Tatami-matte. Gert M. Hana

Transkript

1 Mønster er temaet i dette heftet av Tangenten. Vi har valgt å tolke mønsterbegrepet vidt. I tillegg til tallmønster og geometriske mønster ser vi også på musikalske mønster og mønster i språk/ kommunikasjon. Vi har samarbeidet med våre svenske og danske søskentidsskrift (Nämnaren og Matematik) og slikt fått et rikt stofftilfang. Derfor finner dere artikler både på dansk og svensk i dette heftet. De andre tidsskriftene vil også ha temahefte om mønster denne våren. For mange er mønster selve sjelen i matematikken. Å jakte på mønstre, å avsløre mønstre, å skape mønstre, ja det er for mange kjernen i vår disiplin. Det virker som om målet med å finne et mønster i for eksempel en tall- eller figurrekke er å komprimere informasjonen av en ofte uendelig mengde objekter til en kort beskrivelse ved hjelp av symmetri eller formler. Mønsteret er ikke gjennomskuet før vi klarer å presentere den kompakte, korte sammenhengen som ligger bak mengden av enkeltelementer i mønsteret. Det kan se ut som vi har både en kulturell og indre drivkraft til å gå på jakt etter slike forenklinger, Eller skal vi kalle dem for abstraksjoner? Gjenkjenning er et avgjørende steg i arbeid med mønster. Å kjenne igjen en figur som et kvadrat og å kunne fokusere nettopp på denne ene egenskapen i en mengde av objekter, er en abstraksjonsprosess. Vi kan velge en eller flere egenskaper til objektene og holder dem fast og se om de gjentar seg i mønsteret. Gjentakelse er vesentlig. Kan vi finne egenskaper som ikke er spesifikke for et av objektene og som går igjen og igjen? Neste steg kan vi gjerne kalle for bortvalg. Noen av egenskapene til elementene i rekken er gjerne ikke avgjørende for mønsteret. Kanskje er plasseringen av elementene uvesentlig hvis vi skal avsløre mønsterets kjerne. Så er det også en form for abstraksjon som må til, for å kunne formulere mønsterets innhold. Det siste er gjerne en språklig eller matematisk formulering av essensen i mønsteret. Mønster opptrer altså i mange fasetter. De synlige og umiddelbart gjenkennelige geometrisk mønstre, tabellmønstre eller tallmønstre er en side av saken, den bakenforliggende abstraksjonen som gjerne inneholder en kortversjon, en komprimert utgave av helheten er en annen side. Mønster som inneholder de nevnte kvalitetene kan gjerne bli estetisk vakre. Det skal for eksempel ikke mange speilinger til før en tilsynelatende kaotisk samling av prikker og streker plutselig blir til et utgangspunkt for en tapet eller et gardinstoff som vi kan tenke oss å ha rundt oss og glede oss over, behagelig for øyet. Om hjernen vår avslører hemmeligheten i mønsteret bevisst eller om den bare ubevisst sanser skjønnheten kan være to sider av samme sak. I dette heftet finner du et mangfold av mønster som gir rikelig anledning til kreativitet, beundring og abstraksjon. Og finner du ikke nok stoff her, ta en titt på Nämnaren og Matematik. tangenten 2/2011 1

2 Gert M. Hana Tatami-matte Gulv i japanske hus har tradisjonelt vært dekket av tatamimatter. Disse mattene, som er laget av vevet strå, kan være utgangspunkt for mye matematikk. Mattenes form er enkel å beskrive: de er rektangelformete med langsiden dobbelt så lang som kortsiden, altså to kvadrater satt inntil hverandre. Her skal jeg se på hvordan tatamimatter kan brukes til å se nærmere på arealbegrepet. Til slutt i artikkelen ser jeg også litt på mønstrene som dannes når en setter sammen tatamimatter. Tatamimattene har vært standard gulvbekledning i Japan i mange hundre år, og fortsatt er det vanlig å ha minst ett rom dekket med tatamimatter. Se figur 2 neste side. Mattenes størrelse er omtrent cm. Et rom blir alltid prøvd fylt med så mange hele matter som mulig, eventuelt med en halv matte i tillegg (en hanjo _ ). Da tatamimattene er store og dekker gulvflaten, er det enkelt å telle antall matter på et gulv. Dette har gjort at romstørrelse i Japan som oftest blir oppgitt i antall tatamimatter det er plass til. Typiske romstørrelser er seks eller åtte matter. Et japansk terom, som fortsatt alltid er tatamibelagt, har en størrelse på fire og en halv matter. Ved tatamimatter er koblingen mellom areal og det å fylle en flate med kopier av en enhet ekstra sterk. I motsetning til kvadrat meter som kan virke abstrakt og være uvant å se for seg plassert utover en flate, blir tatamimatter konkret plassert utover en flate. Denne konkretiseringen kan virke fjern for norske elever som ikke møter tatamimatter i hverdagen. Allikevel vil det å møte situasjoner hvor en konkret ser at areal er antallet av en enhet det er plass til, kunne være til hjelp med å utvikle forståelse for arealbegrepet, og spesielt med å knytte kvadratmetermål til hvor mange ganger det er plass til en kvadratmeterrute. De fleste måleenheter har en bakgrunn i menneskekroppen. Tatamimatter er intet unntak. En halv matte er passe plass for en stående eller sittende person, mens en hel matte er passe plass til en liggende person (figur 1). Dette har tilknytning til tatamimattenes opprinnelse: de ble til å begynne med brukt som et portabelt gulvdekke til å legge over jordgulv 2 Gert M. Hana Høgskolen i Bergen Gert.Monstad.Hana@hib.no Figur 1: Tatamimattens størrelse er basert på plassen en person trenger for å kunne sove komfortabelt (illustrasjon fra Yagi, 1982). 2/2011 tangenten

3 Figur 2: Japansk rom innredet med tatamimatter. Fra: commons.wikimedia.org/wiki/file:takagike_ Kashihara_JPN_001.jpg#filelinks. når det var behov for å sitte eller ligge (Engel, 1985). 1 At størrelsen på mattene er koblet til sitting og ligging, gjør mattene egnet til å beregne hvor mange det er plass til i et rom med et bestemt formål. Et trematters rom har plass til to sovende samt en ledig matte. Et kvadratisk bord med sidekanter som er lik kortlengden til tatamimattene har plass til fire (se figur 3). På denne måten kan en bruke antall matter til å regne ut om rommet er stort nok til ønsket formål. Når en japaner får oppgitt størrelsen på rom i et hus i antall matter, har hun da allerede et godt grunnlag for å si hva det er plass til i de forskjellige rommene. Det er ofte ikke nødvendig å kjenne målestokken til plantegninger av japanske hus ettersom tatamimattene gjerne er tegnet inn (figur 4). Det finnes et liknende konkretiseringsmateriell som er spesielt lett tilgjengelig i norske klasserom: A4-arket. A4-ark er knyttet opp til det metriske system, da 16 (eller 2 4 ) slike ark har areal på akkurat en kvadratmeter. 2 På denne måten er A4-ark fine å bruke både som ikke-standardisert enhet og koblet opp mot den Figur 3: En halv tatamimatte er den plassen som trengs for at en person skal sitte komfortabelt. Dersom en har sidekantene gitt i forhold til størrelsen på tatamimattene kan en da avgjøre hvor mange det er plass til rundt bordet. Et kvadratisk bord med sidekanter lik kortsiden til en tatamimatte har da plass til fire personer (illustrasjon fra Yagi, 1982). tangenten 2/2011 3

4 A) Japansk hus med hage. B) Plantegning av bygårder (machiya) fra Kyoto. Figur 4: Plantegninger av japanske hus. Størrelsen på rommene er gitt ved å telle antall tatamimatter i de forskjellige rommene, her er det ikke nødvendig å måle lengder eller bruke målestokk. Dersom en derimot vil finne målestokken kan en finne denne fra målene på tatamimatten (illustrasjoner fra Yagi, 1982). standardiserte enheten kvadratmeter. Eksempelvis har en flate med plass til 36 A4 ark arealet 36/16 m 2 = 2,25 m 2. Dersom en ønsker å bruke et konkretiseringsmaterial som er formlikt med tatamimattene kan en bruke dominobrikker. Størrelsen på tatamimattene er nært knyttet opp mot andre japanske mål, spesielt lengdemålet ken. 3 En ken er lengden til langsiden av tatamimatten, og er omtrent 1818 mm. Faktisk er en ken eksakt 60/33 m. I 1891 ble nemlig de japanske måleenhetene justert slik at konverteringsforholdet til metriske enheter skulle være rasjonale tall. 4 Størrelsen på tatamimattene har 4 derimot aldri blitt standardisert som en nasjonal enhet: det er fortsatt regionale forskjeller og noen plasser til og med forskjeller knyttet til hvilken type bygning matten skal brukes i. Størrelsen ble derimot standardisert i den forstand at de etter hvert ble produsert i faste størrelser. Dette gjorde at lengden til langsiden av tatamimatten også ble brukt som mål for avstanden mellom stenderne som danner veggkonstruksjonene i japanske hus (jf. figur 2). Når tatamimattene er koblet til stenderavstanden gir de ytterligere informasjon om arkitektoniske element i rommet, som bredden på skyvedører og vinduer. Ordet ken blir også brukt om den karakteristiske modulære formen for japansk arkitektur som baserer seg på lengdemålet ken. Denne arkitekturen baserer seg i stor grad på struktur og orden. Grunnstammen i denne ordenen er stolper med avstand én ken i mellom seg. Hus og rom ble konstruert etter til dels faste regler. Eksempelvis skulle takhøyden være lik antall tatamimatter ganger 0,3. Arealmål som baserer seg på en kvadratisk grunnenhet har flere fordeler. En av disse er at det er lett å benytte kvadrat til å dekke en flate. Denne egenskapen er også oppfylt dersom en benytter rektangler, som tatamimatter, som grunnenhet. Arealmål med kvadratiske grunnenheter har derimot andre fordeler. F.eks. kan arealmodellen for multiplikasjon brukes. Spesielt vil arealformler som lengde gange bredde være gyldige for kvadratiske arealmål (dersom en baserer seg på en lengdeenhet lik sidekanten i kvadratet). Dette gjelder ikke for tatamimatter. Derfor bruker også japanerne arealenheten tsubo, som er arealet av to tatamimatter. En tsubo tilsvarer da arealet til ett kvadrat med sidelengde én ken. Når en legger sammen tatamimatter, ser en fort at det dukker opp mange vakre mønstre (se figur 5). De mulige mønstrene blir gjerne delt opp i gunstige og ugunstige mønstre (se figur 6). I enkelte sammenhenger jeg har ikke helt greid å finne ut hvilke skal det bringe 2/2011 tangenten

5 Antall mulige gunstige mønstre for et rektangulært rom av vilkårlig størrelse er en sum av binomialkoeffisienter. For et rom av størrelse m n hvor 3 m n er antallet gunstige måter å legge tatamimatter på gitt ved: Dersom m er odde Dersom m er jevn Her settes binomialkoeffisientene lik null dersom brøkene ikke gir heltall. 5 ulykke å legge mattene i et ugunstig mønster. Å finne mulige (gunstige) tatamimønstre for forskjellige romstørrelser og ikke minst argumentere for at det ikke finnes andre, kan være en fin utforskende aktivitet som gir rom for matematisk argumentasjon. Problemstillinger kan være av typen «finn (gunstige) tatamimønstre med 6 matter» eller «finn (gunstige) tatamimønster som passer i et 2 3-rektangel.» Disse problemstillingene kan generaliseres. Noen generelle problemstillinger å bryne seg på er: «For hvilke n og m kan en lage (gunstig) tatamimønster i et n m-rektangel?» eller «Kan en alltid lage et (gunstig) tatamimønster i et n m-rektangel dersom n er jevn?» Å finne et generelt uttrykk for antall mulige gunstige mønstre for et rektangulært rom av vilkårlig størrelse er derimot ikke så enkelt. Dette problemet ble nylig 2009 løst av Frank Ruskey og Jennifer Woodcock. Uttrykket er en sum av binomialkoeffisienter. Se rammen for formlene. Figur 6: I et ugunstig mønster møtes fire tatamimatter i ett punkt. På hvilke andre måter kan fire tatamimatter møtes i et punkt? Figur 5: Forskjellig mønstre med tatamimatter. Her er det eksempler på både gunstige og ugunstige mønstre (fra Ching, 2007). (fortsettes side 32) tangenten 2/2011 5

6 Volker Berthold Næsehornsstenen Målet med enhver undervisning må være at udvikle elevens forståelse for sin hverdag og forberede den enkelte på den fremtidige anvendelse i sit eget liv. Hvis undervisningen samtidig kan bidrage med inspiration og udvikling af den omkringliggende virkelighed, så nærmer den sig ud fra mit syn, den perfekte undervisning. Vigtige elementer i sådan en vurdering er: Emnet relaterer til en konkret situation eller problemstilling fra hverdagen. Eleven kan se værdien i problemstillingen. Eleven engagerer sig emotionelt og fagligt i forløbet. Læreren vurderer sammenhæng til de faglige mål. Emnet har et forløb over en periode med skiftende indfaldsvinkler, som f.eks. oplevelse, analyse, refleksion, samarbejde, kommunikation, problem- og færdighedsløsning. Der er progression i processen. Der er en naturlig differentiering (selvdifferentiering) i forløbet. Der er dialog i processen, idet læreren følger elevernes vej (med-læring; læreren og eleven er fælles om ejerskab til processen). Volker Berthold Spjellerup Friskole Volker.Berthold@skolekom.dk Afslutningen skaber forandringen ved at elevernes arbejde har indflydelse på hverdagssituationen. Næsehornsfliser en dansk belægningssten har givet mig, tre klasser og producenten sådan en helheds oplevelse. Vi har arbejdet undersøgende og med faste opgavesæt, bevæget os fra virkeligheden over semi-virkeligheden til ren matematik og tilbage igen. (Undersøgelseslandskaber, Ole Skovsmose, Rapport fra LAMIS sommerkurs 1998). Ministeriets krav om arbejde med kompetencer ses opfyldt på mange områder. Det er især modelleringskompetencen, jeg har fokus på i denne sammenhæng (Fælles Mål, matematiske kompetencer). Eleverne har arbejdet i skoletiden og desuden inddraget frikvarter/fritid ind i processen (Leg og læring). På alle klassetrin kan der stilles opgaver, som løses intuitivt og med brug af fysisk aktivitet, samtidig med at forventningerne til enkelte elever eller grupper, kan flyttes til formelle løsningsmodeller. Virkelighedens udgangspunkt Mit eget udgangspunkt var behovet for at lægge nogle pæne fliser ved havebordet i min private have. Mit ønske var, ikke at bruge en af de populære rektangulære fliser. Mødet med næsehornsstenen gav dette resultat på hjemmesiden: 6 2/2011 tangenten

7 Næsehornet er seks cm tyk og måler elleve cm på alle sider. Alle vinkler er enten 45 eller 90. Disse mål betyder, at to sten kan lægges sammen på 43 forskellige måder. Dette giver mulighed for et uendeligt antal forskellige mønstre. (Beskrivelse af stenen fra producentens hjemmeside Her blev mit matematiske hjerte tændt. Alle disse oplysninger fra hjemmesiden er interessante i forhold til en matematisk betragtning. Der er: faktaoplysninger, som kan måles efter, oplysning om kombinationer, som mangler dokumentation og kræver egne undersøgelser (kontrol) påstande om en mønster-uendelighed, som betyder, at man kan blive ved med at finde på nye mønstre. Dette er for mig en indirekte opfordring til efterprøvning. Tal og påstande skal kontrolleres. Uendelighedsstilstanden er også en matematisk udfordring, idet den kræver planlægning, overblik og systematisering. Dermed var idéen til et undervisningsforløb født uden helt at kende indholdet. Men Fælles Mål 2009 (se rammen) gav sit begejstrede tilsagn. Materialeudgangspunkt Der er mønsterbeskyttelse på formen, som både er enkelt og samtidig genialt, idet mangfoldighederne er store ud fra den simple struktur. Næsehornet er en seks kantet belægningssten, som er sammensat af to kendte matematiske grundformer: et kvadrat og en rombe. Alle sider er lige lange. Alle vinkler er 45 eller en mangedobling af den. Med en ens kantlængde opstår der mange forskellige muligheder for samlinger. Da alle vinkler bygger på basisvinklen 45 og 45 går op i cirklens 360, er det let at samle stenene omkring et hjørne, uanset forståelsen af matematikken bagved. Fra Fælles Mål 2009 Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. Producenten tilbyder også to hjælpefliser til Næsehornet i sit program. De skal hjælpe til at mønstre kan gå op, men de er også med til at skabe nye muligheder. Det drejer sig om et kvadrat og en rombe. Fra mellemtrinnet bør man starte undervisningen uden hjælpefliser og først inddrage dem, når mønstre ikke går op. Hjælpefliserne er i mine afprøvninger valgt i en anden farve end hovedflisen. Undervisningsidéer med Næsehornsflisen I det følgende vil jeg beskrive gennemførte afprøvninger og idéer til kommende timer. Udgangspunktet for alt arbejde med denne belægningssten, er bevægelsen fra intuitionen til matematisk analyse. Dette betyder at det hele tangenten 2/2011 7

8 starter med eksperimentet og processen peger hen imod en beskrivelse af de undersøgte forhold med hverdagsord eller som faglig analyse. Det vigtige er, at man skaber sit eget forløb ud af de mange muligheder eller bedre: vælge få opgavestillinger og derefter, i samarbejde med eleverne, udvikle klassens forløb. Materiale behov: ca. 4 5 m 2 fliser. Laminerede efter ligninger har suppleret til en indendørs undervisning. 1. Fra intuition til formelt skolearbejde A. Elevkonstruktioner Vinkler, længder og højden kan måles på stenen, men de kan også udleveres for at få eleverne til at konstruere stenen med lineal og vinkelmåler eller endnu bedre, med lineal og passer. Samme konstruktion kan også finde sted i et geometriprogram på computer. Udskrevne elevproduktioner kan bruges til indendørs arbejde, gennemførelse af større mønstre i mindre format eller når fremhævning af mønstre ønskes understøttet af stærke farver. 8 B. At lægge fantasiens mønstre Børn elsker at arbejde med geometriske former. Mit eget udgangspunkt med haven var en oplagt baggrund for at stille spørgsmålet: Kan I komme med en idé til et mønster? Forståelsen for at der ikke skal være huller mellem stenene er næsten selvsagt. Spejlinger og symmetrier kommer ofte af sig selv, men kan også fremprovokeres gennem yderligere spørgsmål: Hvornår er et mønster flot? Kan det samme mønster ses, uanset hvilken side man kommer fra? Digital affotografering er oplagt, da antallet af sten hurtig giver en begrænsning, når en hel klasse arbejder med 5 m 2. I arbejdet med de mindste klasser har jeg tilladt brugen af de 2 hjælpesten uden nogen begrænsning. Da der var fint sand til rådighed, gik flere hold i gang med at feje den ned i mellemrummene. Nogen må have set det derhjemme og virkeligheden blev afprøvet i timerne. C. Fantasi og billeder med grundformen Opgavens formulering kan tage udgangspunkt i spejlingsmønstre. Når tanken om billed kunst suppleres opstår der hurtig indre billeder og henfører tanker til visuelle fantasier med tangram-brikkerne. Hvad kan stenenes kontur forestille? Kan alle se udtrykket eller skal det males? Navnet Næsehornet stammer fra ophavsmanden Lennart Petersen. Hans næsehorn er konstrueret af fire sten. D. Udvikle egne grundmønstre Store mønstre er enten bygget op af mindre enheder som tesselerer, eller tager udgangspunkt i mange flere fliser, før de kan sættes sammen. Eleverne skal have mulighed for at lægge netop deres mønster. Her er det en fordel at starte med at tænke i symmetrier, som kan være basis for en flisebelægning. En måde at organisere denne mønsteropgave på er, at udfordre mønsterdannelse med udgangspunkt i et bestemt antal. Tag otte næsehornsfliser og byg et symmetrisk mønster. 2/2011 tangenten

9 Tag 20 fliser, heraf mindst 12 næsehornsfliser og byg et symmetrisk mønster. Byg et mønster, hvor højst hver tredje (eller hver fjerde) sten må være en hjælpeflise. Byg et mønster med alle de næsehornsten, du skal bruge men uden hjælpesten. E. Udfyldning af en kontur Opgaven løses nemmest i en papirversion, hvor næsehornsten skal passe ind i en fastlagt ramme. Ofte kan elever lægge forskellige løsninger på samme udfordring. 2. Fra kombinatorik til mønsterdannelse A. At forske i konstruktionerne (kombinationer) To sten kan lægges sammen på 43 forskellige måder. Her kan eleverne stilles overfor spørgsmålet: Er denne påstand rigtig? Forsøg at finde de mange forskellige måder. Findes der 43 forskellige? Hvordan skal undersøgelsen foretages for at holde styr på dem alle. Hvilken fremgangsmåde er brugbart for at frasortere drejninger og spejlinger? Hvor betydningsfuld er det, at en flise kan vendes. Dokumentationen og sammenligningen kan finde sted med digitale billeder. I lighed med kombinationer af siderne, kan opgavestillingen forandres med udgangspunkt i vinklerne. Hvor mange sten skal der til, for at samle 360 i et punkt? Kan man finde antal af kombinationsmuligheder? Sorter og undgå gengangere. B. Finde basismønstre Ved at lægge 2 eller flere sten sammen, skabes nye enheder. Nogle af dem tesselerer, dvs. de passer sammen, når man lægger dem igen og igen ved siden af hinanden og dækker en flade uden at der skabes huller. Hvor mange af disse basismønstre findes med to sten? Er der flere med tre eller fire sten? En interessant undersøgelse er, om alle kombinationer fra pkt. A. kan være grundlag for flise dækninger, hvis de må kombineres med deres egne spejlinger. C. Tesselering Mønstre kan bygges op som en regelmæssig flisedækning. Dvs. at samme mønster bliver gentaget ved siden af sig selv (tesselering). Dette er typisk for indkørsler og terrasser. Producenten har forskellige forslag på hjemmesiden, som kan inspirere til nye flisedækninger eller de kan være udgangspunkt for at arbejde med målet: Kan man lægge andre mønstre? Er nogen af dem tangenten 2/2011 9

10 øge mønstrets fremtoning. Producenten har ikke nogen forslag til denne type mønstre på sin hjemmeside. Allerede med valget af centrets opbygning er der mange muligheder. Men betyder dette en uenliglighedsdimension eller vil der på et tidspunkt indgå en regelmæssighed og dermed en gentagelse? så gode, at vi vil foreslå dem til producenten? Tesselering bygger på kombinationer og basismønstre som gentages, men kan også skabes af større enheder (f.eks. fire eller otte sten). 3. Fra virkelighed til virkelighed A. Efterligning af bestående mønstre På producentens hjemmeside gives der forslag til forskellige flisedækninger. Disse mønstre kan printes ud. Opgaven består i at arbejde som anlægsgartner og lægge kundens ønske i indkørslen. En efterligningsopgave, som kan sammenlignes med at lægge puslespil. B. Beregning af arealet og rumfang Beregn flisens areal. Dette kan foregå ud fra målinger på stenen. Men hvordan kan det lade sig gøre i et computerprogram, eller helt uden? Hvilke data er svære at få fat i? Stenen er ikke lige til at måle areal på. Til indkøb af fliser til en belægningsopgave tages udgangspunkt i m 2. Hvor mange fliser skal der bruges til 1 m 2? Der kan yderligere beregnes flisernes samlede rumfang mht. transport på lastbil. Her støder man ind i problemstilling, at stabling til transport kræver valg af et transportmønster, som mindsker spildplads. D. Centriske mønstre En anden måde at arbejde på er centrisk. Det vil sige, at mønstret gentager sig ud fra et centrum og består af lige enheder i samme afstand til midten. Mønstret vil forandre sig, jo længere man kommer væk fra centrum, men antal gentagelser har en talmæssig regelmæssighed. Hvor mange er normalt og hvorfor? Et sådan mønster er velegnet til mindre terrasser eller til optiske strukturer på udvalgte arealer. Stenenes indfarvninger kan yderligere 10 C. Konkret forslag til et stykke af skolegården (fortsettes side 20) 2/2011 tangenten

11 Frode Rønning Symmetrier i islamske mønstre I kunst og arkitektur kan en lett finne eksempler som kan kobles til matematiske begreper, særlig begreper fra geometri. Det er kjent at kunstnere gjennom tidene bevisst har brukt begreper som naturlig kan sies å høre hjemme i matematikken, slik som for eksempel forholdstallet Det gylne snitt. Selv om matematiske sammenhenger ikke nødvendigvis har vært styrende for kunstnerens utforming, kan bevissthet om dem tre fram når man i ettertid betrakter kunstverket med et matematisk blikk. Man kan si at man da matematiserer kunsten. Det er naturligvis bare én av mange mulige måter å nærme seg et kunstverk på. Min påstand er at en slik matematisering har verdi fordi den bringer inn et matematisk språk som man kan snakke om kunsten i. Ved hjelp av dette språket kan man trenge inn i detaljer ved kunstverket som man kanskje ellers ikke ville ha blitt oppmerksom på. I en skolesammenheng mener jeg at en slik innfallsvinkel vil være verdifull både for matematikkfaget og for faget kunst og håndverk. Eksempler på dette er vist i (Rønning, 2003). Slike koblinger er også understreket gjennom at læreplanen fremholder det å regne som en grunnleggende ferdighet som skal komme inn i alle skolefag. Det å Frode Rønning Høgskolen i Sør-Trøndelag frode.ronning@hist.no regne tolkes ulikt i ulike fag, og i faget kunst og håndverk omfatter det å regne mye mer enn tallbehandling (Rønning, 2009). I denne artikkelen vil jeg se nærmere på begrepet symmetri og spesielt studere symmetrier i mønstre fra islamsk kultur. Symmetri, og begreper knyttet til dette (speiling, rotasjon, parallellforskyvning), er sterkt vektlagt i gjeldende læreplan der det for eksempel er formulert at elevene allerede etter fjerde skoleår skal kunne gjenkjenne og bruke speilsymmetri og parallellforskyvning i konkrete situasjoner (Utdanningsdirektoratet, 2006). Islamske dekorasjoner Islamske byggverk er ofte rikt dekorert med mønstre som dekker store flater. I disse mønstrene finner man ofte inskripsjoner fra Koranen, men også geometriske figurer spiller en viktig rolle. Man oppdager fort at det er enkelte grunnleggende figurer som går igjen svært ofte, med ulike variasjoner. En figur som forekommer ofte er laget på grunnlag av to kvadrater innskrevet i en sirkel, der det ene kvadratet er dreid 45 grader i forhold til det andre (figur 1). Denne figuren kalles Khatem Sulemani, som betyr Salomons segl. Ved å sette fire slike figurer sammen, som vist i figur 2, dannes det et korsformet område mellom dem, og elementet i figur 2 kan brukes som byggestein for et flatedekkende mønster. tangenten 2/

12 Figur 1 Figur 3 Figur 2 Figur 1 viser den grunnleggende Khatem Sulemani. Den blir mer spennende dersom den utvikles litt, og her er det verdt å merke seg at denne utviklingen skjer ved å innføre flere konsentriske sirkler i den grunnleggende figuren. I figur 3 kan man se at det er lagt inn to mindre, konsentriske sirkler, og mellom disse to er det laget en åttetakket stjerne. Ved å fjerne hjelpelinjer og legge på farger, kan man her få et mønster som vist i figur 4. I figur 5 er vist et bilde fra det indiske monumentet Taj Mahal der man kan se mønsteret i figur 4 som en del av et frisemønster. Gjennom å variere forholdet mellom radiene på den innerste og den nest innerste sirkelen, vil mønsteret i figur 4 endre seg. Ved å konstruere figur 3 i Cabri og bruke Compass-funksjonen for å lage sirklene, kan en variere radiene og dermed se denne effekten. En mye brukt versjon av mønsteret i figur 4 er når forholdet mellom de to radiene er slik at to og to sider i de åtte sekskantene er parallelle. Det kan se ut til at figuren på bildet fra Taj Mahal er slik. Man kan finne flere konstruksjoner som 12 Figur 4 Figur 5 grunnlag for islamske mønstre der sirkler er brukt på en ganske avansert måte. Dette fortjener en liten kommentar. Det er godt dokumentert at astronomi på et tidlig tidspunkt var høyt utviklet i den arabiske (islamske) kulturen. Abas og Salman (1995, s. 11) hevder at det første astronomiske observatoriet ble bygget i Maraghah i Iran på 1200-tallet, og der gjorde man både observasjoner og beregninger. Det er lett å forestille seg behovet for å kunne navigere i forhold til himmellegemene i denne kulturen. For en muslim er det viktig alltid å kunne peke ut retningen til Mekka. Man kan også tenke seg at det å kunne navigere hadde et praktisk formål siden det her dreier seg om folk 2/2011 tangenten

13 som beveget seg over store avstander på havet og på landjorda, særlig i ørkenstrøk der det er lite av natur formasjoner å orientere seg etter. I forbindelse med navigasjon spiller konstruksjoner med bruk av sirkler en viktig rolle, så det er naturlig at man her var spesielt opptatt av, og dermed utviklet god kunnskap om, geometri knyttet til sirkler. Symmetri i uendelige mønstre I matematikk er symmetri knyttet til det som gjerne kalles isometrier eller kongruens - av b il d ninge r. Det er forflytninger av figurer som er slik at figuren bevarer både størrelse og form. Begrepet isometrier omfatter både speiling (refleksjon), rotasjon og translasjon. I tillegg opererer man med en fjerde isometri, kalt glidespeiling. Den kan oppfattes som en translasjon etterfulgt av en refleksjon. Det er egenskapen «å bevare størrelse og form» som er det matematiske grunnlaget for å organisere disse fire begrepene under samme overordnede begrep, altså isometri. Refleksjonene viser seg å spille en spesiell rolle i den forstand at de kan oppfattes som bygge steiner for alle isometrier. Det er et velkjent resultat at enhver isometri enten er en refleksjon eller så kan den beskrives som en sammensetning av to eller tre refleksjoner. Mer presist er det slik at en sammensetning av to refleksjoner gir en rotasjon, eller en translasjon dersom refleksjonsaksene er parallelle. En sammen setning av tre refleksjoner kan be skrives som én refleksjon dersom refleksjonsaksene har et felles skjæringspunkt. Hvis dette ikke er tilfelle, kan denne sammensetningen beskrives som en glidespeiling. Et flatedekkende mønster (en tessellering) som dannes ved å repetere en grunnfigur, betraktes som et uendelig mønster. Her skiller en mellom mønstre som oppstår når grunnfiguren repeteres langs én retning, og når den repeteres langs to (ikke-parallelle) retninger. De mønstrene som oppstår på denne måten, kalles ofte for frisemønster, henholdsvis tapetmønster. Det er tapetmønstrene som blir studert nærmere i denne artikkelen. Tapet mønstrene klassifiseres etter hvilke kombinasjoner av isometrier de inneholder. Det er et velkjent, men kanskje noe overraskende resultat, at det finnes nøyaktig 17 ulike kombinasjoner av isometrier som kan opptre i et tapetmønster. Et viktig element i avgrensningen av antallet tapetmønstre er knyttet til at det er begrenset hvilke rotasjoner som er mulige i et slikt mønster. Det viser seg at bare rotasjoner på 60, 90, 120 og 180 grader kan opptre, og at 90-graders rotasjon ikke kan opptre i samme mønster som en 60 eller 120 graders rotasjon (se for eksempel Martin, 1982). Det er verdt å merke seg forskjellen fra symmetrier i endelige figurer. Man vil kunne realisere rotasjonssymmetri på 360/n grader for et hvilket som helst naturlig tall n ved å lage en regulær n kant. En tabell som viser prototyper på hvert av de 17, mønstrene finnes for eksempel i boka til Martin (1982). Slike tabeller kan også finnes på en rekke vevadresser, for eksempel (David, u.å.). Tapetmønstre i islamske dekorasjoner Som nevnt er byggverk knyttet til islamsk kultur ofte svært rikt dekorert med flatedekkende mønstre. Jeg har tidligere nevnt Taj Mahal i India, og i Vest-Europa er palasset Alhambra ved Granada i Spania, og også den store moskeen i Córdoba, gode eksempler på byggverk med rike dekorasjoner. Det er ikke så unaturlig at man i møte med den overflod av dekorasjoner som disse bygningene inneholder, vil stille seg spørsmålet om man kan finne alle de 17 mulighetene. Det kan synes som om flere personer på ulike tidspunkt, mer eller mindre i en bisetning og uten videre dokumentasjon, har skrevet at svaret på dette spørsmålet er «ja». For eksempel skriver Martin at «[a]lthough it would not have occured to the Moors to classify a design by its symmetry group, all of the seventeen groups were implicitly known to the Moors in the decorations of the Alhambra.» tangenten 2/

14 Figur 6 14 Akse A Punkt C Akse B Punkt A (1982, s. 111). Spørsmålet om man kan finne alle 17 ble på 1980-tallet til dels ganske heftig diskutert av flere forfattere, og jeg vil i denne artikkelen gjennom noen eksempler vise hvilke problemstillinger som kan oppstå når man skal avgjøre om alle 17 mønstrene kan finnes i islamske dekorasjoner, eller for den del i selve Alhambra. For å kunne avgjøre dette, er det nødvendig å ha klare kriterier for hva man skal se på. Ett viktig kriterium vil være hvordan man tar hensyn til bruk av farger. Dekorasjonene i Alhambra er ofte fargerike, og det vil være nødvendig å avgjøre om, og i tilfelle på hvilken måte, man skal ta hensyn til fargene når man avgjør symmetriegenskapene. Mønsteret i figur 6 kan brukes som eksempel på fargenes rolle. Mønstret består av rekker med stjerner (Khatem Sulemani) der annenhver horisontal rekke består bare av blå stjerner. I de mellomliggende rekkene er annenhver stjerne sort og rød-brun. Mellom stjernene er det ulike dekorasjoner i sort og hvitt. Ser man etter isometrier som tar hensyn til fargene, dvs. som avbilder for eksempel en blå stjerne på en blå stjerne, ser det ut til å være to typer refleksjons- Akse C akser som står vinkelrett på hverandre, merket Akse B og Akse D på figuren. Akse A og Akse Punkt B C vil her ikke være refleksjonsakser fordi de vil avbilde en sort stjerne på en rød-brun. Om man Akse D derimot ser bort fra fargene og bare ser på selve mønstret, vil også disse bli refleksjons akser. På figuren er merket to punkter, A og B. Disse er sentre for rotasjoner i mønstret. Dersom man tar hensyn til fargene, er de begge sentre for 180 graders rotasjoner, men dersom man ser bort fra fargene, blir de begge sentre for en 90 graders rotasjon. Uten hensyn til farger kommer også punket C fram som et rotasjonssenter, for en 180 graders rotasjon. Det er imidlertid mer med dette mønstret, som muligens ikke er synlig på bildet. Dersom man går nærmere inn på området rundt en av stjernene, vil en kunne se at mønstret har en tredimensjonal effekt i det at de hvite stripene ser ut til å være flettet i et over/under-mønster. I figur 7 er det mulig å se dette. Denne effekten gjør at mønsteret faktisk ikke vil ha noen speilinger i det hele tatt. Hvis en tar hensyn til Figur 7 2/2011 tangenten

15 flettingen, er mønsteret i figur 6 et eksempel på ett av de mønstrene som det har vært diskusjon om virkelig finnes i Alhambra. I figur 8 er det vist et eksempel på et annet mønster som det også har vært diskusjon om virkelig finnes i Alhambra. Her er det ingen problemer med kategoriseringen. Mønstret har to ulike 180 graders rotasjonssentre og to glidespeilings akser (markert med rødt i figuren). Det har altså ingen speilinger. Dilemmaet her er imidlertid at dette er et svært vanlig mønster som finnes overalt. Bildet i figur 8 har jeg tatt på en gangvei i Malmö, men det kunne ha vært tatt hvor som helst. Så spørsmålet er da, om det tilfeldigvis finnes på et gulv i Alhambra, skal det kunne regnes med? Det vil i alle fall være vanskelig å argumentere for at dette er et typisk islamsk mønster? Figur 8 Betydning for matematikk i skolen Den diskusjonen jeg har lagt opp til i denne artikkelen er klart matematisk, men allikevel av en annen karakter enn det man vanligvis forbinder med matematikk i skolen. Jeg løfter dette fram fordi at jeg tror det kan være verdifullt å få fram denne siden ved matematikkfaget. Dette er med på å koble matematikk til sentrale elementer i kunst og kultur. Selve dekorasjonene er flerfaglige i seg selv, også uten tanke på matematikken. De er ikke kunst for kunstens egen skyld, men de er sterkt knyttet til en bestemt religiøs kultur. Samtidig kan de lett knyttes til kunstneriske uttrykk utenfor en religiøs kontekst. Kunstneriske uttrykk med utgangspunkt i flatedekkende mønstre er godt kjent, for eksempel gjennom den hollandske kunstneren M.C. Escher. Og her er det direkte forbindelser til den islamske kulturen. Escher tilbrakte en god del tid i Alhambra (Abas, 2003), der han tegnet av mønstre som senere ble inspirasjon for hans egne verker. Jeg mener at dette er en del av matematikkfaget som er verdifull fordi det viser en annen side av matematikken enn den vanlige. Dette kan være viktig for mange elever, og det kan også være viktig for mange lærere. Kanskje kan det være aktuelt og viktig ikke minst for lærere som arbeider med andre fag enn matematikk. Referanser Abas, S. J. (2003). Islamic patterns: The spark in Escher s genius. I D. Schattschneider & M. Emmer (Red.), M. C. Escher s legacy. A centennial celebration (ss ). Berlin: Springer. Abas, S. J., & Salman, A. S. (1995). Symmetries of Islamic geometrical patterns. Singapore: World Scientific Publishing Co. David, H. (u.å.). 17 wallpaper groups. Lastet ned 2. juni 2010 fra hop/17walppr/17walppr.html Martin, G. E. (1982). Transformation geometry. An introduction to symmetry. New York: Springer. Rønning, F. (2003). En katedral för lärande i geometri. Nämnaren, 30(4), 3 8. Rønning, F. (2009). Å regne i kunst og håndverk. I J. Fauskanger, R. Mosvold, & E. Reikerås (Red.), Å regne i alle fag (ss ). Oslo: Universitetsforlaget. Utdanningsdirektoratet (2006). Læreplanverket for Kunnskapsløftet. Midlertidig utgave juni Oslo: Forfatteren. Alle fotografier ved forfatteren. Artikkelen er en forkortet versjon av «Symmetrier i islamska mönster» trykt i Nämnaren nr. 1, 2011: ncm.gu.se tangenten 2/

16 Nils Kr. Rossing Symmetri og ornamentikk Våren 2009 ble det i et samarbeid mellom Norden fjeldske Kunstindustrimuseum og Vitensenteret i Trondheim, gitt et tre timers tilbud til alle elever på femte trinn innen temaet matematikk og ornamentikk. Mens Viten senteret hadde fokus på matematikken i ornamenter, så tok Kunstindustrimuseet for seg den kunst- og håndverksmessige siden ved temaet. Elevene var halvannen time på hvert sted. I denne artikkelen vil vi fokusere på matematikken og det som ble gjort på Vitensenteret. «Kjenn» på båndsymmetriene Når elevene kommer til Vitensenteret blir de møtt av de sju båndsymmetriene, illustrert med fotavtrykk på yogamatter. Ved å bevege føttene etter mønstrene på mattene, kjenner de med hele kroppen hvordan disse mønstrene er bygget opp. Noen er enkle mens andre krever god balanse og koordinering. Når de kommer inn i aktivitetsrommet får de et postkort som viser alle båndsymmetriene (figur 2). Hva er egentlig et ornament? Et ornament er et mønster som kan være en Nils Kr. Rossing NTNU/Vitensenteret i Trondheim nils.rossing@svt.ntnu.no 16 Figur 1: De sju båndsymmetriene illustrert med fotavtrykk. dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe pent. Det kan være laget av blomster, geometriske figurer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning. Et fotavtrykk er egentlig ikke et ornament, men brukt på spesielle måter kan det bli en del av et ornament eller mønster. Speil- og båndsymmetri Det er hovedsakelig symmetrien i et ornament som knytter det til matematikken. De fleste forbinder symmetri med speilsymmetri (aksesymmetri). Når elevene drar tilbake til skolen skal de ha fått et utvidet symmetribegrep. Dessuten skal de kunne finne grunnfiguren i et mønster 2/2011 tangenten

17 Figur 2: Postkort med båndsymmetriene. og vite at mønster kan ha forskjellige grunnfigurer og likevel være matematisk like. Denne abstraksjonen er en krevende øvelse. Grunnfiguren er den minste delen av ornamentet som trengs for å gjenskape hele ornamentet, Dette kan man gjøre ved å speile, gli og rotere denne grunnfiguren. Med utgangspunkt i avtrykket av venstre fot, bruker elevene plane speil for å frambringe det speilsymmetriske høyre fotavtrykket. Ved hjelp av speiling har de fått både høyre og venstre fotavtrykk. Dermed vet de nok til å forstå hvordan én av de sju båndsymmetriene bygges opp, nemlig «gange» (horisontal glidespeiling). Her ser vi hvordan både speiling om en horisontal akse, gliding og kopiering inngår i det man kan kalle det «utvidete» symmetribegrepet. Her er det viktig å vise at fotavtrykket er én av uendelig mange ulike grunnfigurer. Figur 3: Horisontal glidespeiling. Eksempler på speilsymmetri (aksesymmetri) Elevene oppmuntres til å nevne eksempler på ting som er speilsymmetriske. Kroppen og ansiktet er hyppig nevnte eksempler, men også dagligdagse ting som vinduer, dører, skilt m.m. I oppgave 2 bruker elevene plane speil til å utforske symmetri i ansikter. Elevene får utdelt flere eksempler på kjente ansikter og skal finne hvilket som er mest speilsymmetrisk. Ved å gi oppgaven på denne måten oppdager elevene at ansikter er symmetriske, men ikke helt. Dessuten skjønner de at når ansiktet vris litt, blir symmetrien mindre fremtredende. Det er likevel fascinerende at den menneskelige hjerne lett gjenkjenner et ansikt selv om det sees tangenten 2/

18 speil til å se hvordan det speilsymmetriske Figur 4: Undersøk speilsymmetri i ansikter (oppgave 2). fra svært ulike vinkler. Noe annet som ofte er speilsymmetrisk er mønster på votter. Elevene får se eksempler på vottemønster og utfordres i oppgave 3 til å tegne sitt eget speilsymmetriske vottemønster på en vottemal (figur 5). Elevene utfordres først til bare å tegne den ene halvparten av mønsteret for så å bruke et plant Figur 5 B) Elevoppgaven. mønsteret blir seende ut. Mønsteret tegnes ved å fargelegge eller skravere et utvalg av de kvadratiske rutene (5 5 mm) i malen. Deretter speiler de mønsteret om midtaksen. For at de Figur 5 A) Eksempel på vottemønster. 18 Figur 5 C) Vottemal. 2/2011 tangenten

19 skal kunne tegne det speilsymmetriske mønsteret, må de plassere de skraverte rutene speilsymmetrisk om aksen, hvilket krever forståelse av hva speilsymmetri er. Oppgaven viste seg å være mer populær enn vi første hadde trodd. Elevene ville ikke avslutte før de var helt ferdige. De fikk med seg mønstrene og kunne fortsette hjemme eller i klasserommet. Hva er rotasjonssymmetri? Etter speilsymmetriske er det nok rotasjonssymmetriske mønster som er mest kjent blant elevene. For å skape gjenkjennelse introduseres begrepet ved å vise et bilhjul. Figur 6: Bilhjul, et eksempel på rotasjonssymmetri. Ved en enkel animasjon i PowerPoint vises hvordan bilhjulet er femfoldig rotasjonssymmetrisk. Det kan dreies fem ganger og for hver dreining faller det eksakt over seg selv før det igjen er tilbake til utgangspunktet. Ventilen gjør at hjulet ikke er eksakt symmetrisk, samtidig som den gjør at det er lettere å observere dreiningen. I oppgave 4 skal elevene utforske rotasjonssymmetri ved hjelp av fleksible vinkelspeil. Dette er to pleksiglasspeil (10 15 cm) som er hengslet langs en kortside. Vinkelspeilet egner seg godt til å utforske rotasjonssymmetriske ornamenter. I oppgave 4 får elevene tre grunnfigurer og tre komplette ornamenter bygget opp av grunnfigurene. Ved hjelp av vinkelspeilet skal Figur 7: Plasser vinkelspeilet på figurene nederst slik at du ser de øverste ornamentene i speilet (oppgave 4B). de framstille hele ornamentet av grunnfiguren. Dette krever at de må velge riktig plassering og vinkel mellom speilene. Selv om det er nærliggende å prøve seg fram så oppmuntres det til å tenke systematisk. Det første en da må gjøre er å finne ut hvor mange ganger grunnfiguren gjentar seg i ornamentet. Dersom den gjentar seg åtte ganger skal vinkelåpningen til speilet være: 360 : 8 = 45. Dernest undersøkes om ornamentet er «åpent» eller «lukket», dvs. om ornamentet har et hvitt felt i midten. Et «åpent» ornament krever at toppunktet i hjørnespeilet ligger utenfor grunnfiguren. Er ornamentet lukket, ligger toppunktet langs kanten av grunnfiguren. Inspirert av det flotte rosevinduet i Nidarosdomen, lar vi elevene i oppgave 5 utforske rotasjonssymmetriske rosetter ved hjelp av passer. Det varierer svært fra klasse til klasse om elever på femte trinn har brukt passer. Det er derfor nødvendig å gjennomgå bruken. Spesielt hvordan elevene åpner og lukker passeråpningen, hvordan de holder den slik at åpningen ikke endrer seg når de tegner, og hvordan de lager sirkler uten at passerspissen glipper fra papiret. Elevene lærte dette fort og hadde stor glede av å tegne rosetter. Det ble lagt opp til en ganske detaljert gjennomgang i PowerPoint, men de fleste skjønte fort og valgte og utforske metoden på egen hånd. tangenten 2/

20 Figur 8: Tegning av rosetter med passer, trinn for trinn. Etter at rosetten var ferdig, fikk de lov til å fargelegge de ulike områdene i tegningen. Det ble ikke satt noe krav til fargesymmetri, men de fleste valgte rotasjonssymmetrisk fargelegging. Elevene ble utfordret til å finne rosettens grunnfigur for så å bruke vinkelspeilet til å gjenskape hele rosetten. lærerne tilbudt kurs for å bli kjent med opplegget slik at de lettere kunne gjennomføre for- og etterarbeid og være en ressurs under gjennomføringen. Informasjon om opplegget og materiell til etterarbeid, ble lagt ut på nettsiden til Den kulturelle skolesekk. Både lærere og elever evaluerte opplegget etter besøket. Resultatene viste at en svært stor del av elevene hadde fått økt forståelse for hva ornamenter var og hvilken rolle symmetri har i forholdet mellom matematikk og ornamentikk. Hele opplegget er grundig dokumentert med en egen video, en idé- og tipsbok for læreren (Rossing m.fl. 2009) og en PowerPoint-presentasjon for bruk i klasserommet. Opplegget ligger tilgjengelig på følgende nettadresse: ntnu.no/matematikk.php Referanser Rossing, N. Kr., Larsen, I.-M., Adsen, Å., Øien, V. D., Torsen, E. (2009): Matematikk og ornamentikk Lærerveiledning, Vitensenteret i Trondheim Figur 9: A) Fargelegging av rosetten. Figur 9: B) Rosettens grunnfigur. Oppsummering På dette tidspunktet i opplegget var det ofte gått ca. 90 min og det var naturlig å oppsummere de tre symmetriene som var gjennomgått: Speilsymmetri (aksesymmetri), rotasjonssymmetri og båndsymmetri for så å avslutte aktivitetene. Opplegget var innkjøpt av Trondheim kommune til samtlige 2000 elever på 5. trinn som en del av Den kulturelle skolesekk. Før oppstart ble 20 (fortsatt fra side 10) Et sted på skolens areal kunne indrettes med Næsehornsfliser. Mønstret skal kunne stimulere synet, men også inspirere til aktiviteter. Brug af forskellige indfarvninger kan understøtte resultatet. Elevgrupper skal komme med konkrete forslag på et udpeget areal, som skal dækkes. Målet er at finde det bedste forslag som samlet svarer bedst til æstetik og anvendelse. Her kan forløbet med næsehornsflisen slutte med ejerskabet til fysiske forhold på egen skole. Ved afslutning af forløbet, har jeg sendt eleveksempler på mønstre til producenten. Han meldte tilbage at have brugt dem siden hen på nye kunder. Det var især de nye mønstre med centrum, som kunne få anvendelse i kundernes haver. Her ligger en helt anden dimension for tilbagemelding til eleverne, som normalt afleverer til lærere, forældre og portofoliemapper. God fornøjelse. 2/2011 tangenten

21 Torgeir Onstad Tallet 41 med skjulte overraskelser For en stund siden gjorde Ragnar Solvang meg oppmerksom på en oppgave i et lite, dansk tidsskrift MatematikMagasinet. Leserne ble bedt om å forklare følgende egenskap: Hvis et femsifret tall er delelig med 41, er også de femsifrede tall som framkommer ved syklisk ombytting av sifrene, delelige med 41. Dette kunne jeg ikke huske å ha sett noen gang, og jeg ble spontant nysgjerrig. Aller først laget jeg meg et eksempel. Å finne et femsifret tall som er delelig med 41, er lett. Det er bare å multiplisere 41 med et passe stort tall, for eksempel mellom 1000 og Slik fant jeg 65067: = En syklisk ombytting av sifrene kan for eksempel bety å flytte første siffer sist: Og sannelig, dette tallet er også delelig med 41: Jeg fortsatte: = = = = Torgeir Onstad Universitetet i Oslo torgeir.onstad@ils.uio.no Slike eksempler styrker troen på at påstanden faktisk stemmer. Men de ga meg ikke noen innsikt i hvorfor. Jeg tenkte: Er det noe spesielt med 41, eller med femsifrede tall, eller er det kombinasjonen av disse? Det er lett å finne eksempler på at 41 ikke virker generelt: Det tosifrede tallet 82 er delelig med 41, men 28 er det ikke. Like enkelt er det å prøve delelighet av femsifrede tall med andre tall enn 41, og se at deleligheten ikke bevares ved syklisk ombytting av sifrene. Det ser altså ut til at det er noe spesielt med akkurat 41 brukt på akkurat femsifrede tall. Men er dette enestående? Eller fins det andre tall enn 41 som har samme egenskap? Fins det noen tall som har en tilsvarende delingsegenskap, med firesifrede tall, eller med sekssifrede tall? Jeg ønsket å grave dypere. Her er hva jeg fant. La T være et femsifret tall: T = abcde = a b c d 10 + e La S være det femsifrede tallet som framkommer ved å sette det første sifferet i T sist: S = bcdea = b c d e 10 + a Ved å multiplisere T med 10, får S og T mye felles: 10T = a b c d e 10 Da blir 10 T S = a 10 5 a = ( ) a = a tangenten 2/

22 Ved overflytting og faktorisering får vi S = 10T a = 10T a = 10T a Her dukker altså 41 opp! Og vi ser med en gang at dersom T er delelig med 41, så blir 41 en felles faktor på høyresiden, slik at også S må være delelig med 41. Å flytte det første sifferet sist er et eksempel på en syklisk ombytting av sifrene i tallet. En vilkårlig syklisk ombytting av sifrene kan vi få ved å gjenta denne operasjonen et passende antall ganger. Beviset ovenfor gjelder derfor for alle sykliske ombyttinger. Dermed er for så vidt oppgaven i det danske tidsskriftet løst. Men samtidig ser vi at vi kan si mye mer. Det vi nå gjør, minner om Polyas råd om å se seg tilbake etter at man har løst et problem. For det første ser vi at 271 spiller en helt tilsvarende rolle som 41 i uttrykket vårt. Med andre ord, dersom et femsifret tall er delelig med 271, er også de femsifrede tallene som framkommer ved syklisk ombytting av sifrene, delelige med 271. Men det er ikke bare primfaktorer som kan brukes. En hvilken som helst faktor i har samme egenskap. Tallet har følgende 12 faktorer: 1, 3, 9, 41, 123, 271, 369, 813, 2439, 11111, og Noen av disse faktorene er nærmest banale i vår sammenheng. Ethvert heltall er delelig med 1. Delelighet med 3 og med 9 avhenger bare av tverrsummen (siffersummen) til tallet, og den forandres ikke ved permutasjon av sifrene. Dersom T er femsifret og delelig med 99999, må T = og S = T = For de øvrige faktorene trengs derimot et resonnement som ovenfor. Her er et eksempel med faktoren 813: = = = = = Nå har vi skaffet oss god oversikt over situasjonen med femsifrede tall. Men vi kan si enda mer! Hovedidéen i resonnementet er ikke avhengig av antall sifre. Resultatet S = 10T a = 10T a gir et mønster som kan gjennomføres for et vilkårlig antall sifre. La derfor T være et n-sifret tall. Da kan vi på helt tilsvarende måte som ovenfor utlede formelen S = 10T a = 10T a Her betegner og tallene med henholdsvis n niere og n enere. De tallene som har den egenskapen at delelighet med dem bevares ved syklisk ombytting av sifrene i et n-sifret tall, er altså nettopp faktorene i det tallet som består av n niere. Og skal vi finne disse faktorene, må vi primtallsfaktorisere det tallet som består av n enere. Da åpner en ny verden seg. (Et bevis for flytting av det første sifferet sist blir et bevis for alle sykliske ombyttinger av sifrene, slik vi kommenterte for tilfellet med fem sifre ovenfor.) La oss først ta et eksempel med n = 6. Da må vi faktorisere : = Her er et eksempel med faktoren 37: = = = = = = Alle mulighetene i det sekssifrede tilfellet får vi med de forskjellige faktorene i = = /2011 tangenten