Bacheloroppgave i GLU G5BAC3900

Transkript

1 TIMSS 2011 og svake resultater i algebra på 8. trinn av Arne Hannisdal 612 Veileder: Lars Reinholdtsen, matematikk Bacheloroppgave i GLU G5BAC3900 Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning Fakultet for lærerutdanning og internasjonale studier Høgskolen i Oslo og Akershus Antall ord: 5633

2 Innholdsfortegnelse Innledning... 1 Metode... 2 Analyse av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS Lærebokanalyse... 4 Intervju av lærere... 4 Litteratur... 5 Teori... 5 Kort om TIMSS... 6 Resultatene i algebra i TIMSS Rammeverket og algebraoppgavene... 8 Læringsmuligheter... 8 Ulike profiler for matematisk innhold i undervisningen... 9 Resultater Funn ved klassifiseringen av de frigitte TIMSS-oppgavene Funn ved lærebokanalysen Funn i intervjuene Diskusjon av resultatene Kategori Vanskelighetsgrad Konklusjon og veien videre Oppsummering Litteraturliste Vedlegg Vedlegg 2:... 23

3 TIMSS 2011 og svake resultater i algebra på 8. trinn Innledning Denne oppgaven handler om TIMSS-undersøkelsen i 2011 og resultatene i algebra for norske elever på 8. trinn. TIMSS 2011 er en forkortelse for Trends in International Mathematics and Science Study og er en internasjonal undersøkelse som ble gjennomført i 63 land i 2011 (Grønmo et al. 2012). I følge Grønmo et al. (2012) ble elever på 8. trinn testet i matematikk i de fire emneområdene Tall, Algebra, Geometri og Statistikk, og oppgavene var basert på et felles rammeverk ut fra de deltagende lands læreplaner. Da resultatene fra TIMSS 2011 ble kjent i desember 2012, kunne vi i et avisoppslag lese at «Norske elever er dårligst i Europa på algebra» (Svartstad, 2012). De svake prestasjonene i algebra har etter den tid fått ekstra oppmerksomhet blant skoleforskere, politikere og lærere. Algebra blir sammen med aritmetikk/tall omtalt som «motoren» i matematikken (Grønmo, 2013a). Algebra er en generalisering av regning med tall, og grunnleggende kunnskaper og ferdigheter innen algebra er viktig for videre utdanning og bruk av matematikk i dagligliv og yrkesliv. Som fremtidig matematikklærer på 5 10 trinn i grunnskolen, ønsket jeg derfor å se nærmere på algebraoppgavene i TIMSS 2011 og mulige årsaker til at elevene presterte spesielt svakt innen emneområdet Algebra på denne testen. Jeg har derfor valgt denne problemstillingen: Hvordan var samsvaret mellom algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS 2011? Min hypotese er at det var manglende samsvar mellom type innhold (omtalt som kategori) og også vanskelighetsgrad på algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS Hypotesen ble valgt etter at jeg hadde lest om lav dekningsgrad i algebra, og at resultatene var så mye svakere på TIMSS 2011 i emneområdet Algebra, enn i de to andre emneområdene Tall og Statistikk. 1

4 I arbeidet med hypotesen har jeg gjennomført en analyse av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS Jeg har dessuten gjort en lærebokanalyse av de fire læreverkene som er markedsledende i matematikk på ungdomstrinnet og gjennomført intervjuer med fire matematikklærere på ungdomstrinnet. Mitt arbeid med hypotesen og problemstillingen bygger også på rapporter og artikler om TIMSS Metode Analyse av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 For å få innblikk i de algebraoppgavene elevene var blitt testet i, gjorde jeg en analyse av innhold (kategori) og vanskelighetsgrad for de 25 frigitte algebraoppgavene fra TIMSS Dette ble gjort for blant annet å kunne gjøre sammenligninger med kategori og vanskelighetsgrad på algebraoppgavene i lærebøkene på ungdomstrinnet. Jeg ønsket å undersøke om det var samsvar. De 25 oppgavene fra TIMSS 2011 er såkalt frigitte oppgaver. Omtrent halvparten av oppgavene frigis etter hver TIMSS-undersøkelse, mens resten av oppgavene holdes hemmelig for bruk i neste TIMSS-undersøkelse (Grønmo et al., 2012). I denne oppgaven går jeg ut fra at de frigitte algebraoppgavene var representative for det totale utvalget av algebraoppgaver i TIMSS Jeg klassifiserte de frigitte algebraoppgavene i tre kategorier: Mønster, Algebraiske uttrykk og Likninger/formler og funksjoner. Rammeverket for TIMSS 2011, som er basert på de deltakende lands læreplaner, har valgt disse tre kategoriene innen emneområdet Algebra (Mullis, Martin, Ruddock, O'Sullivan, & Preuschoff, 2009). Oppgavene ble klassifisert ut fra Rammeverkets beskrivelse av innhold, og dette innholdet er nærmere beskrevet i tabell 2 på side 8. Resultatet av klassifiseringen som viser hvor mange av oppgavene som var innen hver kategori er vist på side 10. Jeg vurderte dessuten vanskelighetsgraden for hver av de 25 frigitte algebraoppgavene, og klassifiserte dem med vanskelighetsgraden Lav, Middels eller Høy innen hver kategori. Jeg valgte å rangere oppgavene etter vanskelighetsgrad innen hver kategori ut fra hvilke matematikk-kunnskaper jeg mente var nødvendig for løse oppgavene. Matematikkkunnskapene er valgt ut fra hva jeg registrerte som aktuell kunnskap ved gjennomgang av de 2

5 frigitte algebraoppgavene i TIMSS Ved fastsettelsen av vanskelighetsgrad tok jeg også i betraktning hvor krevende det var å tolke problemstillingen i oppgaven ut fra for eksempel stor tekstmengde. Nærmere beskrivelse av hva jeg mener eleven må beherske av matematikkkunnskaper for hver kategori og vanskelighetsgrad er gitt i tabell 1. Resultatet av vurderingen av hvor mange av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 som var av vanskelighetsgraden Høy, Middel og Lav er vist i figur 2 på side 10. Tabell 1 Klassifisering av vanskelighetsgrad (Lav, Middels, Høy) og mitt grunnlag for klassifiseringen av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS Kategorier Vanskelighetsgrad Grunnlaget for klassifiseringen Mønster Lav Utvide enkle figurtall eller tallrekker Algebraiske uttrykk Likninger/ formler og funksjoner Middels Generalisere og utvide figurtall eller tallrekker Høy Formalisere, ved å lage et uttrykk som gir en hvilken som helst figur eller et hvilket som helst tall i tallrekken. Lav Sett inn og regn ut i enkle uttrykk Trekke sammen uttrykk Middels Kjenne til regneoperasjoners prioritering Multiplisere tall inn i en parentes som inneholder et uttrykk Sette opp tre etterfølgende uttrykk på en tallinje og trekke sammen Velge uttrykk til arealet av en figur Lage flerleddet uttrykk til situasjoner fra dagliglivet Høy Sett inn og regn ut for uttrykk som består av flere ledd, der et av leddene har en ukjent i nevneren Sette inn to tallpar (ett inneholder et negativt tall) for å finne hvilken av fire uttrykk der begge tallparene passer inn. Sammensatt oppgave som inkluderer algebraiske uttrykk Finne fellesnevner og trekke sammen brøker med ukjent i teller Velge uttrykk til arealet av en figur som består av flere deler, og der én del skal trekkes fra Lav (ingen oppgaver) Middels Sett inn og regn ut i likningssett Gjenkjenne en lineær funksjon ut fra tabell Høy Sammensatt oppgave der det må settes opp en likning Løse ulikhet 3

6 Lærebokanalyse Lærebøker har en sterk stilling i matematikkundervisningen på ungdomstrinnet. På 8. trinn svarer rundt 90 % av matematikklærerne i TIMSS 2011 at de brukte læreboka som undervisningsgrunnlag (Grønmo, Borge, & Onstad, 2013b). Jeg valgte derfor å gjøre en kartlegging av vanskelighetsgrad for algebraoppgavene på 8. trinn innen hver av de tre kategoriene i fire matematikkverk på ungdomstrinnet. Fra en matematikkredaktør (Espen Skovdal) ved Cappelen Damm fikk jeg oppgitt hvilke fire læreverk som i dag er markedsledende, og jeg valgte disse for min lærebokanalyse. Læreverkene er skrevet før den siste revisjonen av matematikkplanen, og er derfor læreverk som var i bruk på ungdomstrinnet i 2011 da TIMSS-undersøkelsen ble gjennomført. I lærebokanalysen brukte jeg det samme grunnlaget for klassifiseringen av kategori og vanskelighetsgrad som under analysen av de frigitte algebraoppgavene. Jeg talte ikke opp antall oppgaver i lærebøkene på 8. trinn, men undersøkte om jeg i det hele tatt fant oppgaver innen hver kategori og i så fall hvilken vanskelighetsgrad jeg mener at de representerer. Resultatet av vurderingen er vist i tabell 4 på side 12. Intervju av lærere Jeg var også interessert i om lærere mener at det er samsvar mellom vanskelighetsgraden i de frigitte algebraoppgavene og de algebraoppgavene dagens elever møter i matematikkundervisningen på 8. trinn. Jeg valgte derfor å gjennomføre en kvalitativ undersøkelse i form av intervju av matematikklærere på ungdomstrinnet. Intervju er en fleksibel forskningsmetode, der hensikten er å få fram så mye relevant informasjon som mulig (Postholm & Jacobsen, 2012). Jeg ønsket en dialog mer enn rene spørsmål og svar. Det ble, med tillatelse fra hver lærer, gjort et lydopptak av intervjuene. Under intervjuet tok jeg utgangspunkt i et hefte (vedlegg 2) der jeg hadde samlet de frigitte algebraoppgavene fra TIMSS Jeg informerte om at jeg var svært interessert i å gå gjennom de frigitte oppgavene hvor fokuset var om de hadde undervist matematikken som gjorde at elevene burde kunne svare på de frigitte oppgavene. Etter noen innledende spørsmål som handlet om hvilket trinn de underviste dette året, hvilket læreverk de brukte og en kort orientering om mitt tema for bacheloroppgaven, gikk vi systematisk gjennom heftet med de 4

7 frigitte algebraoppgavene fra TIMSS Læreren kommenterte hver oppgave og jeg stilte tilleggsspørsmål for å avdekke om de hadde jobbet med liknende oppgave i klassen. Etter gjennomgangen av de frigitte oppgavene, hadde jeg to tilleggsspørsmål. Det første tilleggsspørsmålet handlet om deres inntrykk av elevenes algebrakunnskaper fra mellomtrinnet. Det neste var om de hadde noen mulige forklaringer på de svake resultatene for norske elever på algebraoppgavene i TIMSS Lærerne ble intervjuet om dagens situasjon i matematikkundervisningen på 8. trinn. Den kan tenkes å være en annen enn i 2011 sett i lys av at det kom en revidert læreplan i matematikk som ble gjeldende fra Jeg antar likevel at det meste er som det var i 2011 fordi lærebøkene som brukes i dag på 8. trinn og følges av over 90 % av lærerne (Grønmo et al., 2013b) er foreløpig de samme som i Intervjuene ble gjennomført med fire matematikklærere ved tre ulike skoler. Tre av disse lærerne bruker læreverket Tetra, mens én lærer bruker læreverket Faktor. Alle var rutinerte lærere og en av dem var også lærebokforfatter av Tetra. Den ene læreren, lærebokforfatteren, ble anbefalt av en medstudent som hadde hatt denne læreren som praksislærer. De tre andre var fra to ulike skoler der jeg hadde vært i mine praksisperioder. Jeg hadde fått et sterkere datamateriale ved å intervjue flere, men av praktiske årsaker ble antallet begrenset til fire. Litteratur Oppgaven bygger også på litteratur som kan belyse problemstillingen. Innhentingen av dokumenter ble gjort gjennom litteratursøk i rapporter, artikler og databaser som Bibsys. Mine hovedkilder har blitt rapporten Framgang, men langt fram. Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2011 (Grønmo et al., 2012) og rapporten Opptur og nedtur. Analyser av TIMSS-data for Norge og Sverige (Grønmo & Onstad, 2013d). Teori 5

8 Kort om TIMSS TIMSS-undersøkelsen (Trends in International Matematics and Science Study) ledes av organisasjonen IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) som er et internasjonalt nettverk for utdanningsforskning (Grønmo & Onstad, 2013d). I TIMSS testes norske elever på 4. og 8. trinn i matematikk og naturfag. Undersøkelsen har vært gjennomført hvert 4. år siden 1995, og på 8. trinn deltar rundt sju prosent av de norske elevene i undersøkelsen (Grønmo, 2014). I følge Grønmo et al. (2012) skal neste TIMSS-undersøkelse gjennomføres i Hver undersøkelse er basert på et rammeverk laget ut fra læreplanene i alle deltakerlandene, der representanter for landene har diskutert seg fram til konsensus om hva som er viktig matematisk kunnskap (Mullis et al., 2009). Et av kriteriene for de oppgavene som gis er at de er relevante i forhold til undervisningen i majoriteten av deltakerlandene (Tellefsen, 2014). TIMSS-undersøkelsene gir resultater på nasjonalt nivå, men gir samtidig grunnlag for å sammenligne de norske resultatene med resultater fra andre land. I tillegg måles prestasjoner over tid ved at halvparten av oppgavene holdes hemmelig for bruk i neste undersøkelse (Grønmo et al., 2012). Ut fra TIMSS kan det trekkes konklusjoner om hva som kjennetegner norsk matematikkundervisning, i et nasjonalt, et nordisk, og et mer internasjonalt perspektiv. Undersøkelsen gir også et grunnlag for å vurdere sterke og svake sider ved norsk matematikkundervisning og utviklingen over tid. Resultatene i algebra i TIMSS 2011 I matematikk på 8. trinn har det vært en bedring i TIMSS-resultatene hos norske elever fra 2003 til 2011 (Grønmo et al., 2012). I rapporten for TIMSS 2011 av Grønmo et al. (2012) kan vi lese at det likevel er et godt stykke fram til vi kan si at vi presterer godt i et internasjonalt perspektiv, og rapporten har tittelen Framgang, men langt fram. Her hevdes det at den største utfordringen Norge står overfor i matematikk er knyttet til svake prestasjoner i algebra. 6

9 Siden elevenes svake prestasjoner innen algebra på 8. trinn er utgangspunktet for mitt valg av problemstilling, vil jeg gi en kort omtale av deres prestasjoner på TIMSS Figur 1 viser en sammenligning av prestasjonene på 8. trinn innen de ulike emneområdene (Tall, Algebra, Geometri og Statistikk) i matematikk for Norge og de to andre nordiske landene (Sverige og Finland) som deltok i TIMSS 2011 (Grønmo et al., 2012, p. 26). I figuren vises dessuten prestasjonene for Norge sammenlignet med noen land utenfor Norden, noen såkalte referanseland. Prestasjonene i algebra er som vist i figuren aller svakest for de norske elevene. Her bør det nevnes at de norske elevene var blant de yngste i TIMSS 2011, og da ett år yngre enn for eksempel elevene i Sverige og Finland (Grønmo et al., 2012). Figur 1 Prestasjonene i algebra er aller svakest for de norske elevene (Grønmo et al., 2012, p. 26). 7

10 Rammeverket og algebraoppgavene Rammeverket (Mullis et al., 2009) gir en beskrivelse av hva TIMSS regner som viktig kunnskap i hver av de tre kategoriene under emneområdet Algebra. En beskrivelse av innholdet er vist i tabell 2 på side 8. Innholdet er basert på de deltagende lands læreplaner, og er blitt til ved at representanter for landene har diskutert seg fram til konsensus om hva som er viktig matematisk kunnskap (Grønmo, Borge, & Rosén, 2013c). Beskrivelsen dannet grunnlaget for de algebraoppgavene som ble gitt i TIMSS 2011 (Mullis et al., 2009). Tabell 2 Algebra for 8. trinn etter TIMSS 2011 Rammeverket i TIMSS (Mullis et al., 2009) (Tekst oversatt av forfatter.) Kategorier i algebra Mønster Algebraiske uttrykk Likninger/formler og funksjoner Beskrivelse av innhold 1. Utvide veldefinerte tall-, algebraiske-, og geometriske- mønstre eller rekkefølger ved å bruke tall, ord, symboler, eller diagrammer; finne manglende ledd. 2. Generalisere mønsteret i en rekke, eller mellom naboledd, eller mellom tallets nummer i rekken og verdien, ved å bruke tall, ord, eller algebraiske uttrykk. 1. Finne summer, produkter, og potenser til uttrykk som inneholder variabler. 2. Vurdere uttrykk for gitte tallverdier av variabelen(e). 3. Forenkle og sammenligne algebraiske uttrykk for å avgjøre om de er like. 4. Modellere situasjoner ved å bruke uttrykk. 1. Regne ut likninger/formler for gitte verdier av variablene. 2. Angi om en verdi (eller verdier) tilfredsstiller en gitt likning/formel. 3. Løse lineære likninger og lineære ulikheter, og lineære likningssett (to variable). 4. Gjenkjenne og skrive likninger, ulikheter, likningssett, eller funksjoner som modellerer gitte situasjoner. 5. Gjenkjenne og lage representasjoner av funksjoner ved bruk av tabeller, grafer, eller ord. 6. Løse oppgaver ved å bruke likninger/formler og funksjoner. Læringsmuligheter Innen utdanningsforskning er forholdet mellom prestasjoner og elevenes læringsmuligheter et sentralt område. Elevenes læringsmuligheter omtales da ofte som Opportunity to learn (OTL) 8

11 (Grønmo et al., 2013c). De hevder at begrepet OTL i de fleste internasjonale studier er delt i to komponenter som kalles content covered og allocated learning time. Disse to komponentene de som dekningsgrad og tidsbruk på et emneområde. De hevder at dekningsgraden angir om elevene har fått dekket eller ikke dekket det faglige emneområdet de testes i. De skriver dessuten at dekningsgrad kan måles ved for eksempel å studere hva lærerne oppgir at de gjennomgått i sin undervisning, og ved å analysere innholdet i læreplanen. Tidsbruken kan ifølge Grønmo et al. (2013c) måles ved at lærerne rapporterer hvor mye tid de har brukt på emnet i sin undervisning. Tidsbruken er et mål for hva som vektlegges i undervisningen. For emneområdet algebra er dekningsgraden lav ifølge det lærerne har rapportert. Norske lærere på 8. trinn rapporter at de bare har gjennomgått 29 % av de emnene elevene har fått innen emneområdet algebra på 8. trinn i TIMSS 2011, mens det internasjonale gjennomsnittet er 75 % (Grønmo et al., 2013c). Avviket fra det internasjonale gjennomsnittet er derfor -46 %. De skriver at prosjektlederne for TIMSS i de ulike landene også har vurdert dekningsgraden av de ulike emneområdene, men da ut fra landenes læreplaner. For emneområdet Algebra er det rapportert at dekningsgraden i Norge er 20 % (Grønmo et al., 2013c). Ulike profiler for matematisk innhold i undervisningen Det er variasjon i hvilken type matematisk innhold som vektlegges i undervisningen i ulike land. Ut fra blant annet TIMSS-data, har man kommet fram til fire ulike profiler ut fra matematisk innhold i undervisningen. Grønmo (2014) omtaler en nordisk profil, en engelskspråklig profil, en østeuropeisk profil og en østasiatisk profil. Grønmo (2014) hevder at de fire profilene igjen kan deles opp i to typer profiler ut fra om det er dagliglivsmatematikk eller ren abstrakt matematikk som vektlegges. Den nordiske og den engelskspråklige profilen legger mest vekt på dagliglivsmatematikk, mens den østeuropeiske og den østasiatiske legger mest vekt på ren abstrakt matematikk (Grønmo, 2014). Matematikkundervisningen i Norge tilhører «den nordiske profilen» som legger mer vekt på dagliglivsmatematikk, som enkle beregninger med tall og statistikk, og mindre vekt på ren abstrakt matematikk, som algebra og geometri (Grønmo et al., 2013c). 9

12 Resultater Funn ved klassifiseringen av de frigitte TIMSS-oppgavene De 25 frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 ble klassifisert ut fra kategori (Mønster, Algebraisk uttrykk og Likninger/formler og funksjoner) og resultatet er vist i tabell 3. Tabell 3 Fordelingen av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS på de tre kategoriene. Kategorier Antall Mønster 4 Algebraiske uttrykk 16 Likninger/formler og funksjoner 5 Resultatet etter min vurdering av vanskelighetsgraden på hver av de 25 frigitte algebraoppgavene, ble 10 med vanskelighetsgrad Høy, 10 med vanskelighetsgrad Middels og 5 med vanskelighetsgrad Lav. Se figur 2. Nærmere detaljer kan sees av vedlegg 1. Antall oppgaver med vanskelighetsgrad Høy, Middels og Lav Høy Middels Lav Figur 2 Fordelingen av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 etter vanskelighetsgrad. For de frigitte algebraoppgavene innen kategorien Algebraiske uttrykk, som representerer de aller fleste (16) av de 25 frigitte algebraoppgavene, finner jeg denne fordelingen på vanskelighetsgrad: fire med vanskelighetsgrad Lav, sju med Middels og fem med vanskelighetsgrad Høy. 10

13 Funn ved lærebokanalysen I lærebokanalysen ble det gjort en kartlegging av kategori og vanskelighetsgrad for algebraoppgavene på 8. trinn i fire matematikkverk på ungdomstrinnet. Jeg brukte da det samme grunnlaget for klassifiseringen som under analysen av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS Grunnlaget for vurderingen finnes i tabell 1 på side 3. Jeg undersøkte om jeg i det hele tatt fant oppgaver innen hver kategori i lærebøkene på 8. trinn og i så fall hvilken vanskelighetsgrad jeg mener at oppgavene representerer. Ved oppsummeringen av mine funn, nevnes læreverkene i rekkefølge etter markedsandel. Læreverket med høyest markedsandel omtales først. For læreverket Grunntall (Bakke & Bakke, 2011) på 8. trinn, finner jeg ingen oppgaver innen kategorien Mønster. Under kategorien Algebraiske uttrykk finner jeg flest oppgaver med vanskelighetsgrad Lav, og noen «sett inn og regn ut oppgaver» med en vanskelighetsgrad som jeg har vurdert til Middels, men ingen oppgaver med vanskelighetsgrad Høy. Under kategorien Likninger, formler og funksjoner finner jeg oppgaver med vanskelighetsgrad Lav, Middels og Høy. For læreverket Faktor (Hjardar & Pedersen, 2006) på 8. trinn, finner jeg ingen oppgaver innen kategorien Mønster. Under kategorien Algebraiske uttrykk finner jeg bare oppgaver som har vanskelighetsgrad Lav. For kategorien Likninger, formler og funksjoner finner jeg noen oppgaver om likninger, men alle med vanskelighetsgrad Lav. For læreverket Tetra (Hagen, Carlsson, Hake, & Öberg, 2006) på 8. trinn, finner jeg oppgaver med vanskelighetsgrad Lav, Middels og Høy innen kategorien Mønster. Oppgavene med vanskelighetsgrad Høy omhandler tallmønstre og figurtall. Under kategorien Algebraiske uttrykk finner jeg oppgaver med vanskelighetsgraden Lav og Middels. For læreverket Sirkel (Torkildsen & Maugesten, 2006) på 8. trinn, finner jeg bare oppgaver med vanskelighetsgrad Lav innen kategorien Mønster. Innen kategorien Algebraiske uttrykk og kategorien Likninger, formler og funksjoner finner jeg ingen oppgaver. 11

14 Tabell 4 Oppsummering av vanskelighetsgrad i ulike lærebøker på 8. trinn. En strek (-) betyr at det ikke er funnet oppgaver i læreboka. Vanskelighetsgrad (Lav, Middels, Høy) Kategori Grunntall 8 Faktor 1 Tetra 8 Sirkel 8 Mønster - - Lav, Middels og Lav Høy Algebraiske Lav og Lav Lav og Middels - uttrykk Middels Likninger, formler og funksjoner Lav, Middels og Høy Lav - - TIMSS 2011 ble gjennomført ved påsketider, og spørsmålet er da om læreboka på 8. trinn har algebra så tidlig i boka at det ble gjennomgått før TIMSS-testen. I Grunntall 8 som har 13 kapitler, er algebra behandlet i kapittel 8, 10 og 11. I Faktor 1 som har 7 kapitler, er algebra behandlet i kapittel 6. I Tetra 8 som har 6 kapitler, er algebra behandlet i kapittel 3. I Sirkel 8 er det bare oppgaver innen kategorien Mønster, og da i siste kapittel av læreboka. Jeg kommer tilbake til dette i min drøfting av resultatene. Funn i intervjuene I intervjuet ville jeg gjerne vite om de hadde undervist matematikken som gjorde at elevene på 8. trinn burde kunne besvare hver av de 25 frigitte algebraoppgavene i TIMSS Ved transkribering og videre arbeid med materialet fra intervjuene, ser jeg at lærerne i større grad har fortalt om elevene deres antas å kunne besvare hver enkelt oppgave. Denne vridningen av svarene fra lærerne må tilskrives meg som urutinert intervjuer. Siden jeg ut fra lærebokanalysen allerede har en indikasjon på om algebraoppgavene i TIMSS 2011 er dekket eller ikke i undervisningen, har jeg i den videre oppsummeringen forsøkt å gjøre rede for det som kom fram i intervjuene. En gjennomgående kommentar fra lærerne er at ingen, mange eller bare de flinkeste ville klare oppgaven. I figur 3 er det en oversikt over hvor mange av de frigitte oppgavene hver lærer mener kan besvares av ingen, bare de flinkeste eller mange elever i egen klasse. 12

15 Antall oppgaver Hvor mange av de 25 frigitte algebraoppgavene kan besvares av ingen elever, bare de flinkeste eller mange elever? Lærer 1 Lærer 2 Lærer 3 Lærer Ingen elever kan besvare Kan bare besvares av de flinkeste elevene Mange elever kan besvare Figur 3 Svar fra lærere på hvor mange av de 25 frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 som kan besvares av ingen elever, bare de flinkeste eller av mange elever på 8. trinn. Lærerne var for de fleste oppgavene ikke enige om hvilke oppgaver som kunne besvares av ingen elever, bare de flinkeste eller mange elever på 8. trinn, og de relaterte som regel sine svar til egne elever. Det var for eksempel bare for én oppgave at alle de fire lærerne var enige om at ingen av elevene ville klare å løse den. Ut fra figur 3 er det også stor variasjon i lærernes svar på hvor mange av de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 som kan besvares av ingen elever, bare de flinkeste eller av mange elever. Lærer 1 har valgt ut bare to oppgaver som antas å ikke kunne løses av noen av elevene, mens fire oppgaver kan løses av de aller flinkeste. Det er likevel 19 av de 25 oppgavene som denne læreren mener bør kunne løses av mange av elevene i klassen. Læreren har også påpekt at dette er en faglig sterk klasse, og at det arbeides mye med problemløsning i undervisningen. I intervjuet kom det også fram at de faglig svake elevene i denne klassen ville ha problemer med å besvare de aller fleste av oppgavene. 13

16 For de tre andre lærerne er fordelingen en helt annen. Hvis tallene for ingen elever og de aller flinkeste elevene slås sammen, har de tre andre lærerne henholdsvis 14, 19 og 13 oppgaver, altså i snitt ca. 60 % av oppgavene, som ikke kan løses av majoriteten av elevene i klassen. Etter gjennomgangen av de frigitte oppgavene, hadde jeg to tilleggsspørsmål. Det første tilleggsspørsmålet handlet om deres inntrykk av elevenes algebrakunnskaper fra mellomtrinnet. Det neste var om de hadde noen mulige forklaringer på de svake resultatene hos norske elever på algebraoppgavene i TIMSS På mitt spørsmål om elevenes algebrakunnskaper fra mellomtrinnet, har jeg hentet fram noen sitater fra intervjuene: Lærer 1: Lærer 3: Lærer 4: «Varierer veldig, det er et enormt sprik når de kommer fra mellomtrinnet.» «Føler at vi begynner på scratch, noen ting kan de. Men for eksempel a + a er 2a virker det som er nytt for elevene.» «Veldig variabelt, kommer an på hvilken lærer de har hatt og hvilken skole de kommer fra. Noen har hatt litt algebra og andre er det helt fjernt for.» På mitt spørsmål om mulige forklaringer på de svake resultatene hos norske elever på algebraoppgavene i TIMSS 2011, har jeg også hentet fram noen sitater: Lærer 2: Lærer 3: Lærer 4: «mye av det jeg ser her er matematikk som blir undervist på 9. trinn.» «Oppgavene er jo skivebom i forhold til det jeg underviser.» «Det er jo en del oppgaver de ikke har hatt. Har ikke hatt likninger, ulikheter og funksjoner så jeg tror det er for mange ting de ikke klarer.» 14

17 Diskusjon av resultatene Kategori Jeg ønsket å undersøke om det var samsvar mellom type innhold (kategori) i de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 og de oppgavene elevene arbeider med i undervisningen på 8. trinn. Rammeverket for TIMSS 2011 gir en beskrivelse av kunnskap som testes i algebraoppgavene, og da inndelt i de tre kategoriene: Mønster, Algebraiske uttrykk og Likninger/formler og funksjoner (Mullis et al., 2009). Av de 25 frigitte algebraoppgavene er det etter min vurdering fire oppgaver innen kategorien Mønster, 16 i kategorien Algebraiske uttrykk og fem oppgaver i kategorien Likninger, formler og funksjoner. Hvis de frigitte algebraoppgavene er et representativt utvalg for de algebraoppgavene som ble gjennomført i TIMSS 2011, ser det ut til at TIMSS 2011 la mest vekt på kategorien Algebraiske uttrykk av de tre kategoriene innen emneområdet Algebra. Arbeid med algebraiske uttrykk gir basisferdigheter i matematikk, og Grønmo (2013a) hevder at dette er «motoren i matematikken». Hadde elevene fått undervisning innen de tre kategoriene før TIMSS 2011? Ut fra Læreplan matematikk fellesfag (Utdanningdirektoratet, 2006) som var gjeldende da TIMSS 2011 ble gjennomført, er det ikke mulig å fastslå om elevene på 8. trinn hadde fått undervisning innen de tre kategoriene som er beskrevet i Rammeverket. Grunnen er at læreplanen er delt opp i treårs-perioder, og det er derfor ikke spesifisert på hvilket trinn de ulike kompetansemålene skal behandles. I praksis kan dette bety at de kompetansemålene som var i læreplanen på ungdomstrinnet kunne utsettes til 9. og/eller 10. trinn. Grønmo et al. (2013c) hevder at det er en tendens til at algebra utsettes til slutten av ungdomstrinnet fordi mange tenker at algebra faller vanskelig for elevene, og derfor utsettes det så lange som mulig. Grønmo et al. (2013b) stiller dessuten spørsmål om den friheten som ligger i treårsbolkene, og om dette i praksis mer er en frihet for forfattere og forlag enn til fordel for lærere. Det ble dessuten rapportert av lærerne som deltok i TIMSS 2011, at tidsbruken på algebra (18 % av undervisningstiden for matematikk) på 8. trinn i Norge, var lavere enn det internasjonale gjennomsnittet (29 %) (Grønmo et al., 2013c). 15

18 Ut fra Læreplan matematikk fellesfag (Utdanningdirektoratet, 2006) finnes det ett kompetansemål som omhandler algebra på mellomtrinnet. Der står det at «Mål for opplæringa er at eleven skal kunne utforske og beskrive strukturar og forandringar i enkle geometriske mønster og talmønster». Dersom elevene ikke fikk undervisning i algebra på ungdomstrinnet før TIMSS 2011 ble gjennomført ved påsketider, vil jeg hevde at elevene var dårlig rustet til å svare på algebraoppgavene i TIMSS 2011 siden disse handlet om mye mer enn «geometriske mønster og talmønster». I intervjuene av lærerne, om elevenes algebrakunnskaper fra mellomtrinnet, fikk jeg også det inntrykk at elevene kommer til ungdomstrinnet med ingen eller lite erfaring med algebra. Ettersom læreplanen ikke forplikter til å undervise algebra på 8. trinn, og over 90 % av matematikklærne som deltok i TIMSS 2011, rapporterte at de brukte læreboka som undervisningsgrunnlag (Grønmo et al., 2013b), anser jeg lærebøkene som et viktig grunnlag for å undersøke om algebraoppgavene elevene arbeider med kan sammenliknes med algebraoppgavene i TIMSS Resultatene fra lærebokanalysen er oppsummert i tabell 4 på side 12. Jeg oppdaget dessverre litt for seint at Grunntall 8 (Bakke & Bakke, 2011) ble utgitt i 2011, og at det derfor er lite sannsynlig at denne læreboka var aktuell for elever som gjennomført TIMSS Jeg har likevel valgt å ta med meg mine funn fra denne boka. Tabell 4 viser at alle de fire læreverkene på 8. trinn mangler oppgaver innen minst én av de tre kategoriene, og for ett av læreverkene mangler det oppgaver innen både Algebraiske uttrykk og Likninger, formler og funksjoner. Disse funnene er ikke oppløftende med hensyn til elevenes mulighet til å løse algebraoppgavene i TIMSS På side 12 har jeg gjort rede for de aktuelle algebrakapitlene sin plass i forhold til antall kapitler i læreboka. Grunnen er at jeg ville undersøke om elevene, med stor sannsynlighet, fikk algebraundervisning før eller etter TIMSS 2011 ble gjennomført ved påsketider. Hvis man antar at lærerne følger læreboka og disponerer omtrent like lang tid til hvert kapittel, ser det for meg ut til at det bare er de elevene som har læreverket Tetra som har fått algebraundervisning på ungdomstrinnet før TIMSS 2011 ble gjennomført. Læringsmuligheter er et begrep som brukes innen utdanningsforskning og inndeles i to komponenter som kalles dekningsgrad og tidsbruk (Grønmo et al., 2013c). I følge Grønmo et al. (2013c) angir dekningsgraden om elevene har fått undervisning i det de testes i. Lærerne rapporterte etter TIMSS 2011 at undervisningen bare hadde dekket 29 % av emneområdet 16

19 algebra, mens prosjektlederne for TIMSS vurderte dekningsgraden for algebra til 20 % ut fra den norske læreplanen (Grønmo et al., 2013c). Den lave dekningsgraden som er rapportert fra både lærere og prosjektledere er ikke overraskende ut fra mine funn av oppgaver fra lærebøkene og mine funn fra intervjuene. Vanskelighetsgrad Er det samsvar mellom vanskelighetsgraden i de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 og de algebraoppgavene elevene hadde arbeidet med før de ble testet i TIMSS 2011? Ved klassifisering av vanskelighetsgraden på oppgaver, både de frigitte algebraoppgavene og algebraoppgavene i lærebøkene for 8. trinn, har jeg brukt de beskrivelsene av matematikkkunnskaper som er vist i tabell 1 på side 3. Av de 25 frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011, var det etter min vurdering ti oppgaver med vanskelighetsgraden Høy, ti med Middels og fem med vanskelighetsgraden Lav. Det er altså relativt få av de frigitte algebraoppgavene som etter denne vurderingen har vanskelighetsgraden Lav. Det er av interesse for sammenlikning med vanskelighetsgraden til de oppgavene jeg finner i lærebøkene på 8. trinn. Ved vurdering av vanskelighetsgraden for oppgavene i de fire lærebøkene på 8. trinn, tabell 4, fant jeg at to av de fire læreverkene bare har oppgaver med vanskelighetsgraden Lav. Det er tankevekkende ut fra at det er svært få, bare fem, av de 25 frigitte algebraoppgavene for TIMSS 2011 som har vanskelighetsgraden Lav. Som tidligere nevnt svarer rundt 90 % av matematikklærerne på 8. trinn at de bruker læreboka som undervisningsgrunnlag (Grønmo et al., 2013b). Elever som fulgte disse to læreverkene, som bare hadde oppgaver med vanskelighetsgraden Lav, var derfor med stor sannsynlighet dårlig forberedt til å løse algebraoppgavene i TIMSS 2011 som hovedsakelig har vanskelighetsgraden Middels og Høy. Vanskelighetsgraden Høy, som gjelder ti av de 25 frigitte algebraoppgavene, er ifølge tabell 4 bare representert i læreboka Tetra 8 under kategorien Mønster, og i læreboka Grunntall 8 under kategorien Likninger, formler og funksjoner. Det er altså, ut fra min vurdering, ingen av de fire lærebøkene på 8. trinn som har oppgaver med vanskelighetsgraden Høy under Algebraiske uttrykk. Oppgaver med vanskelighetsgraden Høy under Algebraiske uttrykk karakteriseres av evne til å behandle/manipulere algebraiske uttrykk. I norsk matematikkundervisning, som tilhører den nordiske profilen, legges det mer vekt på 17

20 dagliglivsmatematikk og mindre vekt på ren abstrakt matematikk (Grønmo et al., 2013c). Den sterke vektleggingen av dagliglivsmatematikk framfor ren abstrakt matematikk, kan ha sammenheng med manglende funn av oppgaver med vanskelighetsgraden Høy i lærebøkene under Algebraiske uttrykk. I intervjuene oppga lærerne om ingen, bare de flinkeste eller mange av elevene ville klare hver av de frigitte algebraoppgavene. De relaterte da som regel sine svar til egne elever. Tre av lærerne brukte læreverket Tetra, og én lærer (Lærer 3) brukte læreverket Faktor. En av lærerne som brukte læreverket Tetra, nevnte spesielt at klassen var faglig sterk, at de arbeidet mye med problemløsning i undervisningen og at de ikke fulgte læreboka fra side til side. Denne læreren (Lærer 1) mente at bare to av oppgavene var slik at ingen av elevene i klassen kunne løse disse, mens fire av oppgavene var slik at de bare kunne løses av de flinkeste elevene. For de tre andre lærerne var fordelingen en helt annen. Her var det i gjennomsnitt ti av de 25 frigitte algebraoppgavene, som ingen av elevene i klassen kunne løse, og i tillegg i gjennomsnitt fem av oppgavene som bare de flinkeste kunne løse. Dette tolker jeg som at så mange som 15 av de 25 frigitte oppgavene, altså 60 % av oppgavene, ikke kunne løses av majoriteten av elevene i disse klassene. Tellefsen (2014) skriver at oppgavene i TIMSS velges ut slik at de passer for undervisningen i majoriteten av deltakerlandene. Riktignok har jeg bare intervjuet fire lærere, men tre av disse indikerer at oppgavene ikke passer for den algebraundervisningen de gir. En av dem (Lærer 3) uttrykte seg slik i intervjuet: «Oppgavene er skivebom i forhold til det jeg underviser». Alle lærerne påpekte dessuten at faglig svake elever ville ha problemer med de aller fleste av de frigitte algebraoppgavene. Konklusjon og veien videre Min problemstilling for denne oppgaven var: Hvordan var samsvaret mellom algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS 2011? Ut fra intervjuene med fire lærere, og ut fra lærebokanalysen av fire lærebøker på 8. trinn, mener jeg at jeg har funnet støtte for min hypotese «om at det var manglende samsvar mellom type innhold (omtalt som kategori) og også vanskelighetsgrad på algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS 2011». 18

21 Dekningsgraden var lav ifølge det lærerne rapporterte at de hadde dekket innen emneområdet algebra, og også ifølge prosjektlederne i TIMSS som vurderte dekningsgraden ut fra landenes læreplaner (Grønmo et al., 2013c). Ut fra dette var det interessant å sammenligne de frigitte algebraoppgavene til TIMSS 2011 med oppgavene i matematikkbøker på 8. trinn, og dessuten diskutere de frigitte oppgavene med lærerne. Etter å ha gjennomført min undersøkelse er jeg kommet noe nærmere et svar på min problemstilling, og mener jeg har funnet indikasjoner på at det var relativt mangelfullt samsvar mellom algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS Norge planlegger å teste elever på 9. trinn i TIMSS 2015 (Onstad, Grønmo, & Nilsen, 2013), og det kan bedre dekningsgraden. For som en av lærerne (Lærer 2) sa under intervjuet: «mye av det jeg ser her er matematikk som blir undervist på 9. trinn.» Det er nå gjennomført en revisjon av Læreplan fellesfag matematikk (Utdanningdirektoratet, 2006), og den nye læreplanen ble gjeldende fra I den nylig reviderte læreplanen fra 2013 legges det noe mer vekt på algebra enn i den opprinnelige planen (Grønmo et al., 2013b). Dette kan forhåpentligvis også bidra til bedre prestasjoner innen emneområdet Algebra i TIMSS Oppsummering På bakgrunn av de svake prestasjonene i algebra i TIMSS 2011, har jeg i denne oppgaven sett nærmere på samsvaret mellom algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS Min hypotese var at de svake prestasjonene hos norske elever kunne skyldes manglende samsvar i type innhold (omtalt som kategori) og også i vanskelighetsgrad på algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS Min problemstilling for oppgaven var: Hvordan var samsvaret mellom algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS 2011? For å svare på problemstillingen har jeg klassifisert de frigitte algebraoppgavene i TIMSS 2011 ut fra type innhold og vanskelighetsgrad, og sammenlignet med algebraoppgavene i fire lærebøker for 8. trinn. Jeg har dessuten diskutert de frigitte algebraoppgavene i TIMSS

22 med fire lærere. Både lærebokanalysen og intervjuene har gitt meg indikasjoner på at det er manglende samsvar mellom algebraoppgavene på 8. trinn i norsk skole og algebraoppgavene i TIMSS 2011, og disse funnene stemmer med litteraturen om manglende læringsmuligheter i algebra. Litteraturliste Bakke, B., & Bakke, I. N. (2011). Grunntall 8. Matematikk for ungdomstrinnet Retrieved from Grønmo, L. S., Onstad, T., Nilsen, T., Hole, A., Aslaksen, H., & Borge, I. C. (2012). Framgang, men langt fram. Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS Oslo: Akademika forlag. Grønmo, L. S. (2013a). Algebra og tall er motoren i matematikken - derfor går matematikkfaget i Norden for halv fart. Bedre skole(1), Grønmo, L. S., Borge, I. C., & Onstad, T. (2013b). Hvor står vi - hvor går vi? In L. S. Grønmo & T. Onstad (Eds.), Opptur og nedtur. Analyser av TIMSS-data for Norge og Sverige (pp ). Oslo: Akademika forlag. Grønmo, L. S., Borge, I. C., & Rosén, M. (2013c). Læringsmuligheter og prestasjoner i matematikk på 8. trinn. In L. S. Grønmo & T. Onstad (Eds.), Opptur og nedtur. Analyser av TIMSS-data for Norge og Sverige (pp ). Oslo: Akademika forlag. Grønmo, L. S., & Onstad, T. (2013d). Opptur og nedtur. Analyser av TIMSS-data for Norge og Sverige. Oslo: Akademika forlag. Grønmo, L. S. (2014). Internasjonale studier i matematikk - design, relevans, resultater og trender. In T. S. Gustavsen, K. R. C. Hinna, I. C. Borge & P. S. Andersen (Eds.), QED 5-10, Matematikk for grunnskolelærerutdanningen, bind 2 (pp ). Oslo: Cappelen Damm Akademisk. Hagen, M. B., Carlsson, S., Hake, K. B., & Öberg, B. (2006). Tetra 8. Matematikk for ungdomstrinnet. Oslo: Det Norske Samlaget. Hjardar, E., & Pedersen, J. E. (2006). Faktor 1. Grunnbok. Oslo: Cappelen Damm. Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Ruddock, G. J., O'Sullivan, C. Y., & Preuschoff, C. (2009). TIMSS 2011 Assessment Frameworks, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College. Onstad, T., Grønmo, L. S., & Nilsen, T. (2013). Om TIMSS og forskningsmetoder. In L. S. Grønmo & T. Onstad (Eds.), Opptur og nedtur. Analyser av TIMSS-data for Norge og Sverige (pp ). Oslo: Akademika forlag. Postholm, M. B., & Jacobsen, D. I. (2012). Læreren med forskningsblikk: Innføring i vitenskapelig metode for lærerstudenter. Kristiansand: Høyskoleforlaget. 20

23 Svartstad, J. (2012). Norske elever er dårligst i Europa på algebra, Aftenposten Nyheter innenriks. Retrieved from Tellefsen, H. K. (2014). Vurdering. In G. T. S., K. R. C. Hinna, I. C. Borge & P. S. Andersen (Eds.), QED 5-10, Matematikk for grunnskolelærerutdanningen, bind 2 (pp ). Oslo: Cappelen Damm Akademisk. Torkildsen, S. H., & Maugesten, M. (2006). Sirkel 8B. Grunnbok. Matematikk for ungdomstrinnet. Oslo: Aschehoug. Utdanningdirektoratet. (2006). Læreplan for matematikk fellesfag. Retrieved 12. april, 2014, from 21

24 Vedlegg 1 Klassifisering av de frigitte oppgavene kategorier Oppgavenummer Kategori Vanskelighetsgrad M = Mønster, A = Algebraisk uttrykk, LFF = Likninger/formler og funksjoner 1 M M 2 M H 3 A L 4 A H 5 A L 6 LFF H 7 A L 8 A L 9 LFF H 10 A H 11 M L 12 A H 13 A M 14 A M 15 A H 16 M H 17 A M 18 LFF M 19 A M 20 LFF M 21 A H 22 A M 23 A M 24 A M 25 LFF H L = Lav M = Middels H = Høy 22

25 Vedlegg 2: TIMSS 11: Frigitte oppgaver i algebra 23

26 Oppgave 1 24

27 Oppgave 2 Oppgave 3 25

28 Oppgave 4 26

29 Oppgave 5 Oppgave 6 27

30 Oppgave 7 Oppgave 8 Oppgave 9 28

31 Oppgave 10 Oppgave 11 29

32 Oppgave 12 30

33 Oppgave 13 31

34 Oppgave 14 Oppgave 15 32

35 Oppgave 16 33

36 Oppgave 17 Oppgave 18 34

37 Oppgave 19 35

38 Oppgave 20 Oppgave 21 36

39 Oppgave 22 Oppgave 23 37

40 Oppgave 24 38

41 Oppgave 25 39