All exercises. Øyvind Ryan

Transkript

1 All exercises Øyvind Ryan 19. februar 2013

2 1. Bruk Matlab til å løse oppgave?? og?? ovenfor. 2. Vi har to vektorer a = (1, 2,3) og b = (2,2, 4). Sjekk at lengdene til vektorene kan finnes ved kommandoene» norm(a) og» norm(b). Forklar at du kan finne vinkelen mellom vektorene ved kommandoen acos(dot(a,b)/(norm(a)*norm(b))) Finn vinkelen. 3. Bruk Matlab til å løse oppgave??. 4. Bruk Matlab til å løse oppgavene Skriv inn matrisene og A = B = i Matlab og gjennomfør operasjonene» C=[A,B],» C(2,4),» C(:,[2 3]),» C([1 3],3:5). % Oppgave A=[2,-3,1;4,1,-5;1,2,-1]; B=[-1,3,2;4,5,1;0,2,-1]; C=[A,B] C(2,4) C(:,[2 3]) C([1 3],3:5) 6. Bruk matrisen C fra forrige oppgave. Undersøk hva som skjer med matrisen når du skriver» C(:,3)=2*C(:,3) og» C([1,3],:)=4*C([1,3],:). % Oppgave A=[2,-3,1;4,1,-5;1,2,-1]; B=[-1,3,2;4,5,1;0,2,-1]; C(:,3)=2*C(:,3) C([1,3],:)=4*C([1,3],:) 2

3 7. Undersøk hva kommandoen» [A;B] gjør når A og B er to matriser. % Oppgave A=[2,-3,1;4,1,-5;1,2,-1]; B=[-1,3,2;4,5,1;0,2,-1]; [A;B] 8. Bruk Matlab til å løse oppgavene Definer to matriser A=[2 4 6;1 3 5;7 8 9]; B=[1 4;2 5;3 6]; i Matlab. a. Regn ut de to produktene A*B(:,1) A*B(:,2) b. Regn på samme måte ut de tre produktene A(1,:)*B A(2,:)*B A(3,:)*B Hvordan kan du bruke resultatene fra kallene i a) og b) som kontroller på utregningen av A*B med Matlab? La A = og B = Bruk Matlab til å regne ut; A T, B T, (AB) T, A T B T, B T A T, A 1, B 1, (AB) 1, A 1 B 1, B 1 A 1. Blir noen av resultatene like? Hvilke av punktene i Setning?? kan brukes til å forklare disse likhetene? % Oppgave 2.1 A=[ ; ; ; ]; B=[ ; ; ; ]; A 3

4 B (A*B) A *B B *A inv(a) inv(b) inv(a*b) inv(a)*inv(b) inv(b)*inv(a) 11. Bruk Matlab til å finne den inverse matrisen til A i oppgave Be Matlab om å invertere matrisene i oppgave 3. Hva skjer i de tilfellene matrisen ikke er inverterbar? 13. Bruk Matlab til å regne ut determinantene i oppgavene 1, 10, og Bruk Matlab til å tegne kurvene: % Oppgave a) t=linspace(0,6*pi,100); plot(t.*cos(t),t.*sin(t)); % Oppgave b) t=linspace(0,2*pi,100); plot(5*cos(t),3*sin(t)); % Oppgave c) t=linspace(0,2*pi,100); plot(sin(2*t).*cos(t),sin(2*t).*sin(t)); % Oppgave d) t=linspace(0,6*pi,100); plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t); % Oppgave e) t=linspace(-20,20,400); plot3(t,sin(t),cos(t)); a. r(t) = t cos t i + t sin t j, t [0,6π] b. r(t) = 5cos t i + 3sin t j, t [0,2π] 4

5 c. r(t) = sin(2t)cos t i + sin(2t)sin t j, t [0,2π] d. r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t [0,6π] e. r(t) = t i + sin t j + cos t k, t [ 20,20] 15. Bruk Matlab til å tegne kurven r(t) i eksempel 9. Velg m = 1, g = 9.8 og eksperimenter med forskjellige verdier for k, u 1 og u 2. Løsningsforslag: % Oppgave t=linspace(0,200,1000); m=1; g=9.8; k=0.5; u1=0.2; u2=0.4; f1=(m*u1/k)*(1-exp(-k*t/m)); f2=(-m*g*t/k)+(m*u2/k + m*m*g/(k*k))*(1-exp(-k*t/m)) plot(f1,f2); 16. Vi har r(t) = (2cos t, 2sin t, 2sin t). a. Finn hastigheten, farten og akselerasjonen. Svar: v(t) = ( 2sin t, 2cos t, 2cos t) v(t) = 2 a(t) = r(t) Løsningsforslag: Vi regner ut v(t) = r (t) = ( 2sin t, 2cos t, 2cos t) v(t) = v(t) = 4sin 2 t + 2cos 2 t + 2cos 2 t = 2 a(t) = v (t) = ( 2cos t, 2sin t, 2sin t) b. Finn buelengden fra t = 0 til t = 2π. Svar: 4π Løsningsforslag: L(0,2π) = 2π 0 v(t)dt = 5 2π 0 2dt = 4π.

6 c. Vis at kurven ligger på en kuleflate med sentrum i origo. Svar: x 2 + y 2 + z 2 = 4 Løsningsforslag: En kule med sentrum i origo er beskrevet ved at x 2 +y 2 + z 2 = r 2, der r er kuleradien. Vi har at x 2 + y 2 + z 2 = 4cos 2 t + 2sin2t + 2sin 2 t = 4cos 2 t + 4sin 2 t = 4 = 2 2, og derfor ligger kurven på en kule om origo med radius 2. d. Vis at kurven ligger i planet y z = 0. Løsningsforslag: Vi har at y z = 2sin t 2sin t = 0, og derfor ligger kurven i det gitte planet. e. Hva slags kurve fremstiller r? Bruk Matlab til å tegne kurven. Svar: En sirkel med radius 2 om origo i planet y-z=0. Løsningsforslag: Kurven beskriver en sirkel med radius 2, på grunn av c), d), og det faktum at skjæringen mellom en kule med senter i origo og et plan gjennom origo er en sirkel med samme radius som kula. % Oppgave e) t=linspace(0,2*pi,100); plot3(2*cos(t),sqrt(2)*sin(t),sqrt(2)*sin(t)); 17. Vi har r(t) = (t cos t, t sin t, t) % Oppgave b) quad(@(x)sqrt(2+t.^2),0,2*pi) a. Finn hastigheten, farten og akselerasjonen. Svar: v(t) = (cos t t sin t,sin t + t cos t,1) v(t) = 2 + t 2 b. Vis at buelengden fra t = 0 til t = 2π er 2π t 2 dt. Bruk numerisk integrasjon til å beregne dette integralet. Svar: c. Løs integralet i b) ved regning. Bruk substitusjonen t = eu e u 2. Svar: π 2 + 4π 2 + ln( 2π + 2π 2 + 1) 6

7 18. Avstanden mellom det stedet der bakhjulet til en sykkel berører bakken, og det stedet der forhjulet berører bakken, er 1 meter. Når vi sykler, etterlater både forhjulet og bakhjulet et spor i bakken. a. Anta at sporet bakhjulet etterlater seg, er gitt ved r 1 (t). Vis at sporet forhjulet etterlater seg, har parametrisering r 2 (t) = r 1 (t) + T 1 (t), der T 1 (t) er enhetstangentvektoren til r 1 (t). Løsningsforslag: Siden fartsretningen til bakhjulet alltid er retningen mot forhjulet, så vil v 1 (t) ha samme retning som r 2 (t) r 1 (t). Fra oppgaveteksten har vi at r 2 (t) r 1 (t) har lengde 1, så denne er dermed en enhetsvektor i fartsretningen, som også er definisjonen på T 1 (t). Altså er T 1 (t) = r 2 (t) r 1 (t), slik at r 2 (t) = r 1 (t) + T 1 (t). b. Anta at bakhjulet følger kurven r 1 (t) = (t,sin t). Finn parametriseringen r 2 (t) til kurven som forhjulet følger. 1 Svar: r 2 (t) = (t +,sin t + cos t ) 1+cos 2 t 1+cos 2 t Løsningsforslag: Vi antar at r 1 (t) = (t,sin t), og får da at v 1 (t) = (1,cos t) v(t) = 1 + cos 2 t ( ) 1 T 1 (t) = 1 + cos 2 t, cos t ( 1 + cos 2 t r 2 (t) = r 1 (t) + T 1 (t) = t cos 2 t,sin t + ) cos t. 1 + cos 2 t c. Bruk Matlab til å tegne kurvene r 1 og r 2 i samme koordinatsystem. % Oppgave c) t = 0:0.05:10; plot(t,sin(t), k-,... t + 1./sqrt(1+cos(t).^2),sin(t) + cos(t)./sqrt(1+cos(t).^2), k+ ); leg( bakhjul, forhjul ); axis( equal ); 7

8 d. Figuren ovenfor viser sporene etter en sykkel som har vinglet forbi. Kjørte sykkelen fra venstre mot høyre eller i motsatt retning? Svar: Fra venstre mot høyre Løsningsforslag: Sykkelen kjører fra venstre mot høyre, siden plottet faller sammen med det vi tegnet i c). 19. Bruk Matlab til å tegne kurvene r 1 (t) = (t, t 2,sin t) og r 2 (t) = (sin 2 t,cos 2 t,e t ). Vri på koordinatsystemet for å se kurvene best mulig. % Oppgave 5.2 t=linspace(0,50,1000); x1=t; y1=t.^2; z1=sin(t); x2=sin(t).^2; y2=cos(t).^2; z2=exp(-t); plot3(x1,y1,z1) figure(2) plot3(x2,y2,z2) 20. Bruk kommandoen plot3 til å lage en tredimensjonal strektegning av en terning. % Oppgave 5.3 a=[ ]; b=[ ]; c=[ ]; plot3(a,b,c) axis( equal ) 8

9 21. I denne oppgaven skal vi se nærmere på vektorfeltet i eksempel 3. F(x, y) = y x 2 + y 2 i + x x 2 + y 2 j a. La φ 1 (x, y) = arctan y x +C der C er en konstant. Vis at φ 1(x, y) = F(x, y) når x 0. Løsningsforslag: Med φ 1 (x, y) = arctan y x +C får vi φ 1 (x, y) = y x ( y ) 2 i + x 1 x 1 + ( y x ) 2 j = y x 2 + y 2 i + x x 2 j = F(x, y). + y 2 b. Regn ut C F dr der C er en glatt kurve som ligger til høyre for y-aksen og som starter i punktet (1, 1) og er i (3,3). π Svar: 2 Løsningsforslag: Siden F har potensialfunksjonen φ 1, og denne er definert til høyre for y-aksen, så har vi at F dr = φ 1 (3,3) φ 1 (1, 1) = arctan(1) arctan( 1) C = π ( 4 π ) = π 4 2. c. La φ 2 (x, y) = arctan x y + C der C er en konstant. Vis at φ 2(x, y) = F(x, y) når y 0. Løsningsforslag: Med φ 2 (x, y) = arctan x y +C får vi φ 2 (x, y) = 1 + Koden blir 1 y ( x y ) 2 i x y 2 ( x y ) 2 j = y x 2 + y 2 i + x x 2 j = F(x, y). + y 2 d. Bruk Matlab eller en lommeregner til å tegne grafene til φ 1 og φ 2 (husk at ar ct an heter atan i Matlab). e. Finn sammenhengen mellom arctan y x og arctan x y (det kan lønne seg å se på hver kvadrant { for seg). arctan Svar: arctan y x x = y + π 2 når (x, y) ligger i 1. og 3. kvadrant arctan x y π 2 når (x, y) ligger i 2. og 4. kvadrant 9

10 Løsningsforslag: Funksjonene φ 1 og φ 2 er begge kontinuerlige når x, y 0. Spesielt er de kontinuerlige i hver kvadrant, og siden de har de samme partielle deriverte, så skiller de seg fra hverandre med en konstant i hver kvadrant. Men som vi skal se, konstanten er forskjellig fra kvadrant til kvadrant: I likningen φ 1 (x, y) = φ 2 (x, y)+c setter vi inn punktet (1,1) fra første kvadrant, og får arctan(1) = arctan(1)+c, som gir C = π 2. Setter vi inn punktet ( 1, 1) fra tredje kvadrant får vi samme verdi for C. Setter vi så inn punktet ( 1,1) fra andre kvadrant får vi at arctan( 1) = arctan( 1) + C, som gir C = π 2. Setter vi inn punktet (1, 1) fra fjerde kvadrant får vi samme verdi for C. Setter vi inn for φ 1 og φ 2 får vi dermed at arctan y x arctan y x = arctan x y + π 2 = arctan x y π 2 i første og tredje kvadrant, eller når x y > 0, i andre og fjerde kvadrant, eller når x y < 0. f. Finn en potensialfunksjon φ for F i området A = {(x, y) R 2 y ligger ikke på den negative y-aksen} Forklar hvorfor du ikke kan utvide denne funksjonen φ til en kontinuerlig funksjon på hele R 2. Svar: For eksempel φ(x, y) = arctan( y x ) når x > 0 arctan( y x ) + π når x < 0 π 2 når x = 0 og y > 0 Denne funksjonen har et sprang langs den negative y-aksen. Løsningsforslag: Vi vet at φ 1 (x, y) = arctan y x +C er en potensialfunksjon for x 0, uansett verdi av C. For y > 0 har vi at lim φ 1(x, y) = π x C lim x 0 φ 1(x, y) = π 2 +C. Velger vi derfor potensialfunksjonen ψ 1 (x, y) = arctan y x + C for x > 0 og potensialfunksjonen ψ 2 (x, y) = arctan y x +C +π for x < 0 får vi at, for y > 0 lim ψ 1(x, y) = π x C lim x 0 ψ 2(x, y) = π 2 +C + π = π 2 +C, 10

11 slik at vi har en potensialfunksjon for F, ψ, definert ved ψ(x, y) = arctan y +C for x > 0, x ψ(x, y) = π +C for x = 0, y > 0, 2 ψ(x, y) = arctan y +C + π for x < 0, x som er kontinuerlig utenom den negative y-aksen. Gitt en verdi for C, så er det klart at dette er den eneste måten å kontinuerlig utvide φ 1 til planet utenom den negative y-aksen. For å se at det er umulig å utvide φ 1 til den negative y-aksen, regner vi ut, for y < 0, lim ψ(x, y) = lim arctan y x 0 + x 0 + x +C = π 2 +C lim ψ(x, y) = lim arctan y x 0 x 0 x +C + π = π 2 +C + π = 3π 2 +C. Derfor blir ikke utvidelsen vi har gjort kontinuerlig også på den negative y-aksen, slik at det er umulig å lage en kontinuerlig utvidelse til hele R Skisser grafen til funksjonen og sammenlign resultatet med det du får når du bruker Matlab. a. f (x, y) = 2x 2 + y 2 Løsningsforslag: Vi setter f (x, y) = 2x 2 + y 2. For nivåkurvene og konturkurvene har vi 2x 2 + y 2 = c gir en ellipse med store halvakse c, lille halvakse c 2. For c < 0 inneholder ikke nivåkurvene noen punkter, og for c = 0 består nivåkurven kun av origo. Skjæring med xz-planet er kurven z = 2x 2, og skjæring med yz-planet er kurven z = y 2. Alle andre konturkurver er også parabler, som er forskyvede versjoner av disse. % Oppgave a) r=-2:0.05:2; s=-2:0.05:2; [x,y]=meshgrid(r,s); z=2*x.^2+y.^2; mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2a ) 11

12 b. f (x, y) = y 2 x Løsningsforslag: y 2 x = c gir en nivåkurve som er en ligge parabel med åpning mot høyre. Toppunktet blir i (c,0). Dette gjør det lett å tegne eller se for oss flaten, siden alle parablene er forsyvede varianter av hverandre. Konturkurvene for flater parallelle med xz-planet ser vi at blir linjer (sett inn y like en konstant verdi i z = y 2 x), mens konturkurver for flater parallelle med y z-planet ser vi at blir parabler (sett inn x lik en konstant verdi i z = y 2 x). % Oppgave b) z=y.^2-x; figure(2) mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2b ) c. f (x, y) = sin(x 2 + y 2 ) Løsningsforslag: Vi setter f (x, y) = sin(x 2 + y 2 ). Nivåkurvene finner vi først ved å løse sin(x 2 + y 2 ) = c. Det er klart at denne har løsninger bare for 1 c 1, slik det ikke finnes nivåkurver utenfor dette intervallet. Videre er det mange løsninger for x 2 + y 2 for slike c: Først får vi at x 2 + y 2 = arcsinc er en løsning, men da er også x 2 + y 2 = arcsinc + 2kπ løsninger. Dette gir sirkler med radius arcsinc + 2kπ for k 0 eller k 1, avhengig av om c > 0 eller c < 0. Videre er x 2 + y 2 = π arcsinc + 2kπ også løsninger, siden sin(π x) = sin x for alle x. Dette gir sirkler med radius π arcsinc + 2kπ. Det er klart at disse radiusverdiene kommer tettere og tettere ettersom radiene vokser. Hver nivåkurve består altså av mange sirkler. For c = 1 eller c = 1 faller halvpartene av disse sirklene sammen, siden vinklene arcsinc og π arcsinc da faller sammen (arcsin(1) = π 2, arcsin( 1) = π 2 ). Det er kanskje lettest å tegne grafen ved å skrive den som z = sinr 2 i polarkoordinater. Flaten er altså et omdreiningslegeme som fremgår ved å dreie y = sin x 2, vist i Figur 1 om y-aksen. Figuren som fremkommer er vist i Figur 2. Konturkurver forteller kanskje ikke så mye her. % Oppgave c) r=-4:0.1:4; s=-4:0.1:4; 12

13 Figur 1: Grafen y = sin x 2 Figur 2: Grafen z = sin(x 2 + y 2 ) [x,y]=meshgrid(r,s); z=sin(x.^2+y.^2); figure(3) mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2c ) d. f (x, y) = x 2 4y 2 % Oppgave d) r=-5:0.05:5; s=-5:0.05:5; 13

14 [x,y]=meshgrid(r,s); z=x.^2-4*y.^2; figure(4); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2d ); e. f (x, y) = ln(x y) Løsningsforslag: Hvis du forsøker å plotte ln(x y) i et intervall rundt null vil MATLAB rapportere problemer her, siden ln kun er definert for positive verdier. Funksjonen er derfor bare definert i første og tredje kvadrant. Det er kanskje enklest å tegne grafen ved hjelp av to plott, et for første kvadrant og et for tredje kvadrant, siden vi kan enkelt lage et grid for hver kvadrant: % Oppgave e) r=0.1:0.05:5; s=0.1:0.05:5; [x,y]=meshgrid(r,s); z=log(x.*y); mesh(x,y,z); hold on r=-5:0.05:-0.1; s=-5:0.05:-0.1; [x,y]=meshgrid(r,s); z=log(x.*y); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.2e ); 23. Skriv om funksjonen til polarkoordinater. Skisser grafen og sammenlign resultatet med det du får når du bruker Matlab. a. f (x, y) = 1 x 2 +y 2 Løsningsforslag: f (x, y) = 1 x 2 + y 2 = 1 r. % Oppgave a) u=-0.5:0.03:0.5; v=-0.5:0.03:0.5; [x,y]=meshgrid(u,v); 14

15 z=1./sqrt(x.^2 + y.^2); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.3a ) b. f (x, y) = x x 2 +y 2 Løsningsforslag: Vi kan skrive f (x, y) = x x 2 + y 2 = r cosθ r 2 = 1 r cosθ. Holder vi θ konstant, ser vi at vi får hyperbelen z = cosθ r. Dette hjelper oss til å kunne tegne opp flaten. Nivåkurvene er her sirkler: Setter vi c = får vi at x 2 + y 2 = x x 2 +y 2 c. Det er her greit at vi fullfører kvadratet i x for å se at vi får sirkler som er nivåkurver. % Oppgave b) u=-0.5:0.03:0.5; v=-0.5:0.03:0.5; [x,y]=meshgrid(u,v); z=x./(x.^2 + y.^2) figure(2) mesh(x,y,z) title( Oppgave 3.7.3b ) x c. f (x, y) = y x % Oppgave c) u=-0.5:0.03:0.5; v=-0.5:0.03:0.5; [x,y]=meshgrid(u,v); z=y./x; figure(3) mesh(x,y,z) title( Oppgave 3.7.3c ) d. f (x, y) = x 2 4y 2 Løsningsforslag: f (x, y) = x 2 4y 2 = r 2 cos 2 θ 4r 2 sin 2 θ = r 2 (cos 2 θ 4sin 2 θ) = r 2 (1 5sin 2 θ) = r 2 ( cos2θ). 15

16 Holder vi θ konstant, ser vi at vi får parabelen z = r 2 ( cos2θ). Nivåkurvene er her hyperbler. % Oppgave d) u=-1:0.05:1; v=-1:0.05:1; [x,y]=meshgrid(u,v); figure(4) z=x.^2-4*y.^2 mesh(x,y,z) title( Oppgave 3.7.3d ) e. f (x, y) = e x y % Oppgave e) u=-1:0.05:1; v=-1:0.05:1; [x,y]=meshgrid(u,v); figure(5) z=exp(x.*y); mesh(x,y,z); title( Oppgave 3.7.3e ) 24. I eksempel 3 i seksjon 2.2 studerte vi funksjonen f (x, y) = { x 2 y x 4 +y 2 for (x, y) (0,0) 0 når (x, y) = 0 som et eksempel på en funksjon som oppfører seg kontinuerlig når vi nærmer oss origo langs rette linjer, men ikke når vi følger parabelen y = x 2. Bruk Matlab til å tegne grafen til funksjonen, og studer fenomenet ved å dreie på grafen. Tegn også inn kurven r(t) = t i+t 2 j+ 1 2 k i samme figur. Tegn til slutt konturkurvene til funksjonen. % Oppgave r=-2:0.02:2; s=-2:0.02:2; [x,y]=meshgrid(r,s); 16

17 z=x.^2.*y./(x.^4+y.^2); figure(6) mesh(x,y,z) hold on t=linspace(0,2,100); plot3(t,t.^2,0.5*ones(1,length(t))) title( Oppgave ) hold off figure(7) contour(x,y,z); title( Oppgave ) contour(x,y,z,[ ]); title( Oppgave ) 25. I oppgave studerte vi funksjonen f (x, y) = { x 3 y x y 3 (x 2 +y 2 ) 2 for (x, y) (0,0) 0 når (x, y) = 0 som et eksempel på en funksjon der de blandede annenordens partiellderiverte er forskjellige. Bruk Matlab til å tegne grafen og konturkurvene til funksjonen, og prøv å forstå fra figuren hvorfor 2 f y x (0,0) er negativ mens 2 f x y (0,0) er positiv. Løsningsforslag: For å forklare hvordan vi kan forstå fra figuren hvorfor 2 f y x (0,0) er negativ og 2 f x y (0,0) er positiv, skriv først de partielle deriverte som grenseverdiene 2 f y x 2 f x y f f x (0,h) x (0,0) = lim (0,0) 1 f = lim h 0 h h 0 h x (0,h) (0,0) = lim h 0 f f y (h,0) y (0,0) h 1 f = lim h 0 h y (h,0), der vi har brukt at f f x (0,0) = y (0,0) = 0, som ble vist i Oppgave Fra funksjonsoppskriften er det klart at f skifter fortegn på koordinataksene, og på linjene y = x og y = x. Fortegnskjema for f er vist i Figur 3. La oss først se på f x (0,h) for små, positive verdier av h. Det er klart ved å studere flaten og fortegnskjemaet at f (x,h) går fra å være positiv til negativ ved x = 0, og vi har illustrert dette ved plott av f (x,0.1) i Figur??a). Dermed blir f f x (0,h) 0, slik at lim h h x (0,h) 0. At vi faktisk her har ekte ulikhet er ikke så lett å se fra grafen. For små, negative verdier av h er det på samme måte klart 17

18 Figur 3: Fortegnskjema for f (a) Plott av f (x, 0.1) (b) Plott av f (x, 0.1) Figur 4: Plott av f (x,h) for positiv og negativ h at f (x,h) går fra å være negativ til positiv ved x = 0, som illustrert ved plott av f (x, 0.1) i Figur??b). Dermed blir f x (0,h) 0, slik at lim h 0 1 f h x (0,h) 0. 1 f derfor må vi ha at lim h 0 h x (0,h) 0, slik at 2 f y x (0,0) 0. La oss deretter se på f y (h,0) for små, positive verdier av h. f (h, y) ser vi nå går fra å være negativ til positiv ved y = 0, slik at f y (h,0) 0, slik at lim h 0 1 f + h y (h,0) 0. For små, negative verdier av h er det på samme måte klart at f (h, y) går fra å være positiv til negativ ved y = 0, slik at f y (h,0) 0, slik at lim h 0 1 f h y (h,0) 0. 1 f derfor må vi ha at lim h 0 h y (h,0) 0, slik at 2 f x y (0,0) 0. % Oppgave r=-5:0.01:5; 18

19 s=-5:0.01:5; [x,y]=meshgrid(r,s); z=((x.^3).*y-x.*(y.^3))./(x.^2 + y.^2); mesh(x,y,z); title( Oppgave ) figure(2) contour(x,y,z); title( Oppgave ) 26. Tegn grafene til disse funksjonene med Matlab: f (x, y) = x 2 y 2, g (x, y) = sin x + x 2, h(x, y) = sin(e x+y ). Vri på flatene for å få et best mulig inntrykk. y 2 % Oppgave 5.1 r=linspace(-2,2,100); s=linspace(-2,2,100); [x,y]=meshgrid(r,s); f=(x.^2).* (y.^2); g=sin(x)./(y.^2)+x.^2; h=sin(exp(x+y)); mesh(x,y,f); figure(2) mesh(x,y,g); figure(3) mesh(x,y,h); 27. Bruk kommandoen quiver til å tegne vektorfeltet. Tegn også inn noen strømningslinjer. % Oppgave a) r=linspace(0,2*pi,30); s=linspace(0,2*pi,30); [x,y]=meshgrid(r,s); u=cos(x); v=sin(x); figure(8) quiver(x,y,u,v); title( Oppgave 3.8.1a ); 19

20 figure(9) streamline(x,y,u,v,0,1); hold on streamline(x,y,u,v,0,0.5); title( Oppgave 3.8.1a ); hold off % Oppgave b) r=linspace(-0.3,0.3,30); s=linspace(-0.3,0.3,30); [x,y]=meshgrid(r,s); u=-x./(x.^2+y.^2).^(3/2); v=-y./(x.^2+y.^2).^(3/2); figure(10) quiver(x,y,u,v) title( Oppgave 3.8.1b ); figure(11) streamline(x,y,u,v,-0.3,0.3); hold on streamline(x,y,u,v,0.3,0.3); title( Oppgave 3.8.1b ); hold off % Oppgave c) r=linspace(-2,2,30); s=linspace(-1,1,30); [x,y]=meshgrid(r,s); u=(1-x)./((x-1).^2+y.^2) + (1+x)./((x+1).^2+y.^2); v=-y./((x-1).^2+y.^2) + y./((x+1).^2 + y.^2); figure(12) quiver(x,y,u,v) title( Oppgave 3.8.1c ); figure(13) streamline(x,y,u,v,1.5,1); hold on streamline(x,y,u,v,0.5,1); title( Oppgave 3.8.1c ); hold off a. F(x, y) = cos x i + sin x j 20

21 b. F(x, y) = ( c. F(x, y) = x (x 2 +y 2 ) 3 2 i y (x 2 +y 2 ) 3 2 ) 1 x + 1+x (x 1) 2 +y 2 (x+1) 2 +y 2 j ( i + y (x 1) 2 +y I denne oppgaven skal vi se nærmere på vektorfeltet i eksempel 3 i seksjon 3.5 % Oppgave ac) r=-5:0.5:5; s=-5:0.5:5; [x,y]=meshgrid(r,s); u=-y./(x.^2 + y.^2); v=x./(x.^2 + y.^2); quiver(x,y,u,v); title( Oppgave 3.8.2ac ) hold on streamline(x,y,u,v,1,0); F(x, y) = y x 2 + y 2 i + x x 2 + y 2 j ) y j (x+1) 2 +y 2 a. Bruk kommandoen quiver til å tegne vektorfeltet. Bruk en forholdsvis grov oppdeling på aksene. b. Forklar at strømningslinjene til F er sirkler med sentrum i origo. c. Tegn strømningslinjen som starter i punktet (1, 0) på samme figur som vektorfeltet i a). Sammenlign resultatet med b). d. Gjenta punkt a) og c) med mye finere oppdeling av aksene. Hva skjer med strømningslinjene? 29. I denne oppgaven skal vi bruke Matlab til å eksperimentere litt med avbildninger slik som demonstrert i figur 5. Vi har altså en funksjon (u, v) = F(x, y) og vil se hvordan den avbilder et rutenett i x y-planet. For å slippe å lage et for omfatte program, skal vi nøye oss med en tilnærming der vi tegner opp hjørnene i det fordreide rutenettet og forbinder dem med rette streker (som i de fleste eksemplene burde vært buede kurver). Her er programmet i det tilfellet u = 3x y og v = x + 2y: 21

22 r=-2:0.25:2; %lager oppdeling av x-aksen s=-2:0.25:2; %lager oppdeling av y-aksen [x,y]=meshgrid(r,s); %lager rutenett av opppdelingene u=3.*x-y; %regner ut u av alle hjørnene i rutenettet v=x+2.*y; %regner ut v av alle hjørnene i rutenettet plot(u,v,u,v ) %tegner opp bildet av alle hjørnene i %rutenettet og forbinder dem med rette streker %Den første delen av kommandoen (dvs. plot(u,v)) %tegner opp strekene mellom "loddrette naboer", mens den %andre delen (dvs. plot(u,v )) tegner opp strekene mellom %"vannrette naboer". % Oppgave a) r=-2:0.25:2; %lager oppdeling av x-aksen s=-2:0.25:2; %lager oppdeling av y-aksen [x,y]=meshgrid(r,s); u=3.*x-y; v=x+2.*y; figure(14) plot(u,v,u,v ) title( Oppgave 3.8.3a ); % Oppgave b) r=0:0.25:5; s=0:0.25:(2*pi); [x,y]=meshgrid(r,s); u = x.*cos(y); v = x.*sin(y); figure(15) plot(u,v,u,v ); title( Oppgave 3.8.3b ); % Oppgave c) u=sqrt(x./y); v=sqrt(x.*y); figure(16) plot(u,v,u,v ); title( Oppgave 3.8.3c ); 22

23 a. Kjør programmet ovenfor med de angitte funksjonene u = 3x y og ( ) 3x y v = x + 2y. Beskriv rutenettet du ser (avbildningen F(x, y) = er x + 2y lineær). b. Kjør programmet på nytt, men la u = x cos y, v = x sin y, og bruk en oppdeling slik at 0 x 5, 0 y 2π. Beskriv rutenettet, og forklar sammenhengen med polarkoordinater. c. Kjør programmet igjen med u = x y og v = x y. Velg en oppdeling slik at x 0 og y 0. Beskriv rutenettet. 30. Bruk Matlab til å lage en tegning av den delen av kulen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som ligger i første oktant (dvs. området der x, y, z 0. % Oppgave u=linspace(0,pi*0.5,100); v=linspace(0,pi*0.5,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=2*sin(v).*cos(u); y=2*sin(v).*sin(u); z=2*cos(v); surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 31. Bruk Matlab til å lage en tegning av flaten i oppgave 7. % Oppgave u=linspace(0,2,100); v=linspace(0,2*pi,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=u; y=2*cos(v); z=2*sin(v); surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 23

24 32. Bruk Matlab til å lage en tegning av flaten parametrisert ved r(u, v) = uv 2 i + u j + sin(uv)k, der 1 u 1,0 v 3 % Oppgave r=-1:0.05:1; s=0:0.05:3; [u,v]=meshgrid(r,s); figure(17) mesh(u.*v.^2,u,sin(u.*v)) title( Oppgave ); 33. Bruk Matlab til å lage en tegning av sylinderen x 2 + y 2 = 9, når 0 z 2. % Oppgave u=linspace(0,2*pi,100); v=linspace(0,2,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=3*cos(u); y=3*sin(u); z=v; surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 34. Bruk Matlab til å lage en tegning av ellipsoiden i oppgave 6. Bruk samme målestokk på alle akser. a=1; b=0.5; c=0.1; u=linspace(0,2*pi,100); v=linspace(0,pi,100); [U,V]=meshgrid(u,v); x=sin(v).*cos(u)*a; y=sin(v).*sin(u)*b; 24

25 z=cos(v)*c; surf(x,y,z) axis( equal ) title( Oppgave ) 35. Bruk Matlab til å lage en tegning av en torus der r = 3 og R = 5. r=3; R=5; u=linspace(0,2*pi,100); v=linspace(0,2*pi,100); [theta,phi]=meshgrid(u,v); x=(5+3*cos(phi))*cos(theta); y=(5+3*cos(phi))*sin(theta); z=3*sin(phi); surf(x,y,z) title( Oppgave ) 36. Bruk Matlab til å omforme disse matrisene til redusert trappeform: % Oppgave a) rref([ ; ; ; ; ]) % Oppgave b) rref([ ; ; ]) % Oppgave c) rref([ ; ; ; ]) a. A = b. B =

26 c. C = Avgjør om ligningssystemet har en entydig løsning for alle valg av b 1,b 2,b 3. Bruk gjerne Matlab som hjelpemiddel. 2x y + z = b 1 x + 3y + 2z = b 2 3x 4y z = b 3 Svar: Nei % Oppgave rref([2-1 1;-1 3 2;3-4 -1]) 38. Finn alle løsningene til ligningssystemet. Bruk først Matlab til å skrive den utvidede matrisen på redusert trappeform. 2x y + z + 3u = 4 x + 2y + 4z + 3u = 2 2x + y + 3z 4u = 1 Svar: u kan velges fritt, men da må man sette x = u, y = u, z = u 4. Løsningsforslag: Den reduserte trappeformen kan dere få fra Matlab ved å skrive rref([ ; ; ]) Vi får da Dette betyr at u kan velges fritt (siden fjerde søyle ikke har noe pivotelement). Ved å flytte u-variablene over til høyre side får vi x = 3.5u y = 3.75u z = 0.25u

27 En vanlig måte å skrive dette på er x 3.5 y z = u u der de tre første radene stammer fra løsningene vi fant over, mens den siste bare uttrykker at u = u. % Oppgave rref([ ; ; ]) 39. Finn alle løsningene til ligningssystemet. Bruk først Matlab til å skrive den utvidede matrisen på redusert trappeform. x + y z + 2u v = 1 2x 2y + z u + v = 2 3x + 3y 2u + 2v = 1, Svar: v og y kan velges fritt, de andre variablene er da gitt ved: x = 7 y 2v, z = 26 7v, u = 10 2v. % Oppgave rref([ ; ; ]) 40. Skriv matrisen A = på redusert trappeform ved å la Matlab utføre radoperasjonene én for én (du får altså ikke lov til å bruke rref eller en ligne kommando). Beskriv den generelle løsningen til ligningssystemet som har A som utvidet matrise. % Oppgave A=[ ; ; ]; A([1 2 3],:)=A([2 1 3],:); k=a(3,1)/a(1,1); 27

28 A(3,:)=A(3,:)-k*A(1,:); A(1,:)=A(1,:)/A(1,1); k=a(3,2)/a(2,2); A(3,:)=A(3,:)-k*A(2,:); A(2,:)=A(2,:)/A(2,2); k=a(2,3)/a(3,3); A(2,:)=A(2,:)-k*A(3,:); k=a(1,3)/a(3,3); A(1,:)=A(1,:)-k*A(3,:); A(3,:)=A(3,:)/A(3,3); A 41. a. Figuren viser spillebrettet for et enkelt terningspill. Spillerne starter på Start og kaster en vanlig terning for å flytte. De trenger eksakt riktig antall øyne for å gå i mål (står de på 11 og kaster en femmer, spretter de altså ut til 10 ved å telle på denne måten 12-mål ). La t i være antall kast du må regne med å gjøre før du går i mål (dvs. det forventede antall kast) dersom du står på felt i. Mål Start Forklar hvorfor 28

29 t 1 = 1 6 t t t t t t t 2 = 1 6 t t t t t t t 6 = 1 6 t t t t t t t 7 = 1 6 t t t t t t 8 = 1 6 t t t t t 9 = 1 6 t t t t 10 = 1 6 t t t t 11 = 1 6 t t t t t 12 = 1 6 t t t t t Forklar videre hvorfor dette er et lineært ligningssystem og bruk Matlab til å løse dette. Hvor mange kast må du regne med å bruke når du står på start? b. Løs problemet i a) når du ikke trenger eksakt antall øyne for å komme i mål. % Uppgift 7.5 t=-1/6; T=[1,t,t,t,t,t,t,0,0,0,0,0,1;... 0,1,t,t,t,t,t,t,0,0,0,0,1;... 0,0,1,t,t,t,t,t,t,0,0,0,1;... 0,0,0,1,t,t,t,t,t,t,0,0,1;... 0,0,0,0,1,t,t,t,t,t,t,0,1;... 0,0,0,0,0,1,t,t,t,t,t,t,1;... 0,0,0,0,0,0,1,t,t,t,t,t,1;... 29

30 0,0,0,0,0,0,0,1,t,t,t,2*t,1;... 0,0,0,0,0,0,0,0,1,t,2*t,2*t,1;... 0,0,0,0,0,0,0,0,1,t,2*t,2*t,1;... 0,0,0,0,0,0,0,1,t,t,t,2*t,1;... 0,0,0,0,0,0,1,t,t,t,t,t,1]; rref(t) 42. Bruk Matlab til å finne den inverse matrisen dersom den finnes: % Oppgave a) inv([ ; ; ; ]) % Oppgave b) inv([ ; ; ; ]) % Oppgave c) inv([ ; ; ; ; ]) a. A =

31 b. B = c. C = Bruk Matlab-kommandoen >> x=a\b til å løse matriseligningen Ax = b når: Løsningsforslag: % Oppgave a) [2-1 3; 0-1 2; ]\[-1; 2; 3] % Oppgave b) [ ; ; ; ]\[4; -3; 0; 1] a. A = b. A = , b = , b = 44. Bruk Matlab-kommandoen >> x=b/a til å løse matriseligningen xa = b når: Løsningsforslag: % Oppgave a) [-1 2 3]/[2-1 3; 0-1 2; ] % Oppgave b) [ ]/[ ; ; ; ] a. A = , b = ( 1,2,3) 31

32 b. A = oppgave Skriv som en lineærkombinasjon av, b = (4, 3,0,1) Sammenlign med svarene på , Bruk gjerne Matlab som hjelpemiddel. Svar: Koeffisientene er x 1 = 100 9, x 2 = 17 9, x 3 = 11 27, x 4 = % Oppgave rref([ ; ; ; ]) 46. Bruk Matlab til å skrive , , , som en lineærkombinasjon av Svar: Koeffisientene er: x 1 = , x 2 = , x 3 = , x 4 = , % Oppgave rref([ ; ; ; ]) 47. Bruk Matlab til å sjekke om enhver vektor i R 4 kan skrives som en lineærkombinasjon av , 3 4, 7 10, 3 1, Svar: Ja % Oppgave rref([ ; ; ; ]) ,. 32

33 48. Vi skal i denne oppgaven modifisere koden vår fra seksjon?? for å bringe en matrise på redusert trappeform, slik at vi får litt mer informasjon. Løsningsforslag: Som du kanskje husker så kan en funksjon i Matlab ha vilkårlig mange ut-parametre. Vi kan derfor lage en funksjon som løser både a), b), og c) samtidig, ved at vi lager en ut-parameter for hver av disse deloppgavene. Siden vi i Oppgave blir bedt om å lage a en variant av samme funksjon, så har vi også tatt med a en ut-parameter, slik at koden under også løser Oppgave : % De fire ekstra ut-verdiene løser a), b), c) og , respektive. % colslinind forteller om søyler er lineært uavhengige (løser a)) % kons forteller om systemet er konsistent (løser b)) % infmany forteller om systemet har uelig mange løsninger (løser c)) % rang gir rangen til matrisen (løser ) function [U,colslinind,kons,infmany,rang]=040613(A) [m,n]=size(a) % leser antall rader søyler i A kons=true; infmany=false; i=1; % i er en radindeks. Vi starter i første rad for j=1:n % Gjennomgå en og en søyle, med j som søyleindeks [maksverdi,p] = max(abs(a(i:m,j))); q = p+i-1; A([i q],:) = A([q i],:); % Bytt om rad i og q if A(i,j)~=0 for r=i+1:m A(r,:) = A(r,:) -(A(r,j)/A(i,j))*A(i,:); i=i+1; if j==n kons=false; elseif j<n infmany=true; if i>m break U=A; colslinind=(i>m); 33

34 rang=i-1; a. Legg merke til i koden at hvis vi for en søyle ikke øker radindeks i med 1, så blir ikke denne søylen en pivotsøyle, og setning?? sier at søylene må være lineært avhengige. Bruk denne observasjonen til å re koden slik at den sier om søylene i matrisen er lineært uavhengige. b. Anta nå at matrisen representerer en utvidet matrise. Hvis radindeksen økes med 1 for siste søyle, så er det klart at denne er en pivotsøyle, slik at systemet er inkonsistent. Bruk denne observasjonen til å re koden slik at den sier om systemet er konsistent eller ikke. c. Hvis radindeksen ikke økes med 1 for en av søylene før den siste, så er det klart at systemet har uelig mange løsninger hvis det er konsistent, siden da er ikke en av søylene før den siste en pivotsøyle. Bruk denne observasjon til å re koden slik at den sier om systemet har en eller uelig mange løsninger hvis det er konsistent. 49. Bruk Matlab til å finne rangen til matrisene A = , B = Svar: Koden blir % Oppgave a) rank([ ; ; ]) % Oppgave b) rank([ ; ; ; ]) 50. Bruk Matlab til å finne en ortonormal basis for rommet H utspent av a 1 = 1 2 1, a 2 = 2 2 0, a 3 = Svar: Koden blir 34

35 % Oppgave orth([1 2-1;-2 2 3;1 0 2]) 51. I oppgave modifiserte du koden fra seksjon?? (som brakte en matrise på trappeform) slik at den samtidig ga mer informasjon om matrisen. Modifiser den slik at den også returnerer rangen til matrisen. Løsningsforslag: Vi har her utvidet funksjonen du laget i Oppgave slik at den også returnerer rangen til matrisen. 52. Bruk Matlab til å regne ut determinanten til matrisen: % Oppgave a) det([ ; ; ; ; ]) % Oppgave b) det([ ; ; ; ; ]) a. b. b) Vi har i flere oppgaver tidligere modifisert koden fra seksjon?? som brakte en matrise på trappeform, slik at den samtidig ga mer informasjon om matrisen. Løsningsforslag: Her kunne vi brukt koden fra Oppgave og , men i stedet velger vi å skrive ny kode. Forskjellen her er at det holder å bringe matrisen på trappeform, og at vi ikke trenger å holde styr på både radindeks og søyleindeks: Hvis vi øker søyleindeksen uten å øke radindeksen så må jo determinanten bli 0, siden vi blir ståe igjen med en 0 på diagonalen. 35

36 function determ=o040912(a) [m,n]=size(a) % leser antall rader og søyler i A determ=1; for j=1:n % Gjennomgå en og en søyle, med j som søyleindeks [maksverdi,p] = max(abs(a(j:m,j))); q = p+j-1; A([j q],:) = A([q j],:); % Bytt om rad j og q if A(j,j)~=0 for r=i+1:m A(r,:) = A(r,:) -(A(r,j)/A(j,j))*A(j,:); determ=determ*a(j,j); else determ=0; break; a. Modifiser koden fra seksjon?? slik at den også returnerer determinanten til matrisen. Hint: bruk Teorem?? til å regne ut determinanten, gitt at du allerede har funnet trappeformen til matrisen. b. Vis at antall addisjoner og multiplikasjoner koden din gjør for en n nmatrise, gitt at vi ikke trenger å bytte om noen rader under radreduksjon, er gitt ved P(n), der P er et tredjegradspolynom. Finn polynomene som gjelder for antall multiplikasjoner og addisjoner. c. Bruk kommandoene tic og toc til å sammenligne tiden koden din bruker, sammenlignet med det funksjonen detdef bruker (vi implementerte denne i slutten av denne seksjonen). Velg selv matrisestørrelsene, slik at funksjonene ikke bruker for lang tid. Er resultatene rimelige, når vi sammenligner antall addisjoner og multiplikasjoner de to funksjonene bruker? 54. Bruk Matlab til å finne egenverdien og egenvektorene til matrisen A. Bruk også Matlab til å skrive vektoren x som en lineærkombinasjon av egenvektorene: % Oppgave a) A=[1-2 4; 0 5 4; ]; 36

37 [V,D]=eig(A) rref([v [0.3; 2.4; -3.4]]) % Oppgave b) A=[ ; ; ; ]; [V,D]=eig(A) rref([v [-1.3; 2.4; 0.04; 4.1]]) a. A = b. A = ,x = ,x = Oppgave c) ga ganske mye regning for å finne egenverdiene og egenvektorene (kvadratrøtter inngikk i uttrykkene). Verifiser at du regnet riktig i denne oppgaven ved å bruke Symbolic math Toolbox i Matlab. 56. Bruk kommandoene rand(2,2), rand(3,3), rand(4,4) og rand(5,5) til å generere tilfeldige matriser. Finn egenverdiene og egenvektorene i hvert enkelt tilfelle. Hvor mange forskjellige egenverdier ser det ut til at en typisk n n- matrise har? % Oppgave 6.4 a=rand(2,2); [V,D]=eig(a) a=rand(3,3); [V,D]=eig(a) a=rand(4,4); [V,D]=eig(a) a=rand(5,5); [V,D]=eig(a) 57. To fiskeslag lever i samme innsjø. Fiskeslag II er avhengig av fiskeslag I for å opprettholde bestanden. Dersom x(t) er antall fisk av slag I ved tiden t, og y(t) er antall fisk av slag II ved tiden t, regner vi at x (t) = 0.02x(t) 0.03y(t) 37

38 y (t) = 0.01x(t) 0.02y(t) % Oppgave d) t=linspace(0,1000,1000); x=6000*exp(0.01*t) *exp(-0.01*t); y=2000*exp(0.01*t) *exp(-0.01*t); plot(t,x) hold on plot(t,y) title( Oppgave d ) ( a. Vis at egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = er λ 1 = 0.01,λ 2 = 0.01,v 1 = ( x(t) b. La r(t) = y(t) ) og skriv r(t) = c 1 (t)v 1 +c 2 (t)v 2. Vis at c 1 og c 2 tilfredsstiller differensialligningene ( 3 1 ),v 2 = ( 1 1 ). c 1 (t) = 0.01c 1(t) ) c 2 (t) = 0.01c 2(t) c. Anta at x(0) = 5000 og y(0) = Finn x(t) og y(t). Hvordan går det med forholdet x(t) y(t) mellom antall fisk av slag I og antall fisk av slag II når t blir stor? Svar: x(t) = 6000e 0.01t 1000e 0.01t, y(t) = 2000e 0.01t 1000e 0.01t d. Bruk Matlab til å plotte x(t) og y(t) i samme koordinatsystem. 58. En by har nettopp innført et system med bysykler der man kan låne en sykkel fra et sykkelstativ og levere den fra seg ved et annet (eller ved det samme om man bare skal en tur i nærområdet). Foreløpig har byen 4 stativer som vi kaller X, Y, Z, U. Myndighetene er interessert i å undersøke lånemønsteret for syklene, 38

39 Utgangspunkt Prosentfordeling neste måned i X i Y i Z i U ute av drift X 40% 20% 20% 10% 10% Y 10% 40% 20% 20% 10% Z 10% 20% 25% 25% 20% U 30% 20% 20% 20% 10% og har derfor en månedlig undersøkelse av hvor de forskjellige syklene befinner seg. Denne undersøkelsen viser at av de syklene som befant seg i stativ X en måned, befinner 40% seg i X måneden etter, 20% befinner seg i Y, 20% i Z og 10% i U, mens 10% er ute av drift fordi de enten er forsvunnet eller inne til vedlikehold. Tilsvare tall for syklene som opprinnelig var i Y, Z og U, fremgår av tabellen ovenfor. I forbindelse med undersøkelsen får hvert stativ påfyll med nye/reparerte sykler. Påfyllet tilsvarer 15% av antall sykler som står i stativet. Svar: En utvidet versjon av denne oppgaven ligger på med løsningsforslag på a. La x n, y n, z n, u n være antall sykler i henholdsvis X, Y, Z, U rett etter den n-te undersøkelsen (og rett etter påfyllet av nye/reparerte sykler). Forklar at x n+1 = 0.46x n y n z n u n y n+1 = 0.23x n y n z n u n z n+1 = 0.23x n y n z n u n u n+1 = 0.115x n y n z n u n Løsningsforslag: Antall sykler i stativ X rett før påfyllingen i måned n + 1 er lik 40% av antall sykler i X måneden før, pluss 10% av antall sykler i Y måneden før, pluss 10% av antall sykler i Z måneden før, pluss 30% av antall sykler i U måneden før, dvs. 0.4x n +0.1y n +0.1z n +0.3u n. Ganger vi dette med 1.15 for å fange opp påfyllet, får vi x n+1 = 0.46x n y n z n u n. De andre likningene fremkommer på tilsvare måte. b. Skriv en m-fil som gitt x 1, y 1, z 1, u 1 returnerer x n, y n, z n, u n for n fra 1 til 50. Løsningsforslag: Vi kaller funksjone vi skal lage for bysykler. Denne kan programmeres slik: 39

40 function C=bysykler(a,b,c,d) % Hver kolonne i C svarer til et tidspunkt. % 1. rad inneholder alle x-verdier, andre rad alle y-verdier osv. C=[a;b;c;d]; A=[ ; ; ; ]; for n=1:49 C(:,n+1) = A*C(:,n); Vi bruker deretter denne funksjonen i resten av oppgaven: % Oppgave c) C=bysykler(100,100,100,100); plot(c(1,:)); hold on plot(c(2,:), r ) plot(c(3,:), g ) plot(c(4,:), y ) % Oppgave d) powers = ^[0:49]; D(1,:)=C(1,:)./powers; D(2,:)=C(2,:)./powers; D(3,:)=C(3,:)./powers; D(4,:)=C(4,:)./powers; plot(d(1,:)); hold on plot(d(2,:), r ) plot(d(3,:), g ) plot(d(4,:), y ) % Oppgave e) C=bysykler(200,0,0,200); % Kjør c) og d) som før ellers c. Velg x 1 = y 1 = z 1 = u 1 = 100, og bruk Matlab til å tegne følgene {x n }, {y n }, {z n }, {u n } i samme koordinatsystem. d. Lag en ny figur der du plotter følgene { }, { }, { }, { n n n 1 i samme koordinatsystem. x n y n z n u n } n 1 e. Gjenta plottingen i c) og d), men bruk starttilstanden x 1 = 200, y 1 = 0, z 1 = 0, u 1 = 200. Ser du et mønster? Eksperimenter gjerne med andre startverdier. 40

41 f. La w n = x n y n z n u n være fordelingen av sykler den n-te måneden. Forklar at w n+1 = Aw n der A er matrisen A = Forklar også hvorfor w n = A n 1 w 1. Løsningsforslag: Det er klart at hver rad i matrisen A svarer til koeffisientene i en av likningene vi fant i a). Men da er det klart at w n+1 = Aw n når vi setter w n = x n y n z n w n. % Oppgave g) A=[ ; ; ; ]; [U,V]=eig(A) U(1,:)=-U(1,:); % Gjør at egenvektoren for egenverdien % med størst absoluttverdi får positive tall. % Oppgave h) rref(u) % Oppgave i) rref([u [100;100;100;100]]) g. Bruk Matlab til å vise at matrisen A ovenfor har fire egenverdier λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 med tilhøre egenvektorer v 1, v 2, v 3, v 4. Sørg for å ordne rekkefølgen slik at λ 1 er egenverdien med størst tallverdi. (NB: MATLAB gir av og til egenvektorer der alle komponentene er negative. For å få en egenvektor som er greiere å arbeide med, kan du da bare fjerne alle minustegnene i denne vektoren.) h. Vis at egenvektorene v 1, v 2, v 3, v 4 til A danner en basis for R 4, dvs. at de er lineært uavhengige og utspenner hele R 4 (bruk gjerne MATLAB). 41

42 i. Velg w 1 = og skriv denne vektoren som en lineærkombinasjon av v 1, v 2, v 3, v 4 (bruk gjerne MATLAB). Finn A n 1 w 1 lim n λ n 1 1 Sammenlign med resultatene i oppgave 1c) og d). Hva regner du med å få dersom du velger en annen starttilstand w 1? 59. En følge {x n, y n } i R 2 er gitt ved x 1 = y 1 = 0 og x n+1 = 0.6x n 0.6y n y n+1 = 0.6x n + 0.6y n + 1 Skriv et program som beregner elementer i følgen, og tegn dem inn i en figur. Vis at funksjonen ( ) 0.6x 0.6y + 0,2 F(x, y) = 0.6x + 0.6y + 1 har et fikspunkt. Svar: Fikspunkt ( 1, 1). % Oppgave N = 500; x=zeros(2,n); x(:,1)=[0;0]; for n=1:n x(:,n+1)=[ ; ]*x(:,n) + [0.2;1]; plot(x(1,:),x(2,:)) 60. To dyreslag lever i det samme området. Dersom det er hhv. x n og y n dyr av hvert slag i området ett år, regner man at tallene året etter er gitt ved x n+1 = 0.9x n y n 10 y n+1 = 1.01x n + y n

43 Skriv et program som beregner hvordan bestanden utvikler seg, og plott resultatet når x 1 = 20, y 1 = Finn et likevektspunkt for bestandene. Svar: Likevektspunkt: x 297, y 3970 Løsningsforslag: Et likevektspunkt for bestandene kan vi finne ved å sette x n = x n+1 = x og y n = y n+1 = y i likningene fra oppgaven. Vi får da Samler vi variablene får vi Dette systemet kan vi løse ved å skrive [ ; ]\[-10; 300] x = 0.9x y 10 y = 1.01x + y x 0.01y = x = 300 som gir verdiene x 297, y I plottet du får skal du se vi starter iterasjonene i (20, 2000), og at verdiene deretter går i spiral inn mot dette likevektspunktet. Koden blir % Oppgave antalliterasjoner=200; x=zeros(2,antalliterasjoner+1); x(:,1)=[20;2000]; for n=1:antalliterasjoner x(:,n+1)=[ ; ]*x(:,n)+[-10; 300]; plot(x(1,:),x(2,:)) 61. I denne oppgaven skal vi se på befolkningsutviklingen i to land. Dersom innbyggertallet (målt i millioner) i de to landene er hhv. x n og y n ett tiår, regner man at de tilsvare tallene ti år etter er gitt ved x n+1 = 1.1x n y n 0.5 y n+1 = 0.95y n x n Skriv et program som beregner hvordan innbyggertallene utvikler seg, og plott resultatet når x 1 = 50, y 1 = 8. 43

44 % Oppgave N = 100; x=zeros(2,n); x(:,1)=[50;8]; for n=1:n x(:,n+1)=[ ; ]*x(:,n) + [-0.5; 0.2]; plot(x(1,:)) hold on plot(x(2,:), r ) 62. To bensinstasjoner X og Y konkurrerer ved å tilpasse seg hverandres priser. Dersom prisene en uke er hhv. x n og y n, vil stasjon X uken etter sette sin pris til 1.01 xn+y n 2, mens stasjon Y vil velge den prisen som er lavest av x n og 1.1y n. Lag et program som viser hvordan prisene vil utvikle seg. Kjør programmet både med x 1 = 8, y 1 = 12 og med x 1 = 12, y 1 = 8. Sammenlign prisutviklingene. % Oppgave antalliterasjoner=200; x=zeros(antalliterasjoner+1); y=zeros(antalliterasjoner+1); x(1)=8; % 12 y(1)=12; % 8 for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=1.01*(x(n)+y(n))/2; y(n+1)=min(x(n),1.1*y(n)); plot(x,y) figure(2) x(1)=12; y(1)=8; for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=1.01*(x(n)+y(n))/2; y(n+1)=min(x(n),1.1*y(n)); 44

45 plot(x,y) 63. To insektstyper konkurrerer om det samme området. Anta at x n og y n er antall insekter (målt i millioner) i området i år n. Vi regner at bestanden i år n +1 da er gitt ved x n+1 = 2.2x n (1 x n ) x n y n y n+1 = 3.1y n (1 y v ) 0.02x n y n Skriv et program som beregner hvordan bestandene utvikler seg, og plott resultatet når x 1 = 0.5, y 1 = 0.5 og når x 1 = 0.1, y 1 = 0.8. Eksperimenter også med andre startverdier i intervallet (0,1). % Oppgave antalliterasjoner=200; x=zeros(antalliterasjoner+1); y=zeros(antalliterasjoner+1); x(1)=0.5; % 0.1 y(1)=0.5; % 0.8 for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=2.2*x(n)*(1-x(n)) *x(n)*y(n); y(n+1)=3.1*y(n)*(1-y(n)) *x(n)*y(n); plot(x,y) I de fleste andre oppgavene avhenger x n+1, y n+1 lineært av x n, y n, og vi kan da finne generelle uttrykk for x n, y n ved å finne egenvektorene til koeffisientmatrisen slik vi har gjort mange ganger. I denne oppgaven avhenger ikke x n+1, y n+1 lineært av x n, y n, slik at denne strategien ikke leder frem til generelle uttrykk for x n, y n. Selv om vi ikke klarer finne et slikt generelt uttrykk, så kan vi likevel finne et uttrykk for likevektspunktet: setter vi x n = x n+1 = x og y n = y n+1 = y i likningene fra oppgaven får vi x = 2.2x(1 x) x y y = 3.1y(1 y) 0.02x y Forkorter vi med x i den første likningen og med y i den andre likningen, får vi 1 = 2.2(1 x) y 1 = 3.1(1 y) 0.02x. 45

46 Samler vi leddene får vi 2.2x 0.01y = x + 3.1y = 2.1, som gir (0.5485, ) som likevektspunkt (vi har også tre andre likevektspunkter, et i origo, et når x = 0, y 0, et når x 0, y = 0). Hvis vi i koden for denne oppgaven bruker dette punktet som utgangspunkt, vil vi se at de første iterasjonene ligger nær punktet vi startet i (husk at avrundingsfeil inntrer slik at vi ikke vil fortsette i eksakt samme punkt), mens vi etter en stund vil bevege oss bort fra punktet. Systemet ser altså ut til å ha en frastøte effekt, som sørger for å skyve oss bort fra likevektspunktet. I plottene fra MATLAB virker det ellers som at iterasjonene hopper mellom to punkter, bare vi fortsetter langt nok. 64. To firmaer konkurrerer i det samme markedet. Dersom prisene på produktet deres (målt i tusen kroner) er hhv. p og q, regner firmaene med å selge hhv. E 1 (p, q) = 1000e p q α(p+q) og E 2 (p, q) = 1000e q p β(p+q) eksemplarer, der α og β er konstanter. % Oppgave b) N = 50; a=0.02; b=0.03; x=zeros(2,n); x(:,1)=[10;12]; for n=1:n x(1,n+1)=1.1*(x(2,n)/(1+a*x(2,n))); x(2,n+1)=1.1*(x(1,n)/(1+b*x(1,n))); plot(x(1,:)) hold on plot(x(2,:), r ) 46

47 a. Anta at prisen q ligger fast. Vis at firma 1 da får størst salgsinntekter ved å selge sitt produkt for p =. Vis tilsvare at hvis p ligger fast, q 1+αq så får firma 2 størst salgsinntekter ved å selge sitt produkt for q = p 1+βp. b. Det første året velger firmaene prisene p 1 og q 1. De bestemmer seg for at prisen året etter skal være hhv. p 2 = 1.1p1 = 1.1 q 1 1+αq 1 og q 2 = 1.1q1 = 1.1 p 1 1+βp 1. Denne politikken holder de fast ved i årene som kommer. Skriv et program som beregner prisutviklingen for de to produktene. Parametrene α og β skal inngå blant input-variablene. c. Kjør programmet med α = β = Bruk startverdiene (x 1, y 1 ) = (3,4), (x 1, y 1 ) = (4,3), (x 1, y 1 ) = (1,1.3), (x 1, y 1 ) = (1.3,1) og sammenlign resultatene. d. Gjenta punkt c) med α = 0.05, β = La f : R R være funksjonen f (x) = x 2 + x 2. Vis at x = 2 er et fikspunkt for f. Skriv et program som utfører iterasjonen x n+1 = f (x n ). Start programmet med x 1 = 2. Hva skjer (du bør nok utføre ca. 30 iterasjoner før du ser noe)? Forklar! % Oppgave antalliterasjoner=30; x=zeros(antalliterasjoner+1); x(1)=sqrt(2); x(1) for n=1:antalliterasjoner x(n+1)=x(n)^2+x(n)-2; x(n+1) 66. Skriv et program for iterasjon av funksjoner f : [0,π] R gitt ved f (x) = b sin x, der b er en konstant. Eksperimenter med forskjellige startverdier og forskjellige b-verdier slik vi gjorde med funksjonen f (x) = bx(1 x) i teksten. % Oppgave N=30; b=0.5; x=zeros(1,n); 47

48 x(1)=pi/2 for n=1:n x(n+1)=b*sin(x(n)) plot(x) 67. I denne oppgaven skal vi se på en grafisk metode for å studere iterasjon av en kontinuerlig funksjon f av én variabel. I figur 1 har vi tegnet opp funksjonsgrafen og linjen y = x i samme koordinatsystem. y = x y = f (x) Figur 1 a. Forklar at fikspunktene til f er det samme som skjæringspunktene mellom linjen y = x og grafen til f. y = x x 2 x 0 x 3 x 1 Figur 2 b. Figur 2 viser hvordan vi grafisk kan finne punktene x 1 = f (x 0 ), x 2 = f (x 1 ), x 3 = f (x 2 ) osv. Forklar hvordan og hvorfor metoden virker. c. Figur 3 viser en bane med periode 2. Lag en tilsvare figur som viser en bane med periode 3 (du kan godt bruke en annen funksjonsgraf y = f (x)). 48