1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer"

Transkript

1 Notat XX for MAT Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer 1.1 Aksiomer Vi betrakter en mengde R, utstyrt med to avbild- Algebraiske aksiomer. ninger: addisjon { R R R, (x, y) x + y. { R R R, multiplikasjon (x, y) xy. (1) og to 0 and 1. Vi betraketer følgende påstander, hvor vi kvantiserer over R: x, y, z (x + y) + z = x + (y + z) add. is assosiativ x x + 0 = 0 + x = x 0 er neutral for add. x y x + y = y + x = 0 add. har invers x, y x + y = y + x add. er kommutativ x, y, z (x + y)z = xz + yz mult. distribuerer z(x + y) = zx + zy over add. x, y, z (xy)z = x(yz) mult. er assosiativ x x1 = 1x = x 1 er neutral for mult. x, y xy = yx mult. er kommutativ (2) Definition 1.1. Når R er utstyrt med addisjon, multiplikasjon og to elementer 0 og 1 slik at disse aksiomene er tilfredsstilt sier vi at R er en ring. En ring R sies å være triviell dersom 0 = 1. Da har vi R = {0} Definisjon 1.1. Hvis R ikke er triviell og hvis vi i tillegg har: x, y xy = 0 = (x = 0 y = 0) mult. har integritet (3) sier vi at R er et integritetsdomene. Hvis R ikke er triviell og hvis vi i tillegg har: x 0 y xy = yx = 1 mult. har invers (4) sier vi at R er en kropp. Kropper er integritetsdomener. Proposisjon 1.1. I en ring har vi: Dersom 0 også er et neutralt element for addisjon har vi 0 = 0. Gitt x R finnes det en og bare én y slik at x+y = 0. Denne y noteres x. Vi skriver x y = x + ( y). 1

2 Vi har (x + y) = x y. Vi har x + z = y + z x = y. Vi har ( x)y = x( y) = (xy) og ( x)( y) = xy. Dersom 1 også er et neutralt element for multiplikasjon har vi 1 = 1. Gitt x R, vi sier at x er invertibel dersom det finnes y slik at xy = yx = 1. I såfall er y entydig bestemt av x og skrives x 1. Hvis x er invertibel er x invertibel og ( x) 1 = x 1. Hvis x og y er invertible et xy invertibel og (xy) 1 = y 1 x 1. Her er et eksempel på en kropp: Eksempel 1.1 (Binær kropp). La B = {0, 1}. Definer addisjon og multiplikasjon ved: (5) Man kan sjekke at dette er en kropp ved enumerasjon av tilfeller, eller et smartere triks. Noter at = 0, i motsetning til hva vi er vant med. Vi kaller dette for den binære kroppen. Ordensrelasjoner. Vi definerer ordener generelt: Definition 1.2. La A være en mengde utstyrt med en relasjon som gitt (x, y) påstår at x y som uttales «x er mindre enn y». Vi betrakter følgende påstander: x x x refleksiv x, y, z (x y y z) = x z transitiv x, y (x y y x) = x = y antisymetrisk x, y x y y x total (6) Adjektivene til høyre brukes om relasjonen. Vi sier at er : en orden når de tre første aksiomene er tilfredsstilt. en total orden når alle aksiomene er tilfresstilt. For eksempel er likhet en orden på A, men den er ikke total med mindre A bare har ett element, eller ingen. Hvis en orden ikke nødvendigvis er total, kan vi poengtere det ved å si at den er partiell. 2

3 Eksempel 1.2. La A være en mengde. På P(A) er inklusjon (som gitt X, Y A påstår X Y ) en partiell orden. Vi skriver x < y for påstanden (x y x y). Det uttales «x er strengt mindre enn y». Vi skriver x y and x > y for de respektive utsagnene y x og y < x. Vi noterer at når er en orden, tilfredsstiller også alle askiomene for å være en orden. Vi kaller for den motsatte ordenen til. Definisjon 1.2. La A være utstyrt med en ordensrelasjon som vi skriver. La B være en delmengde av A og la a A. Vi sier at: a er en nedre skranke for B dersom ( x B a x). a er et minimalt element i B dersom a B og ( x B x a = x = a). Dette kan også skrives a B og ( x B (x < a)). a er et minimum i B dersom a B og ( x B b x). Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives min B. Vi kan også si at a er det minste elementet i B. Øvre skranke, maksimalt element, maksimum (max B, største element), defineres tilsvarende. Vi sier også at: a er et infimum av B dersom det er et maksimum i mengden av nedre skranker til B. Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives inf B. Supremum er definert på tilsvarende måte og skrives sup B når det eksisterer. Definisjon 1.3. La (A, ) og (B, ) være to mengder og la f : A B være en avbildning. Vi sier at f er voksende dersom: og strengt voksende dersom: x, y A x y = f(x) f(y), (7) x, y A x < y = f(x) < f(y). (8) Avtagende og strengt avtagende defineres ved å reversere ulikhetene blant bildene. Vi sier at f er monoton hvis den er voksende eller avtagende. Ordnet ring. Definition 1.3. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en ring. Anta videre at R er utstyrt med en total orden. Vi sier at ordenen er kompatibel med addisjon og multiplikasjon når følgende holder: x, y, z x y = x + z y + z (9) x, y (0 x 0 y) = 0 xy En ordnet ring er en ring utstyrt med en total orden som er kompatibel med addisjon og multiplikasjon. 3

4 Proposisjon 1.2. In en ordnet ring har vi: Vi har x 0 x 0. For alle x, x Hvis x y og z 0, så zx zy. I en ordnet ring, hvis x er invertibel har vi x > 0 hvis og bare hvis x 1 > 0 Hvis x 0, y 0 og x + y = 0, har vi x = y = 0. Den positive konen i en ordnet ring R er delmengden: Proposisjon 1.3. Vi har : R + = {x R : x 0} (10) I en ordnet ring har vi R + + R + R +, R + R + R + R + R + = {0}. Dersom P er en delmengde av en ring R med egenskapene: P +P P, P P P og P P = { } vil egenskapen definert ved x y y x P gjøre R til en totalt ordnet ring. 1.2 Vanlige tallsystemer Hele og naturlige tall. Kort fortalt utgjør de hele tallene en ordnet ikke triviell ring der den positive konen tillater induksjonsbevis. Vi skal utbrodere dette litt. La R være en ring. Definition 1.4. Vi sier at en delmengde A av R er induktiv dersom 0 A og for alle x A har vi x + 1 A. For eksempel er R induktiv, og i en ordnet ring er R + induktiv. Vi definerer: N = {x R : for alle induktive delmengder A av R, x A}. (11) Proposisjon 1.4. N er induktiv og inkludert i alle induktive delmengder av R. 4

5 Med andre ord: N er den minste induktive delmengden til R (i forhold til inklusjonsordenen). Dette kan brukes som følger: Anta at P er en egenskap definert over N. Anta at P (0) er sant og at for alle n N, hvis P (n) er sant så er P (n + 1) også sant. Da er mengden A = {n N : P (n)}, (12) induktiv. Fra forrige proposisjon følger det at N A, slik at N = A. Dermed, for alle n N har vi P (n). Vi definerer: N = {n N : n 0}. (13) Proposisjon 1.5. Når R er en ordnet ikke-tirviell ring har vi at: { N N,, (14) n n + 1. er bijektiv og at : N = {x N : x 1}. (15) Aksiom 1.1. De hele tallene er en totalt ordnet ring Z slik at den positive konen N er den minste induktive delmengden til Z. Proposisjon 1.6. De invertible elementene i Z er 1 og 1. Teorem 1.7. Dersom R er en ring finnes det en og bare en avbilding Φ : Z R slik at for all x, y Z: Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y), Φ(0) = 0, (16) Φ(xy) = Φ(x)Φ(y), Φ(1) = 1, (17) Hvis R i tillegg er ordnet vil Φ være voksende. Reelle tall. For de reelle tallene er det siste og mest interessante aksiomet: Axiom 1.1 (SUP). En hver ikke tom delmengde av R som har en øvre skranke har en minste øvre skranke (supremum). Bemerkning 1.1. I en ordnet kropp vil SUP-aksiomet implisere INF-aksiomet, som sier at enhver ikke-tomme delmengde som har en nedre skranke har en største nedre skrake (infimum). Vi velger en totalt ordnet kropp med SUP-aksiomet og kaller det for R. De naturlige tallene N er den minste induktive delmengden av R. De hele tallene er: Z = {x R : n N x + n N}, (18) de rasjonale tallene er: Q = {x R : m Z n Z x = m/n}. (19) 5

6 Bemerkning 1.2 (Konstruksjon av C fra R). På R 2 definerer vi addisjon og multiplikasjon ved (universelle kvantorer): (a, b) (a, b ) = (a + a, b + b ), (20) (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + ba ). (21) Da er (0, 0) neutral for addisjon og (1, 0) neutral for multiplikasjon. Aksiomene for å utgjøre en kropp er tilfredsstilt. Et element a i R kan bli identifisert med elementet (a, 0) av R 2. Vi definerer i = (0, 1) og bemerker at i i + (1, 0) = (0, 0), eller, hvis man foretrekker: i 2 = 1. Med disse konvensjonene er det vanlig å skrive (a, b) som a + bi. Vi kaller a den reelle delen av a + bi mens b er den imaginære delen. 6

7 Exercises Exercise 1.1. Illustrate the difference between minimum and minimal elements, in the context of Example 1.2. Is there any difference between these concepts in totally ordered sets? Exercise 1.2. On N consider the relation which given x, y in N asserts that x divides y, written x y and defined by: (i) Show that this defines a partial order. x y z N zx = y. (22) (ii) Let A be a finite subset of N. Relate the infimum and supremum of A to the notions of greatest common divisor and least common multiple. Exercise 1.3. Let A be a subset of R. Suppose that every map from A to R has the intermediate value property. Show that then A is an interval. Exercise 1.4. (i) Show that there is no total order on C compatible with addition and multiplication. (ii) Show that there is no total order on B compatible with addition and multiplication. Exercise 1.5. Consider the set A of elements of R of the form a + b 2 with a, b Q. (i) Check that A contains 0 and 1 and is stable under addition and multiplication. (ii) Show that these operations make A into a field. (iii) Check that A may be considered as an ordered field. Exercise 1.6. Let A be a nonempty set. We consider the inclusion relation on P(A). (i) Check that it is an order. Show that the order is total iff A is a singleton. (ii) Let A be a subset of P(A). Show that the infimum and supremum of A exist, and can be expressed in terms of unions and intersections. Exercise 1.7. Let R be the set of polynomial functions from R to R. Define a relation by, for all p, q in R: p q ( λ R x λ p(x) q(x)). (23) (i) Show that this defines a total order on R. (ii) If we equip R with function addition and multiplication, which algebraic axioms are satisfied? Is the order compatible with addition and multiplication? (iii) The Archimedian property would be that for all a, b in R which are strictly greater than 0, there exists n N such that b na. Is it satisfied? 7

8 Exercise 1.8. Let F be a totally ordered field. We shall show that if every continuous f : F F has the intermediate value property, then F satisfies the SUP-axiom. (i) We may define absolute value in F as in R. We may then define what it means for a map f : F F to be continuous. Clarify these two assertions. (ii) Suppose that A is a subset of F which is nonempty and bounded above, but without supremum. Define: B = {x F : y A x y} (24) Show that the characteristic function of B is continuous. (iii) Conclude. Exercise 1.9. Define and show the existence of the decimal expansion of real numbers. 8

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Bijective (= one-to-one and onto) Bijektiv (= en-til-en og på) Bisection principle (= lion hunting) Halveringsmetoden

Bijective (= one-to-one and onto) Bijektiv (= en-til-en og på) Bisection principle (= lion hunting) Halveringsmetoden English-Norwegian Dictionary for MAT1300 Absolutely convergent Absolutt konvergent Affine linear Affint lineær Approximation Tilnærming Bijective (= one-to-one and onto) Bijektiv (= en-til-en og på) Bisection

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS

UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt ksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Eksamensdag:

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

Oppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ.

Oppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ. Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. juni 2010 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.

Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Eksamensag: Tirsag 3. juni 2008

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Date of exam: Friday, May

Detaljer

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere

Detaljer

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. april 2008 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Onsdag 6. desember

Detaljer

buildingsmart Norge seminar Gardermoen 2. september 2010 IFD sett i sammenheng med BIM og varedata

buildingsmart Norge seminar Gardermoen 2. september 2010 IFD sett i sammenheng med BIM og varedata buildingsmart Norge seminar Gardermoen 2. september 2010 IFD sett i sammenheng med BIM og varedata IFD International Framework for Dictionaries Hvordan bygges en BIM? Hva kan hentes ut av BIM? Hvordan

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle

Detaljer

Algebraiske strukturer

Algebraiske strukturer MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme

Detaljer

Kap. 2. Ragnar Soleng. August 27, Oppgave Oppgave 8 side 120. Oppgave 9 side 120

Kap. 2. Ragnar Soleng. August 27, Oppgave Oppgave 8 side 120. Oppgave 9 side 120 Kap. Ragnar Soleng August 7, 01 Oppgave.1. a) Vi har {0,3,6,9,1} = {3x x er et heltall mellom 0 og 4}. b) Vi har { 3,, 1,0,1,,3} = {x x Z x 3}. c) Vi har {m,n,o,p} = {x x er et bokstav mellom m og p}.

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MA2501 Numerical methods

MA2501 Numerical methods MA250 Numerical methods Solutions to problem set Problem a) The function f (x) = x 3 3x + satisfies the following relations f (0) = > 0, f () = < 0 and there must consequently be at least one zero for

Detaljer

Oppgave 1a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet.

Oppgave 1a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet. TDT445 Øving 4 Oppgave a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet. Nøkkel: Supernøkkel: Funksjonell avhengighet: Data i en database som kan unikt identifisere (et sett

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag 8. desember

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Mathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2

Mathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2 Mathematics 4Q Name: SOLUTIONS. (x + 5)(x +5x) 7 8 (x +5x) 8 + C [u x +5x]. (3 x) (3 x) + C [u 3 x] 3. 7x +9 (7x + 9)3/ [u 7x + 9] 4. x 3 ( + x 4 ) /3 3 8 ( + x4 ) /3 + C [u + x 4 ] 5. e 5x+ 5 e5x+ + C

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Utsatt eksamen i: ECON2915 Vekst og næringsstruktur Eksamensdag: 07.12.2012 Tid for eksamen: kl. 09:00-12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember

Detaljer

INF2820 Datalingvistikk V2012. Jan Tore Lønning & Stephan Oepen

INF2820 Datalingvistikk V2012. Jan Tore Lønning & Stephan Oepen INF2820 Datalingvistikk V2012 Jan Tore Lønning & Stephan Oepen ENDELIGE TILSTANDSTEKNIKKER OG REGULÆRE UTTRYKK I DATALINGVISTIKK 17. januar 2012 2 Naturlige språk En mann kjøpte en bil av en mann som hadde

Detaljer

STILLAS - STANDARD FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD

STILLAS - STANDARD FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD 1 Bakgrunnen for dette initiativet fra SEF, er ønsket om å gjøre arbeid i høyden tryggere / sikrere. Både for stillasmontører og brukere av stillaser. 2 Reviderte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON360/460 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON360/460 - Resource allocation and economic policy Eksamensdag: Fredag 2. november

Detaljer

ECON3120/4120 Mathematics 2, spring 2004 Problem solutions for the seminar on 5 May Old exam problems

ECON3120/4120 Mathematics 2, spring 2004 Problem solutions for the seminar on 5 May Old exam problems Department of Economics May 004 Arne Strøm ECON0/40 Mathematics, spring 004 Problem solutions for the seminar on 5 May 004 (For practical reasons (read laziness, most of the solutions this time are in

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 9, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

Viktige begrep i kapittel 1.

Viktige begrep i kapittel 1. Viktige begrep i kapittel 1. 1. Egenskaper ved relasjoner. La R A A være en binær relasjon. (a) At R er refleksiv betyr at x (x, x) R. (b) At R er symmetrisk betyr at x y ((x, y) R (y, x) R ). (c) At R

Detaljer

LO118D Forelesning 5 (DM)

LO118D Forelesning 5 (DM) LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en

Detaljer

Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye)

Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) INF234 Er du? Er du? - Annet Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 24. mars 2006 Tid for eksamen: 13.30 16.30

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER

SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER Matematisk institutt Binære monotone systemer Grunnelementer i modell: X i = I(ite komponent virker), i = 1, 2, 3 φ(x) = I(Systemet virker) = X 1 X 2 + X

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 7. juni 2007 Tid for eksamen: 9.00 12.00

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

INF1800 Forelesning 2

INF1800 Forelesning 2 INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken

Detaljer

Syntax/semantics - I INF 3110/ /29/2005 1

Syntax/semantics - I INF 3110/ /29/2005 1 Syntax/semantics - I Program program execution Compiling/interpretation Syntax Classes of langauges Regular langauges Context-free langauges Scanning/Parsing Meta models INF 3/4-25 8/29/25 Program

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

M A M M estre A mbisiøs M atematikkundervisning. Novemberkonferansen 2015

M A M M estre A mbisiøs M atematikkundervisning. Novemberkonferansen 2015 M A M M estre A mbisiøs M atematikkundervisning Novemberkonferansen 2015 Ambisiøs matematikkundervisning En undervisningspraksis hvor lærerne engasjerer seg i elevens tenkning, stiller spørsmål, observerer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag:

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells

TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells Forelesning 5: Wave Physics Interference, Diffraction, Young s double slit, many slits. Mansfield & O Sullivan: 12.6, 12.7, 19.4,19.5 Waves! Wave phenomena! Wave equation

Detaljer

Oppgåvesettet er på 3 sider med oppgåvene Engelsk omsetjing på sidene 4-6.

Oppgåvesettet er på 3 sider med oppgåvene Engelsk omsetjing på sidene 4-6. UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i emnet MNF130 Diskrete strukturar Fredag 21. mai 2010, kl. 09-12, altså 3 timar. NYNORSK Ingen tillatne hjelpemiddel. Oppgåvesettet

Detaljer

En repetisjon hrj høst 2009

En repetisjon hrj høst 2009 En repetisjon hrj høst 2009 Data Maskin Data Syntaktiske objekter - endelige Mengde { } Multimengde [ ] Liste < > Symbol String = Liste av symboler Vi kan alltid finne ut om to syntaktiske objekter er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519 Eksamen 2. desember 2014 Eksamenstid 4 timar IR201712 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1.......................................................................................

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Mengdelære Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Læreboken Mengder Definisjon

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære

Detaljer

Del-hele relasjonen har disse tre egenskapene, og vi tar den som fundamental.

Del-hele relasjonen har disse tre egenskapene, og vi tar den som fundamental. Mereologi FIL4100 Mereologi er en formell teori om del-hele relasjonen. Del-hele relasjonen < er en refleksiv, antisymmetrisk og transitiv relasjon (en såkalt partiell ordning). NB, Simons starter med

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 8. juni 2012 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet

Detaljer

EN Skriving for kommunikasjon og tenkning

EN Skriving for kommunikasjon og tenkning EN-435 1 Skriving for kommunikasjon og tenkning Oppgaver Oppgavetype Vurdering 1 EN-435 16/12-15 Introduction Flervalg Automatisk poengsum 2 EN-435 16/12-15 Task 1 Skriveoppgave Manuell poengsum 3 EN-435

Detaljer

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert

Detaljer

KROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal.

KROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. KROPPEN LEDER STRØM Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. Hva forteller dette signalet? Gå flere sammen. Ta hverandre i hendene, og la de to ytterste personene

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Semantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.

Semantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon. INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b},

Detaljer

Løsningsforslag oblig. innlevering 1

Løsningsforslag oblig. innlevering 1 Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,

Detaljer

HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN

HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN EKSAMEN I FAGET STE 6243 MODERNE MATERIALER KLASSE: 5ID DATO: 7 Oktober 2005 TID: 900-200, 3 timer ANTALL SIDER: 7 (inklusiv Appendix: tabell og formler) TILLATTE

Detaljer

The exam consists of 2 problems. Both must be answered. English

The exam consists of 2 problems. Both must be answered. English The exam consists of 2 problems. Both must be answered. English Problem 1 (60%) Consider two polluting firms, 1 and 2, each of which emits Q units of pollution so that a total of 2Q units are released

Detaljer

Dagens tema: Eksempel Klisjéer (mønstre) Tommelfingerregler

Dagens tema: Eksempel Klisjéer (mønstre) Tommelfingerregler UNIVERSITETET I OSLO INF1300 Introduksjon til databaser Dagens tema: Eksempel Klisjéer (mønstre) Tommelfingerregler Institutt for informatikk Dumitru Roman 1 Eksempel (1) 1. The system shall give an overview

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag

Detaljer

EXAM TTM4128 SERVICE AND RESOURCE MANAGEMENT EKSAM I TTM4128 TJENESTE- OG RESSURSADMINISTRASJON

EXAM TTM4128 SERVICE AND RESOURCE MANAGEMENT EKSAM I TTM4128 TJENESTE- OG RESSURSADMINISTRASJON Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for telematikk EXAM TTM4128 SERVICE AND RESOURCE MANAGEMENT EKSAM I TTM4128 TJENESTE- OG RESSURSADMINISTRASJON Contact person /

Detaljer

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag) Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann

Detaljer

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata

Detaljer

Hvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter:

Hvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter: Hvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter: dag.syversen@unit4.com Denne e-guiden beskriver hvordan du registrerer en reiseregning med ulike typer utlegg. 1. Introduksjon 2. Åpne vinduet

Detaljer