 Matematikk D Nynork Laurdag. deember 0 Tid: 09.00
EKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA-109 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik
EKSAMEN EMNE: MA- FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): Antall oppgaver: Antall
Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
INF2080 Logikk og beregninger
INF2080 Logikk og beregninger Forelesning 9: Endelige kjeder Sist oppdatert: 2012-02-15 11:22 9.1 Beskrivelse endelige kjeder Fargelegging av kjeder 9.1 Beskrivelse endelige kjeder Fargelegging av kjeder
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
Oppgavehefte for Mek 1100
Oppgavehefte for Mek 1100 Geir Pedersen Høst 2009 Oppg. 1 Normal til bane i planet. Vi har gitt en posisjonsvektor som funksjon av t på dimensjonsløs form r(t) = (5 + t)i + t 2 j. a) Finn hastigheten,
differensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) 1 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) = 1 s 2 1 s s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D eksamen 8 august Løsningsforslag a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der ut) er Heaviside-funksjonen f t) = L {F s)} = ut ) g
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til
UiO MAT1012 Våren Ekstraoppgavesamling
UiO MAT1012 Våren 2011 Ekstraoppgavesamling I tillegg til eksamen og prøveeksamen fra våren 2010 inneholder denne samlingen en del oppgaver som er blitt gitt til eksamen i diverse andre emner ved UiO i
MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
Eksamensoppgave i TMA4122,TMA4123,TMA4125,TMA4130 Matematikk 4N/M
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA422,TMA423,TMA425,TMA430 Matematikk 4N/M Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 9. august 207 Eksamenstid (fra til):
Oppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00
EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:
СР ЂА Н ВИД РИ Ћ, рођен у Зрењан ин у. П и ше есе је и к њи жев н у к ри т и к у, о б ја в љу је у пе ри о д и ц и.
АУТОРИ ЛЕТОПИСА БОРИВОЈЕ АДАШЕВИЋ, рођен 1974. у Ужицу. Пише прозу. Књиге при ча: Екв ил иб р и с т а, 2000; Из т р е ћ е г к р а љ е в с т в а, 2 0 0 6. Ро м а н и: Чо век из ку ће на бре гу, 2009; Крф,
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken