Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne

Transkript

1 Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene λ = og λ 2 = 2. Egenvektorer for λ er vektorene på formen (formelt sett for y 0): ( ) x y = y ( ) 2/3 og for λ 2 ( ) x = y y ( ) (b) Finn den generelle løsningen på systemet av differensialligninger y 2 y = 4y 2y 2 y 2 = 3y +y 2 Svar: Fra forrige punkt, og oppsettet for løsning av systemer, får vi ( ) ( ) ( ) y 2/3 = A e t + B e 2t (c) Finn den løsningen av systemet fra (b) som har startverdiene y (0) = 4 og y 2 (0) = 5. Hvordan oppfører løsningen seg når argumentet t? Svar: Ved å sette inn startverdiene får vi ligningssystemet ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 y (0) 2/3 A ( 2/3) B = = A e 0 + B e 0 = 5 y 2 (0) A + B Det gir at A = 3 og B = 2. Løsningen er altså y = 2e t 2e 2t og y 2 = 3e t + 2e 2t. Når t går både e t 0 og e 2t 0, slik at y og y 2 begge går mot null. 2. Denne kodesnutten bruker Newtons metode til å finne en tilnærmet løsning til ligningen cos x = tan 2x

2 - x = 0 2- feilgrense = while ( abs(cos(x) - tan(2*x) ) > feilgrense) 4- x = x - (cos(x) - tan(2*x)) / (-sin(x) -2/cos(2*x)^2) 5- end (a) Forklar hva som skjer i løkken. Svar: x endres fra sin nåværende verdi til verdien x f(x)/f (x), der f(x) = cos x tan 2x. Dette er nullpunktet til tangenten til f i den forrige verdien, og vi håper at dette ligger nærmere et nullpunkt enn verdien vi startet med. Løkken kjøres inntil vi treffer så godt som feilgrensen angir. (b) Kjøring av kodesnutten gir x = 0,3747. Ved å endre linje til x = -3 får vi 3,563. Forklar hvorfor dette skjer. Svar: Ved å endre startverdien kan vi nærme oss ulike nullpunkter i Newtons metode. Siden både cosinus og tangens er periodiske, vil det nødvendigvis være uendelig mange løsninger (så snart det er ), og vi har bare funnet en annen. (c) Modifiser kodesnutten til å finne en tilnærmet løsning til e x = 3x Svar: Vi bruker funksjonen f(x) = e x + 3x, siden et nullpunkt av denne er det samme som en løsning på ligningen. Da er f (x) = e x 2 x x = 0 2- feilgrense = while (abs(exp(sqrt(x)) + 3x)) > feilgrense) 4- x = x - (exp(sqrt(x)) + 3x) / (exp(sqrt(x))/(2*sqrt(x))+3) 5- end 3. (a) Løs ligningssystemet Svar: 2x + y = 3x + y = 2 ( ) ( ) x 3 = y 7 (b) Løs ligningssystemet x + 2y z = 3 2x 2z = 2 2

3 Svar: z er en parameter. Løsningen blir x y = 2 + z z 0 (c) Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssystemet får vi x + 5x 2 8x 3 + 6x 4 + 9x 5 = 23 x + 4x 2 4x 3 + 3x 4 + 6x 5 = 5 3x 2 2x 3 + x 4 + x 5 = 8 5x + 5x 2 0x 3 + 6x 4 + 2x 5 = Skriv opp løsningen på ligningssystemet. Svar: Her og i neste delspørsmål varr det en trykkfeil på eksamen. Der det stod x 6 skal det stå x 4. x 3 og x 5 er parametre. Løsningen er derfor x 2 3 x 2 x 3 x 4 = x x x (d) Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssystemet får vi x + 5x 2 8x 3 + 6x 4 + 9x 5 = 23 x + 4x 2 4x 3 + 3x 4 + 6x 5 = 5 3x 2 2x 3 + x 4 + x 5 = 8 5x + 5x 2 0x 3 + 6x 4 + 2x 5 = Skriv opp løsningen på ligningssystemet. (Merk at høyresiden i den siste ligningen er forandret fra forrige deloppgave.) 3

4 Svar: Siden det er en ledende ener i den siste søylen, er systemet inkonsistent (har ingen løsning). 4. I denne kodesnutten, som skal løse startverdiproblemet y = cos(x 2 y 2 ), y(0) = 4 over intervallet [0, 2] ved Eulers metode, er det tre ufullstendige kodelinjer. - deltax = 0.0; 2- N = 200; 3- x() = 0; 4- y() = [Fyll inn] 5- for i = 2:N 6- x(i) = [Fyll inn] 7- y(i) = [Fyll inn] 9- plot(x,y) (a) Fyll inn de tre ufullstendige kodelinjene. Svar: - deltax = 0.0; 2- N = 200; 3- x() = 0; 4- y() = 4; 5- for i = 2:N 6- x(i) = x(i-) + deltax; 7- y(i) = y(i-) + cos(x(i-)^2*y(i-)^2)*deltax; 9- plot(x,y) (b) Skriv et program som løser startverdiproblemet y = 2 x y, y(2) = 3,5 ved Eulers metode, over intervallet [2, 6]. Bruk også her deltax = 0.0. Svar: Her var det trykkfeil i oppgaveteksten, det skal stå Eulers metode, ikke Newtons metode. - deltax = 0.0; 2- N = 400; % endret linje 3- x() = 2; % endret linje 4- y() = 3.5; % endret linje 5- for i = 2:N 4

5 6- x(i) = x(i-) + deltax; 7- y(i) = y(i-) + (2-x(i-)^y(i-))*deltax; % endret linje 9- plot(x,y) (c) Skriv et program som løser startverdiproblemet y = y y + x, y(0) = 2, y (0) = 3 over intervallet [0, 2] ved Eulers metode. Bruk igjen deltax = 0.0. Svar: Vi skriver om til et system ved å sette z = y : Dermed blir svaret y = z z = y y + x = y z + x - deltax = 0.0; 2- N = 200; 3- x() = 0; 4- y() = 2; 5- z() = -3; 6- for i = 2:N 7- x(i) = x(i-) + deltax; 8- y(i) = y(i-) + z(i-)*deltax; 9- z(i) = z(i-)+(y(i-)*z(i-)+x(i-))*deltax; 0-end 5. Denne kodesnutten bruker trapesmetoden for å finne en tilnærmet verdi til,2 0,4 tan xdx. - n = 00; 2- a = 0.4; 3- b =.2; 4- Deltax = (b-a)/n 5- integralet = tan(sqrt(a)); 6- for x = a + Deltax:Deltax:b - Deltax 7- integralet = integralet + 2 * (tan(sqrt(x))); 9- integralet = integralet + tan(sqrt(b)); 0- integralet = Deltax*integralet/2 5

6 (a) Forklar hva som skjer i kodelinjene 5,7 og 9. Svar: Trapesmetoden virker ved å regne ut arealet av trapeser mellom to kontrollpunkter, og arealet av hvert trapes er x (f(x i ) + f(x i+ ))/2. I linje 5 brukes den første f-verdien, som bare er med i det første trapeset. I linje 7, inne i løkken, går vi gjennom alle de f-verdiene i mellom, som brukes to ganger (som høyre og som venstre endestolpe i et trapes), derfor ganget med 2. I linje 9 brukes den siste f-verdien, som bare er med i det siste trapeset. (b) Modifiser programmet (bruk fortsatt n = 00) til å finne en tilnærmet verdi til sin x 2 dx. Svar: - n = 00; 2- a = 0; 3- b = ; 4- Deltax = (b-a)/n 5- integralet = sin(a^2); 6- for x = a + Deltax:Deltax:b - Deltax 7- integralet = integralet + 2 * sin(x^2); 9- integralet = integralet + sin(b^2); 0- integralet = Deltax*integralet/2 0 (c) Kjøring av kodesnutten i forrige punkt gir, om du har gjort det korrekt, 0 sin x2 dx = 0, Hvor mange desimaler er rett? Det er oppgitt at feilen ved trapesmetoden er begrenset av K (b a)/2n 2 om f (x) K for alle x i integrasjonsintervallet. Hint: Forklar hvorfor du kan bruke K = 6. Svar: Vi deriverer f(x) = sin x 2 to ganger, og får f (x) = (2x cos x 2 ) = 2 cos x 2 4x 2 sin x 2 På intervallet [0, ] er x, sin x 2 og cos x 2 mindre enn eller lik i absoluttverdi, slik at 2 cos x 2 4x 2 sin x = 6 Derfor kan vi bruke K = 6. Feilen er dermed begrenset av K (b a)/2n 2 = = som betyr at de tre første desimalene er rett, mens 2-eren på fjerde plass er litt usikker (verdien er mellom 0,307 og 0,3027). 6