6 Sannsynlighetsregning

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to, tre, fire, fem eller seks øyne. Vi sier at ethvert resultat er et utfall ved forsøket. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet (UR) ved forsøket. Hvis terningen ikke er falsk, vet vi også at sjansen for å få ett øye, to øyne osv. er den samme. Det er denne sjansen vi kaller for sannsynlighet (engelsk: probability). Hvis vi kaster terningen «uendelig» mange ganger, vil vi finne ut at den relative frekvensen (hyppigheten) for to øyne vil bli 16,67 % eller 1 6. Det samme prosenttallet vil vi få for ett øye, tre øyne osv. Vi sier at sannsynligheten for å få to øyne er 16,67 % eller 1 6. Vanlig skrivemåte: Pð2 øyneþ ¼ 1 6 eller Pð2Þ ¼ 1 6 P står for sannsynlighet (probability). Definisjon: Sannsynlighet er lik den relative frekvensen (hyppigheten) «i det lange løp». «I det lange løp» betyr her at vi foretar et forsøk uendelig mange ganger. Absolutt frekvens (hyppighet) Relativ frekvens (hyppighet) ¼ Det totale antall Ivårt eksempel har vi seks mulige utfall: 91

www.ebok.no fu 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 6 g¼f1; 2; 3; 4; 5; 6g Vi kaller et tilfeldig utfall for u i. Utfallsrommet UR kan da skrives UR ¼fu 1 ; u 2 ;...; u 6 g Ut fra det vi har sagt ovenfor, kan vi skrive Pð1Þ ¼Pð2Þ ¼Pð3Þ ¼Pð4Þ ¼Pð5Þ ¼Pð6Þ ¼ 1 6 ðaþ 0 Pðu i Þ1 Betingelsen (a) betyr at sannsynligheten for et hvilket som helst utfall alltid ligger mellom null og en, det vil si mellom 0 % og 100 %. ðbþ PðURÞ ¼Pðu 1 ÞþPðu 2 ÞþþPðu 6 Þ¼1 Betingelsen (b) betyr at summen av sannsynlighetene for alle utfallene er lik 100 %. PðURÞ ¼ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 ¼ 6 ¼ 1 ð1 ¼ 100 %Þ 6 (a) og (b) er to betingelser som er nødvendige for en sannsynlighetsmodell. Vi legger merke til at summen av alle sannsynlighetene er lik 1, dvs. 100 %, og at sannsynligheten for et enkelt utfall ligger mellom 0 og 1, dvs. mellom 0 % og 100 %. Sannsynligheten kan aldri bli negativ. 6.2 Begivenhet (hendelse) Når vi kaster en terning og får utfallet 2 øyne, kaller vi dette for en begivenhet. Det er vanlig å bruke store bokstaver for å uttrykke en begivenhet. Eksempelvis kan vi kalle utfallet «2 øyne» ved kast med en terning for begivenhet A. Begivenhet A: 2 øyne En begivenhet kan bestå av flere utfall, for eksempel 2 og/eller 4 øyne. Noen bruker begrepet hendelse i stedet for begivenhet. Begivenhet B: Løsningen på de to begivenhetene vil bli: 2 eller 4 øyne PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 þ 1 6 ¼ 2 6 ¼ 1 3 92

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Legg merke til at vi «summerte» de to sannsynlighetene når det var spørsmål om«eller» (2 eller 4 øyne). 6.3 Uavhengighet. Trediagram. Uniform sannsynlighetsmodell Når vi kaster en terning eller mynt, vil hvert utfall være uavhengig av de andre utfallene. Hvis vi for eksempel får 4øyne i et kast, er sannsynligheten fortsatt 1 6 for å få 4 øyne i neste kast. Det samme gjelder kast med mynt. Hvis vi får mynt i et kast, er dette uavhengig av hva vi har fått i tidligere kast. En terning eller mynt «husker» ikke. Det er viktig å huske på dette. Eksempel 1 Vi kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for disse begivenhetene: A: Begge kast gir 5 øyne? B: Første kast gir 5 øyne og andre kast gir 4 øyne? C: Vifår 5 og 4 øyne? Løsningsforslag PðAÞ ¼Pð5ÞPð5Þ ¼ 1 6 1 6 ¼ 1 36 PðBÞ ¼Pð5ÞPð4Þ ¼ 1 6 1 6 ¼ 1 36 PðCÞ ¼Pð5ÞPð4ÞþPð4ÞPð5Þ ¼ 1 6 1 6 þ 1 6 1 6 ¼ 1 36 þ 1 36 ¼ 2 36 ¼ 1 18 Kommentar Sannsynligheten for å få 5 øyne og 5 øyne på de to kastene er 1 6 1 6, fordi de to kastene er uavhengige av hverandre. Vi ser at vi multipliserer sannsynligheter ved spørsmål om«og». Begivenhetene B og C virker nokså like, men det er likevel en betydelig forskjell. Begivenheten B er helt klar, her skal vi ha 5 øyne i første kast og 4 øyne i andre kast. Hver gir en sannsynlighet på 1 6, fordi utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Begivenheten C kan vi få ved kombinasjonene ð5; 4Þ og ð4; 5Þ, det vil si 5 øyne og 4 øyne eller 4 øyne og 5 øyne på de to kastene (eller: vi summerer sannsynlighetene). 93

www.ebok.no Eksempel 2 Vi kaster en «korrekt» mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for begivenhetene A: 2 mynt B: 1 mynt og 1 kron C: 2 kron Oppfyller dette kravene til en sannsynlighetsmodell? Løsningsforslag En «korrekt» mynt betyr at det er like stor sannsynlighet for å få mynt som for å få kron. Utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Utfallsrommet ðurþ for to myntkast er UR ¼fMM; MK; KM; KKg Vi kan lage oss et trediagram som er svært illustrerende: Første kast M K Andre kast M K M K Vi ser at det er totalt fire utfall, der ett utfall er gunstig for begivenhet A, dvs. PðAÞ ¼ 1 4 ¼ 0,25. Men vi kan også finne sannsynligheten ved å multiplisere sannsynlighetene for å få mynt ðmþ ved hvert kast: PðAÞ ¼PðMÞPðMÞ ¼ 1 2 1 2 ¼ 1 ¼ 0,25 ¼ 25 % 4 Når det gjelder begivenhet B, måvi legge merke til at vi kan få mynt ðmþ iførste kast og kron ðkþ i andre kast, eller kron ðkþ iførste kast og mynt ðmþ i andre kast. Da kan vi sette opp PðBÞ ¼PðMÞPðKÞþPðKÞPðMÞ ¼ 1 2 1 2 þ 1 2 1 2 ¼ 1 4 þ 1 4 ¼ 2 4 ¼ 1 2 Det er 50 % sjanse for å få 1 mynt og 1 kron ved de to kastene. Sannsynligheten for to kron ðkkþ er den samme som sannsynligheten for to mynt ðmmþ: PðCÞ ¼PðKÞPðKÞ ¼ 1 2 1 2 ¼ 1 ¼ 0,25 ð25 %Þ 4 94

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Disse begivenhetene oppfyller kravene til en sannsynlighetsmodell fordi 0 PðAÞ 1, 0 PðBÞ 1 og 0 PðCÞ 1 og PðAÞ þ PðBÞ þ PðCÞ ¼ 0,25 þ 0,50 þ 0,25 ¼ 1 ð¼ 100 %Þ Eksempel 3 Et ektepar planlegger å få fire barn. Hva er sannsynligheten for å få disse begivenhetene: a) A ¼ 4 gutter b) B ¼ 2 gutter og 2 jenter Vi forutsetter at sannsynligheten for å få gutt og jente er den samme, og at vi har uavhengighet ved fødslene. Det betyr at kjønnet på et nyfødt barn er uavhengig av kjønnene på foregående barn. Løsningsforslag Svaret på a) kan finnes relativt enkelt. Ved hver fødsel er det to mulige utfall (gutt/jente) og ved fire fødsler vil det da bli 2 2 2 2 ¼ 2 4 ¼ 16 mulige utfall Kun ett av disse utfallene består av 4 gutter, så svaret på a) vil bli PðAÞ ¼ 1 ¼ 0,0625 ¼ 6,25 % 16 Når det gjelder å finne svaret på b), må vi finne ut hvilke kombinasjoner/utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter. For å få en systematisk oversikt kan vi lage et trediagram slik som vist nedenfor: G G G G G G G G Av diagrammet ser vi at det er åtte utfall der den førstefødte er gutt ðgþ. Utfallene er GGGG, GGG, GGG, GG, GGG, GG, GG, G. 95

www.ebok.no G G G G G G G Av dette diagrammet er det åtte utfall der den førstefødte er en jente ðþ: GGG, GG, GG, G, GG, G, G,. Totalt er det 16 «mulige» utfall (se løsning a), og vi finner at det er seks «gunstige» utfall, det vil si utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter (markert med tykkere skrift). Svaret på spørsmål b) blir da PðBÞ ¼ 6 16 ¼ 3 ¼ 0,375 ¼ 37,5 % 8 Når alle utfall er like sannsynlige i et forsøk, kaller vi dette en uniform sannsynlighetsmodell. Ovenfor har vi brukt terningkast, myntkast og fødsler som eksempler på uniforme modeller. Ved fødsler er ikke sannsynligheten lik for å få gutt eller jente (det blir født flere gutter), men som tilnærming er det forsvarlig å bruke at PðGÞ ¼PðÞ ¼ 1 2. En formel for sannsynlighet for en begivenhet (hendelse): PðbegivenhetÞ ¼ antall «gunstige» utfall antall mulige utfall 6.4 Sammensatte forsøk Ovenfor har vi kastet både terning og mynt og «organisert» fødsler ved forsøk. Men et forsøk kan bestå av flere delforsøk slik at det er viktig med riktig opptelling. Som vi har sett er et trediagram svært illustrerende i så henseende. Men det kan bli svært tidkrevende å lage et trediagram etter relativt få kast med for eksempel en terning. Eksempel 4 I en skoleklasse på 25 elever er det 14 jenter. Det skal opprettes en komité på tre elever. Hva er sannsynligheten for at komitéen består av tre jenter? 96

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Løsningsforslag Begivenhet A: komité med 3 jenter Vi forutsetter at alle i klassen har samme mulighet (sannsynlighet) for å bli trukket ut. Det er 14 muligheter (utfall) for å trekke ut den første jenta. Det er 13 muligheter (utfall) for jente nummer to og 12 muligheter (utfall) for jente nummer tre. Dette gir til sammen 14 13 12 ¼ 2184 muligheter eller utfall med 3 jenter («gunstige»). Det er 25 24 23 ¼ 13 800 mulige utfall ved å plukke ut 3 elever i klassen. gunstige utfall PðAÞ ¼ mulige utfall Vi kunne ha regnet slik: ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % 13 800 PðAÞ ¼ 14 25 13 24 12 23 ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % 13 800 Sannsynligheten for at den første uttrukne er en jente, er 14 25. For at den andre uttrukne er jente, er sannsynligheten 13 24, og for at den tredje uttrukne er jente, er den 12 23. Som vi ser ovenfor, multipliserer vi de enkelte sannsynlighetene. Husk hva vi nevnte tidligere om «multiplikasjon» og «og». Først jente og så jente og så jente. Derfor multipliserer vi sannsynlighetene. La oss tenke oss at komitéen i den samme klassen skal bestå av 2 gutter og 1 jente. Hva vil sannsynligheten være for denne begivenheten (hendelsen)? Begivenhet B: komité med 2 gutter og 1 jente Løsningsforslag Vi kan plukke ut 2 gutter og 1 jente på tre måter: GG, GG og GG. De tre rekkefølgene er like sannsynlige. Vi får PðBÞ ¼ 11 25 10 24 14 23 þ 11 25 14 24 10 23 þ 14 25 11 24 10 23 ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 % 13 800 eller PðBÞ ¼ 11 25 10 24 14 23 3 ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 % 13 800 97

www.ebok.no For å finne antall «gunstige» utfall med 2 gutter og 1 jente kunne vi ha laget et trediagram, men vi forstår at det ville bli svært arbeidskrevende i dette tilfellet. Derfor kan vi tenke oss starten på trediagrammet (legg merke til rekkefølgen): 11 G 11 G 14 10 G 14 14 10 G 11 G 10 G 11 10 14 = 1540 11 14 10 = 1540 14 11 10 = 1540 Til sammen 1540 3 ¼ 4620 «gunstige» utfall. Hadde komitéen bestått av 1 gutt og 2 jenter, ville antall «gunstige» kombinasjoner blitt slik (G, G, G): 11 G 14 14 14 13 11 G 13 13 11 G 11 14 13 = 2002 14 11 13 = 2002 14 13 11 = 2002 Til sammen 2002 3 ¼ 6006 «gunstige» kombinasjoner. Pð1G og 2Þ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % 13 800 Alternativt: Pð1G og 2Þ ¼ 11 25 14 24 13 23 3 ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % 13 800 Sannsynligheten for at komitéen skal bestå av bare gutter finner vi nå ved å regne ut følgende: Pð3GÞ ¼1 0,158 0,435 0,335 ¼ 0,072 ¼ 7,2 % (Kontroller med «gunstige» delt på «mulige» utfall.) Hvis spørsmålet hadde vært å finne sannsynligheten for at komitéen skulle bestå av minst 1 jente, så ville det selvfølgelig bety alle de komitéene som inneholder 1, 2 eller 3 jenter. I vårt eksempel ville sannsynligheten blitt summen av 0,435, 0,335 og 0,158, dvs. 0,928 ¼ 92,8 %. Men skal komitéen inneholde minst 1 jente, kan vi se bort fra den komitéen som består av 3 gutter. Pðminst 1 jenteþ ¼1 0,072 ¼ 0,928 ¼ 92,8 % 98

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.5 Komplementmengde Eksempel 5 Begivenhet A ¼ komité med minst 1 jente Begivenhet A ¼ komité uten jenter (bare gutter) Vi sier at A er komplementmengden til A. Summen av sannsynlighetene til en mengde og en komplementmengde er alltid lik 1 eller 100 %. PðAÞþPðAÞ ¼1 eller PðAÞ ¼1 PðAÞ 6.6 Avhengighet. Betinget sannsynlighet Når vi kaster en terning, vil utfallet av et kast være uavhengig av de andre kastene. Det samme vil være tilfelle ved kast med mynt. I begge tilfeller kan vi snakke om «trekning med tilbakelegging». I andre tilfeller kan vi ha «trekning uten tilbakelegging». Et eksempel på dette kan være lottotrekningen «en drøm om rikdom». Når man trekker den første kulen, vil den ikke bli lagt tilbake. Det betyr at utfallet av den andre kulen er avhengig av utfallet av den første kulen, utfallet av den tredje er avhengig av de to første osv. I dette tilfellet snakker vi om betinget sannsynlighet. Eksempel 6 Vi har en urne med 6 røde (R) og 4 blå (B) kuler, til sammen 10 kuler. Vi trekker to kuler. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er blå? Løsningsforslag Oppgaven er upresist formulert fordi vi har to muligheter ved trekningen, med og uten tilbakelegging. Med tilbakelegging Ved andre trekning er det fortsatt 10 kuler, og 4 av dem er blå. Derfor er sannsynligheten for at kule nummer to er blå: Pðandre blåþ ¼ 4 10 ¼ 2 ¼ 0,4 ¼ 40 % 5 Uten tilbakelegging Ved andre trekning er det 9 kuler igjen, men vi vet ikke om det er 3 99

www.ebok.no eller 4 blå igjen. Dette er avhengig av (betinget av) utfallet av første trekning. 1) Første kule er rød. Pðandre blåþ ¼ 4 9 Skrivemåte: PðBjRÞ ¼ 4 9. Dette leses: Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er rød. 2) Første kule er blå. Pðandre blåþ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Skrivemåte: PðBjBÞ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er blå. Den loddrette streken j leses gitt at. Det som står bak den loddrette streken, er det som inntraff ved første trekning. Konklusjon For å angi nøyaktig hva sannsynligheten er for å få blå kule ved andre trekning, må vi vite om det er trekning med tilbakelegging eller ikke. Hvis det er trekning uten tilbakelegging, må vi vite utfallet av første trekning. Oppgave I en bolle har vi 6 gule og 4 brune påskeegg. Eva får i oppgave å trekke ut 2 egg til frokosten sin. Hva er sannsynligheten for at hun trekker ett gult og ett brunt egg? Løsningsforslag G ¼ gule egg og B ¼ brune egg Begivenhet A: ett gult og ett brunt egg Så lenge Eva skal ha to egg til frokost, er dette trekning uten tilbakelegging. ð1þ PðAÞ ¼PðGÞPðBjGÞþPðBÞPðGjBÞ PðAÞ ¼ 6 10 4 9 þ 4 10 6 9 ¼ 24 90 þ 24 90 ¼ 48 90 ¼ 8 ¼ 0,533 ¼ 53,3 % 15 Vi har løst tilsvarende problem tidligere uten å bruke betinget sannsynlighet. Men (1) er den korrekte måten å skrive dette på. PðGÞPðBjGÞ sier oss hva sannsynligheten er for at det første egget er gult ( 6 10 ), multiplisert med sannsynligheten for at det andre egget er brunt ( 4 9 ). Etter å ha trukket ut ett egg er det 9 egg igjen til andre trekning. Tilsvarende tankegang gjelder for PðBÞPðGjBÞ. Eva kan trekke et brunt egg først og deretter et gult egg. 100

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.7 Venndiagram. Addisjonssetningen Eksempel 7 I en klasse med 27 elever spiller 14 elever fotball, 10 elever håndball og 4både fotball og håndball. Vi trekker en tilfeldig elev. Finn sannsynligheten for at eleven spiller a) fotball b) håndball c) verken fotball eller håndball Løsningsforslag Her ser vi at antallet som spiller ballidretter ikke kan være 14 þ 10 þ 4 ¼ 28 i en klasse på 27 elever. For å få en bedre oversikt lager vi et venndiagram: F: fotball H: håndball :hele klassen F H 10 4 6 7 Snitt: F H 10 4 6 7 F U H Fellesområdet mellom mengdene F (fotball) og H (håndball) kalles «snittet» mellom mengdene F og H, og skrives F \ H. 101

www.ebok.no Union: F H 10 4 6 7 F U H Tar vi med alle som spiller fotball eller håndball eller begge deler, kaller vi det «unionen» mellom mengdene F og H. Union skrives F [ H. Vi kan «oversette» snitt med og (multiplikasjon) og union med eller (addisjon). Symboler med en strek over, betyr «ikke denne mengden». F betyr alle som ikke spiller fotball, og H alle som ikke spiller håndball. PðF [ HÞ ¼PðF \ HÞ F H På venstre side står sannsynligheten for at de uttrukne ikke spiller fotball eller håndball. Dette er det samme som å si sannsynligheten for at de ikke spiller fotball eller håndball. F H 10 4 6 7 102

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning a) PðFÞ ¼ 14 ¼ 0,519 (14 av 27 elever spiller fotball.) 27 F H 10 4 6 7 b) PðHÞ ¼ 10 ¼ 0,370 (10 av 27 elever spiller håndball.) 27 F H 10 4 6 7 c) PðF \ HÞ ¼ 7 ¼ 0,259 (7 av 27 elever driver ikke med noen av de 27 to ballidrettene.) Hvis vi går videre og spør hva sannsynligheten er for at den tilfeldig uttrukne eleven spiller fotball eller håndball, vil løsningen kunne se slik ut: PðF [ HÞ ¼PðFÞþPðHÞ PðF \ HÞ ¼ 14 27 þ 10 27 4 27 ¼ 20 27 ¼ 0,741 Legg merke til at når vi summerer mengden F og mengden H, blir fellesområdet tatt med to ganger. Derfor må vi trekke ifra F \ H som beskriver den felles mengden (her: 4 spillere). Addisjonssetningen: Hvis A og B er to begivenheter ved et tilfeldig forsøk, har vi PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ: Dette kalles den generelle addisjonssetningen. Eksempel 8 I en klasse på 20 elever spiller 8 elever gitar og 4 elever klarinett. 8 elever spiller ikke noen instrumenter. Vi forutsetter at en som spiller gitar, ikke spiller klarinett, og omvendt. 103

www.ebok.no En tilfeldig elev blir trukket ut. Finn sannsynligheten for at den uttrukne eleven spiller a) gitar b) klarinett c) verken gitar eller klarinett d) enten gitar eller klarinett G K 8 4 8 a) PðGÞ ¼ 8 20 ¼ 0,40 8 20 ¼ 2 5 b) PðKÞ ¼ 4 20 ¼ 0,20 4 20 ¼ 1 5 c) PðG \ KÞ ¼ 8 20 ¼ 0,40 d) PðG [ KÞ ¼PðGÞþPðKÞ ¼ 2 5 þ 1 5 ¼ 3 5 ¼ 0,60 eller 0,40 þ 0,20 ¼ 0,60 Vi har brukt en «amputert» addisjonssetning i tilfellet d). Grunnen til det er at de to mengdene G og K ikke har noe til felles, og derfor får vi ikke dobbel telling her. Vi sier at de to mengdene er «disjunkte» (atskilte). I d) blir altså PðG \ KÞ ¼0. Addisjonssetningen for to disjunkte begivenheter A og B: PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ ¼0 104

MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.8 Produktsetningene ved sannsynligheter 6.8.1 Uavhengige begivenheter Vi har tidligere nevnt at utfallene ved kast med terninger og mynter ikke vil påvirke de neste utfallene. Terningene og myntene «husker» ikke. Begivenheter knyttet til uavhengige delforsøk kalles uavhengige begivenheter. Eksempel 9 Vi kaster en terning to ganger: Begivenhet A: 2øyne i første kast Begivenhet B: 3øyne i andre kast Begivenhetene A og B er uavhengige. Hva er sannsynligheten for å få 2 øyne i første kast og 3 øyne i andre kast? Pðførst 2 og så 3øyneÞ ¼ 1 6 1 6 ¼ 1 0,028 ð2,8 %Þ 36 PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ ¼ 1 6 1 6 ¼ 1 36 PðA \ BÞ leses som sannsynligheten for å få begivenhetene A og B, det vil si å få 2 øyne i det første kastet og 3 øyne i det andre kastet. Dette leder til en produktregel for uavhengige begivenheter A og B: PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ 6.8.2 Avhengige begivenheter I avsnitt 6.7 tok vi for oss betinget sannsynlighet, dvs. at ett utfall var avhengig av et annet utfall. Som illustrasjon brukte vi trekking av blå og røde kuler fra en bolle. 105

www.ebok.no Eksempel 10 Fra en bolle med 6 røde og 4 blå kuler trekker vi to kuler uten tilbakelegging. Vi har Begivenhet A: Den første kulen er rød. Begivenhet B: Den andre kulen er blå. PðAÞ ¼ 6 10 ¼ 3 5 og PðBÞ ¼ 4 9 Etter første trekning er det 9 kuler igjen i bollen. Hvis den første kulen er rød, er det fortsatt 4 blå kuler igjen til andre trekning. Derfor er sannsynligheten 4 av 9 for å trekke blå kule andre gang. Den korrekte skrivemåten for PðBÞ er PðBjRÞ, fordi den uttrykker sannsynligheten for at den andre kulen er blå, gitt at den første kulen er rød. Hva er da sannsynligheten for å få en rød kule i første trekning og en blå kule i andre trekning? Pðførst rød ogsåblåþ ¼ 6 10 4 9 ¼ 24 90 ¼ 4 ¼ 0,267 ¼ 26,7 % 15 Produktregelen for avhengige begivenheter A og B kan skrives PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBjAÞ 106