РЯДИ. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "РЯДИ. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ"

Transkript

1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» РЯДИ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ Київ «ПОЛІТЕХНІКА»

2

3 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» РЯДИ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ -ГО КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ» Київ «ПОЛІТЕХНІКА»

4

5 Ряди Теорія функцій комплексної змінної Операційне числення: Зб завдань до типової розрахункової роботи для студ -го курсу технічних факультетів / Уклад: СВ Горленко, ЛБ Федорова, ВО Гайдей К: Видавництво «ІВЦ Політехніка», 6 с Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (Протокол від 99 р) Навчальне видання РЯДИ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів -го курсу технічних факультетів Укладачі: Відповідальний редактор Рецензент Горленко Святослав Васильович Федорова Лідія Борисівна Гайдей Віктор Олександрович ВВ Булдигін, д-р фіз-мат наук, проф ВГ Лозовик, канд фіз-мат наук, доц Темплан р, поз ІІ/8 Редактор СІ Крамаренко Підп до друку Формат 6 8 / 6 Папір офс Спосіб друку ризографія Ум друк арк,9 Обл-вид арк,8 Зам -6 Наклад пр Інформаційно-видавничий центр Видавництво «Політехніка» НТУУ «КПІ» Свідоцтво про держреєстрацію ДК від 9 6, Київ-6, просп Перемоги, 7

6

7

8 Вступ Натепер накопичено багаторічний досвід використання типових індивідуальних розрахункових робіт для організації і контролю самостійної роботи студентів Результатом цього є створена нова зручна форма типового варіанта Цей збірник містить варіантів індивідуальних завдань середнього рівня складності, а кожний варіант задачі до таких розділів: «Числові та функціональні ряди», «Ряд та інтеграл Фур є», «Теорія функцій комплексної змінної», «Операційне числення» Крім того, запропоновано кілька варіантів завдань, підготовчих до розв язання основних задач (рівень А) та задач, що поглиблюють вивчення відповідних розділів (рівень В) Їх уміщено в кінці збірника Частину задач узято зі збірників завдань з вищої математики [, 9] Крім того, укладачі рекомендують використовувати збірники задач [, 6 8] Список рекомендованої літератури Берман ГН Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука, 98 6 с Вища математика: Збірник задач / В П Дубовик, І І Юрик, І П Вовкодав та ін К: Вища шк, с Гудименко ФС Збірник задач з вищої математики К: КДУ, 967 с Демидович БП Сборник задач и упражнений по математическому анализу М: МГУ, с Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике М: Высш шк, 99 6 с 6 Сборник задач по курсу высшей математики / Г И Кручкович, Н И Гутарина, П Е Дюбюк и др М: Высш шк, с 7 Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа: В ч / В А Болгов, А В Ефимов, А Ф Каракулин и др М: Наука, 986 Ч 68 с 8 Сборник задач по математическому анализу Интегралы Ряды / Л Д Кудрявцев, А Д Кутасов, В И Чехлов, М И Шабунин СПб: Наука, с 9 Чудесенко ВФ Сборник заданий по специальным курсам высшей математики М: Высш шк, 999 с

9 Варіант Дослідити на збіжність ряд: si ) si ) = = + ) ) ( )! = + = ) 6) = + = l (+ ) + + ( ) = ( + ) = ( + ) 7) 8) ( ) ( + ) 9) ) = = (+ ) Знайти суму ряду: 6 + ) ) 9 + = = + ) ( ) + ) ( + ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )si, = 9 ), = ), = ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністюε= : +, ( ) 6 ) ) d = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π <, ) f =, π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, R та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: i ) ) si π ( + i) ) ( + i ) 8Зобразити множину точок { C, + > } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = + f, () = Обчислити інтеграл R d, де : ) =, arg π )[] [ + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = + + ), = + i) cos, = ( ) Визначити тип особливих точок функції: 9 ), = ) si si + 6 Обчислити інтеграл: d cos ) ) d ( + ) = = π π siπ d ) d ) + si sh π =, + + si ) d 6) d ( + ) Знайти зображення оригіналу:,, cos g ) si ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η +η( ), () = ) + = 6, () =, () = ) = h, () = () = = + +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = si + ( d )

10 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + ( ) ) ) si + + = = (!) ) g ) = = ( + ) ) 6) l (+ ) = = ( ) 7) 8) + + = = ( + ) ( ) 9) ) l( = = + ) Знайти суму ряду: + ) ) 9 = = ) ) ( ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: π = )cos, ), = ), = + ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= :, + ) ( ) ) si( ) d! = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π, ) f =, < π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = cos, π f =, >π та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) + i ) si π ( + i) ) Arcsi 6 8 Зобразити множину точок { C + i, < } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = +, f() = Обчислити інтеграл d, де : ) = + i, + i )[] [ + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = + + ), = i )si, = ( ) Визначити тип особливих точок функції: 7 ), = ) cos Обчислити інтеграл: d ) ) d ( ) i= = 9 π cos + ) d d ) 9 si sh + = + ( )si ) d 6) d ( 9) + + Знайти зображення оригіналу:,, si g ) cos ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + = ( η +η( )), () = ) =, () =, () = ) =, () = () = + = + +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння d =

11 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + ( π) cos ) ) + ( + ) = = + + ( + ) ) l ) ( + )! = + = + l ) + 6) (+ ) = + = + + ( ) ( ) 7) 8) l( + ) (6+ ) = = ( + ) ( ) 9) ) = = 9 Знайти суму ряду: 6 + ) ) = = ) ( ) ) ( + ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )l( 6 ), = ), = ), = + ) : =, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= : + ( ) ) ) cos d = 8 Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= 6 O g 6, π <, ) f = +, π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = si, [ π ] f =, [ π ] та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) ) 6 ) Arcsi( ) 8Зобразити множину точок { C i,r > } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = ( cos+ si ), f() = Обчислити інтеграл d, де : π π π π ) = + i si, + i ) i + Знайти всі лоранівські розвинення функції: 8 ), = ( ) ), = i ), = ( ) Визначити тип особливих точок функції: si8 6 ), = )g cos + Обчислити інтеграл: d + ) ) d ( + ) i= = π shπ π d ) d ) si π + 6 si = + cos d ) d 6) ( ) + + Знайти зображення оригіналу: sh g, 6, )( + )si ) ), > 6 Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ), () = ) + = +, () =, () = ) + =, () = () = + = +, ) () =, () = = + 9, 6Розв язати інтегральне рівняння ch( d ) = 6

12 Варіант Дослідити на збіжність ряд: l ) g ) 7 = =! ) si )! = = l ( 7) ) 6) + ( ) = = + ( ) ( ) 7) 8) l = (l l ) l = ( ) + 9) ) = = ( + ) Знайти суму ряду: 9 ) ) = = ( ) + ) ) ( + ) = ( ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ) cos, = ), = + )l( 6 ), = ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= :, ( ) d ) )!(+ ) + = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= 8 O g 8 +, π, ) f =, < π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, [ ] f =, [ ] та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) i )sh ( + πi) )Arcg + i 8Зобразити множину точок { C +, + i < } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = f, () = Обчислити інтеграл R d, де : ) = cos + si, )[] [ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 6 ), = ), = + i ( ) π ) si, = a a Визначити тип особливих точок функції: cos7 ), = ) sh 6 Обчислити інтеграл: + si si ) d ) d ( + i) cos π = = 9 π ch ) d d ) 9 6 si si + = 8 + d cos ) 6) d ( ) ( ) ( ) Знайти зображення оригіналу: sh g, 8, )( )cos ) ), > 8 Розв язати задачу Коші: ) + =η +η( ), () = () = ) = cos, () =, () = ) + = cos, () = () = = + +, ) () =, () = =, 6Розв язати інтегральне рівняння = cos + ( d ) 7

13 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + + ( ) ) ) l = = (+ )! ) arcg ) + = = + l (+ ) ) 6) (+ ) = = + ( ) ( ) 7) 8) = + = ( + ) ( + ) ( ) ( ) 9) ) = = Знайти суму ряду: ) ) + 8+ = = + ( ) + ) ) (+ ) + = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: sh ), = ), = ( ) )l( + + ), = ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= :, = ( + ) + ) ) d Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π <, ) f = +, π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, f =, < та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) ) ch( + π ) ) Arcsi i i 8Зобразити множину точок { C + <, i } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = ( + )cos f, () = Обчислити інтеграл Im d, де : ) = cos+ isi, ) + =, i Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = + + π ), = + i ) cos, = a ( ) a Визначити тип особливих точок функції: sh6 6 ), = ) ch ( + ) Обчислити інтеграл: ) d ) d sh i si π = = π + d ) d ) 7+ si = + ( + )cos d ) d 6) ( + ) Знайти зображення оригіналу: ch g,, ) (ch+ sh )) ), > Розв язати задачу Коші: ) + = η η( ), () = ) + + = 7, () =, () = ) = h, () = () = = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + d 8

14 Варіант 6 Дослідити на збіжність ряд: = + = = + l = = = + + ( ) + arcg ) ) + ( + ) + ) ) si! + l ( + ) ) 6) + + ( ) ( ) 7) 8) ( + )l = = + ( + ) ( ) 9) ) = = + 8 Знайти суму ряду: + ) ) 9 8 = = + ) ) (+ ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: 7 π ), = )si, = + )l( + + ), = ) : = + +, () = ( до ) Обчислити з точністюε= : ( ) ) ) l( d + ) (+ )! = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g +, π, ) f =, < π ) f = ( π), ( π) за косинусами ) f = ( π), ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = si, π f =, > π та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) i ) ( + i) ) Arccg + i 8Зобразити множину точок { C + i, i > } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f =, f() = + i + Обчислити інтеграл d, де : ) = i, )[] [ + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 6 ), = + 8 ), = i )si, = i ( + ) i Визначити тип особливих точок функції: ch ), = ) + ( i) ( + ) Обчислити інтеграл: (si+ ) cos ) d ) d si = = π cos7 d ) d ) shπ si = ) 6) + si ( + 9) d d ( + )( + 9) + Знайти зображення оригіналу: cos cos g,, ) sh ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η +η( ), () = () = ) + = ( + ), () = () = ) =, () = () = ch = + +, ) () =, () = = + +, 6Розв язати інтегральне рівняння ( ) = si( d ) 9

15 Варіант 7 Дослідити на збіжність ряд: (+ cos π) ) ) = + = + arcg ) ) + si! = = l ( + ) ) 6) + ( + ) = = ( ) ( ) 7) 8) l( + ) = = ( + ) + 9) ) ( ) = = Знайти суму ряду: ) ) 9 + = = ( ) + ) ) (8+ ) ( ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ), = 7 π )si, = )l(+ ), = ) : = cos, () = ( до ) Обчислити з точністюε= :, d = 7+ ) ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π <, ) f =, π ) f = ( π), ( π) за косинусами ) f = ( π), ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) ) si π ( + i) ) Arccos i 8Зобразити множину точок { C i,im >,R } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = si + f, () = Обчислити інтеграл ( i) d, де : ) =, i )[ i] [ ii + ] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 7 98 ), = ), = + i ( + ) i i )si, = + i Визначити тип особливих точок функції: 6 ( +π)siπ ) si, = ) si Обчислити інтеграл: 8 d ch ) ) d si si π = = π + d ) d ) si = + ( + )cos d ) d 6) Знайти зображення оригіналу: cos g,, ) si sh ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ), () = () = ) 9= si cos, () =, () = ) =, () = () = + = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + d

16 Варіант 8 Дослідити на збіжність ряд: arcsi ) si ) = + = + cos ) ) si! = + = ) 6) + ( )l( ) = = + + ( ) ( ) 7) 8) + l = = ( ) ( + ) 9) ) = + Знайти суму ряду: 7 + ( ) + ) ) = = + 7 ) ) (8+ ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )l(+ 6 ), = ), = )si, = + ) : =, () = (до ) Обчислити з точністюε= :, = ) ) d Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= 6 O g 6, π, ) f =, < π ) f =, ( π) за косинусами ) f =, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = cos, [ π ] f =, [ π ] та фазовий частотні спектри π ) i ) cos + i ) Arcsi i 8Зобразити множину точок { C + i,r <,Im } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = cos f, () = + i d Обчислити інтеграл, де : ) = + i ( ), + i )[] [ + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 6 ), = + ), = i ) cos, = ( + ) Визначити тип особливих точок функції: ), = ) si si + 6 Обчислити інтеграл: ( ) si ) d ) d si = = π ch cos d ) d ) 8 7 si siπ =, cos + ( + ) d ) d 6) ( + ) + 9 Знайти зображення оригіналу: ch g, 6, ) si sh ) ), > 6 Розв язати задачу Коші: ) + =η( ), () =, () = ) + = +, () =, () = ) + =, () = () = + = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + si( d ) 7Знайти всі значення функції:

17 Варіант 9 Дослідити на збіжність ряд: si ) g ) + + = =! ) ) g! = cos 6 = π ) arcsi 6) ( )l = = π + ( ) si 7) 8) + = + = 7 ( + ) = = ( ) 9) arcg ) Знайти суму ряду: ) ) + ( + ) = = 7 + ) ) (7+ ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )( )si, = ), = )l( ), = + ) : = + +, () = ( до ) Обчислити з точністюε= : ( ) ) ) si( ) d, = ( ) (+ ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= 8 O g 8, π <, ) f =, π ) f =, ( π) за косинусами ) f =, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = sg( ) sg( ), R та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 6 ) ( + i) ) sh( π ) i 8Зобразити множину точок { C i,r,im < } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f =, f() ( + ) + = d, де : Обчислити інтеграл ( ) ) = + i, + i )[] [ + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 9 6 ), = ), = + i ) si, = Визначити тип особливих точок функції: si ), = ) cos cos + Обчислити інтеграл: = ( + ) ) d ) d siπ =, π sh si d ) d ) 9 si sh = + ( )si d ) d 6) ( + ) Знайти зображення оригіналу: ch ch g, 8, ) ch cos ) ), > 8 Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ) + η( ), () = ) = si, () =, () = ) + =, () = () = + = + 6+, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння cos d = +

18 Варіант Дослідити на збіжність ряд: ( ) l + ) l ) = = 6 ( ) ) si ) +! = = + ) 6) ( + )l = = π ( ) 6 = = 7) cos 8) ( + 6) ( 7) 9) ) = = ( ) Знайти суму ряду: + ( ) ) ) (+ ) = = + ) ) (7+ ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ch ), = π + 7 )cos, = ), = + + ) : = +, () = (до ) Обчислити з точністюε= : ) ( ) ) cos( ) d (+ )!!, = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π, ) f =, < π ) f =, ( π) за косинусами ) f =, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = sg, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: + π ( + ) ) i ) sh i ) ( i) 8Зобразити множину точок { C i, R,Im< } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f =, f() = + Обчислити інтеграл Im d, де : ) =, + i )[ i] [ i + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = + + ), = i )( )cos π, = Визначити тип особливих точок функції: cos ), = ) sh + 6 Обчислити інтеграл: i ( i) ) d ) d siπ = = π si d ) d ) 7 si sh6π =, + cos ( + ) ) d 6) d Знайти зображення оригіналу: cos cos g,, ) ch ) ), > Розв язати задачу Коші: ) = η η( ), () = ) + = si, () =, () = ) =, () = () = ch = + +, ) () =, () = =, 6Розв язати інтегральне рівняння = d i

19 Варіант Дослідити на збіжність ряд: ( ) = = = = ( ) + arccos ) cos ) + π ) arcg ) ( + )! ) 6) l = = + + = = = = π ( ) (+ ) 7) si 8) ( + ) ( + ) ( ) 9) ) (+ ) Знайти суму ряду: 6 ) ) 6 = = + + ) ) ( ) (+ )( + ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: 6 ), = ), = 8+ )si, = ) : = + si, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= : ( ) d ) )!! 6+ = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π <, ) f =, π ) f =, ( π) за косинусами ) f =, ( π) за синусами 6Зобразити функцію π π f = si, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 8 ) ch( π i) ) Arcsi i 8Зобразити множину точок { C + i <,< R } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = cos f, () = Обчислити інтеграл R d, де : ) = cos+ isi, i )[] [ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = + + ), = + i + ) si π, = Визначити тип особливих точок функції: ), = ) cg π ch Обчислити інтеграл: si + si ) d ) d ( π) = = π 6 si6 d ) d ) si sh = + si si ( + ) ) d 6) d ( + ) + 9 Знайти зображення оригіналу: g,, ) cos ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η + η( π), () = ) + = sh, () =, () = ) =, () = () = + ch = +, ) () =, () = = + +, 6Розв язати інтегральне рівняння = cos( d )

20 Варіант Дослідити на збіжність ряд: cos ) ( ) ) + = = ) ) = l = (!) + l ( + ) ) 6) + ( ) = = ( ) ( ) ( + ) 7) 8) l = = ( + ) ( ) 9) ) = + = ( 8) Знайти суму ряду: 7 + ) ) 9 8 = = = = ) ( ) ) ( + ) Розвинути в ряд Тейлора функцію: ) l( + + ), = ), = ), = 6 ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= : ( ), ) ) d 9 = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= 8 O g 8, π, ) f =, < π ) f =, ( π) за косинусами ) f =, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, R та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 8 i ) (+ i) ) Arcg( i ) 8Зобразити множину точок { C i, < arg < π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = f, () = Обчислити інтеграл d, де : ) = + i, + i )[] [ + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 6 ), = ), = i ) cos, = i + i Визначити тип особливих точок функції: si siπ ), = ) ( ) Обчислити інтеграл: + + ) d ) d ( ) = = π cos + 8 d ) d ) si sh = + + cosd ) d 6) ( + + ) ( + ) ( + ) Знайти зображення оригіналу:, 8, g ) si ) ), > 8 Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ), () = () = ) =, () =, () = ) + =, () = () = + =, ) () =, () = =, 6Розв язати інтегральне рівняння si= cos( d )

21 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + l ) l ) + = = = = 7 ) si ) + ( )! + l (+ ) ) ( ) 6) ( ) = = + ( ) 7) ( ) g 8) = = ( ) 9) ) ( + ) g = = Знайти суму ряду: 7 ) ) + = = + ) ( ) ) ( ) ( + ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )l( ), = )si, = ), = ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= :, = 7 ) ) l ( d + ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= 6 O g 6, π <, ) f = π, π ) f = ( π), ( π) за косинусами ) f = ( π), ( π) за синусами 6Зобразити функцію π π f = cos a, f =, > a a та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: + i ( + ) ) 6 ) ( ) ) Arcg i 8 Зобразити на комплексній площині область: { i,< Im< } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = + f, () = Обчислити інтеграл R si d, де : π π π π ) = + i, + i )[ i] i i + Знайти всі лоранівські розвинення функції: 8 ), = + 69 ), = + i )cos, = + ( ) Визначити тип особливих точок функції: ) cos, = ) si Обчислити інтеграл: i + ) d ) 6 d sii = = π shπ π d ) π d ) si si = ( + ) d sid ) 6) ( + + ) + + Знайти зображення оригіналу: siτ g, 6, )( )si ) d ) τ τ, > 6 Розв язати задачу Коші: ) + = η η( ), () = ) + =, () =, () = ) + =, () = () = ch = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = sh ch( d ) 6

22 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + ) ( + ) ) ( si = = + π ) + arcg! ) + ) +! = = + ) 6) = = ( + )l cos π ( ) 7) 8) = = + ( ) 9) cos ) si ( ) = = + Знайти суму ряду: ) ) = = + ) ) (+ ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )( + ), = )l(+ ), = ), = + ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= : ( ) d ) ) 7 6+ = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g +, π, ) f =, < π ) f = ( π ), ( π) за косинусами ) f = ( π ), ( π) за синусами 6Зобразити функцію f = si, π f =, >π та фазовий частотні спектри R f = +, f() = d Обчислити інтеграл, де : 7Знайти всі значення функції: ) i )cos π ( i) )Arcg( i + ) 8Зобразити множину точок { C + i >, π arg< } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо ) = cos+ i si i, )[ i] [ ] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 7 96 ), = i ), = i )si, = i + i Визначити тип особливих точок функції: cos si si ), = ) si + (si ) 6 Обчислити інтеграл: cos + ) d ) d π = = + π ch 8 d ) d ) 8 si si = ( + )si ) d 6) d ( + ) + + Знайти зображення оригіналу: cos g,, )( + )si ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + = η( ) η( ), () = ) + + =, () =, () = ) =, () = = () = ch = + +, ) () =, () = = + +, 6Розв язати інтегральне рівняння sh= ch( d ) 7

23 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + ( ) ) ) si π + 6 = = ( ) ) ) + ( + )! = = + + ) 6) = + = ( + )l ( ) ( ) 7) 8) = ( + ) = ( + ) = 9 ( ) = 9) ) Знайти суму ряду: 9 8 ) ) 9 + = = ) ) (7+ ) = ( ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: si ), = ), = )l(+ ), = ) : = cos+ cos, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= :, ( ) ) ) d! = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний ) f = g, T= O g, π <, ) f =, π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, [] f =, [] та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функцій: i ) 8 ) si π ( i) ) ( i ) 8Зобразити множину точок { C i <, arg π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = f, () = Обчислити інтеграл d, де : ) = i, )[ i] [] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = + ), = + i )si, = + Визначити тип особливих точок функції: sh ), = ) cos + Обчислити інтеграл: l( + ) cosi ) d ) d si = = π d ) d ) 6 si sh π =,9 + d si ) 6) d ( ) ( ) ( ) Знайти зображення оригіналу: si g,, ) (ch+ sh )) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η( ) η( ), () = () = ) =, () = () = ) =, () = () = ch = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + d 8

24 Варіант 6 Дослідити на збіжність ряд: l ) ( + ) ) + + = = +! ) l ) = + + = l ( + ) ) 6) + + = = + ( ) ( ) 7) 8) (l l )l = = ( + ) ( ) 9) ) + = = ( + ) Знайти суму ряду: ) ) 9 = = + ( + ) ) ) ( ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: 7 ), = )l(+ ), = )si, = ) : = +, () = ( до ) Обчислити з точністю ε= :, = ) ( ) ) si d! Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O +, π, ) f =, < π ) f = +, ( π) за косинусами ) f = +, ( π) за синусами 6Зобразити функцію f =, [] f =, [] та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 8 i)sh( + π ) )Arcsi 6 i i + i 8Зобразити множину точок { C <, π arg( ) π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = + f, () = Обчислити інтеграл arg d, де : ) = +, i )[ ] [ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 8 6 ), = ), = i ) p, = + Визначити тип особливих точок функції: ch ), = ) sh siπ 6 Обчислити інтеграл: si + ) d ) d π 6= = 6 π cos8 d ) d ) sh 8 si =, + + cos ) d 6) d ( + ) Знайти зображення оригіналу: sh g,, ) cos ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + + = ( η η( )), () =, () = ) + = si, () =, () = ) + =, () = () = + = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = si+ d 9

25 Варіант 7 Дослідити на збіжність ряд: siπ + ) ) + = = = = + (!) ) arcg ) ( + )! ) 6) = = l( ) + ( ) ( ) (+ ) 7) 8) ( = + ) = ( ) ( + ) 9) ) + = + = Знайти суму ряду: 8 ) ) 6 8 = = + ) + ) (+ ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ), = ), = )cos, = ) : = + +, () = Обчислити з точністю ε= : ) ( ) ) cos( ) d!, = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O, π < ) f =, π ) f = +, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f = +, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) ) ch + πi ) Arcg i 6 7 8Зобразити множину точок { C,arg( + i) > π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f =, f() = Обчислити інтеграл ( id ), де : ) = + i, + i )[ i] [ i+ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + ), = ( ) ), = + i), = ( )( + ) Визначити тип особливих точок функції: ), = ch )h Обчислити інтеграл: g + ) d ) d +π + = = 7 π ch d ) d ) sii si = + d cos ) 6) d ( ) + + Знайти зображення оригіналу: ch g,, ) si sh ) ), > Розв язати задачу Коші: ) 7 + =η( ) η( ), () = () = ) + = 9 cos, () =, () = ) + + =, () = () = ( + ) = + 8+, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + ( ) d 6

26 Варіант 8 Дослідити на збіжність ряд: cos π + ) ) + = = π ) l )!si = + = π ) si 6) l( ) = = + ( ) = + = + 7) 8) ( ) ( + ) 9) ) = + = ( + )! Знайти суму ряду: 7 ) ) 9 = = + ( ) + ) ) ( ) = ( + ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )l(+ 8 ), = ), = ), = + + si ) : = +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= : + d ) ( ) )!! 8+, = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= 6 O 6 π +, π, ) f =, < π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, [] f =, [] та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 8+ 8 i)( i))arccos(+ i) 8Зобразити множину точок { C <,Im,R < } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = ( cos si ), f() = Обчислити інтеграл d, де : ) = cos+ i si, i )[ + i] [ + ii ] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + ), = ), = i )si, = ( )( + ) Визначити тип особливих точок функції: si ), = ) ( cos ) Обчислити інтеграл: cos + + cos ) d ) d +π + = = π ch cosi d ) d ) si si =, + ( + ) d cosd ) 6) ( + 9) ( + 6)( + 9) Знайти зображення оригіналу: cos cos g, 6, ) si ) ), > 6 Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ), () = ) + + = +, () =, () = ) =, () = () = ( + ) = + +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + si( d )

27 Варіант 9 Дослідити на збіжність ряд: ( cosπ + + ) ) ) 7 + = = π ( + )! ) g ) = = ) 6) l ( ) l( ) = = ( ) ( + ) ( ) 7) 8) l( + ) = = ( + ) ( )( ) 9) ) + = = ( + ) Знайти суму ряду: ) ) + 6 = = + ( ) + ) ) (+ ) = ( + )( + ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ) si, = ), = )l( ), = ) : =, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, =! ) ) d Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= 8 O 8, π <, ) f = 6, π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) ) si π ( i) ) Arccos( ) 8 6 8Зобразити множину точок { C i <,R,Im> } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = + f, () = Обчислити інтеграл d, де : ) = cos+ i si, i )[] [ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + 8 ), = ), = i ( )( + ) ) si, = ( ) Визначити тип особливих точок функції: si ), = ) ( )( ) Обчислити інтеграл: si + ) d ) d + π + = = π sh si d ) ) 6 si shi = + d si ) 6) d ( ) + Знайти зображення оригіналу: cos g, 8, ) ( + ch )) ), > 8 Розв язати задачу Коші: ) + = η η( ), () = ) + = 8si, () =, () = ) =, () = () = ch = +, ) () =, () = = + +, 6Розв язати інтегральне рівняння = ( d )

28 Варіант Дослідити на збіжність ряд: si + π ) ) cg l = = π ( ) = = ) cos ) ( + )! ) 6) ( ) l( ) = = + ( ) = = 7) 8) ( + ) ( ) 9) ) = = ( + )l( + ) Знайти суму ряду: 6 ) ) 9 = = si + ) ) (+ ) = ( ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )( )sh, = ), = ), = + 6 ) : = + +, () = Обчислити з точністю ε= :, =! l(+ ) ) ) d Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O 7, π, ) f =, < π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) i ) cos π ( + i) ) Arcsi 8 i 8Зобразити множину точок { C <, R, arg < π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = si f, () = + i Обчислити інтеграл ( + ) d, де : ) = si, π )[ π ππ+ ] [ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + 6 ), = ), = + i ( )( + ) )p, = ( ) Визначити тип особливих точок функції: cos ), = ) + si si + 6 Обчислити інтеграл: l( + ) si ) d ) d si( ) = + π = π si d ) d) si 6 sh =, + d cos ) 6) d Знайти зображення оригіналу: ch g,, )( )cos ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η( ), () =, () = ) 6=, () =, () = ) =, () = () = ( + ) = +, ) () =, () = =, 6Розв язати інтегральне рівняння = + + si( d )

29 Варіант Дослідити на збіжність ряд: si ) ) + = = +! ) ) = ( ) = π l ( + ) ) arcg 6) ( + ) = = π ( ) g 7) 8)! = = = = ( + ) ( ) 8) ) ( + )l( + ) Знайти суму ряду: 7 + ) ) 9 6 = = + + ) ) (+ ) = (+ ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ), = 6+ )cos, = ), = ( ) ) : = si, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :,! d ) ( ) )! + = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O, π <, ) f = π, π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію π π f = cos, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: 6i i ) ) ( i) ) ( + ) 6 8Зобразити множину точок { C >, < Im, < R } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im ( f = )si f, () = Обчислити інтеграл ( + d ), де : ) = + i( ),i )[ i] [ i+ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + ), = ), = i ( + )( ) π ( a) ), = a Визначити тип особливих точок функції: 7 ( ) ), = ) cos + cos( ) Обчислити інтеграл: + + cos ) d ) d ( π+ )si =π = π si d ) d ) si 7 sh i = + si + ) 6) d d ( + 9) + Знайти зображення оригіналу: ch ch g,, ) si ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ), () = () ) + = +, () =, () = ) + + =, () = () = + = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = sh + ( d )

30 Варіант Дослідити на збіжність ряд: l ) si ) = = ( + )! ) si )! = + = ) 6) = (+ ) = l ( + 7) ( ) ( ) 7) 8) l( + ) + = (+ ) = ( + ) ( + ) 9) ) = + = Знайти суму ряду: ) ) + = = ) + ) ( + ) = + = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ) 7, = π ), = )si, = ) : =, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, cosπ ) ) d = ( + ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O 6, π, ) f =, < π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f = 6, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: i ) 8 8 i )sh( πi) )( i ) 8Зобразити множину точок { C >, Im<, R< } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f =, f() = + i + Обчислити інтеграл d, де : ) = cos+ i si, i )[] [ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + 6 ), = ), = + i ( + )( ) π ( π) ), =π Визначити тип особливих точок функції: si 6 6 ), = ) si sh 6 Обчислити інтеграл: i + ) d ) d ( π)si = = π cos + d ) π d ) si+ sh = + d si ) 6) d ( ) + + Знайти зображення оригіналу: g,, )( + )si ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η + η( ), () = ) + + =, () =, () = ) =, () = () = + = + +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + cos( d )

31 Варіант Дослідити на збіжність ряд: l ) ( + )l ) + l + = = ( ( ) ) ) p ) ( + )! = = + ) 6) = = ( + )l + ( ) si( ) ( ) (+ ) 7) 8) ( + ) = = ( + ) ( ) 9) ) + = = Знайти суму ряду: + 7 ) ) 6 + = = + + ) ) ( ) = ( + )( + ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )l(+ ), = ), = ), = + ) : =, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, = (+ ) ) ) si( ) d Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= 6 O 6, π <, ) f = 9, π ) f = +, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f = +, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f = sg sg( ), R та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) )ch ( i) )Arccos i 8 π 6 + i 8Зобразити множину точок { C + i <, π arg π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = cos + f, () = Обчислити інтеграл Im d, де : ) = + i( ), i )[ i] [] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = ), = i ( + )( ) + ) si π, = Визначити тип особливих точок функції: cosπ ) si, = ) Обчислити інтеграл: ( +π) ) d ) d si = = π sh d ) d ) si+ si = + d cos cos ) 6) d ( ) Знайти зображення оригіналу: g, 6, ) si sh ) ), > 6 Розв язати задачу Коші: ) + =η η( ), () = ) + =, () =, () = 6 sh ) =, () = () = ch =, ) () =, () = = + +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + cos( d ) 6

32 Варіант Дослідити на збіжність ряд: ( ) arcg ) cos ) π = = + 9( ) ) si ) 7( ) = ( + ) = ) 6) = + = ( )l + ( ) ( ) 7) 8) ( = + cos ) = (+ ) ( ) 9) ) =! = Знайти суму ряду: 7 7 ) ) 9 + = = ) + ) ( + ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: si ) cos, = )l(+ 8), = ), = ) : = +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, si( π +π ) ) ) cos d = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= 8 O 8, π, ) f =, < π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, R та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: i ) ) ) cos π ( i) 8 8Зобразити множину точок { C i, π< arg( i) < π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = si f, () = Обчислити інтеграл ( + id ), де : ) = + i( ),i )[ i] [] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + 6 ), = + 8 ), = i ( + )( ) + ) cos π, = Визначити тип особливих точок функції: cos siπ ), = ) ch ( ) Обчислити інтеграл: + si+ i ) d ) si d +π = = π ch d ) d ) 7 si 8 si π + = + ( + )si ) d 6) d ( ) Знайти зображення оригіналу: siτ g, 8, ) ch cos ) d ) τ τ, > 8 Розв язати задачу Коші: ) + =η( ) η( ), () = ) + = si+ cos, () =, () = ) + =, () = () = ( + ) = + +, ) () =, () = =, 6Розв язати інтегральне рівняння + = cos( d ) 7

33 Варіант Дослідити на збіжність ряд: si π ) ) + = + = ( + si π ) si π ( ) ) + ) ( + )! = = + ( ) ) 6) l = = + π ( ) = = + 7) si 8) ( ) + 9) ) = + = ( + ) Знайти суму ряду: + ) ) 9 = = + ) ) ( ) = ( )( ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: arcg ), = )ch, = ), = + ) : = + +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= : = d ) ) ( + ) 6+ Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O, π <, ) f =, π ) f = +, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f = +, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f = cos, π f =, > π та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 8+ 8 i)si π ( i) ) Arcg( i+ ) 8Зобразити множину точок { C <,R,Im > } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = +, f() = ( + ) + Обчислити інтеграл ( ) d, де : ) = cos+ i si, )[ ] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 9+ 6 ), = ), = i ) si, = + Визначити тип особливих точок функції: sh si ), = ) ( cos ) Обчислити інтеграл: ( +π ) d + + ) ) 6 d ( π)si = = π d ) d ) si+ 9 sh π =, + + cos ) d 6) d ( + ) Знайти зображення оригіналу:,, cos g ) si ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η η( π ), () = () = ) + + = cos, () =, () = ) + + =, () = () = + = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння ( ) = d 8

34 Варіант 6 Дослідити на збіжність ряд: cos π ( + ) ) ) + = = + 7! ) ) + + = = + ) 6) ( )l = + = + ( ) ( ) 7) 8) + = + si = ( + ) 9) ) = = Знайти суму ряду: ) ) 6 = = ) ) (6+ ) = ( ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ), = ), = 6 )l(+ ), = ) : = +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, d = ( + ) + ) ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O, π, ) f =, < π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ) 7 )cos π ( i i) )( + i ) 6 8Зобразити множину точок { C,R <,Im > } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = + f, () = + Обчислити інтеграл d, де : ) i = )[ i] [ i + i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + ), = + ), = + i ) si, = + ( ) Визначити тип особливих точок функції: ch ), = ) si si + 6 Обчислити інтеграл: i si ) d ) d ( + π ) = = π si d ) d ) 7 si+ sh8i =, + d ( + ) cos ) 6) d ( + ) + + Знайти зображення оригіналу: ch g,, )( )sh ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η + η( ), () = () = ) + = 7cos si, () =, () = ) + =, () = () = ch = +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння cos= cos( d ) 9

35 Варіант 7 Дослідити на збіжність ряд: + ( ) ) g ) = = (+ )! ) ( ) ) = = ) 6) = = ( + )l + = = si 7) 8) ( ) (+ )( + ) 9) ) = = (+ 9) Знайти суму ряду: ) ) = = + + ( ) cos + ) ) (6+ ) = + = Розвинути в ряд Тейлора функцію: ) 6, = )si, = ), = + ) : =, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, si( π +π ) d ) ) + 6+ = Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O, π <, ) f =, π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f = si, π f =, > π та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: i ) ) i )sh( πi) 6 8Зобразити множину точок { C < <,R>, Im } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = f, () = Обчислити інтеграл R d, де : ) = + i si, π )[ π ] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + ), = ), = + i ) cos, = + Визначити тип особливих точок функції: = si ), ) cos + + Обчислити інтеграл: 6 ( +π) + ) d ) d i si π= = π ch6 d ) d ) siπ si+ =, + d ( + ) si ) 6) d ( ) + + Знайти зображення оригіналу: cos g,, )( )si ) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η( ), () =, () = ) + =, () =, () = ) + + =, () = () = ch = + +, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = sh( d )

36 Варіант 8 Дослідити на збіжність ряд: arcg( + ( ) ) ) ) + + l( + ) = = + ) si ) ( )! = = + + ) 6) = = l( ) + ( ) ( + ) = = (+ 7) 7) l 8) + 9) ) = = ( + ) Знайти суму ряду: 7 ) ) 9 6 = = + ( ) g + ) ) = = Розвинути в ряд Тейлора функцію: 7 ), = ), = )si, = ) : = cos +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= : d = ( + ) 8+ a) ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= 6 O 6, π, ) f =, < π ) f = +, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f = +, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: ( i) + i ) 8 8 i)sh π )Arcg 8 7 8Зобразити множину точок { C <, arg π,arg( ) > π} 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = f, () = i Обчислити інтеграл d, де : ) = + i, + i )[] [+ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: 6+ ), = ), = + i ) si π, = + Визначити тип особливих точок функції: si cosπ ), = ) sh ( )( + ) 6 Обчислити інтеграл: si i ) d ) cos d cos = = π ch cos d ) d ) si+ si8 =, + + cos cos ) d 6) d ( + ) Знайти зображення оригіналу: ch g, 6, ) ( + sh )) ), > 6 Розв язати задачу Коші: ) + = η( ) η( ), () = () = ) = ( + ), () = () = ) = h, () = () = = + +, ) () =, () = = + +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + ( ) d

37 Варіант 9 Дослідити на збіжність ряд: + arccg( ) ) ) l = = +! ) arcg ) + = ( ) = + + ) 6) ( ) l = = + ( ) 7) ( ) si 8) ( )! = = ( ) ( + ) 9) ) = + = (+ ) Знайти суму ряду: + 8 ) ) 6 = = + ) ) ( + ) + = ( + ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )( ), = ), = )l(+ ), = ) : = +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= :, cosπ ) d = ( + ) Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= 8 O 8, π <, ) f = 8, π ) f =, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f =, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f =, f =, < та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: i ) ) )Arccos( ) 7 i i i 8Зобразити множину точок { C i < π + i π},arg,arg( ) 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо Im f = f, () = Обчислити інтеграл ( + ) d, де : π π ) = + i cos i, )[ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: + 88 ), = 69 ), = + i ) cos, = Визначити тип особливих точок функції: si ) cos, = ) ( cos ) Обчислити інтеграл: cos si ) d ) d si π= = π shi sii d ) d ) si+ sh = + d ( + )si ) 6) d ( + 9) Знайти зображення оригіналу: g, 8, )( )si ) ), > 8 Розв язати задачу Коші: ) + 9 =η( ), () = () = ) + = cos, () =, () = ) + =, () = () = ch =, ) () =, () = = +, 6Розв язати інтегральне рівняння = + ( ) d

38 Варіант Дослідити на збіжність ряд: + ) (+ )si ) + si = =!(+ )! ) si )! = + = = + = ( )l ( ) ( ) = = + ) 6) 7) cos 8) ( ) ( ) 9) ) = = ( + ) Знайти суму ряду: 7 8 ) ) = = ( ) ) ) ( ) = ( ) = Розвинути в ряд Тейлора функцію: )( )ch, = ), = ), = + ) : = +, () = ( äî ) Обчислити з точністю ε= : = + ) ) si d Розвинути в ряд Фур є функцію f та знайти її амплітудний g ) f = g, T= O 7, π, ) f =, < π ) f = +, ( π) çà êî ñèí óñàì è ) f = +, ( π) çà ñèí óñàì è 6Зобразити функцію f = sg, f =, > та фазовий частотні спектри 7Знайти всі значення функції: i ) 6 )( ) )Arcsi 8Зобразити множину точок { C i, R<, < Im } 9 Відновити аналітичну функцію f, якщо R f = f, () = Обчислити інтеграл ( ) d, де : ) = + i, + i )[] [+ i] Знайти всі лоранівські розвинення функції: ), = ( ) ), = + i ), = Визначити тип особливих точок функції: cos si ), = ) ch ( + ) Обчислити інтеграл: + si + ) d ) d ( π)si = = π si d ) d) si+ shπ =, + ( + )cos ) d 6) d ( + ) Знайти зображення оригіналу: g,, ) (ch+ sh )) ), > Розв язати задачу Коші: ) + =η( ), () = () = ) = si+ cos, () =, () = ) + =, () = () = ( + ) = +, ) () =, () = =, 6Розв язати інтегральне рівняння = + [( ) si( )] d

39 Задачі рівня А AДовести розбіжність ряду, використовуючи необхідну умову збіжності: + + ) ), + = = = + + = + ) ) + A Дослідити збіжність ряду, використовуючи ознаку порівняння: + + ( ) ) ) = = + π ) ) si = + = ( + ) ) l 6) arcg = = A Дослідити збіжність ряду, використовуючи ознаку Д Аламбера: + ) )! = = π = = ) si )! A Дослідити збіжність ряду, використовуючи радикальну ознаку Коші: ) ) + l ( + ) = = AДослідити на збіжність та абсолютну збіжність ряд: ( ) ) ( ) ) l = = ( ) ( ) ) ) ( + ) = = l A6Знайти області збіжності та абсолютної збіжності ряду: ) ) = = si ) ( ) ) ( + ) = = ( ) ( ) ) 6) + = = + + = + 7) A7Знайти суму ряду та вказати область збіжності ряду до своєї суми: ) ( + ) ) = = ) + ) + = = A8Знайти всі значення функцій: +πi ) )si i )( i) A 9 Знайти всі лоранівські розвинення функції в околі точки : ), = ), = ( )( ) ), = ), = ( + ) ( )( ) cos ), = 6), = AЗнайти нулі функції і визначити їх порядки: ) f = + ) f = si sh ) f = ) f = cos AВизначити характер особливої точки для функції: sh ) ) ) ( si ) sh AЗнайти особливі точки і визначити їх характер: ( i) sh ) ) ) cos AЗнайти лишки в особливих точках функцій: ) ) ( ) ch si ) ) ( + )( ) ( i) AЗнайти оригінал: p ) Fp = ) Fp = p + p+ ( p+ ) p ) Fp = + ( p + )( p )( p + ) A Знайти зображення оригіналу: τ siτ ) si τdτ ) dτ ) η( ) τ

40 Задачі рівня В B Знайти всі значення α, за яких ряд збігається: α ( ) ( ( + )) ) si ) arcg l = = α = = ( + ) + l arcg ) ) si( + ) BДослідити на збіжність ряд: ( ) (+ )!! ) ) 6 ( )! = = ) ) α β α β γ = l = l (l l ) BДослідити на збіжність та абсолютну збіжність ряд: si p ( ) ) α ) ( ) = = = = ( π + ) ) cos q q ( ) ) ( + )arcg BДовести справедливість рівності:!! ) lim = ) lim = BДовести рівномірну збіжність ряду: ) ( ), [] 7 = ) ( ), [] = 8 B 7Розвинути функцію f у степеневий ряд із центром у точці = та Вказати радіус збіжності ряду: si ) f = arcsi ) f = d ch ) f = d ) f = + f ) f =, = 6) =, = B 8Знайти перші ненульові члени розвинення функції f у ряд Тейлора з центром у точці : si ) f = ) f = ) f = si(si ) ) f = l( + ) α α cos ) f = 6) f = l( ) B9Розвинути в ряд Фур є функцію f : ) f = si, R ) f = cos, R,,, <, ) f =,,, ) f =, ( ππ ), π<, ) f = si, π BРозвинути в ряд Фур є в комплексній формі функцію f :, π, ) f =, π< π ) f =, π< <π, f( π ) = ch π B Знайти синус-перетворення Фур є функції f : ) f =, f =, > ) f =, [ a] fa = f =, > a ) f = si, [ π ], >π ) f = BЗнайти косинус-перетворення Фур є функції f : ) f =, f =, > ) f = cos, [ π ] f =, >π ) f = si, [ π ] f =, >π ) f = BОбчислити інтеграл: ) R d, : = ( π arg ) ) d ) d i = + i l ) d ) cos d i

41 Формули = + i= (cosϕ+ i si ϕ) = ϕ+ πk ϕ+ πk ( ) R =,Im =,arg = ϕ, = + arcg, I π, =, > ϕ= π+ arcg, II, III π, =, < IV π+ arcg, = (cosϕ+ i si ϕ) = cos + i si, k=, + i = = (cos+ i si ) + πki πi πi =, =, = + + cos = cosi= ch= si = sii= i sh= i = l+ πki l= l + i arg a α α a = ( a ) = Arcsi= i ( i+ ) Arccos= i ( + ) iϕ i i i i + i i+ Arcg= Arccg= i i i i Cauch Rima : f = u (, ) + iv (, ) : u v u v =, = f = u + iv = v iu = u iu = v + iv + ( ) ( ) = cos= si! =! (+ )! = = = = =,( < ) ch= sh=! (+ )! = d m ( m pol) : Rs f = lim ( ( ) )! m f = m d + = = f = c ( ), c = Rs f = m fd = πi Rs f = πi Rs f ( k ) Γ π = k = k= + d R(si,cos d ) = R, i i + + = Rd = πi Rs f ( Im > ) = k= k i i f d= πi Rs ( f )( Im > ) = k= k + + f cosd= R f d, + + f sid= Im f d k i i k f Fp = fd = (aplac) πi k k k k k k k k k= k= k= k= α pa Fp f = p Fp dp (Mlli) C f CF ( p) CF ( p) C f f Fp ( α) Fp f ( a) f( λ) F, λ> F( αp) f λ λ α α f p σ+ i σ i k= k ( k) pfp p f () p ( ) F ( p) f Fp f f( τ) dτ Fsds p 6 F( sf ) ( p sds ) 6 f ( τ) f ( τ) dτ F ( pf ) ( p) πi f ( f ) p 7 f = f ( ± T) p f d d 8 pf( pf ) ( p) f f( ) d = f( f ) () + f f ( ) d d τ τ τ τ τ τ f Fp η α siβ cosβ shβ chβ p p α! + p β p + β p p + β β p β p p β + p σ+ i σ i T, > = η =, < µ Γ ( µ + ) µ +, µ > p a Fp = f = η a +! = p = p f = Rs ( Fp ) k= pk 6

Alltid der for å hjelpe deg. Registrer produktet og få støtte på MT3120. Har du spørsmål? Kontakt Philips.

Alltid der for å hjelpe deg. Registrer produktet og få støtte på  MT3120. Har du spørsmål? Kontakt Philips. Alltid der for å hjelpe deg Registrer produktet og få støtte på www.philips.com/welcome Har du spørsmål? Kontakt Philips MT3120 Brukerhåndbok Innholdsfortegnelse 1 Viktige sikkerhetsinstruksjoner 3 2

Detaljer

Alltid der for å hjelpe deg. Registrer produktet og få støtte på M110. Har du spørsmål? Kontakt Philips.

Alltid der for å hjelpe deg. Registrer produktet og få støtte på  M110. Har du spørsmål? Kontakt Philips. Alltid der for å hjelpe deg Registrer produktet og få støtte på www.philips.com/support Har du spørsmål? Kontakt Philips M110 Brukerhåndbok Innholdsfortegnelse 1 Viktige sikkerhetsinstruksjoner 2 2 Telefonen

Detaljer

apple К apple fl 0 0

apple К apple fl 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0

Detaljer

1 3Pusteluftfukter / ц я о п о и г с 0к6 0к9 а 0к5 я а а м а п м о 0к6 0к9 / SOMNOclick SOMNOclick 300

1 3Pusteluftfukter / ц я о п о и г с 0к6 0к9 а 0к5 я а а м а п м о 0к6 0к9 / SOMNOclick SOMNOclick 300 1 3Pusteluftfukter / ц я о п о и г с 0к6 0к9 а 0к5 я а а м а п м о 0к6 0к9 / 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 SOMNOclick SOMNOclick 300 Beskrivelse av apparatet og bruksanvisning е я и ц я а у 0к6 р т р й е

Detaljer

ГMHXD(F$ F DDCmаE'' Schindler

ГMHXD(F$ F DDCmаE'' Schindler В ы с ш ее к а ч ес т о теперь и м еет и м я. Э т о н а ш п а сса ж и рски л и ф т для о ф и сны х з д а н и. Г р H з о вые с п е < а л ь н ы е л ф ы к о м п а н S c hin d l e r Г и б к о с ть п р и м

Detaljer

Enkel beskrivelse av tsjetsjensk

Enkel beskrivelse av tsjetsjensk Enkel beskrivelse av tsjetsjensk Både kunnskaper om andrespråksutvikling, om trekk ved elevers morsmål og om norsk språkstruktur er til god nytte i undervisningen. Slike kunnskaper gjør at læreren lettere

Detaljer

А К Т У Е Л Н А П И ТА ЊА РЕ СТ И Т У Ц И Ј Е У СР БИ Ј И

А К Т У Е Л Н А П И ТА ЊА РЕ СТ И Т У Ц И Ј Е У СР БИ Ј И Пре глед ни чла нак 349.412.2(497.11) doi:10.5937/zrpfns50-11665 Је ле на З. Ве се ли нов, управ ник по сло ва Ма т и ц е с рп с ке ve se li n ov.je le n a @g m a il.c o m А К Т У Е Л Н А П И ТА ЊА РЕ

Detaljer

ТИПОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ИЗДЕЛИЯ И УЗЛЫ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ СЕРИЯ Ф Е Р М Ы С Т Р О П И Л Ь Н Ы Е Ж Е Л Е З О Б Е Т О Н Н Ы Е

ТИПОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ИЗДЕЛИЯ И УЗЛЫ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ СЕРИЯ Ф Е Р М Ы С Т Р О П И Л Ь Н Ы Е Ж Е Л Е З О Б Е Т О Н Н Ы Е ТИПОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ИЗДЕЛИЯ И УЗЛЫ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ СЕРИЯ 1.463.1-17 Ф Е Р М Ы С Т Р О П И Л Ь Н Ы Е Ж Е Л Е З О Б Е Т О Н Н Ы Е П О Л И Г О Н А Л Ь Н Ы Е П Р О Л Е Т О М 18 И 2 4 м Д Л Я П О К Р Ы

Detaljer

Utvidet brukerdokumentasjon. Alltid der for å hjelpe deg D4550. Har du spørsmål? Kontakt Philips

Utvidet brukerdokumentasjon. Alltid der for å hjelpe deg D4550. Har du spørsmål? Kontakt Philips Alltid der for å hjelpe deg Registrer produktet og få støtte på www.philips.com/support Har du spørsmål? Kontakt Philips D4550 Utvidet brukerdokumentasjon Innholdsfortegnelse 1 Viktige sikkerhetsinstruksjoner

Detaljer

Alltid der for å hjelpe deg. Registrer produktet og få støtte på M550 M555. Har du spørsmål? Kontakt Philips.

Alltid der for å hjelpe deg. Registrer produktet og få støtte på  M550 M555. Har du spørsmål? Kontakt Philips. Alltid der for å hjelpe deg Registrer produktet og få støtte på www.philips.com/welcome Har du spørsmål? Kontakt Philips M550 M555 Brukerhåndbok Innholdsfortegnelse 1 Viktige sikkerhetsinstruksjoner 3

Detaljer

На основу члана 108. Закона о јавним набавкама директор Дома здравља Др Јован Јовановић Змај Стара Пазова, доноси следећу:

На основу члана 108. Закона о јавним набавкама директор Дома здравља Др Јован Јовановић Змај Стара Пазова, доноси следећу: Посл.бр. 10-25/16/5 дн 09.12.2016. године Н основу члн 108. Зкон о јвним нбвкм директор Дом здрвљ Др Јовн Јовновић Змј Стр Пзов, доноси следећу: ОДЛУКУ О ДОДЕЛИ УГОВОРА О ЈАВНОЈ НАБАВЦИ З нбвку јвну нбвку

Detaljer

1 3PIPELIFE.. и о 0 8 г ж а м 0к7 а к а р с и й 0л4 м ь к 0к6 м ь м

1 3PIPELIFE.. и о 0 8 г ж а м 0к7 а к а р с и й 0л4 м ь к 0к6 м ь м 1 3PIPELIFE.. и о 0 8 г ж а м 0к7 а к а р с и й 0л4 м ь к 0к6 м ь м Ё 6р2 O N PE 1 3 0 9EPIEXOMENA T 0 0 0 4 0 7 0 6 0 2 0 7 0 4 0 3 0 2 0 2 0 9 0 3 0 6 0 4 0 2 0 6 0 2 0 7 PE.......................................

Detaljer

Registrer produktet og få støtte på. CD191 CD196. Brukerhåndbok

Registrer produktet og få støtte på.  CD191 CD196. Brukerhåndbok Registrer produktet og få støtte på www.philips.com/welcome CD191 CD196 Brukerhåndbok Innholdsfortegnelse 1 Viktige sikkerhetsinstruksjoner 3 2 Telefonen din 4 Dette finner du i esken 4 Telefonoversikt

Detaljer

Probema di Marek. (Problema dei quattro punti inaccessibili).

Probema di Marek. (Problema dei quattro punti inaccessibili). ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI "In Meoria dei Morti per La Patria" Viale Enrico Millo, 1-16043 Chiavari Laboratorio di Topografia - G.P.S. - G.I.S Anno scolastico 2009-2010 Soario

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI. Dixit-Stiglitz-Krugman modellen. Åge Haugslett. Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi (30 stp)

HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI. Dixit-Stiglitz-Krugman modellen. Åge Haugslett. Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi (30 stp) HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI Dixit-Stiglitz-Krugman modellen Åge Haugslett Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi ( stp) Vedlegg kap,.. VEDLEGG KAPITTEL KapModATilf.mcd. Den enklestet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK

Detaljer

ЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ

ЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ ЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ ШКОЛСКА 2016.-2017. I година основних студија РУКОВОДИЛАЦ СТУДИЈСКОГ ПРОГРАМА Др Славица Маринковић Кабинет 205 smarinkovic@viser.edu.rs ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ МОБИЛНЕ ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ

Detaljer

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006

Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006 NTNU Side av 3 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY836 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 6 Dette løsningsforslaget er på 3 sider, pluss et vedlegg

Detaljer

P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. P-22-86.. ±Ê Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ ˆ Œ ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ E-mail: dnd@jinr.ru ±Ê.. P-22-86 ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² ²μ± ²Ó μ

Detaljer

Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture //5 Aee A Equatios fodaetales de la écaique liéaie de la uptue A. Zeghloul MMAE appels d élasticité plae octio d Ai e vaiables coplees epésetatio des déplaceets et des cotaites Epessio du toseu des effots

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag 26. mai 2005

Løsningsforslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag 26. mai 2005 NTNU Side av 5 Institutt or ysikk Fakultet or ysikk, inormatikk og matematikk Eksamen gitt av Kåre Olaussen Dette løsningsorslaget er på 5 sider. Løsningsorslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt uner eksamen: Jon Anreas Støvneng Telefon: 7 59 6 6 / 41 4 9 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY100 ELEKTRISITET OG MAGNETISME

Detaljer

Eksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00

Eksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00 Side 1 av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 Eksamen i fag 74327 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ï Ìμ μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ï Ìμ μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2015.. 46.. 1 Š ˆ Š Š Š.. Ï Ìμ μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 167 Œ 168 Šμ É Ê±Í Ö 168 μ É Ò Ì ±É É ± 171 ˆ ˆ Šˆ 172 ˆμ Í Ö μ, μ μ Ê ² 172 Í É Ö 173 ³Ò μéò 178 ƒ μ Ò ³ 180 ² Ö ³ É μ μ± Ê ÕÐ

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I TFY4155 EEKTROMAGNETISME

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME

Detaljer

Oppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155

Detaljer

pdf

pdf FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf

Detaljer

EKSAMEN I EMNE SIE 4015 BØLGEFORPLANTNING

EKSAMEN I EMNE SIE 4015 BØLGEFORPLANTNING NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Side 1 av 8 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:

Detaljer

Ekstraordinær EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439

Ekstraordinær EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439 HØGSKOLEN NRVK Teknologisk vdeling Studieretning: llmenn Maskin Studieretning: llmenn Bgg / Miljøteknikk Ekstraordinær EKSMEN MEKNKK Fagkode: L 439 Tid: 07.08.0, kl. 0900-400 Tillatte hjelpemidler: B:

Detaljer

ƒ ˆ Š Ÿ PT - ˆŒŒ ˆ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Œ Š ˆŒ œ Œ

ƒ ˆ Š Ÿ PT - ˆŒŒ ˆ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Œ Š ˆŒ œ Œ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 016.. 47.. ƒ ˆ Š Ÿ PT - ˆŒŒ ˆ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Œ Š ˆŒ œ Œ.. μ μ μ 1,, ƒ.. Š Íμ, 1 μ ± Ô±μ μ³ Î ± Ê É É ³. ƒ.. ² Ì μ, Œμ ± Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ˆ 5 ˆ ƒ Œ ˆ Š ˆ ƒ ˆ Œ. Š Ÿ

Detaljer

Eksamen i FY3403/TFY4290 PARTIKKELFYSIKK Mandag 12. desember :00 13:00

Eksamen i FY3403/TFY4290 PARTIKKELFYSIKK Mandag 12. desember :00 13:00 NTNU Side 1 av 6 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 5 eller 45 43 71 70 Eksamen i FY3403/TFY490 PARTIKKELFYSIKK Mandag 1. desember 005 09:00 13:00

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 01.. 4.. 1 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ ˆƒƒ Œˆ Œ Š.. ³μ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö ˆ 70 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ 7 ˆ ˆ IFW- ˆˆ ˆ Œ Œ Œ ˆˆ 79 Š ˆ 80 ˆ Š ˆ 81 E-mail: neznamov@vniief.ru

Detaljer

De viktigste formlene i KJ1042

De viktigste formlene i KJ1042 De viktigste formlene i KJ1042 Kollisjonstall Midlere fri veilengde Z AB = πr2 AB u A 2 u 2 B 1/2 N A N B 2πd 2 V 2 Z A = A u A N A V λ A = u A z A = V 2πd 2 A N A Ideell gasslov. Antar at gassmolekylene

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Onsdag 7. juni, 017 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Eksamen i AST5220/9420 Kosmologi II Eksamensdag: Fredag 11. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg:

Detaljer

Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.

Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning. Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,

Detaljer

Fasit og løsningsforslag STK 1110

Fasit og løsningsforslag STK 1110 Fasit og løsningsforslag STK 1110 Uke 36: Eercise 8.4: a) (57.1, 59.5), b) (57.7, 58, 9), c) (57.5, 59.1), d) (57.9, 58.7) og e) n 239. (Hint: l(n) = 1 = 2z 1 α/2 σ/n 1/2 ). Eercise 8.10: a) (2.7, 7.5),

Detaljer

EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI

EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI HØGSKOLEN I NRVIK Teknologisk vdeling Studieretning: llmenn Maskin Studieretning: llmenn Bgg / Miljøteknikk EKSMEN I MEKNIKK Fagkode: ILI 439 000 Tid: 07.06.0, kl. 0900-400 Tillatte hjelpemidler: B: Godkjent

Detaljer

Utdanningssystemet i Ukraina. Seminar , Olga Abaskalova, Avdeling for utenlandsk utdanning

Utdanningssystemet i Ukraina. Seminar , Olga Abaskalova, Avdeling for utenlandsk utdanning Utdanningssystemet i Ukraina Seminar 11.05.2017, Olga Abaskalova, Avdeling for utenlandsk utdanning Reform av utdanningssystemet i 2014 Lov om utdanning «Om utdanning» fra 01.07.2014 1556-VII Akkrediteringsorgan

Detaljer

Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012

Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for fysikk Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 Faglærar: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Institutt for fysikk Telefon:

Detaljer

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation. MIT OpenCouseWae http://ocw.mt.edu 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5 Please use the followng ctaton fomat: Maus Zahn, 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5. (Massachusetts

Detaljer

Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 31.

Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 31. NTNU Side av 7 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 3. mai 007 Oppgave.

Detaljer

TFY4109 Fysikk Eksamen 9. august Løsningsforslag

TFY4109 Fysikk Eksamen 9. august Løsningsforslag TFY4109 Fysikk ksamen 9. august 2016 Løsningsforslag 1) 1 TU = 1055 J; 200 cal = 837 J; 0.0004 kwh = 1440 J; 10 20 Ry = 218 J; 10 22 ev = 1600 J. Sistnevnte er altså mest energi. 2) Periode T = 1/500 minutt

Detaljer

Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)

Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens) INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt

Detaljer

FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Tirsdag 27. mai 2008 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Tirsdag 27. mai 2008 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY003 ELEKTRISITET

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD KOMPLEKSE TALL KARL K BRUSTAD 1 Defiisjoer og otasjo Defiisjo 1 Et kompleks tall er et objekt på forme x + i der x og er reelle tall og kalles heholdsvis realdele og imagiærdele til det komplekse tallet

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TTM4110 PÅLITELIGHET OG YTELSE MED SIMULERING. Mandag 14. desember 2005 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I EMNE TTM4110 PÅLITELIGHET OG YTELSE MED SIMULERING. Mandag 14. desember 2005 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for telematikk Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Poul Heegaard (73 594321) EKSAMEN I EMNE TTM4110 PÅLITELIGHET OG YTELSE MED SIMULERING

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TFE 4130 BØLGEFORPLANTNING

EKSAMEN I EMNE TFE 4130 BØLGEFORPLANTNING Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 8 Faglærere: Johannes kaar og Ulf Österberg EKAMEN I EMNE TFE 4130 BØLGEFORPLANTNING Onsdag 21. desember

Detaljer

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7 INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER. Newtons andre lov: F = dp/dt p = mv = mṙ. Konstant akselerasjon: v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t at2

MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER. Newtons andre lov: F = dp/dt p = mv = mṙ. Konstant akselerasjon: v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t at2 TFY4106 Fysikk Eksamen 9. juni 2016 (Foreløpig versjon pr 7. mai 2016.) FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes

Detaljer

ANBUDSGRUNNLAG FOR TOKT NR Blåkveitetokt i norsk del av Barentshavet, aug.-sep Tokt navn: Trål-øst-2

ANBUDSGRUNNLAG FOR TOKT NR Blåkveitetokt i norsk del av Barentshavet, aug.-sep Tokt navn: Trål-øst-2 ANBUDSGRUNNLAG FOR TOKT NR. 2005 841 Blåkveitetokt i norsk del av Barentshavet, aug.-sep. 2005 Tokt navn: Trål-øst-2 HAVFORSKNINGSINSTITUTTET (HI) ønsker tilbud på engasjement av en fabrikktråler til blåkveitetokt

Detaljer

Positive dispersion: 2 n. λ 2 > 0. ω 2 > 0, Negative dispersion: ω < 0, 2 n

Positive dispersion: 2 n. λ 2 > 0. ω 2 > 0, Negative dispersion: ω < 0, 2 n Positive dispersion: 2 n ω 2 > 0, 2 n λ 2 > 0 Negative dispersion: 2 n ω < 0, 2 n 2 λ < 0 2 φ(z,ω) = k ( n ω )z E( z,t)= 1 2π E ( z = 0,ω )e iωt iφ z,ω e ( ) dω φ(z,ω) = k ( n ω )z φ( ω )= φ 0 + ω ω 0

Detaljer

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2000, kl Løysingsforslag:

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2000, kl Løysingsforslag: Eksamen i emnet M7 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2, kl. 9-5 Løysingsforslag: a Singulære punkt svarer til nullpunkta for x 2, dvs. x = og x =. Rekkeutvikler om x = : yx = a n x n y x = na n x n

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME TFY4155

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign Instituttt for fysikk Eksamensoppgave i TFY4115 Fysikkk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Eksamensdato: 18. desember 2013 Eksamenstid (fra-til): 0900-1300 Hjelpemiddelkode/Tillattee

Detaljer

( I МИНИСТАРСТВО ОДБРАНЕ РЕПУБЛИКЕ СРПСКЈ

( I МИНИСТАРСТВО ОДБРАНЕ РЕПУБЛИКЕ СРПСКЈ публика Српска публичка управа за геодетске ~ ~мовинско-правне послове ~њa Лука! Ч~ ГАЦКО Општина: К т асг арски срез: КатаС1 apq а општина: Број: Датум : ГАЦКО ГАЦКО АВТОВАЦ 21.17-952.1-1-2060/2009 9.

Detaljer

Kommunestyre- og fylkestingsvalget 2011

Kommunestyre- og fylkestingsvalget 2011 INFORMASJON Kommunestyre- og fylkestingsvalget 0 Viktig informasjon til deg som skal stemme Parti XX Returkoder Stemme via Internett? side 7 C9 stemt p 0 : har Du XX Parti XX XX Parti Kommunestyre- og

Detaljer

Прилог 1. уз тачку 1. Одлуке Агенције О.бр.ОД- 111/10 од године 1. ИЗВЕШТАЈ О СТАЊУ УКУПНИХ И ОСИГУРАНИХ ДЕПОЗИТА ЗА

Прилог 1. уз тачку 1. Одлуке Агенције О.бр.ОД- 111/10 од године 1. ИЗВЕШТАЈ О СТАЊУ УКУПНИХ И ОСИГУРАНИХ ДЕПОЗИТА ЗА Агенција за осигурање Прилог 1. уз тачку 1. Одлуке Агенције О.бр.ОД- 111/10 од 29.12.2010. године ИЗВЕШТАЈ О СТАЊУ УКУПНИХ И ОСИГУРАНИХ ДЕПОЗИТА ЗА МЕСЕЦ...20.. године - ОБРАЗАЦ АГОД 05 1. ИЗВЕШТАЈ О СТАЊУ

Detaljer

Oppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID

Oppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)

Detaljer

TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6

TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6 TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 10.... Faglig kontakt under eksamen: Kjell Magne Mathisen, 73 59 46 74 Sensuren faller senest 10. januar (så

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Eksponensielle klasser

Eksponensielle klasser Eksponensielle klasser, de Jong & Heller, Kap. 3 Eksponensielle klasser STK3100-1. september 2008 Sven Ove Samuelsen En stokastisk variabel Y sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse dersom

Detaljer

EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439

EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439 HØGSKOLEN I NRVIK Institutt for gg- drifts- og konstruksjonsteknikk Studieretning: llmenn Maskin Studieretning: llmenn gg EKSMEN I MEKNIKK Fagkode: ILI 1439 Tid: 6.6., kl. 9-14 Tillatte hjelpemidler: :

Detaljer

Primtallsteoremet og zetafunksjonen

Primtallsteoremet og zetafunksjonen Primtallsteoremet og zetafunksjonen Henrik Sommer Lektorutdanning med master i realfag Innlevert: Mai 203 Hovedveileder: Lars Peter Lindqvist, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)

Detaljer

CENOVNIK KAMA Dimenzija Model Dezen CENA (din) CENA +PDV

CENOVNIK KAMA Dimenzija Model Dezen CENA (din) CENA +PDV KAMA CENOVNIK KAMA Dimenzija Model Dezen CENA (din) CENA +PDV PUTNIČKE I POLUTERETNE GUME 135/80 R12 KAMA 503 Zimska 3,112.00 3,734.40 135/80 R12 KAMA 204 Letnja 1,983.00 2,379.60 175/70 R13 KAMA BREEZE

Detaljer

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK. Utarbeidet av: Jon Andreas Støvneng

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK. Utarbeidet av: Jon Andreas Støvneng NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK Utarbeidet av: Jo Adreas Støveg LØSNINGSFORSLAG (8 SIDER) TIL EKSAMEN I FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Fredag 3. desember 2010 kl. 0900-1300

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

E K S A M E N. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439

E K S A M E N. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439 HØGSKOLEN NRVK nstitutt for gg- drifts- og konstruksjonsteknikk Studieretning: ndustriteknikk (llmenn Maskin) Studieretning: llmenn gg E K S M E N MEKNKK Fagkode: L 439 Tid: 6.6.3, kl. 9-4 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Løsningsforslag Øving 9 hapter 13.7 La z. Logaritmen til z, ln z, er definert som tallene ln z ln

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3440/4440 Signalbehandling Eksamensdag: 11. desember 006 Tid for eksamen: 15.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

TFY4106 Fysikk Løsningsforslag til Eksamen 12. august M k = ρv = ρ 4πR 3 /3 = π /3 = 2.10kg. E) 2.10 kg

TFY4106 Fysikk Løsningsforslag til Eksamen 12. august M k = ρv = ρ 4πR 3 /3 = π /3 = 2.10kg. E) 2.10 kg TFY4106 Fysikk Løsningsforslag til Eksamen 12. august 2016 1) M k = ρv = ρ 4πR 3 /3 = 7850 4π 0.0400 3 /3 = 2.10kg. E) 2.10 kg 2) Med indre radius r og ytre radius R er kuleskallets masse dvs M = ρ 4 3

Detaljer

Løsningsforslag øving 4

Løsningsforslag øving 4 TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u 5 2 0.

Detaljer

Eksamen i TFE4130 Bølgeforplantning

Eksamen i TFE4130 Bølgeforplantning Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen Navn: Ulf Österberg Tlf: 46 83 61 43 Eksamen i TFE4130 Bølgeforplantning

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)

(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π) NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )

Detaljer

Koszul-algebraer over endelige kropper

Koszul-algebraer over endelige kropper Koszul-algebraer over endelige kropper Kari-Lise Frisvold Olsen Master i matematikk Oppgaven levert: Juli 28 Hovedveileder: Øyvind Solberg, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt

Detaljer

6.6 Anvendelser på lineære modeller

6.6 Anvendelser på lineære modeller 6.6 Anvendelser på lineære modeller Skal først se på lineær regresjon for gitte punkter i planet: det kan formuleres og løses som et minste kvadraters problem! I mere generelle lineære modeller er man

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

5) Tyngdens komponent langs skråplanet, mgsinβ, lik maksimal statisk friksjonskraft, f max = µ s N =

5) Tyngdens komponent langs skråplanet, mgsinβ, lik maksimal statisk friksjonskraft, f max = µ s N = FY1001/TFY4145 Mekanisk Fysikk ksamen 18. desember 2015 Løsningsforslag 1) Her har vi bevegelse med konstant akselerasjon: h = at 2 /2, med h = 14 m og a = g. ermed: t = 2h/a = 2 14/9.81 s = 1.7 s. 2)

Detaljer

Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder

Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder MEK4510 p. 3 Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder Tidsintegrasjon for problemer med én frihetsgrad Analytisk løsning av differensiallikningen for enkle problemer Fourier-analyse for generelle, periodiske

Detaljer

a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene.

a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene. Oppgave 1 Bestem løsningen av differensialligningen Oppgave 2 dy dx + y = e x, y(1) = 1 e Du skal beregne en kulekondensator som består av 2 kuleskall av metall med samme sentrum. Det indre skallet har

Detaljer