Examples plotting. Øyvind Ryan
|
|
- Carina Holm
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Examples plotting Øyvind Ryan 19. februar 2013
2 Example 0.1. Vi skal tegne grafen til f (x, y) = x 3 4y 2 over rektangelet x [ 3,3], y [ 5,5]. Vi lager først en oppdeling av de to intervallene vi er interessert i, ved å skrive r=-3:0.1:3; s=-5:0.1:5; (husk semikolon etter kommandoene, ellers vil du få lange tallremser som output!) Her har vi valgt å dele opp begge intervallene i skritt med lengde 0.1, men du kan godt velge en finere eller grovere oppdeling. Det kan være lurt å prøve en skikkelig grov oppdeling (f.eks. skrittlengde 0.5) en gang slik at du virkelig ser hvordan MATLAB tegner grafer. Neste skritt er å lage et rutenett av oppdelingene våre. Dette gjør vi med kommandoen >> [x,y]=meshgrid(r,s);} Vi kan nå definere funksjonen: >> z=x.^3-4*y.^2; (husk å bruke.-versjonene av de algebraiske operasjonene!) Dermed er vi klare til selve plottingen som utføres av kommandoen >> mesh(x,y,z) Grafen kommer opp i et eget figurvindu akkurat som for todimensjonale figurer, og ser ut som et fiskegarn med knuter i plottepunktene. Ved å gå inn på menyen i grafvinduet, kan du dreie flaten i rommet (aktiver musa ved å klikke på et ikon som symboliserer dreiing). Dette er ofte nødvendig for å få et godt inntrykk av hvordan grafen ser ut! Bruker du kommandoen surf(x,y,z) istedenfor mesh(x,y,z), vil MATLAB tegne grafen med fargelegging av hvert ruteelement. Det er ofte klargjørende når grafen varierer mye. Vil du se nivåkurvene istedenfor grafen, bytter du ut med kommandoen >> contour(x,y,z) Når du bruker contour på denne måten, velger MATLAB selv hvilke nivåkurver den skal tegne. MATLAB er ikke alltid flink til å finne de mest interessante nivåkurvene, og det kan også tenkes at vi er interessert i helt konkrete nivåer, som programmet umulig kan gjette på. Derfor hender det at du må hjelpe til ved å angi konkrete nivåer: Dersom vektoren v = (v 1, v 2,..., v n ) er lagt inn, vil kommandoen 2
3 >> contour(x,y,z,v) tvinge MATLAB til å tegne nivåkurvene med verdier v 1, v 2,..., v n. Vil du bare regulere antall nivåkurver, men ikke spesifisere verdiene, kan du bruke denne kommandoen >> contour(x,y,z,n) som får MATLAB til å tegne opp n nivåkurver. Med kommandoen clabel får du MATLAB til å skrive nivået til nivåkurvene på grafen. Prøv >> clabel(contour(x,y,z,12)) MATLAB vil normalt tegne nivåkurvene i forskjellige farger. Dette er nyttig på skjermen, men kan være mindre praktisk dersom du ønsker å lime figuren inn i et svart-hvitt dokument. Skriver du >> contour(x,y,z,8, k ) får du 8 nivåkurver tegnet i svart ( k er symbolet for svart farge). Ønsker du at MATLAB skal tegne nivåkurvene og grafen i samme plot, bruker du kommandoen >> meshc(x,y,z) Det finnes mange andre kommandoer du også kan bruke (og mange flere måter å modifisere kommandoene ovenfor på!). Skriv >> help graph3d for å få en oversikt. Example 0.2. Vi skal lage en fremstilling av vektorfeltet F(x, y) = x y i + x sin(x y) j over mengden 5 x 5, 3 y 3. Vi starter med å lage rutenettet. Vi bør ikke lage oppdelingen for fin, for da blir det vanskelig å se vektorene. Vi velger en rutelengde på 0.5: x=-5:0.5:5; y=-3:0.5:3; Vi lager så et rutenett av x og y. >> [x,y]=meshgrid(x,y); 3
4 Nå kan vi legge inn vektorfeltet: u=x.*y; v=x.*sin(x.*y); Dermed er vi klare til å lage figuren >> quiver(x,y,u,v) MATLAB svarer med figur 3 (se ovenfor). Example 0.3. La oss bruke MATLAB til å finne en strømningslinje for vektorfeltet i eksempel 1. Vi må først legge inn x, y, u og v på samme måte som ovenfor. I dette tilfellet kan det imidlertid være lurt å bruke et rutenett som er mindre grovt, så vi starter med sekvensen x=-5:0.05:5; y=-3:0.05:3; [x,y]=meshgrid(x,y); u=x.*y; v=x.*sin(x.*y); For å lage strømningslinjen som starter i punktet (1, 1) skriver vi nå >> streamline(x,y,u,v,1,-1) Hvis du taster inn den siste kommandoen på nytt med et annet startpunkt, f.eks. >> streamline(x,y,u,v,0.5,1) tegner MATLAB en ny strømningslinje i det samme figurvinduet. Det er også instruktivt å tegne inn vektorfeltet og strømningslinjene i samme figur (prøv!). Example 0.4. Vi skal bruke MATLAB til å tegne den parametriserte flaten Vi taster da: u=-5:.1:5; v=-5:.1:5; [U,V]=meshgrid(u,v); x=u+v; y=u-v; z=u.*v; surf(x,y,z) r(u, v) = (u + v)i + (u v)j + uv k, der 5 u, v 5 4
5 og MATLAB tegner flaten. Example 0.5. La oss også bruke MATLAB til å tegne en kuleflate med radius 3 og sentrum i origo. For å slippe for lange variabelnavn, bruker vi u for den variabelen som i kulekoordinater vanligvis heter φ og v for den som vanligvis heter θ. Kommandoen linspace(a,b,n) gir oss en vektor med n komponenter som begynner med a og ender med b. u=linspace(0,pi,100); v=linspace(0,2*pi,); [U,V]=meshgrid(u,v); x=3*sin(u).*cos(v); y=3*sin(u).*sin(v); z=3*cos(u); surf(x,y,z) axis( equal ) Husk kommandoen >> axis( equal ) som gir samme målestokk langs alle akser uten den ser kulen ut som en ellipsoide. Example 0.6. Et dyreslag har en levealder på fire år. Det første året er dyrene unger, det andre året er de ungdommer, det tredje året er de voksne og det fjerde året er de eldre. Av ungene overlever 50% til året etter, av ungdommene overlever 80% til året etter og av de voksne overlever 20% til året etter. En ungdom gir i gjennomsnitt opphav til 0.5 unger som blir født året etter, en voksen gir i gjennomsnitt opphav til 2 unger som blir født året etter, og et eldre dyr gir i gjennomsnitt opphav til 0.1 unge som blir født året etter. Vi antar at vi starter med dyr i hver aldersklasse, og ønsker å finne ut hvordan stammen utvikler seg. La x n, y n, z n og u n være henholdsvis antall unger, ungdommer, voksne og eldre i år n. Da er x n+1 = 0.5y n + 2z n + 0.1u n y n+1 = 0.5x n z n+1 = 0.8y n u n+1 = 0.2z n I tillegg vet vi at x 1 = y 1 = z 1 = u 1 =. Det er flere måter å angripe dette problemet på. La oss først se hva som skjer når vi bruker MATLAB til å regne ut utviklingen de 50 første årene. Vi lager m- filen function [x,y,z,u]=dyrestamme(a,b,c,d,n) 5
6 x(:,1)=[a;b;c;d] for n=1:n x(:,n+1)=[ ; ; ; ]*x(:,n); end Den neste kommandosekvensen får MATLAB til å plotte ut følgene i samme figur: [x,y,z,u]=dyrestamme(,,,,49); plot(x) hold on plot(y) plot(z) plot(u) Resultatet er figuren nedenfor der den øverste kurven gir antall unger, den nest øverste antall ungdommer, den tredje øverste antall voksne og den nederste antall eldre. Disse kurvene er ikke så lette å tolke. Det ser ut som de etter noen innledende svingninger går over i jevn vekst, og at fordelingen mellom de forskjellige aldersgruppene nærmer seg en likevekt. Men hvor kommer svingningene fra, hvor rask er veksten, og hvordan finner vi likevektsfordelingen mellom aldersgruppene?. La oss kjøre programmet en gang til med startverdier x 1 = 400, y 1 = 300, z 1 = 100, u 1 = 0. Resultatet ser du på figuren nedenfor, og i hovedtrekk ligner 6
7 det forbløffende på det vi fikk i stad; etter noen innledende svingninger går kurvene over i jevn vekst, og forholdet mellom aldersgruppene ligner på det vi fikk ovenfor. Vi skal nå se hvordan vi kan bruke egenverdier og egenvektorer til å forklare disse resultatene. Det første vi observerer, er at dersom vi innfører vektorene x n y n r n = z n u n så kan ligningssystemet ovenfor skrives der A er matrisen A = r n+1 = Ar n Bruker vi denne formelen gjentatte ganger, får vi r n = A n 1 r 1 Legg merke til at siden vi kaller begynnelsesbestanden r 1 og ikke r 0, må A oppphøyes i n 1 og ikke n. Matematisk sett hadde det vært greiere å begynne med r 0 7
8 slik vi gjorde i forrige eksempel, men MATLAB begynner alltid nummereringer på 1, og vi har derfor valgt å holde oss til det siden vi MATLAB bruker såpass mye i dette eksemplet. La oss benytte MATLAB til å finne egenverdiene og egenvektorene til A: >> A=[ ]; >> [u,v]=eig(a) u = Columns 1 through i i i i i i Column v = Columns 1 through i i Column
9 Vi har altså egenverdiene = , λ 2 = i, λ 3 = i, λ 4 = 0.01 med tilhørende egenvektorer (vi bytter fortegn på den første av dem for å slippe minuser): v 1 = v 3 = , v 2 = i i i i i i, v 4 = Vi ser at de komplekse egenverdiene og egenvektorene er konjugerte av hverandre slik setning sier. Vi ser også at egenverdiene er ordnet i avtagende rekkefølge: > λ 2 = λ 3 > λ 4. Siden egenverdiene er forskjellige, vet vi at v 1, v 2, v 3, v 4 danner en basis. Vi kan derfor skrive starttilstanden r 1 = som en lineærkombinasjon r 1 = = c 1v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 Vi skal bruke MATLAB til å finne koeffisientene c 1,c 2,c 3,c 4, men la oss først se hva som skjer når vi bruker A n 1 på ligningen ovenfor. Vi får r n = A n 1 r 1 = c 1 A n 1 v 1 + c 2 A n 1 v 2 + c 3 A n 1 v 3 + c 4 A n 1 v 4 = c 1 λ n 1 1 v 1 + c 2 λ n 1 2 v 2 + c 3 λ n 1 3 v 3 + c 4 λ n 1 4 v 4 Vi setter den største egenverdien λ1 n 1 utenfor en parentes ( ( ) n 1 ( ) n 1 ( ) n 1 ) r n = λ1 n 1 λ2 λ3 λ4 c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 9
10 ( Siden har størst tallverdi av egenverdiene, vil alle faktorene λ2 ( λ4 ) n 1 gå mot null når n går mot uendelig. Det betyr at Definerer vi kan vi derfor skrive ( ( ) n 1 ( λ2 λ3 lim c 2 v 2 + c 3 n ) n 1 v 3 + c 4 ( λ4 ) n 1 v 4 ) = 0 ( ) n 1 ( ) n 1 ( ) n 1 λ2 λ3 λ4 σ(n) = c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4, r n = λ n 1 ( 1 c1 v 1 + σ(n) ) ) n 1, ( λ3 ) n 1, der σ(n) 0 når n. Skriver vi ut komponentene og setter in = , får vi x n y n z n = n 1( ) c σ(n) u n Dette betyr at når n blir stor, er veksten bestemt av den største egenverdien = , og fordelingen mellom komponentene er bestemt av den tilhørende egenvektoren v 1. Som du ser, minner disse resultatene om det vi fikk i Eksempel 1, men vi har fått med en vekstfaktor i tillegg. La oss nå finne konstantene c 1, c 2, c 3 og c 4. Dersom vi velger den opprinnelige begynnelsestilstanden r 1 = får vi ligningen = c 1 +c c i i i i i i + c
11 Innfører vi matrisen i i D = i i i i kan vi bruke MATLAB til å finne vektoren c 1 c 2 c = c 3 c 4 ved å taste >> c=d\r1 Vi får c 1 = , c 2 = i, c 3 = i, c 4 = Legg merke til at koeffisientene c 2 og c 3 til de komplekse egenverdiene er konjugerte. Vi har ennå ikke forklart hvor svingningene i figuren kommer fra. Det viser seg at de kommer fra de komplekse egenverdiene. Skriver vi den komplekse egenverdien λ 2 på polarform λ 2 = re iθ, ser vi at λ n 1 2 = r n 1 e i (n 1)θ = r n 1( ) cos((n 1)θ) + i sin((n 1)θ) Cosinus- og sinus-leddene får uttrykket til å svinge, men i dette tilfellet vil svingningene dø ut etter hvert fordi r < 1 og r n 1 0 når n. Example 0.7. To dyreslag, et byttedyr og et rovdyr, lever i det samme området. Dersom det ett år er x n byttedyr og y n rovdyr i området, tenker man seg at antall dyr året etter er gitt ved x n+1 = ax n bx n y n y n+1 = c y n+1 + dx n y n der a,b,c,d er positive tall. Legg merke til logikken; kryssleddene x n y n representerer møter mellom byttedyr og rovdyr, og slike møter reduserer veksten av byttedyr, men bidrar til vekst i rovdyrbestanden. Hvis vi innfører funksjonen F : R 2 R 2 ved ( xn og lar x n = y n ( x F y ) ( ax bx y = c y + dx y ), ser vi at systemet ovenfor kan skrives som x n+1 = F(x n ). 11 )
12 Det er ikke lett å gjette hvordan et system av denne typen vil utvikle seg i tiden, så la oss bruke MATLAB som hjelpemiddel til å se på et spesielt tilfelle. Vi velger a = 1.01,b = ,c = 0.98,d = Følgende m-fil regner ut utviklingen når vi starter med m byttedyr og k rovdyr og gjennomfører N iterasjoner. Vær oppmerksom på at det er en liten forskyvning i nummereringen av leddene i følgen; i teoretisk arbeid får vi ofte penest uttrykk om vi begynner iterasjonen med punkt nummer 0 (altså x 0 som ovenfor), men i programmet nedenfor har vi tatt hensyn til MATLABs forkjærlighet for å la startpunktet være nummer 1 (og ikke nummer 0). function [x,y]=byttedyr(m,k,n) x=[m]; %med disse linjene forteller vi y=[k]; %MATLAB at iterasjonen starter i punktet (m,k) for n=1:n % starter løkken som utfører iterasjonene x(n+1)=1.01*x(n)-3*10^(-5)*x(n)*y(n); y(n+1)=0.98*y(n)+10^(-5)*x(n)*y(n); end %avslutter for-løkken Dersom vi ønsker å se grafisk på utviklingen når vi starter med 1000 byttedyr og hundre rovdyr, kan vi gi kommandoene [x,y]=byttedyr(1000,100,1000); plot(x) hold on plot(y, r ) Vi får dette resultatet: Figur 1: Utviklingen av byttedyr (øverst) og rovdyr (nederst). 12
13 Vi ser at bestandene følger et bølgemønster med klare topper og bunner. Logikken er ikke så vanskelig å forstå; til å begynne med er det relativt få rovdyr, og byttedyrbestanden vokser. Dette fører til gode betingelser for rovdyrbestanden som også begynner å vokse kraftig. Til slutt gjør rovdyrene så kraftig innhogg at byttedyrbestanden begynner å avta. Etter hvert fører dette til dårligere forhold for rovdyrene, og rovdyrbestanden begynner også å avta. Dette gir etter hvert bedre forhold for byttedyrene som begynner å ta seg opp igjen osv. Example 0.8. Vi skal tegne grafen til f (x, y) = x 3 4y 2 over rektangelet x [ 3,3], y [ 5,5]. Vi lager først en oppdeling av de to intervallene vi er interessert i, ved å skrive r=-3:0.1:3; s=-5:0.1:5; (husk semikolon etter kommandoene, ellers vil du få lange tallremser som output!) Her har vi valgt å dele opp begge intervallene i skritt med lengde 0.1, men du kan godt velge en finere eller grovere oppdeling. Det kan være lurt å prøve en skikkelig grov oppdeling (f.eks. skrittlengde 0.5) en gang slik at du virkelig ser hvordan MATLAB tegner grafer. Neste skritt er å lage et rutenett av oppdelingene våre. Dette gjør vi med kommandoen >> [x,y]=meshgrid(r,s);} Vi kan nå definere funksjonen: >> z=x.^3-4*y.^2; (husk å bruke.-versjonene av de algebraiske operasjonene!) Dermed er vi klare til selve plottingen som utføres av kommandoen >> mesh(x,y,z) Grafen kommer opp i et eget figurvindu akkurat som for todimensjonale figurer, og ser ut som et fiskegarn med knuter i plottepunktene. Ved å gå inn på menyen i grafvinduet, kan du dreie flaten i rommet (aktiver musa ved å klikke på et ikon som symboliserer dreiing). Dette er ofte nødvendig for å få et godt inntrykk av hvordan grafen ser ut! Bruker du kommandoen surf(x,y,z) istedenfor mesh(x,y,z), vil MATLAB tegne grafen med fargelegging av hvert ruteelement. Det er ofte klargjørende når grafen varierer mye. Vil du se nivåkurvene istedenfor grafen, bytter du ut med kommandoen >> contour(x,y,z) 13
14 Når du bruker contour på denne måten, velger MATLAB selv hvilke nivåkurver den skal tegne. MATLAB er ikke alltid flink til å finne de mest interessante nivåkurvene, og det kan også tenkes at vi er interessert i helt konkrete nivåer, som programmet umulig kan gjette på. Derfor hender det at du må hjelpe til ved å angi konkrete nivåer: Dersom vektoren v = (v 1, v 2,..., v n ) er lagt inn, vil kommandoen >> contour(x,y,z,v) tvinge MATLAB til å tegne nivåkurvene med verdier v 1, v 2,..., v n. Vil du bare regulere antall nivåkurver, men ikke spesifisere verdiene, kan du bruke denne kommandoen >> contour(x,y,z,n) som får MATLAB til å tegne opp n nivåkurver. Med kommandoen clabel får du MATLAB til å skrive nivået til nivåkurvene på grafen. Prøv >> clabel(contour(x,y,z,12)) MATLAB vil normalt tegne nivåkurvene i forskjellige farger. Dette er nyttig på skjermen, men kan være mindre praktisk dersom du ønsker å lime figuren inn i et svart-hvitt dokument. Skriver du >> contour(x,y,z,8, k ) får du 8 nivåkurver tegnet i svart ( k er symbolet for svart farge). Ønsker du at MATLAB skal tegne nivåkurvene og grafen i samme plot, bruker du kommandoen >> meshc(x,y,z) Det finnes mange andre kommandoer du også kan bruke (og mange flere måter å modifisere kommandoene ovenfor på!). Skriv >> help graph3d for å få en oversikt. 14
Examples MAT1110. Øyvind Ryan
Examples MAT1110 Øyvind Ryan 19. februar 2013 Example 0.1. Vi skal tegne grafen til f (x, y) = x 3 4y 2 over rektangelet x [ 3,3], y [ 5,5]. Vi lager først en oppdeling av de to intervallene vi er interessert
DetaljerAll examples. Øyvind Ryan
All examples Øyvind Ryan 19. februar 2013 Example 0.1. Vi skal tegne grafen til f (x, y) = x 3 4y 2 over rektangelet x [ 3,3], y [ 5,5]. Vi lager først en oppdeling av de to intervallene vi er interessert
DetaljerMAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10
DetaljerLøsningsforslag: MAT 1110 Obligatorisk oppgave 2, V-12
Løsningsforslag: MAT 0 Obligatorisk oppgave, V- Oppgave a Siden f har en annenderivert, må både funksjonen selv og dens deriverte være kontinuerlige, og det sikrer at vi i regningene nedenfor har 0 0 -uttrykk:
DetaljerMAT 1110: Obligatorisk oppgave 1, V-07: Løsningsforslag
1 MAT 111: Obligatorisk oppgave 1, V-7: Løsningsforslag Oppgave 1. a) Vi deriverer på vanlig måte: ( e (sinh x) x e x ) = = ex + e x = cosh x, ( e (cosh x) x + e x ) = = ex e x = sinh x Enkel algebra gir
Detaljer1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
DetaljerFasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
DetaljerObligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave 1 a) Oppgaveteksten oppgir et vektorfelt f(x, y) F x, y = g x, y der f og g er oppgitt ved f x, y = x 3 3xy 1 og g x, y = y 3 + 3x y. Vi kan med dette regne ut Jacobimatrisen F x,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMAT 1110: Oblig 1, V-12, Løsningsforslag
MAT 0: Oblig, V-2, Løsningsforslag Oppgave: a Jacobi-matrisen er F (x, y u x v x u y v y 3x 2 2 3y 2 b Lineariseringen i punktet a er gitt ved T a F(x F(a + F (a(x a. I vårt tilfelle er a ( 2, 2, og vi
DetaljerOppgaver til seksjon med fasit
Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (.
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.7-3.10 Oppgaver til seksjon 3.7 I oppgave 1 til 7 skal du avgjøre om feltet er konservativt og i så fall finne en potensialfunksjon. 1. F(x, ) = (x + x) i + x j. F(x,
DetaljerExercises population. Øyvind Ryan
Exercises population Øyvind Ryan 19. februar 2013 1. Vi antar at en bakteriepopulasjon vokser eksponentielt og har en vekst gitt ved P = P 0 e kt der t er tiden i sekunder, P 0 = 120 er antall bakterier
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 28/4-2/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8/4-/5 Tom Lindstrøm (lindstro@math.uio.no) 5..5 a) Alle punktene i B har avstand til origo større enn 1, så d(0, B) må være minst 1. Ved å velge punkter på x-aksen
DetaljerComputational comments. Øyvind Ryan
Computational comments Øyvind Ryan 19. februar 2013 MATLAB-kommentar: For å regne med vektorer i MATLAB, må du første skrive dem inn. Du kan skrive inn radvektorene a = (1, 2,3,0,5) og b = (3, 2.4, 2,0)
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Flo og fjære a) >> x=0:.1:24; >> y=3.2*sin(pi/6*(x-3)); Disse linjene burde vel være forståelige nå. >> plot(x,y,'linewidth',3)
DetaljerIkke-lineære ligningssystemer
Innhold 5 Ikke-lineære ligningssystemer 3 5.1 Litt topologi i R m........................ 3 5. Kompletthet av R m....................... 10 5.3 Iterasjon av funksjoner...................... 0 5.4 Konvergens
DetaljerLøsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3
DetaljerNoen MATLAB-koder. 1 Plotte en vanlig funksjon. Fredrik Meyer. 23. april 2013
Noen MATLAB-koder Fredrik Meyer 23. april 2013 1 Plotte en vanlig funksjon Anta at f : [a, b] R er en vanlig funksjon. La for eksempel f(x) = sin x+x for x i intervallet [2, 5]. Da kan vi bruke følgende
DetaljerExercises plotting. Øyvind Ryan
Exercises plotting Øyvind Ryan 19. februar 2013 1. Bruk Matlab til å tegne kurvene: % Oppgave 3.1.5 a) t=linspace(0,6*pi,100); plot(t.*cos(t),t.*sin(t)); % Oppgave 3.1.5 b) t=linspace(0,2*pi,100); plot(5*cos(t),3*sin(t));
DetaljerOm plotting. Knut Mørken. 31. oktober 2003
Om plotting Knut Mørken 31. oktober 2003 1 Innledning Dette lille notatet tar for seg primitiv plotting av funksjoner og visualisering av Newtons metode ved hjelp av Java-klassen PlotDisplayer. Merk at
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerTMA Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3
TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3 22.02.2013 Dette oppgavesettet omhandler grunnleggende Matlab-funksjonalitet, slik som variabler, matriser, matematiske funksjoner og plotting. Den aller viktigste
DetaljerMatlab-tips til Oppgave 2
Matlab-tips til Oppgave 2 Numerisk integrasjon (a) Velg ut maks 10 passende punkter fra øvre og nedre del av hysteresekurven. Bruk punktene som input til Matlab og lag et plot. Vi definerer tre vektorer
DetaljerAlternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning
Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som
DetaljerMAT1110. Obligatorisk oppgave 1 av 2
30. mai 2017 Innleveringsfrist MAT1110 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 23. FEBRUAR 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels hus. Instruksjoner
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
Detaljer1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A =
1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 2 3. 1 4 Svar: λ = 5 med egenvektorer [x, y] T = y[1, 1] T og λ = 1 med egenvektorer [x, y] T = y[ 3, 1] T, begge strengt tatt med y 0. (b)
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerAll exercises. Øyvind Ryan
All exercises Øyvind Ryan 19. februar 2013 1. Bruk Matlab til å løse oppgave?? og?? ovenfor. 2. Vi har to vektorer a = (1, 2,3) og b = (2,2, 4). Sjekk at lengdene til vektorene kan finnes ved kommandoene»
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerFasit eksamen i MAT102 4/6 2014
Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerFasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015
Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07
Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i = 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1 + 4 + 9 + 16 + 5 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385.
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
Detaljer0.1 Kort introduksjon til komplekse tall
Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2
DetaljerNavn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut):
MA1103 vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 10M Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1. 2. 3. 4. 5.
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerTMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 1 Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerLØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av
DetaljerSINUS R1, kapittel 5-8
Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173
DetaljerMATLAB for MAT 1110. (revidert versjon våren 2008) Klara Hveberg og Tom Lindstrøm
MATLAB for MAT 1110 (revidert versjon våren 2008) av Klara Hveberg og Tom Lindstrøm Dette lille notatet gir en kort innføring i MATLAB med tanke på behovene i MAT 1110. Hensikten er å gi deg litt starthjelp
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren 93064 EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA TMA405 Fredag 5 desember
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
Detaljer4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall
4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Øving 1 Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1.
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK)
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 3 Læringsmål og pensum Mål Lære om programmering og hva et program er Lære om hvordan
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerØvingsforelesning i Matlab TDT4105
Øvingsforelesning i Matlab TDT4105 Øving 6. Tema: funksjoner med vektorer, plotting, while Benjamin A. Bjørnseth 12. oktober 2015 2 Oversikt Funksjoner av vektorer Gjennomgang av øving 5 Plotting Preallokering
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 8. juni 07 Tid for eksamen: 09.00 3.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT-INF360
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerNotater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerLøsningsforslag. Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6. Oppgave 1
Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6 Løsningsforslag Oppgave 1 x 1 +6x +x 3 = 8 x 1 +3x = 3x 1 +9x +x 3 = 10. a) Totalmatrise: 6 1 8 1 3
DetaljerVerdens korteste grunnkurs i Excel (2007-versjonen)
Verdens korteste grunnkurs i Excel (2007-versjonen) NB! Vær oppmerksom på at Excel kan se annerledes ut hos dere enn det gjør på bildene under. Her er det tatt utgangspunkt i programvaren fra 2007, mens
DetaljerØvingsforelesning i Matlab TDT4105
Øvingsforelesning i Matlab TDT4105 Øving 6. Tema: funksjoner med vektorer, plotting, preallokering, funksjonsvariabler, persistente variabler Benjamin A. Bjørnseth 13. oktober 2015 2 Oversikt Funksjoner
DetaljerNTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) February 19, 2010 Oppgave 3.6.1 Vi ser på ligningen Vi fullfører kvadratene: 4x 2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0. 4(x 2 + 8x
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerPlotting av data. Kapittel 6. 6.1 Plott med plot-funksjonen
Kapittel 6 Plotting av data MATLAB har mange muligheter for plotting av data. Vi skal her konsentrere oss om de viktigste funksjonene og kommandoene for 2-dimensjonale plott. Plottefunksjoner listes opp
DetaljerLøsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne
Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 4 2. 3 Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene
DetaljerEksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):
Detaljer