Algebra og tallforståelse fagdidaktiske spørsmål

Transkript

1 Algebra og tallforståelse fagdidaktiske spørsmål En innledning til gruppediskusjon Seminar for tilbydere av videreutdanning i matematikk Utdanningsdirektoratet Inger Christin Borge Universitetet i Oslo 14. april 2015

2 Bakgrunn «Norske elever er spesielt svake på oppgaver som er knyttet til det å bruke matematisk formalkompetanse som tall, aritmetikk og algebra.» (NOU 2014: 7, s. 50) (Grønmo, Onstad, Nilsen, Hole, Aslaksen & Borge, 2012)

3 Tall Prestasjoner på emneområder i matematikk på 4. trinn i TIMSS 2011 noen utvalgte land (ibid.).

4 Algebra Prestasjoner på emneområder i matematikk på 8. trinn i TIMSS 2011 noen utvalgte land (ibid.).

5 Oppgave i Tall (TIMSS 2011), middels nivå 8. trinn Norge 36 Finland 72 Sverige 53 Australia 71 Italia 65 Japan 87 Slovenia 76 Int.gj.snitt 65

6 Algebra, 8. trinn høyt nivå Norge 55 Finland 74 Sverige 62 Australia 62 Italia 51 Japan 76 Slovenia 58 Int.gj.snitt 47

7 Undervisningskunnskap i matematikk (Ball, Thames & Phelps, 2008) Fagkunnskap - allmenn - spesialisert - horisontkunnskap Fagdidaktisk kunnskap - faglig innhold og elever - faglig innhold og undervisning - læreplan

8 Eksempel (Lochhead & Mestre, 1988) Skriv en likning ved hjelp av variablene S og P som representerer påstanden: «Ved dette universitetet er det seks ganger så mange studenter som professorer.» Bruk S for antall studenter og P for antall professorer.

9 Utfordringer Fra tekst til algebraisk språk Misoppfatninger (tallregning, algebra) Struktur og betydning av algebraiske uttrykk Symbolmanipulasjon Diagnostisk undervisning.

10 Progresjon og dybde Progresjon (av lat. skride frem), utvikling, fremskritt. - Utvikling av ferdigheter i forhold til et mål; viktig å vite hvor elevene er, slik at undervisning kan tilpasses. Dybde («avstand til en overflate»); dyp forståelse; internalisering. - Krever tid, tålmodighet og modning; nytt stoff kobles på og kan gi bedre forståelse av gammelt stoff; se sammenhenger. Spiralprinsipp.

11 Elevers læring «Dybdelæring skaper vilkår for en god progresjon i elevenes læringsarbeid.» (Sten Ludvigsen, ppt Gardermoen sept. 2014) Dybdelæring øker muligheten for at elevene kan bruke sin forståelse til problemløsing i nye og ukjente sammenhenger (NRC 2000).

12 Dybdelæring (Learning knowledge deeply findings from cognitive science) (NOU 2014: 7; Sawyer 2006) Elevene relaterer nye ideer og begreper til tidligere kunnskap og erfaringer. Elever organiserer egen kunnskap i begrepssystemer som henger sammen. Elever ser mønstre og underliggende prinsipper. Elever vurderer nye ideer og knytter dem til konklusjoner. Elever forstår hvordan kunnskap blir til gjennom dialog og vurderer logikken i et argument kritisk. Elever reflekterer over sin egen forståelse og sin egen læringsprosess.

13 Fra NOU 2014: 7 (jf. Sawyer, 2006) Dybdelæring handler om at elevene gradvis utvikler sin forståelse av begreper og sammenhenger innenfor et fagområde. Dybdelæring innebærer at elevene bruker sin evne til å analysere, løse problemer og reflektere over egen læring til å konstruere helhetlig og varig forståelse.

14 Undervisning «Prealgebra» - variable størrelser - parenteser - regningsartenes prioritet - hoderegning - mønstre og regler - ulike måter å finne svar - likhetstegn Rekkefølge?

15 Læreplan (LK06) Eksempel: Kompetansemål i Tal og algebra: Etter 7. trinn: stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal Etter 10. trinn: løyse likningar og ulikskapar av første grad og likningssystem med to ukjende og bruke dette til å løyse praktiske og teoretiske problem Etter 1P: forenkle fleirledda uttrykk og løyse likningar av første grad og enkle potenslikningar Etter 1T: omforme uttrykk og løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både ved rekning og med digitale verktøy

16 Lærebøker I TIMSS 2011 fikk lærerne spørsmål om de bruker lærebok «som undervisningsgrunnlag», «som supplement» eller om de ikke bruker lærebok. I matematikk på både 4. og 8. trinn svarer over 90 % av lærerne at de bruker læreboka som undervisningsgrunnlag. Det internasjonale snittet her ligger rundt 75 %. (Grønmo, Borge & Onstad, 2013)

17 Som undervisningsgrunnlag Som supplement Bruker ikke lærebok Som undervisningsgrunnlag Som supplement Bruker ikke lærebok Som undervisningsgrunnlag Som supplement Bruker ikke lærebok Som undervisningsgrunnlag Som supplement Bruker ikke lærebok Bruk av lærebøker: lærersvar TIMSS Matematikk 4. trinn Naturfag 4. trinn Matematikk 8. trinn Naturfag 8. trinn Norge Sverige Int. gj.snitt Norge Sverige Int. gj.snitt

18 Eksempel (Grunntall 8-10) 8. trinn, kap. 10 (s. 289) Likninger og ulikheter «Mål for det du skal lære: løse likninger ved å bruke flyttebytteregelen, multiplikasjonsregelen og divisjonsregelen løse større likninger ved å bruke flere av reglene i samme likning kontrollere om løsningen er riktig løse ulikheter» 9. trinn, kap. 3 (s. 77) Likninger «Mål for det du skal lære: løse likninger ved å bruke flyttebytteregelen, multiplikasjonsregelen og divisjonsregelen løse større likninger ved å bruke flere av reglene i samme likning kontrollere om løsningen er riktig løse andregradslikninger» 10. trinn, kap. 3 (s. 107) Likninger, ulikheter og problemløsning «Mål for det du skal lære: løse likninger uten brøkledd løse likninger med ett eller flere brøkledd sette prøve på svaret i en likning løse andregradslikninger løse ulikheter bruke kreativitet og fantasi for å løse problemer bruke en likning for å løse problemer»

19 Åtte «high-leverage» undervisningspraksiser i matematikk (NCTM, 2014) Sette matematiske mål for å fokusere læringen Implementere oppgaver som fremmer resonnering og problemløsning Bruke og se sammenhenger mellom ulike matematiske representasjoner Legge til rette for meningsfylte matematiske diskusjoner Stille hensiktsmessige spørsmål Bygge flytende prosedyrekunnnskap fra begrepsforståelse Støtte elevenes produktive strev for å lære matematikk Få innsikt i elevenes forståelse og bruk denne

20 Eksempel (jf. Lee & Lee 2009) Finn tre positive hele tall som følger etter hverandre på tallinja slik at summen er 72. Bruk hvilken metode du vil.

21 Noen spørsmål: Tall og algebra i Matematikk 1 og 2; hva og hvordan? Hva bør være horisontkunnskap i tall og algebra for de som underviser på 1-7? 8-10? 11-13? Gode undervisningspraksiser og eksempler på varierte arbeidsmetoder i tall og algebra? Hvordan motivere algebra på ungdomstrinnet?

22 Referanser Bakke, I. N. & Bakke, B. Grunntall Drammen: Elektronisk Undervisningsforlag. Ball, D. L., Thames, M. H & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education 59, s Grønmo, L. S., Onstad, T., Nilsen, T., Hole, A., Aslaksen, H. & Borge, I. C. (2012). Framgang men langt fram. Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS Oslo: Akademika forlag. Grønmo, L. S., Borge, I. C. & Onstad, T. (2013), Hvor står vi hvor går vi? I Grønmo, L. S. & Onstad, T. (Eds.): Opptur og nedtur. Kap. 8. Oslo: Akademika forlag. Lee, P. Y. & Lee, N. H. (Eds.) (2009). Teaching Secondary School Mathematics. A Resource book. (Second Edition, Updated.) Singapore: McGraw-Hill Education. LK06. Læreplanverket for Kunnskapsløftet Læreplan i matematikk fellesfag. Nedlastet fra Lochhead, J. & Mestre, J. (1988), From words to algebra: Mending misconceptions. I Coxford, A. (Ed.) The ideas of algebra: K-12 (s ). Reston, VA: NCTM. NRC (National Research Council) (2000). How people learn. Brain, mind, experience and school. Expanded Edition. Washington D.C.: National Academy Press. NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) (2014). Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Reston, VA: NCTM. NOU (Norges offentlige utredninger) 2014: 7 Elevenes læring i fremtidens skole. Kunnskapsdepartementet. Sawyer, K. R. (2006). «Introduction: The New Science of Learning.» I Sawyer, K. R. The Cambridge Handbook of The Learning Sciences. New York: Cambridge Univeristy Press.