MAT292 Oppgaver i matematikk 2016

Transkript

1 MAT292 Oppgaver i matematikk 2016 Krav til forkunnskaper for MAT292 er kursene MAT111, MAT112, MAT121, MAT131 og MAT212. I tillegg har hvert enkelt prosjekt ytterligere krav til forkunnskaper angitt ved kurs som må være gjennomført eller som kan leses parallellt. Innhold 1 Fra kontinuitet til deriverbarhet 2 2 Topologisk dataanalyse og fiskehelse. 2 3 Matroider: Avhengighet og uavhengighet 3 4 Galois Theory 4 5 Geometrien til kurver i planet og i tredimensjonalt rom 4 6 Nerven til en kategori. 5 7 Kompakte Riemannske flater 5 8 Spektralsekvenser 6 9 Complex Tori 7 10 Burnside-Witt ringer Løsbarhet av femtegradsligninger 8 12 Konvekse polytoper og Ehrhartpolynomer 9 13 A convenient category of topological spaces 9 14 Hvor mange forskjellige typer integraler finnes det? Geometrisk målteori 11 1

2 16 Elliptic Curves Simplisielle komplekser og Biersfærer En klasse i Hochschild homologi Hochschildhomologi 13 1 Fra kontinuitet til deriverbarhet Veileder: Irina Markina Epost: Irina.Markina@math.uib.no Forkunnskaper: MAT211. Beskrivelse: I det første kalkulus kurset lærer vi hva en kontinuerlig funksjon er, og hvorfor det er nyttig. I denne bachelor oppgaven skal vi lære at det er forskjellige nivåer av kontinuitet. Noen eksempler er Hölder og Lipschitz kontinuerlige funksjoner, uniform og absolutt kontinuerlige funksjoner. Avhengig av graden av kontinuitet, vil vi se at noen av de kontinuerlige funksjonene ikke har noen deriverte i noe punkt, mens noen kontinuitetsbegrep garanterer eksistens av deriverte i nesten alle punkter. Hvis vi deriverer en funksjon og deretter tar den primitive, kan vi miste informasjon om den opprinnelige funksjonen. Hvor mye mister vi? Hvordan avhenger det av kontinuitetsegenskapene? Alle disse spørsmålene vil vi besvare i denne oppgaven. [1] D.M. Bressoud. A radical approach to Lebesgue s theory of integration. Cambridge Univ Pr, [2] Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted. Counterexamples in analysis. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, Corrected reprint of the second (1965) edition. [3] Lawrence C. Evans and Ronald F. Gariepy. Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, Topologisk dataanalyse og fiskehelse. Veileder: Morten Brun Epost: morten.brun@math.uib.no Forkunnskaper: MAT242 eller MAT243. Det vil være en fordel å ha fulgt MAT244. Beskrivelse: Denne oppgaven er en invitasjon til å bli med på oppstarten av et nytt tverrfaglig forskningsprosjekt på hvordan torsk reagerer på forskjellige miljøgifter. Et av de matematiske bidragene til dette prosjektet er topologisk dataanalyse der metoder fra algebraisk topologi brukes for å analysere mønstre i store datamengder. I dette tilfellet er 2

3 det genetisk respons på miljøgifter. Forskjellen til tradisjonelle statistiske metoder er at algebraisk topologi legger vekt andre typer av mønstre. Det matematiske verktøyet denne oppgaven vil fokusere er persistent homologi. Hva lærer du: Du lærer hvordan genetisk informasjon kan analyseres ved hjelp algoritmer som beregner homologi. Alt etter interesse kan der fokuseres mest på enten teori eller praktiske anvendelser. [1] G. Carlsson. Topology and data. Bull. Amer. Math. Soc. 46 (2009), Se også 3 Matroider: Avhengighet og uavhengighet Veileder: Gunnar Fløystad Epost: Gunnar.Floystad@math.uib.no Forkunnskaper: MAT220 Algebra, MAT221 Diskret matematikk er også til hjelp men ingen forutsetning. Beskrivelse: Matroider er en av de mest suksessfulle abstraheringer i kombinatorikken. To ganske forskjellige men rike kilder til matroider er følgende: Gitt en mengde av vektorer i et vektorrom. De delmengdene som består av lineært uavhengige vektorer, danner en matroide. Merk at hvis vektorrommet har dimension n, så er n den største kardinaliteten til en mengde av uavhengige vektorer. Vi sier da at den tilhørende matroide har rang n. Gitt en graf. Delgrafene som består av trær danner mengdene i en matroide. Hvis grafen er sammenhengende med n hjørner, vil et maksimalt tre i grafen ha n 1 kanter. Matroiden har da rang n 1. Oppgaven består i å gi grunnleggende egenskaper til matroider og studere en rekke forskjellige eksempler på matroider, bl.a. matroider av transversaler, matroider fra koder, og lattice sti matroider. Nylig har matroider også vist seg å være den naturlige settingen for å generalisere en del fundamentale teoremer i konveks geometri som Caratheodorys og Hellys teoremer. Kanskje blir det også anledning til å se litt på dette. Hva lærer du: I kombinatorikk er det et vell av strukturer som studeres. Du ser hvordan en enkel abstrakt struktur, matroider, kan gripe essenser i mange mer konkrete strukturer. Du får også innblikk i nyere utvikling i konveks geometri. 3

4 [1] Joseph Bonin An introduction to matroid theory through lattice paths, jbonin/introvialpm.pdf [2] James Oxley Matroid theory, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Second edition, (2011) vol. 21. [3] G.Kalai, R.Meshulam, A topological colorful Helly theorem, Advances in Mathematics, 191 (2005), [4] G. Gordon, J. McNulty, Matroids: A geometric introduction, Cambridge University Press, Galois Theory Veileder: Sofia Tirabassi Epost: Sofia.Tirabassi@math.uib.no Forkunnskaper: MAT220 Algebra. MAT224 Kommutativ algebra er også fint men ikke noe krav. Beskrivelse: Galois Theory is one of the most important part of modern algebra. In this project the student will familiarize with the relationships between group theory and field theory. Solvability by radicals of polynomials of degree greater than 4 and feasibility of classical constructions with ruler and compass will be discussed. Litteratur: The main reference is Cox s book: Galois Theory. 5 Geometrien til kurver i planet og i tredimensjonalt rom Veileder: Irina Markina Epost: Irina.Markina@math.uib.no Forkunnskaper: MAT211. Beskrivelse: Denne bachelor oppgaven inviterer deg til den spennende verdenen av differensialgeometri, som er en fin kombinasjon av topologi og analyse. Vi vil begynne med et svært enkelt objekt, en kurve i planet, og deretter se på kurver i tredimensjonalt rom. Vi vil studere hvordan man definerer en kurve riktig, hva det betyr å være glatt, og hva en kurves lengde, hastighet og krumning er. For en lukket kurve vil vi forstå forholdet mellom omkretsen og arealet begrenset av kurven. Noen av kurvene kan være veldig merkelige. De kan for eksempel være så lange at de dekker et positivt areal, men likevel holde seg innenfor et kvadrat i planet. På slutten vil vi lære hvordan egenskapene til en overflate kan beskrives ved hjelp av egenskapene til kurver som ligger på denne overflaten. 4

5 [1] Manfredo P. do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., Translated from the Portuguese. [2] Victor Andreevich Toponogov. Differential geometry of curves and surfaces. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, A concise guide, With the editorial assistance of Vladimir Y. Rovenski. [3] John W. Rutter. Geometry of curves. Chapman & Hall/CRC Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, Nerven til en kategori. Veileder: Morten Brun Epost: morten.brun@math.uib.no Forkunnskaper: MAT242 eller MAT243. Det vil være en fordel å ha fulgt MAT244. Beskrivelse: Nervekonstruksjonen: Vi oppfatter ofte to (topologiske) rom som like hvis det finnes en homeomorfi mellom dem, det vil si en kontinuerlig funksjon med kontinuerlig invers. I det følgende kalles to rom som homotopiteoretisk like hvis der finnes en homotopiekvivalens mellom dem. Et klassisk teorem (se for eksempel Hatcher 4.G.3) sier at under visse betingelser på en overdekning av et rom er dette rommet homotopiteoretisk lik et rom, kalt nerven til overdekningen, som er dannet ved å lime sammen basale byggesteiner (simplekser) på en måte som er bestemt av hvilke endelige snitt av mengder i overdekningen som ikke er tomme. Dette er et eksempel på nerven til en kategori, nemlig kategorien gitt ved den partiell ordnede mengden av ikke-tomme snitt av mengder i overdekningen. Nerven til kategorier er en sentral konstruksjon i algebraisk topologi som har mange varianter og anvendelser. Hva lærer du: Du lærer grunnleggende kombinatoriske metoder i homotopiteori, som går under navnet simplisielle metoder med utgangspunkt i en enkel konstruksjon som har mange anvendelser. [1] A. Hatcher Algebraic Topology. Bull. Amer. Math. Soc. 46 (2009), Kompakte Riemannske flater Veileder: Andreas L. Knutsen Epost: Andreas.Knutsen@math.uib.no Forkunnskaper: MAT 213-Komplekse funksjoner, MAT220-Algebra og MAT243-Mangfaldigheitar (siste kan leses parallelt). 5

6 Beskrivelse:En Riemannsk flate er en to-dimensjonal reell mangfoldighet med en kompleks struktur på (som grovt sagt betyr at mangfoldigheten kan overdekkes med åpne mengder som er undermengder av de komplekse tall C). Disse er helt sentrale objekter i kompleks geometri og algebraisk geometri. Oppgaven vil gå ut på å presentere grunnleggende definisjoner, begreper og resultater om, samt eksempler på, kompakte riemannske flater, samt bevise noen sentrale teoremer, som f.eks. Riemann-Roch-teoremet eller Abels teorem. Anbefalt litteratur: [1] Forster, Otto; Lectures on Riemann surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 81. Springer-Verlag, New York-Berlin, [2] Narasimhan, Raghavan; Compact Riemann surfaces. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, [3] Miranda, Rick; Algebraic curves and Riemann surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 5. American Mathematical Society, Providence, RI, Spektralsekvenser Veileder: Bjørn Ian Dundas Epost: dundas@math.uib.no Forkunnskaper: Denne oppgaven krever solide forkunnskaper og en evne til å arbeide med abstrakte begrep for å være morsom. Du må ha tatt MAT224 og har du MAT244 kan du forstå de underliggende topologiske problemene. Da det teoretiske fundamentet kan virke avskrekkende om man er alene om det kan det være gunstig at to studenter samarbeider. Spektralsekvenser. Av frykt for at han kunne bli tvunget til å arbeide for fienden mens han var krigsfange under andre verdenskrig, fant franskmannen Jean Leray ( ) det best å skjule at han jobbet med fluiddynamikk og mekanikk. Istedet arbeidet han med emner som hadde vært perifere i hans arbeid så langt og i 1946 publiserte han en metode som senere har vært av stor betydning for resten av matematikken: spektralsekvenser. Spektralsekvenser er en smart måte å regne ut kompliserte homologigrupper litt ad gangen. Et enkelt eksempel kan være om du vil regne ut homologien til et rom X som du har bygget opp ved hjelp av underrom X 0 X 1 X n = X, og hvor du forstår homologien av alle kvotientene X i /X i 1. Spektralsekvensen snekrer sammen H (X) fra alle H (X i /X i 1 ) ene. Teorien har efter Leray modnet betraktelig, og et fullt studie av disse vil være for omfattende et Bachelorprosjekt. Derfor skal vi se på konkrete eksempler og bruke dette til å regne ut topologiske invarianter. Er vi riktig spenstige kan vi se på Jean-Pierre Serres (første Abelprisvinner) identifikasjon av kohomologigruppene til Eilenberg Mac Lane rom. Hva lærer du: Du lærer et viktig verktøy å kjenne hands on. Mestring av teknikkene kan være en god støtte for mange ambisiøse masteroppgaver i topologi eller algebra. 6

7 Litteratur: Lenkene fra [1] Wikipedia: Spectral sequences og referansene der gir en start. Derefter vil vi gå konkret til verks. 9 Complex Tori Veileder: Sofia Tirabassi Epost: Sofia.Tirabassi@math.uib.no Forkunnskaper: MAT243 Mangfoldigheter og MAT242 Topologi. Beskrivelse: Complex tori are, after projective space, the most studied among the complex varieties. In this class the student will familiarize herself/himself with their topology and the geometry of bundles over them. The main reference book will be Debarre s Complex Tori Litteratur: The main reference book will be Debarre s Complex Tori. 10 Burnside-Witt ringer. Veileder: Morten Brun Epost: morten.brun@math.uib.no Forkunnskaper: MAT220. Beskrivelse: Dette prosjektet går ut på å studere en bestemt sammenheng mellom (endelige) grupper og kommutative ringer. Enhver endelig mengde kommer med et naturlig tall, nemlig antallet av elementer i mengden. Omvendt kan de naturlige tall konstrueres ut fra endelige mengder. Ved å sette alle mengder med samme antall får vi de naturlige tall. Bemerk at to endelige mengder har samme antall elementer hvis og bare hvis det finnes en bijektiv avbildning mellom dem. Multiplikasjon av naturlige tall svarer til kartesisk produkt- og addisjon svarer til union av mengder. Gitt en endelig gruppe G kan vi se på endelige G-mengder, det til sige endelige mengder som gruppen G opererer på. Vi kan konstruere en tallmengde ved å sette to endelige G-mengder lik dersom det finnes en bijeksjon fra den ene til den annen som er kompatibel med G-operasjonene. Hvis G er den trivielle gruppe med et element har vi bare gjentatt konstruksjonen av de naturlige tall. På samme måte som vi konstruerer ringen av hele tall ut fra de naturlige tall kan vi konstruere en ring ut fra denne nye tallmengde. Denne ringen kalles Burnside ringen. Vi skal generalisere Burnside ringen til en konstruksjon kaldt Burnside Witt ringen. Når vi har konstruksjonen på plass skal vi se at det karakteristiske polynom fra lineær algebra kan oppfattes som et element i en bestemt Burnside Witt ring. Faktisk skal vi se at Burnside Witt ringen gir informasjon om linear algebra over vilkårlige kommutative ringer. Der er fler måter å avslutte prosjektet på. En mulighet er å utlede formler fra klassisk kombinatorikk fra egenskaper av Burnside Witt ringen. En annen mulighet er å lage eksplisitte beregninger av Burnside Witt ringer. Endelig er det mulig å slutte av med å gå dypere inn i konstruksjonen av Burnside Witt ringen og generalisere den. 7

8 Selv om Burnside Witt ringen ikke skulle bli brukt i det videre studium, er metodene i dette projekt viktig innenfor både algebraisk geometri og topologi. Dersom det ønskes kan prosjektet føres nært til aktiv forskning. Innenfor algebraisk geometri brukes Burnside Witt ringen til å studere fenomener i positiv-karakteristikk. I den algebraiske topologi er Burnside Witt ringen tett knyttet til algebraisk K-teori. Hva lærer du: 1. Gruppeteori (Burnsides formel etc. se Fraleigh s bok som brukes i MAT220) 2. Linear algebra over kommutative ringe (K-teori av endomorier) 3. Kombitonarikk (Möbius inversjonsformel) [1] J. Elliott Constructing Witt-Burnside rings. Adv. Math. 203 (2006), [2] A. Dress, C. Siebeneicher The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. Adv. in Math. 70 (1988), no. 1, Løsbarhet av femtegradsligninger Veileder: Andreas L. Knutsen Epost: Andreas.Knutsen@math.uib.no Forkunnskaper: MAT220-Algebra. Beskrivelse: Niels Henrik Abel ( ) er kanskje mest kjent for å ha bevist at den generelle femtegradsligningen ikke kan løses med de elementære operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdragning. Dette er idag kjent som Abel-Ruffini teoremet (siden den italienske matematikeren og legen Paolo Ruffini leverte et langt, men ikke helt holdbart, bevis for resultatet omtrent 25 år før Abel). Det var imidlertid den franske matematikeren Évariste Galois ( ) som utviklet den generelle teorien som gir nødvendige og tilstrekkelige betingelser for at en ligning av vilkårlig grad kan løses ved radikaler, dvs. ved de elementære oparasjonene nevnt over. Teorien er idag kjent som Galoisteori og baserer seg på kroppsutvidelser og gruppeteori. I oppgaven skal studenten gjøre rede for denne teorien og bruke den for å vise et konkret eksempel på en (femte)gradsligning som ikke kan løses ved radikaler. Anbefalt litteratur: [1] Fraleigh, John B. A first course in abstract algebra. Addison- Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont [2] Stewart, Ian; Galois theory. Fourth edition. CRC Press, Boca Raton, FL,

9 12 Konvekse polytoper og Ehrhartpolynomer Veileder: Gunnar Fløystad Epost: Forkunnskaper: MAT211 Reell analyse og MAT220 Algebra. MAT224 Kommutativ algebra vil også være nyttig men er ikke en forutsetning. Beskrivelse: I planet er trekanter, firkanter, femkanter osv. eksempler på konvekse polytoper. I rommet har man mange flere som prismer, kuber, pyramider, oktaedere, ikosaedere osv. Så kan man gå videre og definere konvekse polytoper i et vilkårlig n-dimensionalt rom R n. Oppgaven består først i å definere og gi grunnleggende egenskaper til konvekse polytoper. Vi skal også se på en del forskjellig naturlige måter å konstruere polytoper, spesielt polytoper konstruert fra partielt ordnete mengder. Til en konveks polytop P kan vi assosiere et polynom, Ehrhartpolynomet E(n), som teller opp antall punkter med heltallskoordinater i poltopen når du har forstørret polytopen n ganger. Ehrhartpolynomet gir en del viktig invarianter for polytopen. Blant annet kan vi lese volumet av polytopen fra dette polnomet. Vi studerer nærmere Ehrhartpolynomet for en del klasser av polytoper og se hva vi kan lære av dette. Hva lærer du: Du blir kjent med konvekse polytoper, en grunnleggende geometrisk/kombinatorisk struktur som studeres og anvendes i mange felter i matematikk. Du lærer litt om samspillet mellom algebra og geometri. [1] G.Ziegler Lectures on polytopes, Springer, GTM, [2] R.Stanley Two poset polytopes Discrete and computational geometry, vol.1 (1986), p [3] M.Beck, D.Pixton The Ehrhart polynomial of the Birkhoff polytope 13 A convenient category of topological spaces Veileder: Christian Schlichtkrull Epost: Christian.Schlichtkrull@math.uib.no Forkunnskaper: MAT242 Topologi. Beskrivelse: Given topological spaces X and Y there are two fundamental constructions that one can make: on the one hand we have the product space X Y and on the other hand we have the topological space C(X,Y) of continuous maps from X to Y. For many purposes it is important that these operations are compatible in the sense that there is a homeomorphism C(X Y,Z) = C(X,C(Y,Z)) 9

10 for a triple of topological spaces X, Y, and Z. Unfortunately, this is not always true when one is working in the usual category of topological spaces. For this reason it is often more convenient to work with the category CGH of compactly generated Hausdorff spaces. In this category products and function spaces are always related by such a homeomorphism which in categorical terms can be expressed by saying that CGH is a closed symmetric monoidal category. The goal of this project is to (i) understand the general notion of a closed symmetric monoidal category, (ii) study the category CGH of compactly generated Hausdorff spaces with the cartesian product, and (iii) study the category CGH of based compactly generated Hausdorff spaces with respect to the smash product. [1] S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Second edition, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer Verlag, New York, [2] N. E. Steenrod, A convenient category of topological spaces, Michigan Math. J. 14, (1967). [3] N. P. Strickland, The category of CGWH spaces, Lecture Notes. 14 Hvor mange forskjellige typer integraler finnes det? Veileder: Irina Markina Epost: Irina.Markina@math.uib.no Forkunnskaper: MAT211. Det er en fordel å ha MAT215, men det er ikke nødvendig. Beskrivelse: I kalkulus kurset lærer vi om Riemann integralet, som er ganske nyttig, ikke vanskelig å konstruere, men ganske vanskelig å bruke i mer avansert matematikk. Man kan spørre om det finnes andre konstruksjoner av integraler og svaret er ja. I denne bachelor oppgaven vil vi studere ulike konstruksjoner av integraler, som brukes i forskjellige områder av matematikken. Disse ulike begrepene om integraler kan også være nyttige i anvendt matematikk, sannsynlighetsteori, stokastisk analyse, finansmatematikk, fysikk og andre anvendelser. [1] M. Carter and B. van Brunt. The Lebesgue-Stieltjes integral. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, A practical introduction. [2] William O. Ray. Real analysis. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, [3] David M. Bressoud. A radical approach to Lebesgue s theory of integration. MAA Textbooks. Cambridge University Press, Cambridge,

11 15 Geometrisk målteori Veileder: Irina Markina Epost: Forkunnskaper: MAT211 og Mat215. Beskrivelse: Dette er en avansert oppgave for studenter på bachelornivå. Vi vil begynne med å repetere begrepet om et mål på en mengde. Stort sett vil vi være interessert i ytre mål, som forskjellige typer kapasiteter. Begrepet kapasitet er rent analytisk og kommer fra forsøk på å anslå størrelsen på mengder som er neglisjerbare for løsninger av partielle differensialligninger. På den andre siden, er dette nært knyttet til den såkalte Hausdorff dimensjonen til disse mengdene. Hausdorff mål er et interessant tema i seg selv. Vi vil se flere eksempler på mengder der dimensjonen er en brøk, og vi vil lære å derivere mål. [1] J. Yeh. Problems and proofs in real analysis. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, Theory of measure and integration. [2] Frank Morgan. Geometric measure theory. Academic Press, Inc., Boston, MA, A beginner s guide. [3] Pertti Mattila. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, volume 44 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, Fractals and rectifiability. [4] Kenneth Falconer. Techniques in fractal geometry. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, Elliptic Curves Veileder: Sofia Tirabassi Epost: Sofia.Tirabassi@math.uib.no Forkunnskaper: MAT220 Algebra og minst en av MAT224 Kommutativ algebra eller MAT243 Mangfoldigheter. Beskrivelse: An elliptic curve is a non singular curve in the plane given by the equation y 2 = x 3 +ax+b. This project is meant as an introduction to the theory of elliptic curves. The student will study their compactification, their j-invariant and the group law governing their points. Litteratur: There are many books on elliptic curves, and we will find a suitable one. 11

12 17 Simplisielle komplekser og Biersfærer Veileder: Gunnar Fløystad Epost: Forkunnskaper: MAT220 Algebra og MAT224 Kommutativ algebra. Beskrivelse: En graf består av hjørner og kanter mellom hjørnene. Så kan man bygge opp to-dimensjonale figurer ved også å ta i bruk trekanter. Bruker man tetraedere får man også romfigurer. Slik kan man fortsette. Slike objekter kaller simplisielle komplekser. De kan oppfattes både som topologiske, geometriske og kombinatoriske objekter. Men man kan også assosiere en ring, Stanley-Reisner ringen, til et slikt simplisielt kompleks. Oppgaven består i å presentere grunnleggende algebraiske egenskaper til Stanley-Reisner ringen og hvordan disse er relatert til topologien i det simplisielle komplekset. Så vil vi se på noen nyere klasser av simplisielle komplekser som er trianguleringer av sfærer av vilkårlige dimensjoner. Dette er klassen av Biersfærer. Disse vil bli definert og studert i en del enkle tilfeller, og kanskje blir det også mulighet til å se på hvordan disse er generalisert i forskjellige retninger. Hva lærer du: Du får innblikk i et svært aktivt felt som studerer samspillet mellom algebra og kombinatoriske strukturer. Du ser hvordan trianguleringer av sfærer kan beskrives rent rent algebraisk, og får innblikk i hvordan en omfattende klasse av trianguleringer av sfærer relativt nylig har dettet ut av algebraisk maskineri. Denne oppgaven krever litt innsats men du får et godt innblikk i samspillet mellom algebra, kombinatorikk og topologi. [1] R. Stanley Combinatorics and commutative algebra, Birkhuser Verlag. [2] A.Björner et. al. Bier spheres and posets, Discrete and compuational mathematics, vol. 34 (2005), p [3] S.Murai Spheres arising from multicomplexes, Journal of combinatorial theory, Series A, vol. 118, (2011), p En klasse i Hochschild homologi Veileder: Bjørn Ian Dundas Epost: dundas@math.uib.no Forkunnskaper: Du må ha tatt MAT224. Transpotensen. Oppgaven tar mål av seg til å innføre studenten i Hochschild homologi gjennom konkret å vise at et objekt kjent som transpotensen gir en klasse i Hochschild homologi. Dette er meg bekjent ikke beskrevet på denne formen før, og spiller en rolle i forbindelse med konkrete beregninger for ringer opp til homotopi. 12

13 Hochschild homologi er en homologiteori beregnet på å studere ringer, bimoduler, og deres algebraiske egenskaper. For meg er den viktig fordi den gir en første tilnærming til en uhyre rik invariant som heter algebraisk K-teori og som beskriver kompleksiteten i alt fra høy-dimensjonale mangfoldigheter til funksjonalanalyse. Hva lærer du: Du lærer grunnleggende simpliselle metoder og homologisk algebra som er nyttige verktøy i algebra og topologi. Litteratur: [1] Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN Hochschildhomologi Veileder: Morten Brun Epost: morten.brun@math.uib.no Forkunnskaper: MAT220 er helt nødvendig. Deler av MAT224 som kan tilegnes ved å følge kurset parallelt med prosjektet. Beskrivelse: Homologi er et viktig verktøy i algebraisk topologi som forteller om et roms kvalitative egenskaper. Løst sagt forteller homologi hvor mange hull der er i et rom. Hochschild homologi er en slags homologi for ringer som kan brukes til å lage homologiteori for noe som kalles ikke-kommutative rom. Kort fortalt er ethvert pent rom bestemt av den kommutative ringen av kontinuerlige reelle funksjoner på rommet. Hochschild homologi av denne ringen kan brukes til a beregne rommets homologi. En ikke-kommutativ ring som ligner på en ring av reelle funksjoner kalles noen ganger et ikke-kommutativt rom, og Fieldsmedaljevinneren Allan Connes har brukt Hochschildhomologi til å definere homologi for slike ikke-kommutative rom. Dette prosjektet går ut på å først forstå Hochschildhomologi, og dernest beregne Hochschildhomologi av enkle kommutative ringer. Prosjektet avsluttes med å variere på definisjonen av Hochschildhomologi og gjenta beregningene for disse variasjonene. For eksempel beregninger av syklisk homologi. Hva lærer du: 1. Simplisielle metoder, 2. Homologisk algebra. [1] J-L. Loday Cyclic homology. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 301. Springer-Verlag, Berlin,