Stig 1 Stig 2 Stig Sannsyn og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, , 412, 415, 416, 418

Transkript

1 4 Sannsyn Kompetansemål: Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske oppstillingar og bruke addisjonssetninga og produktsetninga bruke omgrepa uavhengnad og vilkårsbunde sannsyn i enkle situasjonar lage binomiske sannsynsmodellar ut frå praktiske døme og berekne binomisk sannsyn ved hjelp av formlar og digitale hjelpemiddel STIGFINNAREN Stig 1 Stig 2 Stig Sannsyn og relativ frekvens 400, 401, 402, , 401, 402, 406, , 401, 402, 405, 406, Sannsynsmodellar 411, 412, 415, 416, , 412, 414, 415, 416, , 412, 413, 414, 415, 416, 417, Uniforme sannsynsmodellar 4.4 Addisjonssetninga 421, 422, 423, 425, 426, 428, 429, 430, 431, 432, , 439, 440, 441, 443, 445, , 423, 424, 425, 426, 427, 428, 430, 431, 432, 433, 434, , 439, 440, 441, 443, 444, 445, 446, , 423, 424, 425, 426, 427, 428, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, , 439, 440, 442, 443, 444, 445, 446, 447, Produktsetninga for uavhengige hendingar 449, 450, 451, 453, 454, , 450, 452, 453, 454, 455, , 452, 453, 454, 455, 457, 458, 459, 4.6 Produktsetninga for avhengige hendingar 462, 463, 464, 465, , 463, 464, 465, 466, 467, 468, , 464, 466, 467, 468, 469, 470, Samansette forsøk 474, 475, 476, 477, 478, , 476, 477, 478, 479, 480, , 477, 478, 479, 480, 481, Binomiske sannsyn 4.9 Binomiske sannsyn med digitale verkty 483, 484, 485, 486, 487, 488, , 485, 486, 487, 488, 489, 490, 491, , 486, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493 Rett eller gale: s. 108 Blanda oppgåver (494 X4.6): s. 108 Utvalde løysingar: s. 174 Grunnleggjande ferdigheiter: Munnlege ferdigheiter: 404, 409, 456 Skriftlege ferdigheiter: 403, 410, 419, 456 Leseferdigheiter: 400, 403, 404, 409, 410, 419, 420, 456, 461, 491 Digitale ferdigheiter: 403, 405, 406, 407, 408, 419, 420, 461, 493 Interaktive oppgåver: Lokus.no

2 84 Kapittel 4: Sannsyn 4.1 Sannsyn og relativ frekvens 400 Når vi kastar eit pengestykke, er sannsynet 50 % for å få krone. Nedanfor står det fem påstandar. Avgjer for kvar påstand om han er feil eller korrekt. A Når vi kastar eit pengestykke, er det like stor sjanse for å få krone som mynt. B Dersom vi har kasta eit pengestykke 95 gonger og fått krone 45 gonger, kjem vi til å få krone i dei fem neste kasta. C Dersom vi kastar eit pengestykke 100 gonger, kjem vi til å få krone om lag 50 gonger og mynt om lag 50 gonger. D Dersom vi kastar eit pengestykke 100 gonger, kjem vi til å få krone 50 gonger og mynt 50 gonger. E Dersom vi kastar eit pengestykke mange gonger, kjem den relative frekvensen 1 for krone til å nærme seg Du kastar to terningar. Kva er mest sannsynleg: at summen av talet på auge blir sju, eller at du får minst éin seksar. Korleis kan du avgjere det ved å kaste to terningar mange gonger? 402 Tabell 4.1 er teken frå Statistisk årbok I tabellen er mellom anna talet på fødde i Noreg i femårsperiodar frå til oppgitt. a Rekn ut den relative frekvensen for jentefødslar for kvar av dei ti femårsperiodane. Korleis varierer den relative frekvensen? (Tala for femårsperiodane er årsgjennomsnitt. For å få talet på fødslar i ein femårsperiode må du gonge tala med fem. Sidan vi er interesserte i relative frekvensar, er det ikkje nødvendig å gjere det.) b Rekn ut den relative frekvensen for jentefødslar for heile perioden c Korleis stemmer resultatet i oppgåve b med at sannsynet for jentefødsel er 48,6 % (slik det står i læreboka)? Statistisk årbok ligg på Internett med adressa Tabellane i årboka kan lastast ned som rekneark. Dersom du ønskjer det, kan du gjere utrekningane i oppgåvene a og b ved å bruke eit rekneark. Årsgjennomsnitt Levandefødde Dødfødde Fleirfødslar I alt Gutar Jenter I alt Gutar Jenter I alt Tvillingfødslar Trillingfødslar Statistisk sentralbyrå Tabell 4.1

3 Kapittel 4: Sannsyn Problemet i denne oppgåva blei første gongen presentert av den franske greven og naturforskaren Georges-Louis Leclerc de Buffon ( ). I hans formulering av problemet blei det kasta med ei nål i staden for ei fyrstikke, og problemet har derfor fått namnet Buffons nålproblem. Teikn fleire parallelle linjer på eit ark. Avstanden mellom linjene skal vere like stor som lengda av ei fyrstikke. I denne oppgåva skal du finne sannsynet for at ei fyrstikke som blir kasta tilfeldig, kjem til å krysse ei av linjene. (Sjå figuren, der tre av fem fyrstikker kryssar ei linje.) a b c d e Kast fem fyrstikker og tel opp kor mange det er som kryssar ei av linjene. Fyrstikkene må liggje «hulter til bulter» i handa før du kastar, og du må kaste frå etter måten stor høgd. Dersom ei fyrstikke fell utanfor arket, kastar du ho på nytt. Gjenta oppgåve a tjue gonger, slik at du til saman får 20 5 = 100 fyrstikk-kast. Rekn ut den relative frekvensen for fyrstikker som kryssar ei linje i desse hundre kasta. Gå saman med andre elevar slik at de til saman får minst ti omgangar med hundre fyrstikk-kast. Korleis varierer den relative frekvensen frå omgang til omgang med hundre kast? Finn den relative frekvensen for fyrstikker som kryssar ei linje, når vi ser alle kasta i oppgåve c under eitt. Kvifor er denne relative frekvensen tilnærma lik sannsynet for at ei fyrstikke som blir kasta «tilfeldig», vil krysse ei linje? Dersom vi føreset at ei fyrstikke blir kasta «tilfeldig», går det an å rekne ut sannsynet for at fyrstikka kjem til å krysse ei linje. Finn ut kva dette sannsynet er, ved å søkje på «Buffon's needle» på Internett. Korleis stemmer den relative frekvensen du fann i oppgåve d, med sannsynet du finn på Internett? Diskuter grunnane til eventuelle avvik.

4 86 Kapittel 4: Sannsyn 404 For nokre år sidan hadde VG overskrifta «Hjelp, vi skal ha firling-dåp!» saman med eit flott bilete av foreldra og firlingane. Under overskrifta stod det mellom anna: «Sjå godt på desse vakre dåpsborna! Statistisk sett er det 15 år til neste gong det blir fødd slike firlingar i Noreg. Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlingar utan hormonbehandling eller prøverør: Berre eitt per million svangerskap endar med levandefødde firlingar.» a Diskuter i klassa kva som ligg i formuleringa «Berre eitt per million svangerskap endar med levandefødde firlingar». b Diskuter korleis journalisten kan ha kome fram til påstanden «Statistisk sett er det 15 år til neste gong det blir fødd slike firlingar i Noreg». c Trur de utsegna «Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlingar utan hormonbehandling eller prøverør», er korrekt? (Det er lettare å gi eit grunngitt svar når de har lese kapittel 4.6 i læreboka.) På side 165 i læreboka forklarer vi korleis du kan simulere (etterlikne) eit terningkast med rekneark og med lommereknaren. Finn ut kva endringar du må gjere for å simulere eit kast med eit pengestykke. (La 0 svare til mynt og 1 til krone.) På side 165 i læreboka viser vi deg korleis du kan bruke lommereknaren til å simulere (etterlikne) eit terningkast. Vi skal no sjå nærmare på korleis du kan bruke lommereknaren til å «kaste ein terning» mange gonger og telje opp kor mange seksarar du får. Vi illustrerer framgangsmåten ved å telje opp kor mange seksarar vi får når vi kastar ein terning ti gonger. CASIO Vel RUN-menyen. Trykk OPTN F4 (CALC) F6 ( ) F3 ( Σ( ) EXIT F6 ( ) F4 (NUM) F2 (Int) ( EXIT F3 (PROB) F4 (Ran#) 6 5 ), X,q,T, 1, 10 ) EXE Før du trykkjer EXE, skal det stå Σ( Int (Ran# 6 5), X, 110, ) på skjermen. TEXAS Trykk LIST (MATH) 5 (sum( ) LIST (OPS) 5 (seq( ) MATH (NUM) 5 (int( ) MATH (PRB) 1 (rand) 6 5 ), X,T,q,n, 1, 10 ) ENTER Før du trykkjer ENTER, skal det stå sum(seq(int(rand*6/5),x,1,10) på skjermen. Kvar gong du trykkjer EXE a b eller ENTER, får du gjort ti nye «terningkast». Bruk lommereknaren til å gjere ti terningkast. Gjenta dette nokre gonger slik at du får ei kjensle av kor mykje den relative frekvensen for seksarar vil variere i ti terningkast. Bruk så lommereknaren til å gjere hundre terningkast. Gjenta også dette nokre gonger slik at du får ei kjensle av kor mykje den relative frekvensen for seksarar vil variere i hundre terningkast. c Er det størst variasjon i den relative frekvensen i oppgåve a eller i oppgåve b? Kunne du ha visst det utan å gjere «terningkasta»?

5 Kapittel 4: Sannsyn Finn ut korleis du kan bruke lommereknaren til å kaste hundre pengestykke og telje opp kor mange krone du får. (Ta utgangspunkt i førre oppgåve.) 408 På side 164 i læreboka viser vi deg korleis du kan simulere eit terningkast med rekneark. No skal vi simulere hundre terningkast og telje opp kor mange einarar, toarar osv. vi får. For å simulere hundre terningkast går du fram på denne måten: Gi kommandoen HELTALL(6*TILFELDIG()+1) i celle A1. Kopier kommandoen i celle A1 og lim han inn i cellene A2:A100. For å telje opp kor mange einarar, toarar osv. du får, går du fram på denne måten: Skriv tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 i cellene B1:B6. Tel opp einarane, toarane osv. i dei hundre kasta ved å setje inn formelen ANTALL.HVIS($A$1:$A$100;B1) i celle C1 og kopiere han til cellene C2:C6. Kvar gong du trykkjer på F9, får du utført hundre nye terningkast og talt opp kor mange einarar, toarar osv. du får. a Gjer hundre «terningkast» og noter talet på einarar, toarar osv. Gjenta dette nokre gonger slik at du får ei kjensle av kor mykje dei relative frekvensane for einarar, toarar osv. vil variere i hundre kast. b Finn ut korleis du kan gjere tusen terningkast og telje opp kor mange einarar, toarar osv. du får. c Gjer oppgåve a om att med tusen terningkast. Korleis er variasjonen i dei relative frekvensane samanlikna med oppgåve a? 409 I september 1990 stod det eit lesarbrev i spalta «Ask Marilyn» i det amerikanske bladet «Parade Magazin». Lesaren spør: «Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you 'Do you want to pick door No. 2?' Is it to your advantage to switch your choice?» Redaktøren av spalta, Marilyn vos Savant, tilrådde deltakaren i showet å byte 2 dør. Sannsynet for å vinne bilen ville då bli, medan sannsynet for å vinne 3 1 berre ville vere dersom deltakaren heldt fast ved dør nummer 1. Dette svaret 3 førte til ein storm av protestar, også frå fagfolk. Dei meinte at sannsynet for å vinne bilen ville vere 50 %, anten no deltakaren bytte dør eller ikkje. a Kva trur du? Bør deltakaren byte dør, eller bør ho halde fast på den døra ho valde først? Eller speler det ikkje noka rolle? Du kan avgjere saka ved å utføre ei simulering. Du kan simulere fjernsynsshowet ved at ein medelev speler programleiaren og du deltakaren som håper på å vinne bilen. Bilen kan erstattast av eit raudt kort frå ein kortstokk og dei to geitene av to svarte kort.

6 88 Kapittel 4: Sannsyn Kvart forsøk går føre seg på denne måten: Medeleven stokkar dei tre korta, ser på dei og legg dei på bordet med baksida opp. Så ber han deg tippe kva kort som er raudt (bil). Du vel eit kort, og medeleven snur eitt av dei korta du ikkje valde, for å vise at det er svart (geit). No kan du bestemme om du vil halde fast på det første valet, eller satse på det andre kortet som ikkje er snudd. b Utfør forsøket i to seriar: ein serie der du konsekvent held fast på det kortet du valde først, og ein serie der du byter kort kvar gong (slik Marilyn vos Savant tilrådde). Kva finn du ut av dette? Kven har rett, Marilyn vos Savant eller dei som kritiserte henne? 410 I tabell 4.1 på side 84 finn du talet på tvilling- og trillingfødslar for kvar femårsperiode frå til (Nokre få firling- og femlingfødslar er rekna med blant trillingfødslane.) a Rekn ut den relative frekvensen for tvillingfødslar for kvar av dei ti femårsperiodane. Korleis varierer den relative frekvensen? b Gjenta oppgåve a for trillingfødslar. I læreboka forklarer vi at sannsyn svarer til relativ frekvens på lang sikt. Ein føresetnad for at det skal vere slik, er at dei tilfeldige forsøka blir gjentekne under dei same vilkåra. Dersom vilkåra endrar seg, vil også sannsynet endre seg. c Ser det ut til at sannsynet for tvilling- og trillingfødsel har endra seg i femårsperiodane frå til ? Kunstig befruktning, der fleire befrukta egg blir sette inn i livmora hos kvinna, blei innført i Noreg i 1980-åra. Diskuter om det kan forklare resultata i oppgåvene a og b. 4.2 Sannsynsmodellar 411 Tenk deg at du skriv tala frå 1 til 10 på kvar sin lapp og legg dei ti lappane i ei øskje. Du trekkjer så tilfeldig ein lapp frå øskja og ser kva tal som står på lappen. a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Set opp ein sannsynsmodell for forsøket. * 412 I Store norske leksikon kan vi lese at 8 % av menn er raudgrøn-fargeblinde. a Kva tyder eigentleg denne setninga? Vi undersøkjer fargesynet til ein gut. b Kva for utfall har dette forsøket? c Føreslå ein sannsynsmodell.

7 Kapittel 4: Sannsyn Eit svangerskap kan gi eitt barn eller ein fleirfødsel. (Vi skil ikkje her mellom tvillingar, trillingar osv.) a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Bruk tabell 4.1 på side 84 til å føreslå ein sannsynsmodell. 414 Eit tilfeldig forsøk har utfallsrommet 1, 2, 3, 4. I kva for nokre av tilfella nedanfor har vi ein sannsynsmodell? A B C D E P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = Ein astragalus er ein slags terning som blei mykje brukt til spel i oldtida. «Terningen» blei laga av ein knokkel i sauefoten og har fire sider han kan lande på. Desse sidene er merkte med tala 1, 3, 4 og 6. U = { } Vi reknar med at for alle astragalar er sannsynet 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 1 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 3 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 4 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 6 Vi kastar éin astragalus. Kva er sannsynet for at vi får a eit oddetal b eit partal c høgst tre (altså tre eller mindre) d minst tre (altså tre eller meir) 416 Du kastar éin terning og ser kva du får. a Kva for utfall er med i hendinga A = «høgst to auge»? b Kva for utfall er med i A? Uttrykk A med ord. c Kva er sannsyna for hendingane A og A?

8 90 Kapittel 4: Sannsyn 417 Eit tilfeldig forsøk har utfallsrommet 1, 2, 3, 4, der P() 1 =, P() 2 = og P() 3 = U = { } a Bestem P( 4). Vi ser på hendingane A = { 1, 2, 3} og B = { 2, 4}. b Bestem PA ( ) og PB ( ). c Bestem PA ( ) og PB ( ) 418 Ved Stortingsvalet i 2005 var oppslutninga om dei ulike partia slik: RV SV Ap Sp V KrF H FrP Andre 1,2 % 8,8 % 32,7 % 6,5 % 5,9 % 6,8 % 14,1 % 22,1 % 1,9 % Tenk deg at du var med på å gjennomføre ei valdagsmåling i 2005, og at du spurde ein tilfeldig veljar kva parti ho eller han hadde røysta på. a Set opp ein sannsynsmodell for forsøket. b Kva er sannsynet for at veljaren 1 hadde røysta på RV, SV eller Ap 2 ikkje hadde røysta på desse partia 3 hadde røysta på Sp, V, KrF, H eller FrP 4 ikkje hadde røysta på desse partia 5 hadde røysta på Sp, V eller KrF 6 ikkje hadde røysta på desse partia 419 Dei politiske meiningsmålingane viser oppslutninga om partia slik ho er «her og no». Kvar for seg er meiningsmålingane usikre, men fleire målingar sedde under eitt gir eit godt bilete av styrkeforholdet mellom partia. a Finn fram (i aviser eller frå Internett) resultatet av dei fem siste meiningsmålingane. b Rekn ut den gjennomsnittlege oppslutninga om partia i desse meiningsmålingane. Bruk svara til å setje opp ein sannsynsmodell for forsøket, som går ut på å spørje ein person kva parti han eller ho ville ha røysta på dersom det hadde vore stortingsval dagen etter. c Samanlikn modellen i oppgåve b med modellen i oppgåve 418. Kva fortel skilnadene deg? 420 Sannsynet for ei hending er den relative frekvensen for hendinga på lang sikt. Denne oppfatninga av kva sannsyn er, har berre meining dersom det er mogleg å gjenta forsøket mange gonger. Men i dagleglivet bruker vi ordet sannsyn også i situasjonar der eit forsøk berre kan gjerast éin gong. Eit eksempel er spelet «Oddsen», der ein skal tippe resultatet av ein fotballkamp eller ein annan idrettskonkurranse. Om vinnarsjansane for «Oddsen» skriv Norsk Tipping: «Sannsynet for å vinne på Oddsen varierer stort avhengig av kva ein speler på. Kort fortalt speglar storleiken på oddsa att sannsynet for å

9 Kapittel 4: Sannsyn 91 vinne. Di lågare odds, di meir sannsynleg er det at du vinn. Til gjengjeld vinn du då mindre enn med høgre (og meir usannsynlege) odds.» Dei sannsyna det er snakk om her, kan ikkje tolkast som relative frekvensar på lang sikt. Ein fotballkamp eller ein idrettskonkurranse kan ikkje gjentakast mange gonger (under like vilkår). Sannsyna er her eit uttrykk for dei vurderingane ekspertane til Norsk Tipping har gjort. Når ordet sannsyn blir brukt på denne måten, kallar vi det subjektivt sannsyn. Finn eksempel på subjektivt sannsyn i dagspressa eller på Internett. 4.3 Uniforme sannsynsmodellar 421 I kva for nokre av desse situasjonane er det rimeleg å bruke ein uniform sannsynsmodell: a Du ser om ein gut er raudgrøn-fargeblind eller ikkje. b Du kastar ein femtiøring, eit kronestykke og ein femkroning og ser kva du får. c Du skriv dei 29 bokstavane i alfabetet på kvar sin lapp og legg lappane i ei øskje. Du trekkjer så tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva bokstav du får. d Vi ser om eit svangerskap gir eitt barn eller ein fleirfødsel. (Vi skil ikkje her mellom tvillingar, trillingar osv.) 422 Du kastar éin terning. Kva er sannsynet for at du får a minst tre auge (altså tre auge eller meir) b minst fire auge c høgst tre auge (altså tre auge eller færre) d høgst fire auge 423 I ei skål ligg det 12 raude Non Stop, 8 gule Non Stop, 4 grøne Non Stop og 6 blå Non Stop. Du tek tilfeldig éin Non Stop frå skåla. Kva er sannsynet for at du a får ein blå Non Stop b får ein raud Non Stop c ikkje får ein grøn Non Stop d ikkje får ein gul Non Stop 424 Du skriv tala frå 1 til 20 på kvar sin lapp og legg dei tjue lappane i ei øskje. Så trekkjer du tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva tal som står på lappen. Kva er sannsynet for at du får a eit oddetal b eit partal c eit primtal d eit kvadrattal

10 92 Kapittel 4: Sannsyn Andre kast Første kast Du kastar éin terning to gonger. Figuren viser utfallsrommet. a Teikn av figuren og merk av hendingane (sjå figuren i eksempel 1 på side 172 i læreboka) 1 femmar i første kast 2 sum talet på auge lik fem 3 minst éin seksar 4 sum talet på auge høgst fire b Finn sannsyna for hendingane i oppgåve a. 426 Du stokkar ein kortstokk godt og ser kva kort som ligg øvst (sjå eksempel 2 på side 173 i læreboka). Kva er sannsynet for at kortet a er eit ess b ikkje er eit ess c er ein spar d ikkje er ein spar e er raudt (ruter eller hjarter) 427 Sjå på oppgåve 414. I kva for eit av tilfella har vi ein uniform sannsynsmodell? 428 Oda har kjøpt 15 lodd i jubileumslotteriet til idrettslaget Komiform. Oda veit at sannsynet er 0,5 % for at ho vinn førstepremien. Kor mange lodd blei det selt i lotteriet? 429 Du kastar eit kronestykke tre gonger og ser for kvart kast om du får mynt eller krone. a Bruk eit valtre til å finne alle utfalla i dette samansette forsøket. b Kva er sannsynet for at du får 1 éin mynt 2 to mynt 3 minst éin mynt 4 høgst éin mynt

11 Kapittel 4: Sannsyn * Du skriv bokstavane H, U og B på kvar sin lapp og legg dei tre lappane i ei øskje. Så trekkjer du tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva bokstav du får. Du legg lappen tilbake i øskja, trekkjer éin lapp på nytt og ser kva bokstav du no får. a Forklar at du kan trekkje dei to bokstavane på 9 måtar. b Teikn eit valtre som viser dei 9 måtane du kan trekkje bokstavane på. c Kva er sannsynet for at du får to H-ar? d Kva er sannsynet for at du får éin H og éin B? Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer først eitt kort og så eitt kort til, utan å leggje det første kortet tilbake før du trekkjer det andre. a Kor mange utfall har dette forsøket? b Kor mange utfall er gunstige for hendinga at du får to spar? c Kva er sannsynet for at du får to spar? Vi har ei øskje med 7 kvite og 3 svarte kuler. Vi trekkjer éi kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi éi kule til og ser kva farge denne kula har. Vi er interesserte i sannsynet for at vi trekkjer éi kvit og éi svart kule. Nedanfor er det gitt fire forslag for dette sannsynet. Kva for eit av dei er det rette? A 23,3 % B 11,1 % C 46,7 % D 22,2 % I klasse 1b er det 12 jenter og 16 gutar. Klassa skal velje ein festkomité med to medlemmer. Valet blir gjennomført ved loddtrekning. Først blir éin medlem av festkomiteen vald ved loddtrekning blant alle dei 28 elevane. Deretter blir det trekt lodd blant dei attverande 27 elevane om kven som skal vere den andre medlemmen av festkomiteen. Kva er sannsynet for at a begge medlemmene av festkomiteen blir jenter b begge medlemmene av festkomiteen blir gutar c det blir éi jente og éin gut i festkomiteen Vi kastar fire kronestykke og ser for kvart av dei om vi får mynt eller krone. a Bruk eit valtre til å finne alle utfalla i dette samansette forsøket. Kva er sannsynet for at vi får b éi krone c to krone d høgst to krone e minst to krone I ei skuffe ligg det 4 blå, 2 grå og 6 svarte sokkar. Du tek to sokkar i mørkret, først éin og så éin til. Kva er sannsynet for at du får a to blå sokkar b to grå sokkar c to svarte sokkar d to sokkar med same farge

12 94 Kapittel 4: Sannsyn 436 Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer først eitt kort og så eitt kort til, utan å leggje det første kortet tilbake før du trekkjer det andre. Kva er sannsynet for at du får a to kløver b to kort i same farge (dvs. to kløver, to ruter, to hjarter eller to spar) c først ein ruter og så ein hjarter d éin ruter og éin hjarter 437 Du skriv bokstavane H, U og B på kvar sin lapp og legg dei tre lappane i ei øskje. Du trekkjer tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva bokstav du får. Du legg lappen tilbake i øskja, trekkjer éin lapp på nytt og ser kva bokstav du no får. Du gjentek trekkinga av bokstavar på denne måten til du i alt har fått 12 bokstavar. a På kor mange måtar kan du trekkje 12 bokstavar på denne måten når du tek omsyn til rekkjefølgja du trekkjer dei i? b Kva er sannsynet for at du får akkurat denne serien: HUB BUB HHU HBU? På ein tippekupong er det oppført 12 fotballkampar. For kvar kamp skal ein tippe om det blir heimesiger (H), uavgjort (U) eller bortesiger (B). Ei tipperekkje består av eitt tips for kvar av dei 12 kampane. c Forklar at svaret i oppgåve a gir talet på kor mange ulike rekkjer ein kan tippe. d Vil svaret i oppgåve b gi oss sannsynet for å få tolv rette når vi tippar éi rekkje? Grunngi svaret!

13 Kapittel 4: Sannsyn Addisjonssetninga 438 Du kastar éin terning. Figuren viser eit venndiagram for utfallsrommet. A Hendinga A = «høgst fire auge» er merkt av i venndiagrammet. a Teikn av venndiagrammet. b Merk av hendinga B = «minst tre auge» i venndiagrammet. c Kva utfall utgjer hendingane A B og A B? d Bestem PA ( B) og PA ( B). 439 Du kastar éin terning to gonger. Sjå på hendingane A = «sum auge høgst fem» og B = «firar i minst eitt av kasta». a Kva for utfall er med i hendingane A og B? b Kva for utfall er med i hendingane A B og A B? c Bestem PA ( B) og PA ( B). * 440 Friidrettsgruppa til Koll har 50 utøvarar. 35 av dei konkurrerer i løpsøvingar og 12 i høgdehopp. Sju av utøvarane konkurrerer både i høgdehopp og løpsøvingar. a Lag ein oversiktstabell eller eit venndiagram som viser korleis utøvarane fordeler seg på løpsøvingar og høgdehopp (sjå side 178 i læreboka). b Ein utøvar i friidrettsgruppa blir trekt ut tilfeldig. Kva er sannsynet for at denne utøvaren konkurrerer 1 i høgdehopp 2 i løpsøvingar 3 både i høgdehopp og i løpsøvingar 4 i høgdehopp eller løpsøvingar eller begge delar 441 Narvestad vidaregåande skule har 80 elevar i første klasse. Ei veke har 57 elevar sett Idol og 35 Hotel Cæsar, medan 13 elevar ikkje har sett nokon av programma. a Lag ein oversiktstabell eller eit venndiagram som viser korleis elevane fordeler seg på dei to programma (sjå side 178 i læreboka). Éin av dei 80 elevane blir trekt ut tilfeldig for å bli intervjua i skuleavisa. b Kva er sannsynet for at denne eleven har sett 1 Idol 2 Hotel Cæsar 3 ingen av programma 4 begge programma 5 minst eitt av programma

14 96 Kapittel 4: Sannsyn 442 Ved ein teknisk kontroll blei lys og bremser på ei rad bilar kontrollert. Det viste seg at 18 % av bilane hadde feil med lysa, og at 12 % hadde feil med bremsene. 74 % av bilane hadde både lys og bremser i orden. Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald bil blant dei som blei kontrollerte, hadde a lys som var i orden b bremser som var i orden c korkje lys eller bremser i orden d lys, men ikkje bremser i orden 443 Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer eitt kort. Finn sannsynet for at kortet a er ein konge b er eit svart kort (kløver eller spar) c er ein svart konge (kløver konge eller spar konge) d anten er eit svart kort eller ein konge (eller begge delar) 444 a Finn P(A Ε B) når P(A) = 0,22, P(B) = 0,18 og P(A B) = 0,03. b Finn P(A B) når P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 og P(A Ε B) = 0, Du kastar éin terning to gonger. Avgjer i kvart av tilfella nedanfor om hendingane A og B er disjunkte (sjå side 181 i læreboka). a A = «minst éin seksar» og B = «sum talet på auge mindre enn sju» b A = «minst éin seksar» og B = «femmar i første kast» c A = «sum talet på auge minst ni» og B = «trear i andre kast» d A = «sum talet på auge større enn ni» og B = «trear i andre kast» Tabell 4.2 på neste side gir ei oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter alderen til bruda og brudgommen. Sjå på eit tilfeldig valt brudepar frå dette året. a Kva er sannsynet for at bruda er år? b Kva er sannsynet for at brudgommen er år? c Kva er sannsynet for at både bruda og brudgommen er år? d Kva er sannsynet for at minst éin av dei to ektemakane er år?

15 Kapittel 4: Sannsyn 97 Aktuelle befolkningstal 9/98 3 Inngåtte ekteskap etter alderen til bruda og brudgommen Alderen til brudgommen I alt Alderen til bruda Ekteskap i alt Statistisk sentralbyrå Tabell Tabell 4.2 gir ei oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter alderen til bruda og brudgommen. Vi ser på eit tilfeldig valt brudepar frå dette året. Vi er interesserte i kor sannsynleg det er at minst éin av ektemakane er under 20 år. Nedanfor er det gitt fire forslag for dette sannsynet. Kva for eit av forslaga er rett? A 2,4 % B 2,2 % C 0,4 % D 2,7 % Eit fjernsynsapparat kan ha to hovudtypar av feil, A og B. Sannsynet er 3,0 % for feil av type A og 1,0 % for feil av type B, dvs. PA ( ) = 0, 030 og PB ( ) = 0, 010. Sannsynet for at eit apparat har begge feila, er 0,2 %, dvs. PA ( B) =0, 002. Finn sannsynet for at eit fjernsynsapparat har a minst éin av dei to feila b ingen av dei to feila

16 98 Kapittel 4: Sannsyn 4.5 Produktsetninga for uavhengige hendingar 449 I ei øskje ligg det to blå og tre raude kuler. Du trekkjer éi kule tilfeldig frå øskja og ser kva farge ho har. Så legg du kula tilbake i øskja og trekkjer tilfeldig éi kule til og ser kva farge denne kula har. Kva er sannsynet for at a begge kulene er raude b begge kulene er blå c den første kula er raud og den andre er blå d den første kula er blå og den andre er raud 450 På eit bord står det to skåler. I den eine skåla er det 5 raude og 4 gule seigmenn. I den andre skåla er det 3 oransje og 6 grøne seigdamer. Vi trekkjer ein «seigperson» frå kvar skål. Finn sannsynet for at det blir a ein raud seigmann og ei oransje seigdame b ein raud seigmann og ei grøn seigdame c ein gul seigmann og ei oransje seigdame d ein gul seigmann og ei grøn seigdame 451 Eit ektepar har to born som ikkje er tvillingar. Kva er sannsynet for at a paret har to gutar b det eldste barnet er ein gut og det yngste ei jente c det eldste barnet er ei jente og det yngste ein gut d paret har to jenter 452 I ein gjettekonkurranse blir det stilt to spørsmål. For det første spørsmålet er det oppgitt tre moglege svar, medan det er oppgitt fem moglege svar for det andre. Kor sannsynleg er det at ein som berre tippar, får a gale svar på begge spørsmåla b rett svar på begge spørsmåla c minst eitt rett svar d høgst eitt rett svar * 453 Mia driv ein motebutikk. Ho har ført statistikk over lang tid og funne at 60 % av dei som kjem innom butikken, handlar før dei går ut. Ein elles roleg måndag formiddag kjem det tre personar, som ikkje er i følgje, inn i butikken. Finn sannsynet for at a alle tre handlar b ingen av dei handlar c minst éin av dei handlar 454 Ein familie har fire born som ikkje er tvillingar, trillingar eller firlingar. Kva er sannsynet for at syskenflokken består av a fire gutar b minst éi jente c ein storebror med tre småsystrer

17 Kapittel 4: Sannsyn Vi kastar fire terningar. Vi er interesserte i kor sannsynleg det er at vi får minst éin seksar. Nedanfor er det gitt fire forslag for dette sannsynet. Kva for eit av forslaga er rett? A 48,2 % B 66,7 % C 51,8 % D 36,0 % 456 I spalta «Barnelegen» i Aftenposten stod for nokre år sidan dette spørsmålet frå «tante», med svar frå barnelegen Gunnar Oftedal (her omsett til nynorsk): Gut eller jente Då systera mi fødde den tredje sonen sin i fjor, blei ho fortald av jordmora at når ei kvinne har fødd to gutar, er det prosent sjanse for at barn nr. tre blir ein gut. Stemmer det? Og i så fall, kvifor? Dersom ei kvinne har fødd tre gutar, kva er då sjansen for at barn nr. fire blir ei jente? Nei, det stemmer ikkje; jordmora tek feil. Ved kvar befruktning er det 50 prosent sjanse for begge kjønn, uavhengig av kor mange born kvinna har fødd tidlegare, og uavhengig av kva kjønn tidlegare born har. Det er kjønnskromosoma som avgjer kjønnet til barnet. Eggcellene inneheld eit x-kromosom, spermiane anten eit x-kromosom eller eit y-kromosom, og det er heilt tilfeldig om kombinasjonen eller samansmeltinga blir xx (jente) eller xy (gut). Heilt korrekt er heller ikkje dette, for sjansen for å få ein gut er litt større enn sjansen for å få ei jente. Det blir fødd om lag 105 gutar i forhold til 100 jenter, det vil seie at det kvar gong er 5 prosent større sjanse for gut. I praksis er det likevel som å slå krone og mynt, og det er like sannsynleg at begge sider kjem opp. a b Diskuter spørsmålet til «tante» ut frå omgrepa avhengige og uavhengige hendingar. Diskuter det svaret barnelegen gir Ut frå offisiell statistikk veit vi at 1 % av fødslane i Noreg er tvillingfødslar. Tenk deg at eit sjukehus har 200 fødslar på eitt år. Kva er sannsynet for at det a ikkje blir fødd nokon tvillingpar b blir fødd minst eitt tvillingpar Raudgrøn fargeblindleik er arveleg, men blir arva forskjellig for gutar og jenter. Ein gut blir raudgrøn-fargeblind dersom han arvar genet for raudgrøn fargeblindleik frå mor si. Sannsynet for det er 8 %. a b Kva er sannsynet for at ein gut ikkje er raudgrøn-fargeblind? Ola, Kristoffer og Hans er bestevenner. Kva er sannsynet for at ingen av dei er raudgrøn-fargeblind?

18 100 Kapittel 4: Sannsyn c Per, Pål og Espen er brør. Kan vi finne sannsynet for at ingen av dei er raudgrøn-fargeblind, på same måten som i oppgåve b? (Du skal ikkje rekne her.) For at ei jente skal bli raudgrøn-fargeblind, må ho arve genet for raudgrøn fargeblindleik både frå mora og faren. Ho arvar genet frå dei to foreldra uavhengig av kvarandre. Sannsynet er 8 % for å få genet for raudgrøn fargeblindleik frå mor og 8 % for å få det frå far. d Kva er sannsynet for at ei jente skal vere raudgrøn-fargeblind? e f Kva er sannsynet for at ei jente ikkje skal vere raudgrøn-fargeblind? Kari, Linda og Mette er bestevenner. Kva er sannsynet for at ingen av dei er raudgrøn-fargeblind? 459 Om to hendingar A og B veit vi at PA ( )= 1 6 og PB ( )= 2 7. Finn P(A B) a dersom A og B er disjunkte b dersom A og B er uavhengige Alle sjukehus har eit naudaggregat som blir kopla inn for å sikre straum til operasjonsstover og overvakingsutstyr dersom det skulle bli brot på den ordinære elektrisitetsforsyninga. Straumforsyninga til eit sjukehus er eit eksempel på eit system med to «komponentar» den ordinære straumforsyninga og naudaggregatet. Systemet fungerer det leverer straum dersom minst éin av komponentane fungerer. Vi seier at komponentane er kopla i parallell. Vi har eit system med to parallellkopla komponentar. Dei to komponentane fungerer uavhengig av kvarandre. Vi ser på hendingane A=«den første komponenten fungerer» B = «den andre komponenten fungerer» og går ut frå at PA ( ) = PB ( ) =095,. a Finn PA ( B). b Finn PA ( B), det vil seie sannsynet for at systemet fungerer. c Kva er sannsynet for at systemet ikkje fungerer? Samanlikn dette sannsynet med sannsynet for at kvar av komponentane ikkje fungerer. Det er blitt sagt at dersom ein apekatt skriv lenge nok på ein skrivemaskin, så vil han før eller seinare kome opp med ein perfekt kopi av Hamlet av Shakespeare. Vi skal i denne oppgåva sjå på ein enklare versjon av dette problemet. a Byrjinga av ein kjend barnesong er «bæ bæ lille lam har du noe ull». Kva er sannsynet for at apekatten kjem til å skrive dette dersom han trykkjer tilfeldig på tastaturet tretti gonger? For å gjere det enkelt kan du rekne som om det berre er tretti tastar på tastaturet éin tast for kvar av dei 29 bokstavane i alfabetet og éin tast for mellomrom. b Tenk deg at apekatten bruker eit halvt minutt på å taste tretti teikn (medrekna mellomrom), og at han skriv dag og natt i eitt år. Tenk deg vidare at teksten blir delt inn i sekvensar på 30 og 30 teikn. Kva er sannsynet for at minst éin av desse sekvensane vil vere «bæ bæ lille lam har du noe ull»? c Kor lenge må apekatten skrive for at sannsynet skal vere 1 % for at han skriv sekvensen «bæ bæ lille lam har du noe ull» minst éin gong?

19 Kapittel 4: Sannsyn 101 I oppgåvene b og c har du bruk for å rekne ut uttrykk av forma 1 ( 1 p) n når p er eit svært lite positivt tal og n er eit stort heilt tal. Slike uttrykk er det vanskeleg å bestemme på lommereknaren. Det kjem av at lommereknaren berre har kapasitet til å lagre eit visst tal på siffer, og at han derfor vil runde av 1 p til 1 når p er eit svært lite positivt tal. I slike n situasjonar kan du bruke tilnærminga 1 ( 1 p) np. 4.6 Produktsetninga for avhengige hendingar 462 I ei øskje ligg det to blå og tre raude kuler. Vi trekkjer ei kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi ei kule til og ser kva farge denne kula har. Kva er sannsynet for at a begge kulene er raude b den første kula er raud og den andre blå c den første kula er blå og den andre raud d begge kulene er blå 463 Ei klasse har 12 gutar og 9 jenter. To elevar blir trekte ut tilfeldig. Finn sannsynet for at a begge er gutar b minst éin elev er ei jente 464 Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer først eitt kort og så eitt kort til (utan å leggje det første kortet tilbake før du trekkjer det andre). Kva er sannsynet for at du får a ingen spar b minst éin spar c ikkje nokon ess d minst eitt ess 465 I ei øskje ligg det 5 kvite og 3 svarte legoklossar. Vi trekkjer etter tur tre legoklossar og ser kva farge dei har (utan å leggje klossane tilbake att). Kva er sannsynet for at a alle legoklossane er kvite b minst éin legokloss er svart c dei to første legoklossane er kvite og den siste er svart d den første legoklossen er svart og dei to siste er kvite 466 I ei klasse er det 14 jenter og 10 gutar. Fire elevar blir trekte ut tilfeldig. Finn sannsynet for at a alle er jenter b minst éin av dei fire er ein gut c dei to første er jenter og dei to siste er gutar

20 102 Kapittel 4: Sannsyn * Per skriv bokstavane i alfabetet på kvar sin lapp og legg dei 29 lappane i ein hatt. Han trekkjer så tilfeldig fire lappar, éin etter éin, og ser kva bokstavar som står på lappane (utan å leggje lappane tilbake att). Kva er sannsynet for at Per a får berre konsonantar b får minst éin vokal c får berre vokalar Vi trekkjer tilfeldig fem kort frå ein kortstokk. a Kva er sannsynet for at alle korta er spar? b Kva er sannsynet for at minst eitt kort ikkje er ein spar? Når du tippar éi rekkje i Vikinglotto, kryssar du av seks tal frå 1 til 48. Ved trekninga blir det tilfeldig trekt seks vinnartal (og to tilleggstal). Førstepremien går til den eller dei som tippar alle dei seks vinnartala rett. Tenk deg at du har tippa éi rekkje i Vikinglotto. Kva er sannsynet for at du a vinn førstepremie b ikkje tippar eit einaste vinnartal rett c tippar minst eitt vinnartal rett I ein syskenflokk er det tre born, ingen av borna er tvillingar eller trillingar. a Forklar at sannsynet for at borna blei fødde på kvar sin vekedag er b Kva er sannsynet for at minst to av borna blei fødde på same vekedag? 471 (Før du gjer denne oppgåva, bør du gjere oppgåve 470.) I ei klasse er det 25 elevar. a Kva er sannsynet for at ingen av elevane har gebursdag på same dag? (Du kan sjå bort frå skotårsdagen og rekne som om alle gebursdagar er like sannsynlege.) b Kva er sannsynet for at minst to av elevane har gebursdag på same dag? 472 I offentleg statistikk finn vi at det er 93 % sannsynleg at ein 50 år gammal mann blir minst 60 år, medan det er 81 % sannsynleg at ein 60 år gammal mann blir minst 70 år. Vi skal sjå på korleis desse opplysningane kan brukast til å finne ut kor sannsynleg det er at ein 50 år gammal mann blir minst 70 år. Vi tek for oss ein 50 år gammal mann og ser på hendingane A = mannen blir minst 60 år B = mannen blir minst 70 år Vi har då P(A) = 0,93. Dersom hendinga A skjer, er mannen blitt 60 år, slik at vi har PB ( A) = 081,. a Bruk produktsetninga for avhengige hendingar til å finne PA ( B). b Her er A B= B. Kvifor? c Kor sannsynleg er det at ein 50 år gammal mann blir minst 70 år?

21 Kapittel 4: Sannsyn 103 Det er 96 % sannsynleg at ei 50 år gammal kvinne blir minst 60 år, medan det er 90 % sannsynleg at ei 60 år gammal kvinne blir minst 70 år. d Kor sannsynleg er det at ei 50 år gammal kvinne blir minst 70 år? Hos eit ektepar er både mannen og kona 50 år. e Kor sannsynleg er det at begge to blir minst 70 år gamle? f Diskuter føresetnaden du må gjere i oppgåve e. 473 Mads bestemmer seg for å spele éi rekkje i Lotto kvar veke frå han fyller 20 år til han blir 50 år. Kva er sannsynet for at han kjem til å vinne førstepremie minst éin gong i desse 30 åra? 4.7 Samansette forsøk 474 I ei øskje ligg det to blå og tre raude kuler. Vi trekkjer ei kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi ei kule til og ser kva farge denne kula har. a Teikn eit valtre for det samansette forsøket som går ut på å trekkje dei to kulene. b Kva er sannsynet for at dei to kulene har same farge? 475 Eit ektepar har to born. Vi kan sjå på dette som eit samansett forsøk med to delforsøk, eitt for kvart barn. a Teikn eit valtre for det samansette forsøket. b Kor sannsynleg er det at paret har éin gut og éi jente? 476 I ei skål ligg det 8 seigmenn og 12 seigdamer. Du trekkjer tilfeldig to «seigpersonar» frå skåla. Vi kan sjå på dette som eit samansett forsøk med to delforsøk, eitt for kvar «seigperson» du trekkjer. a b Teikn eit valtre for det samansette forsøket. Kor sannsynleg er det at du får 1 to seigdamer 2 to seigmenn 3 éi seigdame 4 minst éin seigmann 477 I ei øskje ligg det fem kvite og tre svarte legoklossar. Vi trekkjer etter tur tre legoklossar og ser kva farge dei har (utan å leggje klossane tilbake att). a Teikn eit valtre for det samansette forsøket som går ut på å trekkje dei tre klossane. b Kor sannsynleg er det at vi får 1 éin kvit legokloss 2 to kvite legoklossar

22 104 Kapittel 4: Sannsyn 478 * Ein familie har tre born, og ingen er tvillingar eller trillingar. Kor sannsynleg er det at det er éi jente og to gutar i syskenflokken? Eit menneske har éin av blodtypane A, B, AB og 0. I Noreg har 48 % blodtypen A, 8 % blodtypen B, 4 % blodtypen AB og 40 % blodtypen 0. Ein lege undersøkjer blodtypen til tre nordmenn som ikkje er i slekt. a Kor sannsynleg er det at alle har blodtypen 0? b Kor sannsynleg er det at minst éin ikkje har blodtypen 0? c Kor sannsynleg er det at éin har blodtypen A og to har blodtypen 0? d Kvifor må vi ha som føresetnad at dei tre ikkje er i slekt? For å få begynne i Ludo lyt ein kaste ein seksar med terningen. Finn sannsynet for at ein spelar a får begynne etter det første kastet b får begynne etter det andre kastet c får begynne etter anten det første eller det andre kastet Ein astragalus er ein slags terning som blei mykje brukt til spel i oldtida. «Terningen» blei laga av ein knokkel i sauefoten og har fire sider han kan lande på. Desse sidene er merkte med tala 1, 3, 4 og 6. (Sjå bilete i oppgåve 415.) Vi reknar med at for alle astragalar er sannsynet 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 1 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 3 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 4 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 6 Ein einar blir av og til kalla ein «hund». Dersom vi kastar fire astragalar samtidig og alle viser forskjellig, blir det kalla «venus». Vi kastar to astragalar samtidig. a Kva er sannsynet for at vi får to firarar? b Kva er sannsynet for at dei to astragalane viser det same? Vi kastar fire astragalar samtidig. c Kva er sannsynet for at vi får minst éin «hund»? d Kva er sannsynet for at vi får nøyaktig éin «hund»? e Kva er sannsynet for at vi får «venus»? Du speler Yatzy og kastar fem terningar. a Kor sannsynleg er det at du får fem einarar? b Kor sannsynleg er det at du får Yatzy, det vi seie like mange auge på alle terningane?

23 Kapittel 4: Sannsyn Binomiske sannsyn 4.9 Binomiske sannsyn med digitale verkty 483 Du kastar eit kronestykke fire gonger. a Teikn eit valtre for det samansette forsøket som dei fire kasta utgjer. b Kva er sannsynet for at du får 1 inga krone 2 éi krone 3 to krone 4 tre krone 5 fire krone c Kva blir summen av sannsyna i oppgåve b? Kunne du ha funne svaret utan å rekne? d Kva er sannsynet for at du får 1 høgst to krone 2 minst tre krone 484 Du kastar éin terning seks gonger. Kva er sannsynet for at du får a ingen seksarar b éin seksar c to seksarar d tre seksarar 485 I kva for nokre av situasjonane har vi eit binomisk forsøk (sjå side 202 i læreboka): a Vi kastar ti femkroningar og ser for kvar av dei om vi får mynt eller krone. b I ei øskje ligg det 10 blå og 15 raude kuler. Vi trekkjer ei kule, ser kva farge ho har og legg ho tilbake att. Det gjer vi ti gonger. c I ei øskje ligg det 10 blå og 15 raude kuler. Vi trekkjer etter tur ti kuler og ser kva farge dei har (utan å leggje kulene tilbake att). d Du trekkjer tilfeldig 5 kort frå ein kortstokk og ser kva kort du får. e På eit sjukehus blir det ei veke fødd 20 born som ikkje er tvillingar, trillingar osv. Vi er interesserte i kjønnet til borna. 486 Vi kastar eit kronestykke sju gonger og noterer talet på mynt. Finn sannsynet for at talet på mynt er a to b tre c fire d fem 487 Eit politisk parti har ved eit visst tidspunkt støtte av 30 % av befolkninga. Tjue personar blir trekte ut tilfeldig. Finn sannsynet for at akkurat a 5 støttar partiet b 6 støttar partiet c 7 støttar partiet

24 106 Kapittel 4: Sannsyn * Ali er med i ein spørjekonkurranse på fjernsyn. Han blir stilt 20 spørsmål. For kvart spørsmål kan han velje mellom tre svaralternativ, der eitt er rett. Dersom Ali svarer rett på minst 18 spørsmål, vinn han kroner. a b Kor sannsynleg er det at Ali vinn kroner dersom han berre gjettar? Gå ut frå at Ali veit svaret på ti av spørsmåla, men berre gjettar på dei ti andre. Kor sannsynleg er det då at han vinn kroner? Frå offentleg statistikk veit vi at 1 % av fødslane i Noreg er tvillingfødslar. Tenk deg at eit sjukehus har 200 fødslar på eitt år. Kva er sannsynet for at det a ikkje blir fødd nokon tvillingpar b blir fødd eitt tvillingpar c blir fødd to tvillingpar d blir fødd tre tvillingpar e blir fødd minst tre tvillingpar Ein viss type frø spirer med 80 % sannsyn. Du sår 250 frø. a Kva er sannsynet for at nøyaktig 200 frø kjem til å spire? b Kva er sannsynet for at minst 210 frø kjem til å spire? c Kva er sannsynet for at høgst 190 frø kjem til å spire? Ein frøprodusent påstår at ein viss type frø har ein spireprosent på 90 %. Ane har mistanke om at spireprosenten ikkje er så høg, og bestemmer seg for å gjere eit lite forsøk for å teste påstanden frå produsenten. Det gjer ho ved å så 50 frø og sjå kor mange av dei som spirer. Det viste seg at 39 av frøa spirte. Gir dette Ane god grunn til å påstå at spireprosenten er lågare enn 90 %? For å svare på dette er det ikkje nok å vise til at mindre enn 90 % av frøa spirte. For det kan godt skje sjølv om spireprosenten er 90 %. I staden må vi finne sannsynet for at høgst 39 av 50 frø kjem til å spire dersom spireprosenten er 90 %. Dersom det sannsynet er lite, gir det Ane god grunn til å påstå at spireprosenten ikkje kan vere så høg som 90 %. a Finn sannsynet for at høgst 39 av 50 frø kjem til å spire dersom spireprosenten er 90 %. b Har Ane god grunn til å påstå at spireprosenten er mindre enn 90 %? a Første kvadratsetning seier at ( a+ b) = 1 a + 2 ab+ 1 b. Koeffisientane (talfaktorane) i dette uttrykket er 1, 2 og 1. Kvar finn du desse koeffisientane i Pascals taltrekant (sjå side 197 i læreboka)? b Vis at ( a+ b) = 1 a + 3 a b+ 3 ab + 1 b. Koeffisientane i dette uttrykket er 1, 3, 3 og 1. Kvar finn du desse koeffisientane i taltrekanten? c Rekn ut ( a+ b) 4. Vis at du finn koeffisientane i dette uttrykket i fjerde rad i Pascals trekant.

25 Kapittel 4: Sannsyn 107 Kommentar. I oppgåvene a c fann vi formlar for å rekne ut ( a + b) n når n er lik 2, 3 og 4. Generelt får vi ein formel for å rekne ut ( a + b) n ved å bruke tala i den n-te rada i Pascals trekant som koeffisientar. Uttrykket a + b kallar vi eit binom, og formelen for å rekne ut ( a + b) n kallar vi binomialformelen. Grunnen til at tala n blir kalla binomialkoeffisientar, er at dei er koeffisientar i r binomialformelen. 493 Vi skal i denne oppgåva sjå nærmare på ein formel for binomialkoeffisientane. Det er då praktisk å ha ein eigen skrivemåte for produktet av alle naturlege tal frå 1 til n. Vi skriv dette produktet n!, som vi les «n fakultet». Vi har altså at n! = ( n 1) n For eksempel er 4! = = 24. Vi har også bruk for «null fakultet», som vi definerer slik: 0! = 1. a Rekn ut n! for n = 12,,..., 7. Det går an å vise at binomialkoeffisientane er gitt ved formelen n n ( r ) =! r!( n r)! b Bruk denne formelen til å finne 7 for,,,...,, og kontroller at r du får tala i rad 7 i Pascals taltrekant. ( ) r = Du kan bruke lommereknaren til å finne n!. Vi bruker n = 5 som eksempel CASIO Vel RUN. Trykk 5 OPTN F6 ( ) F3 (PROB) F1 (x!) EXE TEXAS Trykk 5 MATH (PRB) 4 (!) ENTER c Bruk lommereknaren til å kontrollere svara i oppgåve a. d Bruk formelen for binomialkoeffisientane og fakultet på lommereknaren til å finne 8, 9, 10 og 12 (. Kontroller svara ved å bruke på 5 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 8 ) ncr lommereknaren (sjå side 200 i læreboka). På side 197 i læreboka forklarer vi at Pascals taltrekant er bygd opp ved at ein får eit tal i trekanten ved å leggje saman dei to nærmaste naboane i rada ovanfor. Denne samanhengen kan uttrykkjast ved formelen n 1 n n (. r ) ( r ) ( r ) = e Bruk formelen for binomialkoeffisientane til å vise denne samanhengen.

26 108 Kapittel 4: Sannsyn Rett eller gale? 1 Når vi kastar éin terning 1200 gonger, får vi 200 seksarar. 2 Ei hending omfattar minst to utfall. 3 A er ei hending i eit utfallsrom U. Då er alle utfall i U anten med i A eller med i A. 4 Når vi kastar éin terning, er «høgst fire auge» og «minst fire auge» komplementære hendingar. 5 Vi har eit forsøk med hendingane A, B og C. Dersom PA ( ) = PB ( ) = PC ( ) = 1, er 3 sannsynsmodellen uniform. 6 Når vi kastar tre terningar, er det 216 moglege utfall. 7 A B og A B er komplementære hendingar. 8 I ei klasse med 28 elevar har 12 elevar snøbrett og 13 langrennsski, medan 5 av elevane korkje har snøbrett eller langrennsski. Då har 2 elevar både snøbrett og langrennsski. 9 A og A er disjunkte hendingar. 10 Dersom A og B er uavhengige hendingar, er PA ( B) = PA ( ) + PB ( ). 11 Når vi kastar fem kronestykke, er sannsynet 3,1 % for at vi ikkje får ein einaste mynt. 12 I ei øskje ligg det fire blå og tre raude kuler. Vi trekkjer etter tur tre kuler frå øskja (utan å leggje kulene tilbake att). Gitt at dei to første kulene vi trekte var blå, er sannsynet med vilkår for at også den tredje kula er blå, 2 lik I ei øskje ligg det fire blå og tre raude kuler. Vi trekkjer etter tur tre kuler frå øskja (utan å leggje kulene tilbake att). Sannsynet for at vi får to 18 blå kuler er då Dersom delforsøka i eit samansett forsøk er uavhengige, har vi eit binomisk forsøk. 15 På ei fleirvalsprøve er det ti spørsmål og fire svaralternativ for kvart spørsmål. For å bestå prøva må du ha rett svar på minst fem spørsmål. Sannsynet for å bestå prøva dersom du berre tippar, er 7,8 %. Blanda oppgåver 494 Sannsynet er 25 % for at ei 16 år gammal jente skal vere minst 170 cm høg. For ein 16 år gammal gut er dette sannsynet 75 %. I ein venneflokk er det fem jenter og fire gutar som alle er 16 år. Kva er sannsynet for at a alle gutane er minst 170 cm b minst éin av gutane er lågare enn 170 cm c alle jentene er lågare enn 170 cm d minst éi av jentene er 170 cm eller høgre (Opplysningane i denne oppgåva stammar frå målingar frå 1970 av elevar i Oslo-skulane.)