MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8
|
|
- Bjørg Grethe Antonsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan August 2010
2 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere vektorer og matriser Operasjoner på vektorer og matriser Komponentvise operasjoner Radoperasjoner Plotting Programmering Vi skal også se på hvordan de samme tingene kan gjøres med Python, hvis du foretrekker Python fremfor Matlab. For en dypere innføring i hvordan tilsvarende operasjoner kan gjøres i Python, se referansene bakerst.
3 roots([1 2 1]) Elementære operasjoner Addisjon, multiplikasjon, potenser Trigonometriske operasjoner (sin, cos, tan, asin, acos, atan etc.) Andre funksjoner (exp, log, sqrt etc.) Matlab kan vise resulater med høy eller lav presisjon: format long format short Generere tilfeldige tall: rand Avrunding av tall: floor ceil round Finne nullpunkter i polynomer. Nullpunktene til x 2 + 2x + 1 = 0 kan du nne ved å skrive
4 Denere vektorer og matriser I det følgende vil små bokstaver brukes på vektorer, store bokstaver på matriser. A denere vektorer. a = 1:10 a = 1:0.5:10 linspace(1,3,100) Å denere radvektorer og kolonnevektorer: a1 = [ ]; a2 = [ ]; % Radvektorer b1 = [ 1; 2; 3 ]; b2 = [ 4; 5; 6 ]; % Kolonnevektorer Radvektorer kan settes sammen slik: A = [ a1; a2 ]; Kolonnevektorer kan settes sammen slik: B = [ b1 b2 ]; Mer generelt gir [ A; B ] mening hvis A og B har like mange kolonner (matrisene settes under hverandre). Mer generelt gir [ A B ] mening hvis A og B har like mange rader (matrisene settes ved siden av hverandre).
5 Å trekke ut den tredje raden i en matrise: a3 = A(3,:) Å trekke ut den andre kolonnen i en matrise: b2 = B(:,2); Du kan nne 2 2-undermatrisen i øvre venstre hjørne ved å skrive A(1:2,1:2) Dimensjonene til en matrise: [m,n] = size(a);
6 Operasjoner på vektorer og matriser Elementære operasjoner fungerer som for vanlige tall, men dimensjonene til matrisene må matche (A+B,A-B etc.) Hvis u og v er vektorer så er prikkproduktet gitt ved dot(u,v) Samme som å skrive u*v' hvis u og v er radvektorer. Kryssproduktet er gitt ved cross(u,v) Lengden til en vektor er gitt ved norm(u) Determinanten er gitt ved det(a) Du får en feilmelding hvis A ikke er kvadratisk. Bringe en matrise på redusert trappeform: rref(a) Rangen til en matrise rank(a)
7 Andre operasjoner Finne nullrommet til en matrise: null(a) Finne basis for kolonnerommet til en matrise orth(a) Transponere en matrise A' Inversen til en matrise inv(a) Sum av elementer i en matrise sum(a) sum(sum(a)) Produkt av elementer i en matrise prod(a) prod(prod(a))
8 Egenverdier og egenvektorer [U,V] = eig(a); Kolonnene i U vil da beskrive egenvektorene til A, V er en diagonalmatrise hvor de tilhørende egenverdiene ligger på diagonalen. Å løse ligningsystemer. Løsningen på ligningssystemet A*x=b får du ved å skrive A\b (legg merke til at deletegnet går motsatt vei!). Dette er det samme som å skrive inv(a)*b, men Matlab utfører kommandoen mye raskere (siden den ikke regner ut den inverse). Mer generelt er A/B det samme som A*inv(B), A\B det samme som inv(a)*b.
9 Noen spesielle matriser Identitetsmatrisen A = eye(3,3) Matrise med bare nuller A = zeros(3,3) Matrise med bare enere A = ones(3,3) Vi vil bruke kommandoen rand veldig ofte til å generere matriser som vi bruker i eksempler: A = rand(3,3)
10 Komponentvise operasjoner. før en operasjon brukes for å angi at operasjonen skal gjøres på alle elementene i matrisen, ikke for matrisen som helhet. + og - er allerede komponentvise operasjoner A.*B er derimot noe annet enn A*B På samme måte er A.^m noe annet enn A^m. Legg spesielt merke til forskjellen mellom A.^(-1) og A^(-1). Legg merke til forskjellen på A./B og A.\B. Dette er forskjellig fra A/B og A\B. Flere operasjoner er allerede komponentvise. For eksempel vil sin(a) beregne sin() for alle elementene i matrisen. Det samme gjelder funksjoner som (exp, log, rand, etc.) Det eksisterer ere normer for en matrise. En av dem er Hilbert-Schmidt normen, som kan programmeres slik: sqrt(sum(sum(a.^2)))
11 Plotting med Matlab Bruk kommandoen plot plot(x,y) plotter vektoren x mot vektoren y x=linspace(0,3,100); plot(x,x.^2) Plotte ere kurver sammen: plot(x,x.^2,'r-',x,x.^3,'g--') Her plottes den ene kurven med rød, heltrukken linje, den andre med grønn, stiplet linje. Mange andre farger og mønstre er også mulig (skriv help plot i Matlab). Bruk legend til å sette navn på kurver. For plottet over, legg til legend('andregradskurve','tredjegradskurve')}
12 Andre nyttige ting ved plotting Bruk axis til å sette øvre og nedre grense for aksene axis equal får aksene til å tegnes med samme målestokk. Bruk xlabel, ylabel til å sette navn på aksene Skriv hold on for å holde på et plott slik at de neste plottene blir tegnet i samme gur. Skriv hold off når du er ferdig. figure får Matlab til å lage et nytt plottevindu title og text kan brukes til å sette tittel og tekst på gurer. Skrive gurer til l print -deps 'figur.eps'
13 Programmering Matlabkode Lagres i m-ler Matlab nner m-la du skal kjøre hvis du står i området hvor la ligger (bruk cd), eller hvis la ligger i pathen til Matlab. Funksjoner Nøkkelordet function skal være først i la. har en eller ere returvariable har en eller ere input-variable Bruk av semikolon. Veldig ofte vil vi ikke at Matlab skal skrive ut hele resultatet av en regneoperasjon (en matrise kan jo være veldig stor!). Legg da til et semikolon til slutten av operasjonen du vil regne ut. = og == er ikke det samme! & (og), (eller), ~ (ikke), a~=b (a forskjellig fra b)
14 Programmering If-tester Løkker for while break If-tester og løkker avsluttes med end. Skrive ut tekst fprintf('snart er det eksamen') fprintf('uff, det er bare %i dager til eksamen',3) Siste svar: ans
15 Eksempel med programmering av determinantfunksjonen (Matlab) function determ=detdef(a) [m,n]=size(a); if m~=n fprintf('matrisen er ikke kvadratisk!'); elseif (n==1) determ = A(1,1); else determ = 0; for k=1:n % Konstruerer forst en (n-1)x(n-1) undermatrise newmatr = [ A(2:n,1:(k-1)) A(2:n,(k+1):n) ]; % Bruker saa definisjonen av determinanten determ = determ + (-1)^(k+1) * A(1,k) * detdef(newmatr); end end
16 Matlab vs. Python Husk at Python er mer et programmeringsspråk enn hva Matlab er (som er mer en verktøypakke for lineær algebra). I Python må man importere pakker eksplisitt I Python har man klassen linalg og pakken numpy. Mange kommandoer er så å si like, for eksempel hvordan man nner egenverdier og egenvektorer. Matriser deneres vanligvis som todimensjonale arrays. Graske primitiver fungerer veldig likt
17 Hjemmelekse Sørg for at du forstår koden for vår programmering av determinantfunksjonen Plott y = x og y = x i samme koordinatsystem, mellom x = 0 og x = 1. Generer en tilfeldig 3 3-matrise ved hjelp av kommandoen rand. Bring denne på redusert trappeform ved å utføre de elementære radoperasjonene direkte med Matlab.
18 Ressurser Innføring i Matlab for MAT1110: MAT1110/v10/1110compmatlab.pdf Dette heftet inneholder også ere oppvarmingsoppgaver for Matlab. Python-versjon for denne nnes på: MAT1110/v10/1110comppython.pdf Videregående Matlab for MAT1120 nnes på: MAT1120/h10/1120comp.pdf
19 MAT1120 får Matlab-sto lagt ut fortløpende i løpet av høsten (for eksempel kode som blir brukt på forelesningene og plenumsregningene). Studer help i Matlab for en del av funksjonene beskrevet på disse foilene Mye Matlab-relatert sto nnes også på cd'en som følger med læreboka
En innføring i MATLAB for STK1100
En innføring i MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Universitetet i Oslo Februar 2017 1 Innledning Formålet med dette notatet er å gi en introduksjon til bruk av MATLAB. Notatet er først og fremst beregnet
DetaljerTMA Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3
TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3 22.02.2013 Dette oppgavesettet omhandler grunnleggende Matlab-funksjonalitet, slik som variabler, matriser, matematiske funksjoner og plotting. Den aller viktigste
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
DetaljerComputational comments. Øyvind Ryan
Computational comments Øyvind Ryan 19. februar 2013 MATLAB-kommentar: For å regne med vektorer i MATLAB, må du første skrive dem inn. Du kan skrive inn radvektorene a = (1, 2,3,0,5) og b = (3, 2.4, 2,0)
Detaljer18. (og 19.) september 2012
Institutt for geofag Universitetet i Oslo 18. (og 19.) september 2012 Litt repetisjon: Array En array er en variabel som inneholder flere objekter (verdier) En endimensjonal array er en vektor En array
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Funksjoner og plotting
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Funksjoner og plotting I denne øvinga skal vi først og fremst lære oss å lage plott i MATLAB. I tillegg skal vi lære oss hvordan vi manøvrerer oss omkring
DetaljerOblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 23. september 2009 A =
Oblig - MAT Fredrik Meyer. september 9 Oppgave Linkmatrise: A = En basis til nullrommet til matrisen A I kan finnes ved å bruke MATLAB. Jeg kjører kommandoen rref(a-i) og får følge: >> rref(a-i). -.875.
DetaljerNoen MATLAB-koder. 1 Plotte en vanlig funksjon. Fredrik Meyer. 23. april 2013
Noen MATLAB-koder Fredrik Meyer 23. april 2013 1 Plotte en vanlig funksjon Anta at f : [a, b] R er en vanlig funksjon. La for eksempel f(x) = sin x+x for x i intervallet [2, 5]. Da kan vi bruke følgende
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerLøsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
DetaljerITGK - H2010, Matlab. Repetisjon
1 ITGK - H2010, Matlab Repetisjon 2 Variabler og tabeller Variabler brukes til å ta vare på/lagre resultater Datamaskinen setter av plass i minne for hver variabel En flyttallsvariabel tar 8 bytes i minne
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerBYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 34
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 34 I denne øvinga skal vi først og fremst lære oss å lage plott i Octave. I tillegg skal vi lære oss hvordan vi manøvrerer oss omkring i ulike kataloger.
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerKapittel august Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 2.
Institutt for geofag Universitetet i Oslo 28. august 2012 Kommandovinduet Det er gjennom kommandovinduet du først og fremst interagerer med MatLab ved å gi datamaskinen kommandoer når >> (kalles prompten
DetaljerØving 2 Matrisealgebra
Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser Løsningsforslag Oppgave 1 Redusert trappeform og løsning av lineære likningssystemer a) Totalmatrisa blir Vi tilordner dette i MATLAB: 5 1 1
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
Detaljer1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
DetaljerIntroduksjon til Matlab. Håvard Berland
Introduksjon til Matlab Håvard Berland INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG NTNU 2003 INNHOLD iii Innhold 1 Introduksjon 1 2 Oppstart av MATLAB 1 3 Skalarer, vektorer og matriser 1 4 Grunnleggende operasjoner
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Funksjoner og plotting
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Funksjoner og plotting I denne øvinga skal vi først og fremst lære oss å lage plott i MATLAB. Ellers minner vi om at der er mange MATLAB-ressurser tilgjengelig.
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerMATLAB for STK1100. Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar Enkel generering av stokastiske variabler
MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar 2014 1 Enkel generering av stokastiske variabler MATLAB har et stort antall funksjoner for å generere tilfeldige tall. Skriv help stats
DetaljerObligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMAT 1110: Obligatorisk oppgave 1, V-07: Løsningsforslag
1 MAT 111: Obligatorisk oppgave 1, V-7: Løsningsforslag Oppgave 1. a) Vi deriverer på vanlig måte: ( e (sinh x) x e x ) = = ex + e x = cosh x, ( e (cosh x) x + e x ) = = ex e x = sinh x Enkel algebra gir
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2
DetaljerEksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45
DetaljerTall, vektorer og matriser
Tall, vektorer og matriser Kompendium: MATLAB intro Tallformat Komplekse tall Matriser, vektorer og skalarer BoP(oS) modul 1 del 2-1 Oversikt Tallformat Matriser og vektorer Begreper Bruksområder Typer
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerMATLAB for MAT 1110. Klara Hveberg og Tom Lindstrøm
MATLAB for MAT 1110 av Klara Hveberg og Tom Lindstrøm Dette lille notatet gir en kort innføring i MATLAB med tanke på behovene i MAT 1110. Hensikten er å gi deg litt starthjelp slik at du kommer i gang
DetaljerLøsningsforslag. Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6. Oppgave 1
Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6 Løsningsforslag Oppgave 1 x 1 +6x +x 3 = 8 x 1 +3x = 3x 1 +9x +x 3 = 10. a) Totalmatrise: 6 1 8 1 3
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Å lage et plott a) Vi kan tilordne vektoren slik i kommandovinduet: ` x=0:.1:7*pi;' Legg merke til at det ikke er opplagt hvordan
DetaljerMAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09
MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerLøsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerBYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 35
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 35 Oppgave 1 Halveringsmetoden a) x = cos x x cos x = 0 eller f(x) = 0 med f(x) = x cos x b) f(0) = 0 cos 0 = 1 < 0 og f(π/2) = π/2 cos(π/2) = π/2 > 0. f(x)
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 m-ler
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 m-ler I denne øvinga skal vi lære oss å lage m-ler små tekstler som vi bruker i MATLAB-sammenheng. Der nst to typer m-ler: Funksjonsler og skript. Funksjonsler
DetaljerMAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10
DetaljerMatlab og Bilder. Øyvind Ryan September 2008
Matlab og Bilder Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Kommandoer for bilder Med Matlab kan dere lese inn bilder, vise frem bilder, og skrive bilder til l: imread A = imread('filnavn.fmt','fmt')
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerI dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.
Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner
DetaljerBYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 37 og 38
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 37 og 38 Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) f(x) = x 2 f(2) = 2 2 = 4 f (x) = 2x f (2) = 2 2 = 4 Likninga for tangenten kan vi nne ved formelen
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript I denne øvinga skal vi lære oss mer om skript. Et skript kan vi se på som et lite program altså en sekvens av kommandoer. Til sist skal vi se
DetaljerFor det aktuelle nullpunktet, som skal ligge mellom 0 og, kan vere eit greit utgongspunkt.
Innlevering nr. 3 Løysingsforslag Oppgåve 1 Vi plottar funksjonen først: x=-2:1e-2:3; y=x.*sin(x)-1; plot(x,y,'linewidth',2) hold on plot([0 pi/2],[0 0],'rx') grid on For det aktuelle nullpunktet, som
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i = 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1 + 4 + 9 + 16 + 5 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385.
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9. Løsningsforslag
Matematikk 000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Løsningsforslag Oppgave Integral som en sum av rektangler a) 3 f(x) dx = 3 x 3 dx = [ ] 3 3 + x3+ = [ x 4 ] 3 4 = 34 = 20. 4 b) 0.5 f() + 0.5 f(.5) +
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerControl Engineering. MathScript. Hans-Petter Halvorsen
Control Engineering MathScript Hans-Petter Halvorsen Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie, Parallel,
DetaljerMatlab for MAT1110 (revidert versjon våren 2010) Klara Hveberg, Tom Lindstrøm, og Øyvind Ryan
Matlab for MAT1110 (revidert versjon våren 2010) Klara Hveberg, Tom Lindstrøm, og Øyvind Ryan 2. september 2010 Innhold Innledning 3 1. Det aller enkleste 4 Oppgaver til Seksjon 1.............................
DetaljerDAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert
DetaljerOppgave 4. Med utgangspunkt i eksemplet gitt i oppgaveteksten er veien ikke lang til følgende kode i Matlab/Octave:
Oppgave 4 Med utgangspunkt i eksemplet gitt i oppgaveteksten er veien ikke lang til følgende kode i Matlab/Octave: 1 %% FY1005 / TFY4165, Oving 1, Oppgave 4, del 1 2 %% 3 %%R = gasskonstanten = 8.314 J/
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerOm plotting. Knut Mørken. 31. oktober 2003
Om plotting Knut Mørken 31. oktober 2003 1 Innledning Dette lille notatet tar for seg primitiv plotting av funksjoner og visualisering av Newtons metode ved hjelp av Java-klassen PlotDisplayer. Merk at
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. i=1
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 2 Innleveringsfrist: 19. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 2 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Skriptet starter med å la Sum være 0, så blir det for hver iterasjon
DetaljerGenerelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK)
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 3 Læringsmål og pensum Mål Lære om programmering og hva et program er Lære om hvordan
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i = 1 + + 3 + 4 + + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1 + 4 + 9 + 16 + + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 38. c) I
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
DetaljerMatematikk Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 Intervallhalveringsmetoden med mer Løsningsforslag Oppgave 1 Fakultetfunksjonen a) I forrige leksjon så vi hvordan vi kan bruke for-løkker til å utføre
DetaljerLineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerBYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 40
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 40 Løsningsforlsag Oppgave 1 Lagring og innlesing av data a) Dersom vi skriver save Filnavn, blir alle variable vi har lagra til ei l som heter 'Filnavn'.
DetaljerMATLAB for MAT 1110. (revidert versjon våren 2008) Klara Hveberg og Tom Lindstrøm
MATLAB for MAT 1110 (revidert versjon våren 2008) av Klara Hveberg og Tom Lindstrøm Dette lille notatet gir en kort innføring i MATLAB med tanke på behovene i MAT 1110. Hensikten er å gi deg litt starthjelp
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Oppgave 1 Halveringsmetoden igjen a) I skriptet vårt fra leksjon 6 skal altså linje 16 erstattes med while abs(b-a)>1e-3. Når vi gjør
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Hva gjør disse skriptene? a) Skriptet lager plottet vi ser i gur 1. Figur 1: Plott fra oppgave 1 a). b) Om vi endrer skriptet
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker I dette settet skal vi introdusere for-løkker. Først vil vi bruke for-løkker til å regne ut summer. Vi skal også se på hvordan vi kan implementere
DetaljerObligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO
Obligatorisk oppgave nr1 MAT-1120 Lars Kristian Henriksen UiO 21. oktober 2014 Oppgave 1 i) Minste k slik at P k kun har positive elementer er 6. Finner x* ved å laste oslo.m, for så å skrive følgende
DetaljerLineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som
Detaljer