DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80. (i). r = 2, θ = 270 (ii). r =, θ = 35 (iii). r = 2, θ = 270 (i). Her er θ-verdien for stor, så vi trekker fra 360. De kanoniske polarkoordinatene er altså (2, 270 360 ) = (2, 90 ). (ii). Vi korrigerer for negativ r-verdi ved skifte fortegn samtidig som vi legger 80 til θ-verdien. Dette gir koordinater (, 35 ). Nå er θ for stor, men vi korrigerer ved å trekke fra 360. Dette gir kanoniske kooridnater (, 35 360 ) = (, 45 ). (iii). Her får vi ( 2, 270 ) = (2, 270 + 80 ) = (2, 450 ) = (2, 450 360 ) = (2, 90 ). I denne oppgaven kan man gjerne begrunne svaret ved å lage en skisse.
b) Regn om fra (r, θ)-polarkoordinater til x, y-koordinater. (i). r = 2, (ii). r = 4, (iii). r = 0, θ = 45 θ = 60 θ = 30 (i). x = r cos θ = 2 cos 45 = 2 2 2 = 2 y = r sin θ = 2 sin 45 = 2 2 2 = 2. (ii). x = r cos θ = 2 cos 60 = 4 2 = 2 y = r sin θ = 4 sin 60 = 4 2 3 = 2 3. (iii). x = r cos θ = 0 cos( 30 ) = 0 2 3 = 5 3 y = 0 sin θ = 0 sin( 30 ) = 0 ( 2) = 5. c) Regn om fra x, y-koordinater til kanoniske (r, θ)-polarkoordinater. (i). (x, y) = 2, 3 (ii). (x, y) = 2, 3 (iii). (x, y) = 2, 3 For alle de tre punktene er r = 2 2 + 3 2 = 3 3.6. (i) Dersom vi bruker atan direkte, vår vi θ = atan(3/2) 56. Denne vinkelen ligger i riktig kvadrant, så vi behøver ingen korreksjon. Konklusjonen er altså (r, θ) = (3.6, 56 ). (ii) Dersom vi bruker atan direkte, vår vi θ = atan(3/ 2) 56. Denne vinkelen ligger ikke i riktig kvadrant, så vi må korrigere ved å legge til 80. Det betyr at θ = 24. Konklusjonen er altså (r, θ) = (3.6, 24 ). (iii) Dersom vi bruker atan direkte, vår vi θ = atan( 3/ 2) 56. Denne vinkelen ligger ikke i riktig kvadrant, så vi må korrigere ved å trekke fra 80. Konklusjonen er altså (r, θ) = (3.6, 24 ).
Oppgave 2 Bakgrunn I denne oppgaven følger vi konvensjonene i Robocode, og måler vinkler med klokka. Det betyr at i figuren C A B er ( AB, AC) < 0, ( AC, AB) > 0. Vektorenes rekkefølge spiller altså en rolle. I det første tilfellet går vinkelen mot klokka. Det gir en negativ vinkel. I det andre tilfellet går vi med klokka. Det gir en positiv vinkel. Problemstilling Vi er i en stridsvogn som befinner seg i punktet P = (3, 4). Denne beveger seg mot høyre med heading 45 i forhold til y-aksen. (Det vil si at fartsvektoren v har en vinkel på 45 i forhold til x-aksen, og at v peker mot høyre.) Stridsvognen oppdager en fiende, i et punkt som vi kan kalle T. Vi måler at avstanden til fienden er 0 enheter, og at retningen (bearing) er 5. Det vil si at P T = 0, ( v, P T ) = 5. Tegn en skisse av situasjonen og bestem xy-koordinatene til punktet T. Vinkelen mellom P T og y-aksen er 45 5 = 30. Siden vi måler vinkler med klokka og i forhold til y-aksen, kan vi ikke bruke formlene fra vanlige polarkoordinater, og i dette tilfellet er omregningsformelen x = r sin θ, y = r cos θ. Dermed er P T = [0 sin 30, 0 cos 30 ] = [0 2, 0 3] = [5, 5 3] 2
Nå kan vi regne ut hvor stridsvognen er: OT = OP + P T = [3, 4] + [5, 5 3] = [8, 4 + 5 3] [8.0, 2.7] Fienden befinner seg altså i punktet (8.0, 2.7). Her har vi en liten figur som viser hvordan dette ser ut: 2 T = (8, 2.66) 0 8 6 v 4 P 5 2 2 0 2 4 6 8 0 2 Oppgave 3 a) Gjør om fra sfæriske r, h, p-polarkoordinater til x, y, z-koordinater. (i). (r, h, p) = (4, 30, 20 ). (ii). (r, h, p) = (4, 45, 60 ). (i). x = r cos p sin h = 4 ( 2) 2 =, y = r sin p = 4 ( 2 3 ) = 2 3, z = r cos p cos h = 4 ( 2) ( 2 3 ) = 3 Vi har altså (x, y, z) = (, 2 3, 3).
(ii). x = r cos p sin h = 4 ( ) ( ) 2 2 2 = 2, y = r sin p = 4 ( ) 2 3 = 2 3, z = r cos p cos h = 4 ( ( 2) ) 2 2 = 2 Vi har altså (x, y, z) = ( 2, 2 3, 2). b) Gjør om fra x, y, z-koordinater til sfæriske r, h, p-koordinater. (i). (x, y, z) = (0,, ) (ii). (x, y, z) = (2, 3, ) (i). Her er r = x 2 + y 2 + z 2 = 2 + 2 + 0 2 = 2, sin p = y/r = / 2 = 2 2. Altså er p = 45. tan h = x/z = 0. Følgelig er h = 0. Vi har altså (r, h, p) = ( 2, 0, 45 ). (ii). Her er r = x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 + ( 3) 2 + ( ) 2 = 4, sin p = y/r = ( 3)/ 4 0.80. Altså er p 53 tan h = x/z = 2/( ) = 2. Dersom vi bruker atan direkte får vi h 63. Med denne verdien av h er x < 0 og z > 0. Vi må altså korrigere ved å legge til 80. Dette gir h 7. Vi har altså (r, h, p) ( 4, 7, 53 ) (3.7, 7, 53 ). Oppgave 4 (Nøtt?) Her regner vi som om jorden er en perfekt sfære med radius 637km, og bruker x, y, z-koordinater der origo ligger i jordens sentrum, y-aksen faller sammen med jordens rotasjonsakse med retning sørover, yz-planet går gjennom Greenwich (i London), og x-aksen står vinkelrett på yz-planet. Vi bruker måleenheten km langs aksene. I vanlige koordinater på jordoverflaten har vi og (Breddegrad Oslo, Lengdegrad Oslo ) = (59.9, 0.76 ) (Breddegrad London, Lengdegrad London ) = (5.48, 0.000 ) Slik x, y, z-koordinatene er definert her, vil lengdegrad og breddegrad falle sammen med (h, p)-koordinater slik at p = Breddegrad og h = Lengdegrad
a) Regn ut x, y, z-koordinatene til Oslo og London. Når vi bruker r, h, p-koordinater og måleenheten km har vi Oslo: r = 637, p = 59.9, h = 0.76. London: r = 637, p = 5.48, h = 0.000. Når vi bruker standard omregning fra r, h, p-koordinater til x, y, z-koordinater, finner vi at: Oslo har koordinater (596.4, 552.5, 337.9). London har koordinater (0, 4984.7, 3967.7) Legg merke til at London har x = 0. Det stemmer fint med at yz-planet går gjennom London. Det at begge byene har negativ y-koordinat stemmer godt overens med at byene ligger på den nordlige halvkulen. b) La C være sentrum i jordkloden O punktet Oslo og L London. Regn ut vinklen θ mellom CO og CL. Utifra det vi regnet ut i forrige punkt er og CO = [596.4, 552.5, 337.9] CL = [0, 4984.7, 3967.7]. Vinkelen mellom disse vektorene finner vi på den vanlige måten: ( ) CO CL θ = acos CO CL Vi vet allerede at CO = CL = 637 (km). Videre er CO CL 39928237. Dermed er ( ) 39928237 θ = acos 637 2 0.36
c) Regn ut avstanden mellom Oslo og London, målt langs jordoverflaten. Når vi måler vinkler i grader er buelengden i en sirkelsektor med vinkel θ og radius r, l = rθπ 80 I dette tilfellet får vi l = 637km 0.36 π 80 52km d) Vurder svaret i forrige punkt utifra informasjon du finner på internett om avstanden mellom London og Oslo. Ifølge www.timeanddate.com er avstanden på 56km. Ifølge http://www.happyzebra.com er avstanden på 28km. Ifølge http://se.distance.to/oslo/london er avstanden på 54km. Vi ser at vår beregning ligger i nærheten av andre beregninger. Obs: Det finnes mang grunner til at det skal være avvik her, f.eks at jorden ikke er helt rund, og at vi har valgt ganske tilfeldige punkter i Oslo og London for våre målinger.