Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a) hvis f(x) nærmer seg f(a) når x nærmer seg a. Vi bruker symbolet (skrivemåten) lim for å betegne grense. Vi skriver lim x a f ( x ) = f ( a ) eller f(x) f(a) når x a I de fleste lærebøker i kalkulus finnes det mer formelle definisjoner av grenseverdi, men vi vil ikke gå inn på det her. I fortsettelsen går vi ut fra at leseren er kjent med begrepet. Vi bruker grenseverdi for å definere den deriverte til en funksjon: d f( x+ h) f( x) f ( x) = f( x) = lim dx h 0 h Tilsvarende defineres også det bestemte integralet som en grenseverdi: b a n f ( xdx ) = lim f( ξ )( x x ) δ 0 k = 1 k k k 1 (Intervallet [a, b] er delt i n intervaller med lengde δ og som har endepunkter x k 1 og x k, ξ k er et punkt i det k te intervallet.) På D tastaturet har vi direkte tilgang til den deriverte og det bestemte integralet. De finnes også på mth tastaturet. Den deriverte betegnes der med diff. Hvis vi ikke skriver inn en variabel, så vil ClassPad 300 gi svaret 0. Vi har en tilsvarende situasjon for grenseverdien til en tallfølge. Mer uformelt er en tallfølge en uendelig (eller endelig) liste med tall, for eksempel: 0 1 1 1 1 1,, 3, 4, 5,...
Det forutsettes at vi vet hva som kommer etter de elementene som er skrevet. Noen ganger gir vi også det n te elementet: 1 n. Å skrive en formel for det n te elementet er spesielt viktig når vi arbeider med tallfølger på kalkulatorer eller datamaskiner. Mer formelt vil vi si at en tallfølge er en funksjon definert på de naturlige tallene. Vanligvis betegner vi verdien til det n te elementet som a n. Vi betegner tallfølgen som har det n te elementet a n ved {a n }. For eksempel vil tallfølgen ovenfor bli betegnet { 1 n }. Som for funksjoner, har vi en tilsvarende definisjon for konvergens til en tallfølge. Vi sier at følgen {a n } konvergerer mot a hvis a n nærmer seg a når n øker. Vi sier at a er grenseverdien til følgen {a n }. Vi skriver: lim a n = a n Vi kan også gi en mer formell definisjon av grenseverdi til en tallfølge. I eksemplet ovenfor har vi: 1 lim = 0 eller n n 1 n 0 når n Å beregne grenseverdier er viktig i matematikk siden mange størrelser defineres ved grenseverdier. La oss først betrakte en rasjonal funksjon: 5x + La f( x) = 3 x 1 For å få en ide om hvordan denne funksjonen er, ser vi først på grafen til funksjonen: 1
Grafen antyder at lim f( x) = 0 + x + og lim f( x) = 0 + x Skrivemåten 0+ betyr at funskjonsverdiene nærmer seg 0 gjennom positive verdier. Vi kan bekrefte dette direkte på ClassPad 300. En kommentar om notasjon (skrivemåte): Når vi skriver variabler på ClassPad 300 bruker vi uthevede tegn, som vi finner på kalkulatortastaturet. De finnes også på flere av skjermtastaturene slik som på D tastaturet. Vi kunne også ha brukt abc tastaturet med vanlige bokstaver. Dette kan imidlertid noen ganger være flertydig siden ClassPad 300 vil tolke ax som en konstant med navnet ax, Skriver vi imidlertid ax vil det bli tolket som produktet av konstanten a og variablen x. Det finnes imidlertid en direkte måte å finne denne grensen på (å dividere teller og nevner med den høyeste potensen til x), så det å bruke ClassPad 300 er ikke nødvendig her. Imidlertid er det mer lønnsomt å bruke ClassPad 300 når vi ikke klarer å finne grenseverdien med en kjent metode, og når vi må eksperimentere. Ser vi på definisjonen til den deriverte til en funksjon, ser vi at både teller og nevner nærmer seg 0 når h nærmer seg 0. Dette er et eksempel på en såkalt ubesemt form. I eksemplet ovenfor så vi en annen type ubestemt form, der både teller og nevner nærmer seg (uendelig). Det finnes flere typer av ubestemte former. Det kan være en brøk hvor både teller og nevner nærmer seg 0 (som for den deriverte), eller det kan være et produkt hvor en faktor går mot uendelig og den andre går mot null. En måte å skrive denne ubestemte formen på er: 0 (som forøvrig ikke er et gyldig matematisk uttrykk). Med en tilsvarende skrivemåte kan vi betegne flere ubestemte former: -, /, 0/0,.. Når det gjelder å finne grenseverdier dreier det seg ofte om å finne grenseverdien til ubestemte uttrykk. Svaret kan være 0, et bestemt tall eller. Å finne den deriverte til en funksjon er å finne grenseverdien til en ubestemt form, selv om det er utviklet formler for de vanligste funksjonene.
Vi kan finne mange grenseverdier til ubestemte former direkte på ClassPad 300. En velkjent grenseverdi er: sin x lim x 0 x La oss først undersøke hva som skjer når x nærmer seg 0. På figuren til venstre ser det ut som om grenseverdien eksisterer og er lik 1. Vi kan få ClassPad 300 til å beregne denne grenseverdien direkte, som vi ser på figuren til høyre. Utforskninger Undersøk hva som skjer med sin kx x når x 0, der k er en konstant. Vi kan også bruke ClassPad 300 for å finne mer kompliserte grenseverdier som vist i følgende eksempel: Finn grenseverdien til ( ) når n + n n n 3
ClassPad 300 gir det noe overraskende svaret 1 Denne grenseverdien er ikke så lett å finne uten at en bruker en litt spesiell framgangsmåte. Se på formelen (x y ) = (x + y)(x y) La x= n + n og y = n da har vi n n n x y + = = = x y n x+ y n + n+ n Denne grenseveriden kan vi så finne ved å dividere teller og nevner med høyeste potens av n, dvs n 1 = n. ClassPad 300 gir oss gode muligheter til å eksperimentere med grenseverdier. La oss se på noen eksempler. Grunntallet e for de naturlige logaritmene kan defineres som en grenseverdi: 1 lim 1+ n n ClassPad 300 beregner denne verdien direkte og finner også den mer generelle grenseverdien med variabelen x. n 4
Tallfølger og rekker Når vi summerer elementene i en tallfølge får vi en rekke. Vi vil starte med å finne summen av de første hundre naturlige tallene. 1 + + 3 + + 100 Mange har sikkert hørt historien om Carl Friedrich Gauss (1777 1855) som elev. For å holde elevene opptatt hadde læreren bedt elevene å finne summen av de første 100 tallene. Gauss ødela lærerens plan fordi han kom fram til svaret med en gang. (Han la sammen tallene fra begynnelsen og fra slutten av tallrekka, og kom fram til svaret ved en enkel multiplikasjon). En måte å gjøre dette på er for eksempel å se på summen: 100+(1+99)+(+98)+ +(49+51)+50 =50 100+50 Vi kan også se på: (1+100)+(+99)+ + (100+1) =100 101=10100 og så dividere med. Vi får denne summen direkte på ClassPad 300. Det som nok er det mest interessante når det gjelder rekker, er å summere uendelige rekker, dvs rekker som har et uendelig antall ledd. I noen tilfeller har ClassPad 300 muligheten til å summere en rekke med uendelig antall ledd. 1 1 1 1 1 + + + +... + +... 4 8 n Vi sier at rekken konvergerer mot. 5
At en uendelig rekke kan ha en sum løser et paradoks som grekerne var opptatt av i oldtiden, paradokset til Akilles og skilpadda. Akilles løper 10 ganger fortere enn skilpadda, og i kappløpet får skilpadda et forsprang på 10 meter. Når Akilles kommer fram til stedet der skilpadda startet har den beveget seg videre 1 meter. Når Akilles så har løpt den meteren, har skilpadda kommet 10 cm videre osv osv. Altså vil Akilles aldri ta igjen skilpadda fordi han først må nå det stedet der skilpadda var, og da har skilpadda kommet et lite stykke videre. På samme måte kan vi argumentere for at en person ikke kan nå fram til en vegg, fordi det alltid vil være halve avstanden igjen, La oss se på summen av den harmoniske rekken n= 1 1 n Vil denne summen vokse over alle grenser eller vil den ha en endelig sum, dvs, være konvergent? Hvis vi bruker ClassPad 300 til å finne summen av den harmoniske rekka, finner vi at den bare gir oss det samme uttrykket i såkalt natural display (naturlig visning). Hvis vi eksperimenterer, finner vi at det er begrensning på 56 ledd i en sum. Summerer vi de 56 første leddene får vi summen 6.14344963. Vi kan også finne summen av de neste 56 leddene i rekka på tilsvarende måte. Vi kan gå videre med dette, men vil stoppe her. Et naturlig spørsmål å stille er hvor stor denne summen vil bli vil den fortsette å vokse eller vil den ha en øvre grense? Selv om vi kunne summere vilkårlig mange ledd i denne rekka kunne vi ikke være sikre på resultatet. Det kan imidlertid vises at summen av den harmoniske rekka vokser over alle grenser eller divergerer. Summen vokser imidlertid svært langsomt. Summen av de første 1 million ledd summerer seg opp til omlag 14.4. Et resonnement som viser at rekken divergerer, er følgende. Betrakt Vi har og 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + +... 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 + + + > + + + = = 5 6 7 8 8 8 8 8 8 Vi kan fortsette dette mønsteret og vi får en uendelig sum av ledd som hver har verdi ½. 6
Et interessant forhold finner vi når vi ser på den såkalte alternerende harmoniske rekken: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +... 3 4 5 6 7 8 Vi finner at ClassPad 300 ikke beregner denne summen. Vil rekken konvergere eller divergere? Hvis den er konvergent, hva vil den konvergere til? En metode som kan brukes her, er å summere så mange ledd som mulig, og så gjette på summen. Kan du finne et annet uttrykk for et tall som er nær til dette? Hint: Prøv med naturlige logaritmer til noen tall! ClassPad 300 har muligheten til å beregne mange ulike summer og produkter, men det er også noen den ikke beregner. Den siste rekken på figuren til høyre summerer til ln(), og vi kan se fra skjermbildet at den konvergerer raskt. Når vi bruker ClassPad 300 kan vi eksperimentere med rekker. Vi lar ClassPad 300 beregne verdien til summer med mange ledd. Så kan vi forsøke å gjette på svaret, og forhåpentligvis kan vi verifisere det vi har gjettet på. 7
Utforskning (1) Matematikeren og filosofen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) beviste i 1674 at den alternerende rekken av de inverse oddetallene også konvergerer. Utforsk 1 1 1 1 + +... på ClassPad 300. Du vil se at summen blir omtrent 0.784416046 3 5 7 Kjenner du igjen dette tallet? Hint: multipliser med 4 og gjett. () Leonard Euler (1707 1783) oppdaget to andre rekker som konvergerer, og hvor verdien til π forekommer: 1 1 1 1 π = + + +... = n= 1 (n 1) 1 3 5 8 n= 1 n+ 1 ( 1) 1 1 1 π = + +... = n 1 3 1 For utforskning: Hvilken verdi for π kan du finne ved å bruke ClassPad 300? (3) Utforsk konvergensen til følgende rekker: n+ 1 ( 1) n 1 3 n= 1 = +... n 1 3 n= 1 3n 1 3 3 3 3 = + n 1 3... 4 4 4 4 Derivert. Stigning En vanlig oppgave i et kalkuluskurs er å bestemme den deriverte til grunnleggende funksjoner, som polynomfunksjoner, trigonometriske funksjoner osv. Så bruker vi kombinasjonsregler (deriverte av sum, produkt, kjerneregelen osv) til å finne den deriverte av mer sammensatte funksjoner. Det er mer sjelden at vi går tilbake til definisjonen til den deriverte. Med ClassPad 300 kan vi finne den deriverte ved å beregne grenseverdien direkte. 8
Vi kan for eksempel finne den deriverte av sinusfunksjonen ved å finne grenseverdien. Ovenfor ser vi at den deriverte av sin(x) for x = 0 er 1. På figuren til høyre har vi tegnet inn både y1 = sin(x) og y = x i det samme koordinatsystemet, og vi ser at de nærmer seg den samme verdien når x er nær null. I eksemplet ovenfor fant vi den deriverte til sin (x) i et punkt (x = 0). Med ClassPad 300 har vi også muligheten til å finne den deriverte til en funksjon generelt. I skolematematikken er denne definisjonen som regel bare presentert. Deretter arbeides det videre med resultatet (formelen). Det samme gjelder for de andre trigonometriske funksjonene. Ekstremalverdier for funksjoner Når den deriverte til en funksjon er lik null, så har grafen en horisontal tangent. Dette kan være et maksimalpunkt eller minimalpunkt til funksjonen. I skolens matematikkundervisning (kalkulus) er ofte oppgaven å finne den deriverte til en funksjon, og å finne når den deriverte er lik null, og så avgjøre om det er et maksimal- eller minimalpunkt. Eksemplet på neste side er typisk. På ClassPad 300 har vi også muligheten til å definere funksjoner. Kommandoen Define i katalogen cat har formatet som vist i neste avsnitt. 9
Å finne horisontale tangenter 4 Har grafen til funksjonen y = x x + horisontale tangenter? Hvis de finnes, er det når dy er null. For å finne disse punktene kan vi foreta følgende dx operasjoner på ClassPad 300. Altså er de mulige punktene på grafen ( 1,1), (0,) og (1,1). Resultatet bekreftes også grafisk på ClassPad 300. Eksempel Finn to tall som har sum 30 og som har størst mulig produkt. Hvis et tall er x, så er det andre (30 x). Produktet er x (30 x) = x + 30x Siden x har negativt fortegn, vet vi at det er en maksimalverdi for parabelen. Vi kan også få ClassPad 300 til å vise dette ved å sette den deriverte lik null, og så finne den. deriverte. 30
Her ser vi at de to tallene som vi er på jakt etter, begge er lik 15. Eksempel Rektangler med forskjellige størrelser kan innskrives i en halvsirkel med radius. Finn størrelsen på det innskrevne rektanglet som har størst areal. Vis resultatet grafisk. For å kunne beskrive dimensjonene til rektanglet tegner vi sirkelen og rektanglene i et koordinatsystem. Nederste høyre hjørne i rektanglet har posisjonen x på x-aksen. Lengden, høyden og arealet til rektanglet kan så uttrykkes ved hjelp av x. Lengde: x Høyde: 4 x Areal: x 4 x A x = x 4 x Målet er altså å finne maksimalverdien til funksjonen ( ) i intervallet 0 x. Dette kan gjennomføres algebraisk på to forskjellige måter på ClassPad 300 som vist nedenfor. Den algebraiske løsningen er også vist grafisk. Det innskrevne rektanglet med størst areal, har lengde og høyde. 31
Integrasjon I begynnelsen på dette avsnittet definerte vi det bestemte integralet som genseverdien til en sum. Det finnes også et ubestemt integral. f ( x) dx er en funksjon av x som har f(x) som derivert. Vi skriver vanligvis F (x) = f ( x) dx Den deriverte til en konstant er lik null, og en vanlig skrivemåte for det ubestemte integralet er derfor F (x) = f ( x) dx+c En viktig egenskap ved det bestemte integralet er at det kan beregnes ved hjelp av det ubestemte integralet b a f ( xdx ) = Fb ( ) Fa ( ) Med ClassPad 300 har vi muligheten til å beregne både bestemte og ubestemte integraler, og vi kan vise sammenhengen som vi omtalte ovenfor. På figuren til høyre har vi vist at vi også kan få det ubestemte integralet ved å bruke det bestemte integraltegnet på D menyen uten å skrive inn øvre og nedre grense. Vi bemerker videre at dx etter funksjonen under integraltegnet ikke er nødvendig når integralet avsluttes med parenteser. Imidlertid må vi være varsom når vi skriver integraler. Se på følgende eksempel. 3
I det første tilfellet har vi brukt den vanlige bokstaven x, i det andre har vi brukt den uthevede bokstaven x. I det første tilfellet tolkes ax som en konstant. Altså hvis vi ønsker å sikre oss at vi får variablen x bør vi bruke det uthevede tegnet, som vi forøvrig også finner på tastaturet på ClassPad 300. Arealet under en kurve Hvis y = f ( x) er ikke-negativ og integrerbar over det lukkede intervallet [ a,b ], så er arealet under kurven y = f ( x) fra a til b integralet til f fra a til b b A = f(x)dx. Som et eksempel vil vi finne verdien til integralet a 4 x dx f x = 4 x ved å se på dette som arealet under grafen til funksjonen ( ) Vi gjenkjenner ( ) f x = 4 x som en funksjon med graf som en halvsirkel med radius. Dette får vi også fram i grafvinduet på ClassPad 300. Vi kan også beregne dette arealet ved et integral som vist på figuren til høyre. 33
Som kontroll vet vi at arealet til halvsirkelen er gitt ved 1 1 = π = π ( ) = π. Area r Vi kan også beregne integraler på ClassPad 300 ved å markere grensene grafisk. Ved å velge integral i Analysis-menyen når det grafiske vinduet er aktivt, som i figuren til venstre, kan vi gi nedre og øvre grense ved å bevege markeringskorset til de posisjonene vi ønsker. Vi kan også gi grensene direkte. Ved å trykke en tast får vi opp en dialogboks hvor vi kan legge inn grenseverdiene. Arealet skraveres svart. Utforskning x a y + = er likningen for en ellipse på standard form. b 1 Vis at arealet som ligger innenfor ellipsen gitt ved. x y + = 1 er 6π. 4 9 Utforsk også andre ellipser. Hva ser du når a = b? 34
Spesielle funksjoner Inverse funksjoner Vi tar for oss en funksjon verdimengde B på y aksen. For y = x y = f ( x) definert i et område A på x aksen, og som har en kan vi ta A som de reelle tallene (R) og B som de ikke-negative reelle tallene. Et punkt på y aksen, for eksempel y = 5, korresponderer med x= 5 eller x= 5 Hvis vi begrenser korrespondansen fra y til bare en av verdiene for x slik at y f x x = g y. Har vi en funksjon der det bare er én x verdi som = ( ), får vi en funksjon ( ) korresponderer til én y verdi, sier vi at funksjonen er en-entydig. Vi kaller g den inverse funksjonen til f. Funksjonen og den inverse funksjonen er symmetriske om linja y = x. Eksempel Vis at den inverse til funksjonen y = x,x 0, er en funksjon og uttrykk den inverse som en funksjon av x. Funksjonen y = x definert for alle reelle tall er ikke en-entydig så den inverse er ikke en funksjon. Den begrensede funksjonen y = x,x 0, er en-entydig, og har altså en invers funksjon. Vi finner den på følgende måte. (1) Bytt om x og y: y x,x = 0, gir oss da x y,y = 0. () Finn y uttrykt ved x. Den inverse til funksjonen y = x,x 0, er funksjonen y = x. 35
Polynomer og rasjonale funksjoner. En type funksjon vi ofte kommer i kontakt med, er polynomfunksjonene. En polynomfunksjon har den generelle formen px= a+ ax+ ax + + ax ( ) 0 1... n n a 0,, a n er konstanter, og vi sier at polynomfunksjonen har grad n. Polynomfunksjonene er kontinuerlige over R og er deriverbare. En polynomfunksjon av grad k har høyst k nullpunkter. En rasjonal funksjon har formen p( x) rx ( ) = der p(x) og q(x) er polynomfunksjoner, r(x) er definert når q(x) 0 qx ( ) ClassPad 300 gir oss muligheten til å utforske polynom- og rasjonale funksjoner La oss utforske en egenskap ved polynomfunksjoner Arkimedes (87-1 f.kr.), er av mange betraktet som den største matematikeren i oldtida. Han oppdaget at arealet under en parabelbue alltid er to-tredeler av grunnlinja multiplisert med høyden. Grunnlinja er her avstanden mellom parabelens nullpunkter. Vi vil nå bruke ClassPad 300 til å vise at regelen til Arkimedes stemmer for parabelen = + 6= ( )( +3 ) x [ 3, ] y x x x x På figuren på neste side ser vi at grunnlinjen b = 5 og at høyden h = 6.5. Følger vi regelen til Arkimedes, er arealet A under parabelen 36
15 A= b h= 5 6.5 = 0.83. 3 3 6 Nedenfor viser vi dette på ClassPad 300: Vi tegner funksjonen, finner nullpunktene (grunnlinjen) og beregner integralet. Å maksimere fortjeneste r x = 00x 0. 01x der r En produsent selger x antall av en vare per uke, med en inntekt på ( ) er målt i kroner. Det koster ( ) = 50x+ 0 000 c x [kroner] å produsere x antall av varen. Finnes det et bestemt antall av varen som det lønner seg mest å produsere per uke? Hvis det er slik, finn hva dette antallet er. Fortjeneste er inntekter minus kostnader, så den ukentlige fortjenesten for x antall er: ( ) ( ) ( ) p x = r x c x = 0. 01x + 150x 0000. Vi ønsker å finne maximumsverdien (hvis det finnes noen) til p på det åpne intervallet x > 0. Vi kan finne både en algebraisk og en grafisk løsning på ClassPad 300. Vi ser at produksjonsnivået for maksimum fortjeneste er x = 7500 og at den største verdien for p er 54500kroner. 37
Gir dette absolutt maksimum? Kan funksjonen ha en maksimumverdi utenfor grafvinduet? Hva gjør at vi kan si at grafen til p er en parabel med åpning nedover? Vi finner at p har et absolutt maksimum for x = 7500. Eksponential- og logaritmefunksjoner 3 Vi antar at du kjenner til skrivemåten for = 8. Generelt kan vi definere n som. (n ganger) for et heltall n. Denne definisjonen kan vi utvide til å gjelde for vilkårlige heltall a ( ) n a = a a a... a n ganger Bemerk spesielt at vi har ( 1) n = ( 1) ( 1) ( 1). ( 1) (n ganger) Videre kan definisjonen også utvides til å gjelde for negative eksponenter a 1 1 = a 0 Vi definerer også a = 1. Hvordan kan vi utvide dette videre? La oss forsøke å beregne verdien tilπ på ClassPad 300. Beregningen gir resultatet 5.04749767. Tar vi hensyn til størrelsen på de tallene som inngår kan vi vel være enige om at resultatet er rimelig. Svaret bør være mellom 3.14 og 10. Hvilken mening kan vi knytte til denne potensen? Hvis vi forsøker ( π ) får vi et komplekst tall som svar. Potensen er altså ikke et reellt tall. I denne beregningen har vi valgt to desimaler i svaret. x La oss gå tilbake til det generelle spørsmålet: Hva mener vi med den generelle potensen y? 38
Dette er et eksempel på hva som ofte skjer i matematikk: Vi har en regel eller definisjon som er meningsfull for en mengde, for eksempel en tallmengde, som heltallene. Hvis vi ønsker å utvide regelen til en mer omfattende mengde, for eksempel de reelle tallene hvordan kan vi da gjøre det? Vi vil være sikre på at vi får det samme når vi ser på delmengden (heltallene), og vi ønsker også at det mønsteret som vi ser skal utvides. Når det gjelder eksponenter starter vi med den kjente likheten a= e ln a x Denne gir oss den generelle definisjonen til eksponenten: y settes lik x ln y e. Det følger av denne definisjonen at y må være positiv, hvis vi skal holde oss til reelle tall, selv om vi kan definere ( ) x når x er et heltall. Definisjonen tilfredsstiller kravet om at vi får det samme svaret som når eksponenten er et heltall. Utforskning Foreta beregninger på ClassPad 300 av forskjellige eksponenter Beregn og sammenlign, for eksempel 3 3ln og e, π og e π ln. Hvordan virker definisjonen? Med denne bakgrunnen vil vi nå nærme oss en mer formell definisjon av eksponenter, Vi vil gi en formell definisjon av eksponentialfunksjonen e x, som vi også kan skrive exp(x) e x = n=0 n x n! Med denne definisjonen kan vi nå også definere den generelle eksponentialfunksjonen. Vi vil ikke gi definisjonen her, men det skulle være enkelt å se hva den blir. Vi bør bemerke for hvilke verdier funksjonen er definert. La oss nå se på den inverse funksjonen logaritmen. Logaritmefunksjonen Det er vanlig i matematisk analyse å definere logaritmefunksjonen, log( x ), som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen. Vi vil ikke gå nærmere inn på dette her, men vil se på noen av egenskapene ved logaritmefunksjonen. x = e = e x ln ln ( ) x Det følger av dette at ln (1) = 0 og at ln( e ) = 1. Kontroller på kalkulatoren. Logaritmefunksjonen er definert for alle positive reelle tall, definisjonsmengden er (0, ), og verdimengden er alle reelle tall. Fra denne definisjonen kan vi utlede noen velkjente egenskaper til logaritmefunksjonen. 39
judge(log(xy)=log(x)+log(y)) judge(log( x y )=log(x)-log(y)) Noen egenskaper ved eksponenter og logaritmer Den generelle logaritmefunksjonen har formen Vi kan så definere direkte. Logaritmen til x med hensyn til grunntallet a er tallet y slik at log a ( x ) der a er grunntallet til logaritmen. y x= a eller x= a log a ( x) Vi betegner logaritmefunksjonen med grunntall e som ln og vi omtaler funksjonen som den naturlige logaritmefunksjonen. Logaritmefunksjonen med 10 som grunntall skrives lg (eller noen ganger log ) og vi bruker betegnelsen den Briggske logaritmefunsjonen, oppkalt etter den engelske matematikeren Henry Briggs (1561 1630). Bruk definisjonen til logaritmen og forklar hvorfor 1 log 4() = Utfordring Bevis det siste resultatet på skjermbildet. 40
Utforskning x Undersøk funksjonen f ( x) = klog( a ) + b for forskjellige verdier til parametrene a, b og k. Grafer til logaritme- og eksponentialfunksjoner. Vi ser at grafene er symmetriske om linja er en egenskap ved inverse funksjoner. y = x. Dette Å løse likninger som inneholder logaritmer og eksponenter For å løse en likning som inneholder eksponenter og logaritmer, kan vi bruke ClassPad 300 direkte. Vi ser at svaret blir gitt eksakt. Utforskning Betrakt log( x) log( y) ln( x) og ln( y) for ulike verdier for x og y. Hva finner du? 41
Anvendelser og eksempler Eksponentiell vekst, renter Eksponentialfunksjonen kan brukes til å beregne beløpet en har i banken, gitt en bestemt rente. Når startbeløpet er q og rentefoten er p, er beløpet y gitt ved x p y = q 1+ 100 der x er antall år. Denne formelen kan vi skrive rett inn i ClassPad 300 for et bestemt beløp q og en rentefot på p. Vi lar q være 350 og p være 6.75. Vi har brukt Trace for å se hvordan beløpet vil vokse. Karbondatering Karbonmengden i et stoff avtar eksponentielt. Vi starter med en bestemt mengde q med karbon (C 14 ), halveringstiden er 5730 år. Etter x år, vil mengden av karbon være 1 y = q x 5730 Dette forholdet brukes til å datere organisk materiale som inneholder karbon, fordi vi ut fra mengden av karbon kan gå tilbake å finne alderen, dvs. løse likningen for x. Med denne funksjonen er det spesielt viktig å velge passende verdier for vindusparameterne. 4
Vi kan nå bruke Trace for å finne hvordan mengden forandrer seg med tiden. Å brette et papirark Vi har et stort papirark med tykkelse på 0.1 mm (= 10-5 m). Hvor mange ganger må vi brette arket for å få et ark med tykkelse 1 cm? 1 dm? 1 m? (vi må anta at vi rent fysisk kan brette arket). Her vil vi bruke doblingsfunksjonen n. For å finne antallet vi trenger å brette for å få et ark med tykkelse 1 m, må vi løse likningen 10-5 n = 1 Denne likningen kan løses direkte. x log() = 5 som har løsningen x = 5 log() Vi ser at ClassPad 300 gir svaret med den naturlige logaritmefunksjonen ln. Kalkulatoren viser videre at de to uttrykkene har samme verdi. 43
Trigonometriske funksjoner Med ClassPad 300 har vi muligheten til å arbeide med trigonometriske funksjoner og inverse trigonometriske funksjoner, dessuten hyperbolske funksjoner, som vi imidlertid ikke vil ta opp her. På tastaturet kan vi velge trigonometriske funksjoner, som vist til venstre. Vi kan videre velge radianer eller grader direkte fra tastaturet. I eksemplet ovenfor gir ClassPad 300 svaret i radianer. For å endre dette oppsettet marker ( ) øverst til venstre, og deretter Settings > Setup > Basic Format > Angle > Degree På figurene nedenfor er de trigonometriske funksjonene tegnet. 44
Grafene til de trigonometriske funksjonene Vi definerer tan(x) som sin( x ) En annen trigonometrisk funksjon som også brukes er cos( x) cotan(x). Denne funksjonen er ikke direkte tilgjengelig på ClassPad 300, men må defineres spesielt, som i figuren til høyre nederst på forrige side. Vi definere cotan(x) som cos( x ) sin( x ). Vi vil nå se på noen anvendelser av trigonometriske funksjoner. Enkel harmoniske bevegelse Bevegelsen til et lodd som beveger seg opp og ned (svinger) i enden på en fjær, er en enkel harmonisk bevegelse. I det følgende eksemplet ser vi på et tilfelle der det ikke er motvirkende krefter, slik som luftmotstand som vil dempe svingningene. Et lodd som henger i en fjær, skyves 5 enheter over hvilestillingen ( s = 0) og blir sluppet på tiden t = 0 og beveger seg opp og ned. Posisjonen på et senere tidspunkt t er gitt ved s = 5cos( t). Vi finner hastighet og akselerasjon på et tidspunkt t på ClassPad 300. 1. Loddet beveger seg opp og ned mellom s = 5 og s = 5 på s-aksen. Amplituden til bevegelsen er 5. Perioden til bevegelsen er π.. Funksjonen sin( t) får den største verdien som er 1, når cos( t ) = 0. Dette vises på grafene til sinus og cosinus. 45
Hastigheten til loddet er v = 5sin() t, og den har størst verdi når cos ( t ) = 0. Da er s = 0. Hastigheten til loddet er null når sin( t ) = 0. Dette inntreffer når co s( t ) =± 1, i endepunktene til intervallet. 3. Akselerasjonen, a = 5cos( t), er null bare i likevektsstillingen, når cos( t ) = 0, og gravitasjonskraften og kraften fra fjæren balanserer hverandre. Når loddet er et annet sted er de to kreftene ulike, og akselerasjonen er ulik null. Akselerasjonen er størst (har størst absoluttverdi) i punktet som er lengst fra likevektsstillingen når cos( t ) =± 1. Å simulere enkel harmonisk bevegelse Vi tegner de to parameterlikningene i samme koordinatsystem 1 () 1 x () t t x t =. y1 () t = 5cos( t) =. y () t = 5sin( t) for 0 t 3π. Vi kan bruke Trace for å utforske posisjon og hastighet. 46
På figuren til høyre har vi endret x1 ( t) = t to x ( t ) = Dette gir oss anledning til å se 1 1 bevegelsen til loddet som henger i fjæra. Forklar hva du ser. Absoluttverdifunksjonen Absoluttverdifunksjonen betegnes x eller abs(x). Den defineres ved: x hvis x 0 x = x hvis x < 0 Vi finner den på to steder: På cat-katalogen eller på Dtastaturet Bemerk at på mth tastaturet ikke er absoluttverdifunksjonen. Tegnet bruker vi blant annet når vi setter inn verdier for parametrene i en formel. Vi leser dette tegnet som slik at. Bemerk følgende egenskaper: x = 5 betyr at x = 5 eller x = 5 og generelt at x = x. For å løse grafisk en likning eller ulikhet som inneholder absoluttverdi, trenger vi ingen nye teknikker. For å løse slike likninger og ulikheter algebraisk, kan vi skrive ekvivalente uttrykk uten absoluttverdier og så løse disse som vanlig. Eksempel La oss løse likningen x 3 = 7 algebraisk og grafisk på ClassPad 300. Likningen kan omskrives som x 3=±7, så det er to muligheter. ClassPad 300 kan imidlertid løse likningen direkte. 47
ClassPad 300 viser at likningen x 3 = 7 har to løsninger: x = eller x = 5. Skjæringspunktene med x-aksen til grafen til funksjonen y = x 3 7 er x = og x = 5, som altså er det samme som den algebraiske løsningen. 48