Klassisk mekanikk 1.1. rbeid rbeid som utføres kan observeres i mange former: Mekanisk arbeid, kjemisk arbeid, elektrisk arbeid o.l. rbeid (w) kan likevel alltid beskrives som: rbeid = kraft vei hvor kraft = masse akselerasjon Vi ser på et legeme som beveger seg en inifinitesimal distanse under påvirkning av en kraft. Det infinitesimale arbeidet (dw) som utføres er da gitt som: dw = F dl F er kraften som virker på legemet, dl angir forflytningen. Husk at både kraft og forflytting virker i bestemte retninger de er såkalte vektorstørrelser (vektorstørrelser skrives her med fete typer). Hvis kraften virker i en vinkel θ på bevegelsesretningen, kan vi ut fra reglen om skalarprodukt for vektorer skrive: F dw = F dl cosθ evegelsesretning θ Det totale arbeidet som utføres av kraften F på legemet ved forflytting fra til finner vi ved å integrere: w = F dl Hvis kraften F er konstant og virker i samme retning som forflytningen (θ = 0) får vi: x w = F dl = Fx dx = Fx ( x x0) (for bevegelse i x-retningen) x0 1.. Energi, arbeid og varme For at et arbeid skal kunne utføres, kreves det energi. Energi defineres derfor ofte som evnen til å utføre et arbeid. Energi kan imidlertid også foreligge i form av varme. Varme er energi som overføres fra et sted til et annet på grunn av en temperaturforskjell. Vi trekker derfor følgende viktige konklusjon: Varme og arbeid er to måter som energi kan utveksles på. 1
Sammenhengen mellom energi, varme og arbeid gjenspeiles i at disse størrelsene alle sammen uttrykkes ved hjelp av den samme enheten, nemlig Joule (J, 1 J = 1 Nm). Sentralt i klassisk termodynamikk er studiet av hvordan varmeenergi kan konverteres til arbeid (og omvendt). Det er verdt å merke seg at varme ikke fullstendig kan konverteres til arbeid, mens arbeid fullstendig kan konverteres til varme. 1.3. rbeid i mekaniske systemer: Likevekt og reversibilitet. I klassisk mekanikk kan alt arbeid betraktes som arbeid som utføres ved å heve eller senke vekter. La oss betrakte to lodd med masser M 1 og M som er forbundet med en masseløs snor. Snoren passerer over en trinse som beveger seg friksjonsløst (se fig.1). Hvis M 1 > M, vil M 1 bevege seg nedover, mens M vil heises opp. Kraften som virker i dette systemet er gravitasjonskraften (G = Mg), og et arbeid blir utført når M heves i jordens tyngdefelt. Irreversibel endring Reversibel endring Figur 1: Irreversibel og reversibel endring i et mekanisk system. Hvis M 1 faller en infinitesimal distanse dh, kan det arbeidet som utføres av M 1 på M skrives som: dw = M g dh g er tyngdens akselerasjon (9,81 m/s ). v formelen over fremgår det at det maksimale arbeidet som kan utføres, er når massen av de to vektene er tilnærmet like (kun en infinitesimal forskjell): M 1 = M + dm. Hvis de to massene er helt like, vil vektene være i ro vi har likevekt. Vi ser også at omkring likevektsposisjonen kan vi reversere en eventuell heving eller senking av loddene ved å endre massen på et av loddene med en infinitesimal mengde dm. Under slike betingelser betegner vi systemet som reversibelt. Legg merke til at dette er en mye strengere definisjon av reversibilitet enn det vi har i dagliglivet! Reversibel endring: En endring i et system er reversibel hvis en infinitesimal forandring i en variabel fører til at systemet returnerer til utgangstilstanden. En reversibel prosess vil kunne bestå av en rekke slike infinitesimale endringer.
Det er altså viktig å være klar over at under reversible prosesser så er forholdene i et system ubetydelig forskjellig fra en likevektstilstand. En reversibel endring i et system sies derfor å skje på en slik måte at systemet alltid er i likevekt, og det maksimale arbeidet som kan utføres er det reversible arbeidet. Siden klassisk termodynamikk nettopp tar for seg likevektstilstander, er kravet om reversibilitet sentralt i termodynamikken. Reversible prosesser tar uendelig lang tid! Siden reversible prosesser skal skje i infinitesimale trinn, må de nødvendigvis også bruke uendelig lang tid. Det er derfor klart at prosesser vi observeres i naturen ikke kan være reversible prosesser. Hva med spontane prosesser som observeres i naturen? I naturen er alle spontane prosesser nødvendigvis irreversible. Disse prosessene foregår ikke i infinitesimale trinn, og de skjer i løpet av en endelig tidsperiode. Konklusjon: Termodynamisk reversibilitet forutsetter at alle endringer skjer i infinitesmale trinn, slik at systemet alltid kan betraktes å være i en likevektstilstand. 1.4. Energi og energiformer I dagligtale snakker vi om ulike typer energi. Eksempel på slike energiformer er: Elektrisk energi Varme Kjemisk energi Gravitasjonsenergi tomenergi Mekanisk energi (f.eks. en Strålingsenergi opptrukket fjær) ll energiformer faller imidlertid inn under to hovedformer for energi: Kinetisk energi og potensiell energi. Vi skal se litt nærmere på disse to energitypene. Kinetisk energi ( bevegelsesenergi ) Denne energien (E k ) er knyttet til et legemes masse og fart: 1 Ek = mv m er legemets masse, v er hastigheten til legemet Sammenhengen mellom utført arbeid og endringen i et legemes kinetiske energi kan utledes. Vi bruker følgende fundamentale likninger: dv F = ma = m dt dl v = dl = vdt dt Innsatt i uttrykket for arbeid får vi: t t w = F dl = F v dt = m v dv = 0 v v 1 mv 1 mv = E k, E For et legeme i bevegelse ser vi at utført arbeid er lik forskjellen i kinetisk energi mellom slutt- og starttilstanden. Det spiller ingen rolle hvordan vi har kommet oss fra til. k, 3
Potensiell energi ( posisjonsenergi ) Denne energiformen er knyttet til de krefter som virker mellom legemer (f.eks. atomer, molekyler, planeter), og den er derfor avhengig av posisjon. For konservative krefter er sammenhengen mellom arbeid og den potensielle energien, E p, gitt på følgende måte: dw = F dl = de p Vi integrerer uttrykket og får: w = F dl = E E Legg merke til at vi skriver E - E og ikke E - E. Konservative krefter rbeidet som utføres av konservative krefter avhenger kun av start- og sluttilstanden og ikke av måten vi beveger oss mellom de to tilstandene. Hvis starttilstanden og sluttilstanden er den samme, så vil det arbeidet en konservativ kraft utfører være lik null: w = F dl = 0 Tyngdekraften er et eksempel på en konservativ kraft. I våre betraktninger av den potensielle energien er vi mest opptatt av de endringer som skjer i den potensielle energien. På denne bakgrunnen kan vi definere et hensiktsmessig referansenivå (nullnivå) for den potensielle energien. Hvis vi f.eks. ser på legemer som faller i jordens tyngdefelt, er det hensiktsmessig å sette den potensielle energien lik null ved jordens overflate. Prinsippet om energiens bevarelse For et system hvor det virker konservative krefter, kan de to uttrykkene for arbeid kombineres: = E E og w = E E Reorganisering gir: w k, k, E k, Ek, = E E E + Ek, = Ek, + E Summen av den totale kinetiske og potensielle energien er konstant for en overgang mellom to tilstander ( ), forutsatt at vi har konservative krefter. 4
1.5. Varme og temperatur Varme er en energiform som skyldes bevegelsen til atomer og molekyler (translasjon, rotasjon og vibrasjon). Det betyr at jo høyere kinetisk energi atomene og molekylene i et stoff har, jo varmere vil stoffet være. Temperaturen til et stoff gir oss et mål for varmeenergien i stoffet. Sammenhengen mellom kinetisk energi, varme og temperatur kan demonstreres ut fra kinetisk gassteori (vi kommer tilbake til dette senere!). Varmeoverføring Hvis et objekt med høy temperatur plasseres inntil et objekt med lav temperatur, vil energi i form av varme overføres på grunn av temperaturforskjellen. Etter en stund vil de to objektene få identisk temperatur. Som eksempel på et system hvor varmeoverføring skjer, kan vi se på et gassbeholder som i utgangspunktet er delt i to, der gassen i de to halvdelene har ulik temperatur. Netto energioverføring VRMT KLDT Når skilleveggen fjernes, vil vi få en temperaturutjevning. Diffusjon av molekyler mellom de to halvdelene og kollisjon mellom molekyler med høy kinetisk energi og molekyler med lav kinetisk energi resulterer i energioverføring. Til slutt vil vi oppnå termisk likevekt, dvs. at netto energioverføring er lik null mellom de to halvdelene. Ved termisk likevekt måler vi samme temperatur i hele systemet. Diffusjonsprosesser og kollisjoner vil på samme måte sørge for varmetransport i væsker. I faste stoffer vil varmetransporten være en mer komplisert prosess siden molekylene og atomene her er mer eller mindre fastlåste i gitte posisjoner. I faste stoff skjer varmeledningen derfor mer som transport av vibrasjonsenergi. I metaller kan imidlertid varmetransport også skje via diffusjon av elektroner (metaller er gode varmeledere). LEGEMER SOM ER I TERMISK LIKEVEKT HR SMME TEMPERTUR 5
1.6. Systemer Vi har hittil gjort bruk av begrepet system uten å definere dette uttrykket nærmere. Før vi går videre kan det være på sin plass å gi en definisjon. Med et system forstår vi en avgrenset del av universet. lt utenfor det systemet som vi betrakter, kalles for omgivelsene. Følgende systemer er definert: ÅPNE SYSTEMER (Varme- og masseutveksling med omgivelsene) LUKKEDE SYSTEMER (Ingen masseutveksling med omgivelsene) DITISKE SYSTEMER (Ingen varmeutveksling med omgivelsene) ISOLERTE SYSTEMER (Ingen form for vekselvirkning med omgivelsene) Tilstandsfunksjoner Den tilstand som et system befinner seg i, kan beskrives av et sett variable som kalles tilstandsfunksjoner. En tilstandsfunksjon må oppfylle disse kravene: Endringer i en tilstandsfunksjon er kun avhengig av systemets start- og sluttilstand og ikke av måten endringen skjedde på (dvs. uavhengig av veivalg ). Ved spesifikasjon av noen tilstandsfunksjoner for et system, er de andre tilstandsfunksjonene også gitte. Eksempler på tilstandsfunksjoner er P, V, m, T, som vi kjenner igjen som tilstandsfunksjonene som inngår i tilstandslikningen for en ideell gass, PV = nrt. Husk at det er kun under likevektsbetingelser (reversible forhold) at vi vet at en tilstandsfunksjon har den samme verdien overalt i et system. Under irreversible forhold kan verdien til en tilstandsfunksjon variere med posisjonen i systemet. Viktig! rbeid og varme er ikke tilstandsfunksjoner. Disse størrelsene er knyttet til overganger mellom tilstander, og deres verdi avhenger av måten disse endringene skjer på! 1.7. Temperaturmålinger Termodynamikkens 0. lov sier at hvis et system er i termisk likevekt med et system, og system er i termisk likevekt med system C, så er også system og C i termisk likevekt. En alternativ formulering er: Det finnes en skalar størrelse kalt temperatur som er en egenskap ved alle termodynamiske systemer. Hvis de termodynamiske systemene er i indre likevekt og har identisk temperatur, så er de også i termisk likevekt med hverandre. Hvis et av systemene viser seg å være et termometer, så garanterer termodynamikkens 0. lov at vi under likevektsbetingelser er i stand til å måle temperaturen i hvilket som helst annet system. Kunsten blir å konstruere et termometer og en temperaturskala som er fornuftig. Termometre: Til å måle et systems temperatur kan vi konstruere mange forskjellige typer termometre med ulike egenskaper. Disse termometrene trenger imidlertid å kalibreres mot et referansetermometer. Idealgasstermometeret utgjør et slikt referansetermometer. Idealgasstermometeret er basert på lovene til oyle og Gay-Lussac. Sammen med vogadros lov kan disse lovene sammenfattes i idealgasslikningen: PV = nrt. Som temperaturskala bruker vi den absolutte Kelvinskalaen, også kalt den termodynamiske temperaturskalaen. 6
1.8. Gasslovene og idealgasstermometeret Robert oyle (167-1691) og Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) undersøkte oppførselen til ulike gasser. Deres studier av reelle gasser under betingelser hvor de oppførte seg tilnærmet som ideelle gasser (lave trykk, moderate temperaturer), resulterte i følgende empiriske gasslover: oyles lov: P 1/ V (konstant n og T) Gay-Lussacs lov: V T (konstant n og P) P T (konstant n og V) V er gassens volum, P er gassens trykk, n er antall mol gass, T er temperaturen. Kelvinskalaen Gay-Lussac fant videre at et plott av volumet til en gitt mengde gass som funksjon av temperaturen ( C) kunne beskrives ved hjelp av følgende funksjon: V(T ) = V (1+ α T ) hvor T C er temperaturen uttrykt i C C 0 C Dette er formelen for en rett linje. Ved å plotte og ekstrapolere denne linjen ble det funnet at volumet til en gitt mengde gass blir null ved en temperatur på 73,15 C (α = 1/73,15 C). Dette ga grunnlag for å definere en ny temperaturskala, hvor det absolutte nullpunkt ble satt lik -73,15 C: T(K) = T( C) + 73,15 Den nye temperaturskalaen ble døpt Kelvinskalaen. Det absolutte nullpunktet er 0 K. Figur : Volum av gitt mengde gass plottet som funksjon av temperaturen. Gassenes volum ekstrapoleres til null ved en temperatur på 73,15 C. 7
Idealgasstermometeret asert på Gay-Lussacs lover kan to typer idealgasstermometre konstrueres: 1. Konstant trykk idealgasstermometer T = lim ( PV ) ( PV ) T P 0 T3 (konstant n og P) lim T P 0 3 Her er T 3 en gitt referansetemperatur. Som referansetemperatur brukes temperaturen i vannets trippelpunkt (T 3 ). Denne temperaturen er definert til å være eksakt 73,16 K. Vi må la trykket gå mot null for at reelle gasser skal oppføre seg som ideelle gasser.. Konstant volum idealgasstermometer P T = T T3 (konstant n og V) P T3 Her er PT trykket til idealgassen ved vannets trippelpunkttemperatur. Likningen 3 gjelder kun under betingelser hvor vi har idealgassoppførsel, dvs. P 0. 1.9. Tilstandslikningen for ideelle gasser (idealgasslikningen) Idealgasslikningen kan gis en fenomenologisk utledning. Vi setter først opp de empiriske gasslovene vi hittil har stiftet bekjentskap med: oyles lov: P 1/ V (Konstant n og T) Gay-Lussacs lov: V T (Konstant n og P) P T (Konstant n og V) Til disse gasslovene føyer vi medeo vogadros observasjon at volumet til en gass ved en gitt temperatur og et gitt trykk avhenger av antall mol gassmolekyler: vogadros Lov: V n (Konstant P og T) Hvis vi kombinerer de tre gasslovene, får vi: PV nt eller PV = nrt R er en proporsjonalitetskonstant som vi kaller den universelle gasskonstanten. Gasskonstanten har verdien 8,314510 J K -1 mol -1. Vi bør her legge merke til at gasskonstanten er uttrykt i energienheten Joule, og at produktet av trykk og volum gir den totale energien til idealgassen. Idealgasslikningen kan også utledes fra kinetisk gassteori. Vi har tidligere observert at det er en sammenheng mellom varme, temperatur og den kinetiske energien til molekylene i et stoff. Sammenhengen mellom disse størrelsene vil nå bli demonstrere ved å studere bevegelsene til molekylene i en ideell gass. 8