Motivasjon og engasjement i matematikk

Transkript

1 Motivasjon og engasjement i matematikk Verksted på matematikkens dag Geir Botten Høgskolen i Sør-Trøndelag, Trondheim

2 Mynter i lomma Jeg har fem mynter i lomma. Til sammen er det 32 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma? Jeg har åtte mynter i lomma. Til sammen har jeg 50 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma mi?

3 Mynter i lomma Har vi funnet alle løsningene eller ikke? Hvordan forklarer/begrunner du/dere det? Hvordan forklarer elever det? Hvis vi nå vet at det finnes flere løsninger, så kan dere få stille meg ett spørsmål for å finne ut hvilke mynter jeg har i lomma. Spørsmålet skal være et ja/nei- spørsmål som ikke inneholde noe tall. Hva vi dere spørre meg om?

4 Hva hvis? Hva hvis vi reiser til Norge eller Sverige da? Hva hvis vi har 30 kroner og fire mynter? Hvilke mynter kan det være? 4 kroner er det minste beløpet jeg kan lage ved hjelp av åtte mynter, dvs. ved hjelp av åtte 50-øringer. 160 kroner er den største beløpet jeg kan danne med åtte mynter. Da har jeg bare 20-kroninger. Er det mulig å danne alle andre beløp? Er det noe system i hvilke som kan dannes og hvilke som ikke kan dannes?

5 Å lage nye myntoppgaver Lag et rikt problem inspirert av myntproblemet og løs det. - Ikke mer enn 10 mynter - Ikke mer enn 100 kroner til sammen - Minst to løsninger

6 I butikken Vi har bare 3-kroner og 7-kroner (Det er ikke mulig å veksle?) Hva slags priser kan vi ha i butikken? Hva hvis vi bare har 2-kr, 5-kr og 9-kr? Hvilke priser kan vi ha i butikken hvis vi bare har 6-kr og 11-kr? (Det er mulig å veksle.) Tall som er innbyrdes primske

7 Sammenhenger James Joseph Sylvester (1884) utledet en formel for å finne det tallet som er den største summen av to tall som ikke kan dannes: Differansen mellom produktet av de to myntene og summen av de to myntene. Hvis vi har to myntenhetene 3-kr og 7-kr er den største summen som ikke kan dannes: (3 7) (3+7) = = 11

8 En annen sammenheng Sylvester (1884) har utledet en annen formel som brukes til å finne antall tall (summer) som ikke kan dannes: ½ (a-1) (b-1) Hvis vi har 3-kr og 7-kr og setter disse verdiene inn i formelen finner vi at: ½ (3-1) (7-1) = 6 Det er seks summer over 3 kroner som det ikke er mulig å danne ved hjelp av bare 3-kr og 7-kr.

9 I kiosken På stranda er det en kiosk med et meget begrenset vareutvalg. Du kan kjøpe følgende: Sjokolade: Is: Brus: 7 kr 11 kr 13 kr I kiosken kan man bare betale med 100 lapper og det er ikke mulig å veksle. Du skal spandere godsaker på hele venneflokken. Hva kan du kjøpe for å få utnyttet 100-lappen din maksimalt?

10

11 Kaprekars tall Skriv fødselsdatoen din som et firesifret tall, for eksempel 1705 Ordne sifrene i dette tallet i synkende rekkefølge og i stigende rekkefølge, 7510 og (Pass hele tiden på å ha fire siffer i tallene ved eventuelt å sette på nuller foran). Trekk det andre tallet fra det første = 7353 Gjenta prosessen med svaret du fikk, = 4176 Gjenta prosessen og se hva som skjer

12 Aldri nødvendig med mer enn sju riktige beregninger etter hverandre før det blir november, bruk klokkeslett, for eksempel 0635? Tresifrede tall - Kaprekars tall 495 aldri mer enn 6 beregninger Femsifrede og sekssifrede - inn i sløyfer eller sykler der de samme tallene opptrer og gjentar seg Tosifrede alltid i 9-gangen Tall i andre tallsystemer enn 10-tallsystemet noen ganger Kaprekars tall også for andre enn tresifrede og firesifrede tall

13 I en femteklasse der de hadde jobbet med et prosjekt om Kaprekars tall, fortalte en mor på foreldremøte noen dager senere at sønnen hennes en ettermiddag hadde sittet i to timer og trukket fra hverandre tall. Det måtte jo være noen i familien som hadde bursdag på en dag som ikke landet på 6174! I en annen klasse gjennomførte de et prosjekt der de jaktet på bursdager der en bare trengte å regne en gang for å komme til tallet Det finnes en del slike bursdager, blant annet 6. februar, 26. april, 20. juni. Det finnes flere, så god jakt! Hvis vi ser på svarene en er innom i regneprosessen fram mot 6174, ser en at tverrsummen alltid blir enten 9, 18 eller 27. Dersom tverrsummen for eksempel blir 17, har en regnet feil akkurat der. Når tverrsummen går opp i 9, vil tallet alltid være delelig med 9. Å finne forklaringen på dette fenomenet kan være en fin utfordring til elever, iallfall på ungdomstrinnet. Fenomener rundt Kaprekars tall er nærmere beskrevet i et par artikler i tidsskriftet Tangenten blant annet i nummer 1/94, og det finnes mange opplysninger om tallet på Internett.

14 Tallet pi Praktisk tilnærming Mål rundt og tvers over ulike sirkelrunde gjenstander Regn ut forholdet mellom omkrets og diameter Let etter informasjon om pi på nettet

15 Pi Noen linker: no/

16 OM FORHOLDET MELLOM DEN SOM SKAL HJELPE OG DEN SOM SKAL HJELPES Forholdet mellom den som skal hjelpe og den som skal hjelpes, må være slik - at dersom en skal kunne lykkes i å føre et menneske til et bestemt sted, så må en først og fremst passe på å finne dette mennesket der det faktisk er, og begynne der. Dette er hemmeligheten i all hjelpekunst. Enhver som ikke kan det, vil helt sikkert mislykkes når han eller hun mener å kunne hjelpe en annen. For med sikkerhet å kunne hjelpe en annen, må jeg forstå mer enn den jeg skal hjelpe - men likevel først og fremst må jeg forstå det DEN ANDRE forstår. Om jeg ikke gjør det, da hjelper det slett ikke at jeg kan mer enn den jeg skal hjelpe.. Det å hjelpe er villighet til, iallfall inntil videre, å finne seg i å ha urett når du ikke forstår det den du skal hjelpe, forstår. Søren Kierkegaard 1859