Symmetri i skolegeometrien

Transkript

1 Odd Tore Kaufmann Symmetri i skolegeometrien I -97 har symmetri fått en mye større vektlegging enn i de foregående mønsterplanene, og temaet forekommer på alle klassetrinnene. Definisjon av symmetri: En symmetri for en figur er en avbildning som avbilder figuren på seg selv. Vi har ulike typer symmetri: punkt-, bånd- og plansymmetri; det som vi ved en fellesbetegnelse kan kalle mønstre. Allerede i 1. klasse foreslås det at elevene skal «eksperimentere med å lage forskjellige mønstre» (KU, 1996: s. 159). Betraktninger av mønstre og dets redskaper (med redskaper menes isometrier eller kongruensavbildning) fortsetter således på hvert årstrinn til man i 10. klasse ender opp med at elevene blant annet skal «utføre og beskrive geometriske avbildninger, slik som parallellforskyvning, speiling og rotasjon og kombinasjoner av dem, og utnytte geometriske avbildninger til å skape og analysere mønstre» (KU, 1996: s. 170). I veiledningsheftet til -97 når det gjelder matematikk (KU, 1998) begrunner de denne vektleggingen med at geometri handler om visuelle forestillinger. Området er sterkere vektlagt i den nye planen (-97) enn i tidligere planer, spesielt de utforskende sidene ved geometri. igurer skal beskrives og flyttes, og mønstre skal lages og analyseres. Her er rike muligheter for tilknytning til håndverks- og håndarbeidstradisjoner i lokalsamfunnet og til andre fag, f. eks kunst og håndverk. Mønster til undring og motivasjon Med mønstre kan man arbeide på mange forskjellige nivåer i skolen. Elevene kan begynne med å eksperimentere og lage mønstre. Deretter kan de gå videre med å undersøke og finne ut av egenskapene til mønstrene, og til slutt analysere mønstre. -97 presenterer denne ideen innenfor dette temaet. I følge -97 skal elevene eksperimentere med og lage forskjellige mønstre (1. klasse), de skal undersøke mønstre slik vi møter dem i omgivelsene (2. klasse), trene på å forskyve og speile for å lage mønstre (4. klasse), finne ut av egenskapene til mønstre (5. klasse), og utnytte geometriske avbildninger til å skape og analysere mønstre (10. klasse). Vi skal se litt nærmere på hvordan vi kan arbeide med mønstre i grunnskolen. Vi skal se på symmetrien til begrensede figurer (punktsymmetri) og symmetrien til et mønster som gjentas langs en linje (båndmønster). Mens vi her ser bort fra mønster som gjentas utover planet (plansymmetri). Begynnelsen for denne tenkningen er en ny tangenten 2/2002 9

2 type likhet. Når vi sier at to mønstre er like tenker vi ikke på det visuelle, for et ruglete mønster og et glatt, rundt mønster kan være like bare de har samme symmetrien. Eksempler på dette kan du se nedenfor. Punktsymmetri: a) to rotasjonssymmetrier. De har to rotasjoner (180 og 360 ) som gjør at figurene avbildes på seg selv. igurene under punkt b) har tre rotasjonssymmetrier (rotasjon 120, 240 og 360 ). Ingen av disse figurene har speilsymmetri. Det har derimot figurene under c) og d). Med speilsymmetri menes at en figur kan speiles på seg selv om en linje. De to som tilhører c) har to rotasjonssymmetrier og i tillegg to speilsymmetrier. igurene som hører til d) har tre rotasjons- og tre speilsymmetrier. igurene fra a) til d) er forskjellige sett ut fra symmetribegrepet. Båndsymmetri: b) a) c) d) or å analysere disse mønstrene trenger vi matematiske redskaper. Redskaper som brukes er de fire kjente isometriene (kongruensavbildningene) speiling, rotasjon, translasjon og glidespeiling. Definisjon på en isometri er en avbildning som er slik at alle avstander er bevart. Bruker vi kongruensavbildning som et grunnlag for å befeste likhet, vil de to figurene under punkt a) være like siden de begge har 10 b) Hvilke isometrier er slik at de avbilder mønstre med båndsymmetri på seg selv? igurene under punkt a) har begge translasjon (parallellforskyvning) langs båndet og speiling om vertikale speillinjer. Selv om båndmønstrene ikke ser like ut, sier vi at de tilhører samme symmetrigruppe. Dette er fordi begge båndene har de samme isometrier som avbilder båndet på seg selv. igurene under punkt b) tilhører samme symmetrigruppe da disse har translasjon langs båndet og speiling om både hori- 2/2002 tangenten

3 sontale og vertikale speillinjer. Som en konsekvens av speilingene får vi også rotasjon på 180º om speilaksenes skjæringspunkter som en symmetri båndene i b) har. Selv om vi visuelt kan ha uendelig mange forskjellige båndmønstre, vil et båndmønster kunne klassifiseres innenfor syv ulike symmetrigrupper. Vi har matematisk sett altså syv forskjellige typer båndmønstre. or nærmere beskrivelser av de ulike typer båndsymmetri, se for eksempel ockwood & Macmillian (1978) eller Borgersen (1996). Dersom vi ser nærmere på matematikken i disse mønstrene er det verdt å nevne to sentrale setninger: De fire forskjellige typene isometrier er tilstrekkelig til å beskrive alle symmetriene til ethvert mønster. En kongruensavbildning i planet kan alltid beskrives som en kombinasjon av disse fire typene (speiling, rotasjon osv) av avbildninger. Dersom et mønster har to eller flere speillinjer må vi også ha andre isometrier. Dette fører oss over på kombinasjoner av isometrier. Kombinasjoner av isometrier I -97 for 10. klasse står det at elevene skal «utføre og beskrive geometriske avbildninger, slik som parallellforskyvning, speiling og rotasjon og kombinasjoner av dem, og utnytte geometriske avbildninger til å skape og analysere mønstre» (KU, 1996: s. 170). Kombinasjoner av geometriske avbildninger (isometrier) er første gang beskrevet eksplisitt i en læreplan. Gå tilbake til figurene med punktsymmetri. Vi har sett at figurene med speilsymmetri også har rotasjonssymmetri. Vil det alltid være slik? Klarer du å lage en figur med speilsymmetri som ikke har rotasjonssymmetri? Dette bringer oss over til kombinasjoner av isometrier. Hvorfor må enhver figur med to (eller flere) speillinjer som skjærer hverandre også ha rotasjoner? a oss illustrere med et par eksempler på kombinasjoner av isometrier. Eksempel 1 tangenten 2/ (f) m (f') n (f'') Bokstaven speiles om linja m slik at vi får en speilvendt (f ). Denne speiles om linja n slik at vi får bokstaven lengst til høyre (f ). Vi kan erstatte disse to avbildningene (speiling om to linjer) med en annen avbildning. Det vil være en parallellforskyvning fra f til f. Vi ser at dersom vi setter sammen to speilinger med parallelle speillinjer vil vi få en parallellforskyvning. Parallellforskyvningsvektoren vil være det dobbelte av avstanden mellom speillinjene. Eksempel 2: Bokstaven speiles om speillinja m og vi får en speilvendt (l ). Denne speiles så om speillinja n til ett nytt bilde av bokstaven (l ). Vi kan også erstatte disse to avbildningene (speiling om linjene m og n) med en annen avbildning. Det vil være en rotasjon fra l til l. Vi ser

4 l'' skal trene på å forskyve (translasjon) og speile for å lage mønstre. l m l' n Verdien av å benytte symmetri i skolen Symmetri har en bredere nytteverdi enn å kunne skape og analysere mønstre ved hjelp av kongruensavbildningene som redskaper. Symmetri kan gi økt forståelse for den generelle geometrien, men også økt forståelse for andre emner i matematikken. Nedenfor vises det derfor til slike resultater uten at jeg kommer til å kommentere dette nærmere: at dersom vi setter sammen to speilinger der speillinjene skjæres får vi en rotasjon. Rotasjonssenter vil være skjæringspunktet mellom speillinjene, og rotasjonsvinkel vil være det dobbelte av vinkelen mellom speillinjene. Se også Kirfels artikkel Aktiviteter med speil i dette nummeret. lere kombinasjoner av isometrier går jeg ikke inn på her, men de er ikke vanskelige å finne ut av. or nærmere beskrivelse av disse, se for eksempel Coxford, Usiskin & Hirschhorn (1994) eller Breiteig & Venheim (1998). Eksempel 2 gir forklaringen til og kan benyttes til å vise at antall speillinjer i en figur med punktsymmetri er likt med antall rotasjoner. Dette er et resultat elevene kan få erfare på et tidligere tidspunkt enn 10. klasse, hvor de skal lære om kombinasjoner av isometrier. Derimot synes jeg ikke lærebøkene er flinke nok til å bruke utfordringene i mønsterdesign til å fremkalle matematiske resultater som for eksempel dette. Eksempel 1 og 2 forklarer også årsaken til at båndmønstrene under punkt a) har translasjon, og grunnen til at båndmønstrene til punkt b) har rotasjon. Ser vi dette resultatet i henhold til -97 står det der at elever i 4. klasse 12 Siden symmetri kan defineres ut fra handlinger (brettinger, forskyvninger, rotasjoner) og disse resultatene enkelt kan framstilles ved tegning og konstruksjon, er emnet ideelt for en praktisk og oppdagende læring. Handlingene og representasjonene er intuitive, derfor har symmetri egenskaper til å skape en intuitiv tilnærming til geometrien (Usiskin & Coxford (1972), Thomas m.fl. (1978), Küchemann (1981), Dessart & Suydam (1983), Okolica & Macrina (1992) og Geddes & ortunato (1993). Symmetri, som regler om sammensetninger av isometrier, sørger for bedre innsikt i matematisk struktur. Dette gjelder særlig i gruppestrukturen, der mønster kan organiseres i grupper, mens de individuelle isometrier har matriser. Symmetri hjelper til med å knytte bånd mellom geometri og algebra (Usiskin & Coxford (1972), Thomas (1978) og Küchemann (1981). -97 inneholder ikke abstrakt algebra, så båndene mellom symmetri og algebra kan ikke realiseres fullt ut i grunnskolen. Symmetri er funksjoner og kan sørge for nyttige anvendelser av funksjonsbegrepet. Andre områder i skolematematikken kan 2/2002 tangenten

5 ha vanskeligheter med å vise betydningen av funksjoner. I geometri kan funksjoner virkelig bli nyttige (Coxford (1973). Usiskin (1972) testet high school-studenter i USA og fant ut at ved å gjennomføre et geometrikurs basert på symmetri ble elevenes standard geometriske prestasjoner bedre, men forskjellen var ikke stor nok til å konkludere med dette. Klein (1972) testet elever i tenth grade i USA og konkluderte at det er mulig å danne et kurs basert på symmetri uten at det går ut over elevenes framgang i standard plangeometri, og at elevene viste mer interesse i et kurs basert på symmetri. itteratur Borgersen, H.E. (1996). Emner i geometri. Kristiansand: Høgskolen i Agder. Breiteig, T., & Venheim, R. (1998). Matematikk for lærere; Bind 1. Oslo: Tano Aschehoug. Coxford, A.. (1973). Geometry in the mathematics curriculum: A transformation approach to geometry. In The national council of teachers of mathematics (Ed.), Geometry in the mathematics curriculum. Reston, Virginia: The national council of teachers of mathematics. Coxford, A.., Usiskin, Z., & Hirschhorn, D. (1994). Geometry. Glenview: Scottoresman. Dessart, D.J., & Suydam, M.N. (1983). Classroom ideas from research on secondary school mathematics. Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics. Geddes, D., & ortunato, I. (1993). Geometry: Research and Classroom Activities. In D.T. Owens (Ed.), Research ideas for the classroom: Middle grades mathematics. (pp ). New York: Macmillan. Klein, M.P. (1972). Ph.D. The group of isometries in tenth year mathematics: A comparison of the relative effectiveness of two approaches to selected topics in geometry with respect to achievement in geometry and interest in mathematics. New York University; 230 p. Dissertation abstracts international. Küchemann, D. (1981). Reflections and rotations. In K.M. Hart (Ed.), Children s understanding of mathematics. ondon: Alden Press. KU (1996). ærerplanverket for den 10-årige grunnskolen. Oslo: NS. KU (1998). Veiledning til -97; Matematikk. Oslo: NS. ockwood, E.H., & Macmillian, R.H. (1978). Geometric symmetry. Cambridge: Cambridge university press. Okolica, S., & Macrina, G. (1992). Integrating Transformation Geometry into Traditional High School Geometry. Mathematics teacher, 85, Thomas R., esh D. & Mierkiewicz D. (1978). Students Understanding of Selected Transformation Geometry Concepts. Research/technical report. National Inst. of Education. Recent Research Concerning the Development of Spatial and Geometric Concepts. Information Reference Center (ERIC/IRC). Usiskin, Z.P., & Coxford, A.. (1972). A transformation approach to tenth-grade geometry. Mathematics teacher, 65, Usiskin, Z.P. (1972). The effect of teaching Euclidean geometry via transformations on student achievement and attitudes in tenth-grade geometry. Journal for research in mathematics education, 3, tangenten 2/