Formelsamling til TEK-1011 Anvendt mekanikk Trigonometri Rettvinklet trekant Pythagoras: + BB = CC Generell trekant Sinussetningen: sin αα = BB sin ββ = CC sin γγ Cosinussetningen: = BB + CC BBBB cos αα Geometri (se også tabell på siste side) Volumsenter (tilsv. for yc og zc) Arealsenter (tilsv. for zc) Arealmoment xx cc = Σ(VV iixx ii ) yy ΣVV cc = Σ( iiyy ii ) = SS zz ii Σ ii Annet arealmoment Tverrsnittsmodul: SS zz = yy dddd = Σ( ii yy ii ) II yy = zz dddd WW yy = II yy zz mmmmmmmm Steiners formel II yy = II yy + dd Annet arealmoment når areal legges sammen II 1+ = II 1 + II + dd 1 1 + Iy = Annet arealmoment om y -akse Iy = Annet arealmoment om y-aksen gjennom arealsenter d = Avstand mellom y-akse og y -akse A = Flatens areal Annet arealmoment når areal trekkes fra II 1 = II 1 II dd 1 1 Momentsetningen Resultantens moment MR om fritt valgt momentpunkt er lik summen av kraftsystemets momenter om punktet. MM RR = Σ(FF ii aa ii ) + ΣMM ii MM RR = RR aa RR så lenge resultanten ikke blir et kraftpar Tyngde og tyngdepunkt Tyngde: GG = gg mm = ggρρρρ hvor gg = 9,81 N kg Tyngdepunkt: xx cc = ΣGG iixx ii ΣGG ii = Σmm iixx ii = ΣΣ(ρρ iivv ii xx ii ) Σmm ii ΣΣ(ρρ ii VV ii ) Beliggenhet ift fritt valgt referansepunkt (tilsv for yc og zc) Resultant Komponenter Mål Retning Beliggenhet RR xx = Σ(FF xxxx ) RR = RR RR yy = Σ FF yyyy xx + RR yy tan φφ RR = RR yy aa RR RR = Σ(FF ii aa ii ) xx RR
Statisk bestemthet U = L Antall likninger (generelt) LL = 3EE + PP + 0 E = antall elementer (generelle) P = antall partikler (knutepunkt) A = antall aksialstaver Fagverk: LL = PP UU = OO + Antall ukjente reaksjonskrefter UU = OO + PP + 3FF O = Ytre opplagerkrefter (fastholdinger mot omgivelsene) Fast innspenning = 3, Boltlager =, Glidelager/stanglager = 1 P = antall indre endeledd (knutepunkt / partikler) F = antall indre faste innspenninger A = antall aksialstaver Fordelt last (linjelast) Resultantens mål: xx Resultantens beliggenhet: FF RR = qq(xx) dddd FF RR xx RR = qq(xx)xx dddd xx 1 xx 1 Jevnt fordelt last Jevnt voksende last xx Egentyngde (bjelke) Hydrostatisk trykk (platestripe) Projeksjonslast, qp qq WW = GG LL = gggg TTTT qq HH = gggghbb Normalkomponent: qq NN = qq PP cos φφ ATS = Tverrsnittsareal b = Lastbredde Tangentialkomponent: qq TT = qq PP cos φφ sin φφ Kabelformler Kabelnedheng ved L/: (pilhøyde) Kabelparabel: ff = qqll 8SS oo Projisert linjelast: qq = qq gg ss LL zz(xx) = qqqq + h qq xx xx = 4ff SS oo LL SS oo LL + h 4ff xx LL LL xx Kabellengde: ss = LL 1 + 1 h LL + 8 3 ff LL Bunnpunkt, beligg. ift C: xx oo = hll 8ff oooo zz oo = h 16ff
Snittkrefter xx xx ΔVV = qq(xx) ddxx ΔM = VV(xx) ddxx xx 1 Fortegnsregler: xx 1 Fasthetslære, grunnleggende Aksialspenninger: Hookes lov: Forlengelse av aksialbelastet stav: σσ = FF σσ = EEEE LL = FFFF EEEE Tøyning: εε = LL LL Termisk tøyning: εε TT = αα TT Materialegenskaper Stål Aluminium Densitet, ρ 7 850 kg/m 3 700 kg/m 3 E-modul, E 10 GPa 70 GPa Temp.utvidelseskoeff., α 11 10-6 m/m C 3,8 10-6 m/m C Bøyespenningsformelen σσ BB = MM BB II yy zz σσ BB,mmmmmmmm = MM BB WW yy hvor WW yy = II yy zz mmmmmmmm Torsjonsskjærspenninger Sirkulært tverrsnitt ττ TT = MM TT II PP RR Rektangulært tverrsnitt b h ττ TT,mmaakkkk = MM TT bbh 3 + 1,8 h bb Tynnvegget rektangulær boks ττ TT = MM TT bbhtt Tynnvegget åpent tverrsnitt ττ TT = 3MM TT LLtt Polart arealmoment L = medianlinjens lengde II PP = ππ 3 dd4 = ππ rr4 II PP = ππ 3 (DD4 dd 4 ) II PP ππππrr 3
Skjærspenninger Klipping: ττ = VV TTTT TTTT = Tverrsnittsareal Bjelketeori ττ = VV II yy bb SS S = arealmoment av A-flaten om y-aksen Rektangulært tverrsnitt Sirkulært tverrsnitt Tynnvegget rør ττ mmmmmmmm = 3 VV ττ mmmmmmmm = 4 VV ττ 3 mmmmmmmm = VV Flytekriterier, σf = flytegrense Mises-kriteriet: σσ MM < σσ FF σσ + ττ σσ MM = σσ + 3ττ Plan spenning Generell spenningstilstand: Tresca-kriteriet: Hovedspenninger: σσ MM = σσ xx + σσ yy σσ xx σσ yy + 3ττ zzzz σσ MM = σσ xx + σσ yy + σσ zz σσ xx σσ yy + σσ yy σσ zz + σσ zz σσ xx + 3 ττ xxxx + ττ yyyy + ττ zzzz σσ TT = σσ mmmmmmmm σσ mmmmmm < σσ FF σσ 1 = σσ xx + σσ yy σσ ± σσ xx σσ yy + ττ Knekking Elastisk knekking (Eulerlast): Plastisk knekking (Johnsons parabel): Treghetsradius: FF EE = ππ EEII oo LL KK Eulerspenning: σσ EE = ππ EE λλ σσ KK = σσ FF 1 EE σσ FF λλ ππ ii yy = II yy / for < 0, λλ 1 > Slankhet: λλ = LL KK ii Relativ slankhet: λλ = λλ λλ 1 Slankhet hvor σe = σf: λλ 1 = ππ EE σσ FF Slankhet hvor σe = σf/: λλ 1 = ππ EE σσ FF
Fluidstatikk Tilstandslikning for ideell gass: pp = ρρρρρρ TT = Temperatur angitt i Kelvin ( + 73) RR = RR uu = Gasskonstant for aktuell gass MM J RR uu = 8314 = universell gasskonstant kmol K MM = Gassens molmasse (hentes fra materialtabeller) Hydrostatisk trykk: pp = pp oo + ρρρρh po = omgivelsestrykk Resultantkraft på plan flate: FF = (pp oo + ρρρρh cc ) A = Flatens areal hc = Dybde til flatens arealsenter Trykksenter, plan flate: h pp = h cc + II cc sin φφ φ = flatens vinkel ift. horisontalplan h cc + pp oo gggg Trykksenter, vertikal plan flate h uten po. pp = h cc + II cc h cc Trykktank med indre overtrykk Tangentielle normalspenninger: σσ φφ = rr tt pp Langsgående normalspenninger: σσ LL = rr tt
Deformasjon av enkle bjelker Største mulige utbøyning: uu mmmmmmmm = LL 8EEEE MM mmmmmmmm EIy = bøyestivhet, konstant δ = utbøying på midten umaks = største utbøying ulast = utbøying under punktlast xx = avstand fra A til punkt med maks. utbøying φa og φb = tangenthelning ved hhv. A og B [rad.] 1 uu mmmmmmmm = qqll4 8EEII φφ BB = qqll3 6EEII δδ = 17 qqll 4 384 EEII uu mmmmmmmm = FFLL3 3EEII φφ BB = FFLL EEII uu(xx) = FF EEII 1 6 xx3 LL xx δδ = 5 FFLL 3 48 EEII 3 uu mmmmmmmm = MMLL EEII φφ BB = MMMM EEII 4 5 uu mmmmmmmm = MMLL 9 3EEII φφ = MMMM 3EEII φφ BB = MMMM 6EEII uu mmmmmmmm = FFFF(LL bb ) 1,5 uu llllllll = FFaa bb 3LLLLII 9 3EEII FF aaaa(ll + bb) φφ = 6LL EEII uu(xx) = xx = 1 3 LL 3 δδ = MMLL 16EEII xx = LL bb 3 δδ = FF bb(3ll 4bb ) 48EEII φφ BB = FFFFFF 6LL EEII (LL bb xx ), FF aaaa(ll + aa) 6LL EEII xx aa 6 δδ = uu mmmmmmmm = FFLL3 48EEII φφ = φφ BB = FFLL 16EEII 7 δδ = uu mmmmmmmm = 5 qqll 4 384 EEII φφ = φφ BB = qqll3 4EEII
Flategeomteri Snittflate m/arealsenter Areal Annet arealmoment = bbh II yy = bbh3 1 II zz = hbb3 1 = ππ 4 dd = ππrr II yy = II zz = ππ 64 dd4 = ππ 4 rr4 II yy = II zz = = ππ 4 (DD dd ) ππ 64 (DD4 dd 4 ) II ππππrr 3 = bbh II yy = bbh3 36 II zz = hbb3 36 II yy = 0,11rr 4 = ππ rr II zz = ππ 8 rr4 = ππ 4 rr II yy = II zz = ππ 16 4 9ππ rr4 0,0549rr 4 = 1 ππ 4 rr II yy = II zz = 0,0075rr 4 yy cc = 5 1,5ππ rr 0,3rr 6 1,5ππ