Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x sinx uv u v uv gir: f x x sinx x cosx x sinx x cosx ) gx sinx sinxcosx sinx, x k cosx cosx g x cosx (x k) (Kan også bruke u v u vuv, men det blir svært tungvindt her.) v b) Finn integralet: xe x dx Delvis integrasjon ( vu vu v u): x ex ex ex dx x ex C xex 9 ex C 9 ex x C c) Løs ligningen ved regning: cosx sin x x, cosx cos x cos x cosx cosxcosx cosx cosx x k x k L,, d) Funksjonen f er gitt ved: fx lnx x. Finn ved regning maksimalpunktet til f. u v u vuv gir: v f x x xlnx lnx x x all-linjer: lnx e-------- x f x e-------- f max fe lne e e.68 Maksimalpunkt: (e, e y.5.5 5 7.5 x -.5 -.5 -.75-5 Oppgave I rondheim er daglengden (fra solen går opp til den går ned) gitt ved funksjonen f,der fx 8.sin x..6 fx er daglengden målt i timer, og x er antall dager fra nyttår. Det vil si at. januar svarer til x,. januar svarer til x og så videre. a) egn grafen til funksjonen for x, av 8 hd ls.tex
Naturlig å løse siste del av spørsmål b) først når man skal tegne en graf, men oppgaven mener vel at man bare skal bruke lommeregneren: y 5 5 5 5 x: antall dager etter. januar y: daglengde i timer Lommeregner: WINDOW: Xmin,Xmax,Ymin,Ymax5 Y8.sin(X/-.).6 b) Bruk grafen til å bestemme amplituden, likevektslinjen og perioden. Hvordan kan en også finne disse verdiene ved å studere funksjonsuttrykket? Avlest: (Marker avlesningene i grafen) fx A sin x d f max.9 f min. Amplitude: A fmaxf min.9. 8. Likevektslinje: d fmaxf min.9.. 6 Periode: (trekker likevektslinjen og finner mellom de to skjæringene) 8.5 Faseforskyvning: 8.5. Ut fra funksjonsuttrykket: Sammenligning av fx 8.sin x..6 og fx A sin x d gir A, d, og direkte. c)) Vis at f x.cos x. Kjerneregel med fx A sinu,u x gir: f x A cosuu cos x A cos x 8. cos x..cos x. ) Bruk f x til å finne ved regning hvilken dag i året som er lengst, og hvilken dag som er kortest. Egentlig tungvindt måte å gjøre dette på, i praksis ville man gjort det uten derivasjon: Lengste dag når sin x : x k x. k 7 k Altså dag 7. Korteste dag når sin x : x k x. k 56 k Altså dag 56. 5 k k 5 5 x Som oppgave tenker: f gir: x k av 8 hd ls.tex
x k x. k 7.7 k8.5 all-linjer eller graf viser at x 7 gir lengste dag, og x 56 gir korteste dag. d) Når øker daglengden raskest. Daglengden øker raskest når den deriverte er størst, altså når cos x. : x. k x. k. k 8.5 k Altsåpådag8. Eller direkte: sin x. øker mest når x. k (Vendepunkt) Richard dyrker grønnsaker i drivhus i rondheim. Han ønsker å sette opp et budsjett over energiforbruket for hver måned. en av budsjettpostene er utgifter til belysning. Han er derfor interessert i samlet daglengde fra. mars (x59) til og med. juni(x8). e) Hjelp Richard med hvordan han kan finne samlet daglengde i denne perioden. Samlet daglengde: S 8 x59 A sin x. d Med lommeregner: Y8.SIN(X/-.).6 sum(seq(y,x,59,8)) gir: S 56 Kan også tilnærme summen over med arealet under kurven mellom x 59 og x 8: 8 S A sin 59 8.cos x. x. ddx.6 x 8 59 Acos x..6 8 8.cos.7 8..6 59 8.cos.7 59. Lommeregner: fnint(y,x,59,8) gir: S Oppgave d x 8.6x 8.cos.7x. 8 59 Et tetraeder har en overflate som består av fire likesidede trekanter. I et spill bytter viut de to vanlige terningene med to tetraedre der sidene har fra ett til fire øyne. a) Lag en oversikt over de mulige utfallene ved å kaste to tetraedere. (Oppgaven burde her si hva vi observerer: Antall øyne på hvert identifiserbare tetraeder.) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Alle utfall like sannsynlige, uniformt: p b) Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen til X. Utfallene for X er sammensatt av utfallene i a): Utfall i eksperiment b): Utfall i eksperiment a): P(Xx)p(x): X, px X,,, px X,,,,, px......... X 8, px (Slår sammen ruter i tabellen i a)) 59 av 8 hd ls.tex
Vi får sannsynlighetsmodellen: x 5 6 7 8 PX x px c) Regn ut EX og VarX. 8 8 8 EX x xpx...8 8 5 (Hvilket vi kunne innsett direkte, da fordelingen er symmetrisk!) 8 VarX x x 8 px x x px 5 6 7 8 5. 5 Enklest med lommeregner: {,,,5,6,7,8}SOL {/,/,/,/,/,/,/}SOL -Var Stats L,L gir: x 5... x.58 Altså: EX 5 VarX x.58. 5 I et pengespill er innsatsen 5 kr for å kaste to tetraedre en gang. Hvis summen av øyne er mindre eller lik, så får spilleren ingen premie. Er summen av øyne større eller lik og mindre eller lik 6, så får spilleren en premie på kr. Er summen av øyne større eller lik 7, er premien kr. Vi ser på den stokastiske variabelen Y definert ved: Y gevinsten (premie minus innsats) ved å kaste to tetraedre en gang d) Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen til Y. X: Y: Q(Yy)q(y): X y 5 5 qy p p X 6 y 5 qy p p5 p6 5 8 7 X y 5 5 qy p7 p8 Vi får: y 5 5 PY y qy 5 8 e) Regn ut EY og kommenter svaret. EY y yqy 5 5 6. 5 Gjennomsnittlig tap i hvert spill vil etter mange spill bli kr 6.5, dette er altså ikke et spill man bør være med på. (Spiller man for eksempel ganger vil tapet med stor sannsynlighet ligge i nærheten av 65 kroner.) Oppgave Alternativ I Den indre formen på en skål er bestemt av at grafen til funksjonen f, gitt ved fx x,dreies 6 om førsteaksen. x, h a) Regn ut hvor mye skålen rommer når h. av 8 hd ls.tex
Omdreiningslegeme: V f xdx x dx x. 9 b) Bestem h slik at volumet til skålen er. h f xdx x h h Vi får ligningen: h h 6 h 6. 5 En lignende skål, men med flat bunn, kan fremkomme ved å dreie funksjonen g 6 om førsteaksen. Funksjonen er gitt ved gx x a,x,,a c) Hvor mye rommmer skålen når a? V x dx x x dx x 8 x 5 x 5 8 9. 5 5 d) Bestem a slik at volumet til skålen er. x a dx x ax a dx x 8a x 5 a x 5 8a a a 5 5 5a Vi får ligningen: a 5 5a 5a a 5 5a a 6 a 5 6 9 6 5 9 6 5 5766 6 Bare positiv løsning brukbar: a.7 6 Alternativ II En arkimedisk spiral er gitt som vektorfunksjonen r t at cost,at sin t, a,, t, a) Skisser spiralen for a.5,. og.5 når t,6. Lommeregner med Modepar (parameterfremstilling) X {.5,,.5}cos() Y {.5,,.5}sin() Window (utsnitt) bør angies. vil grafe alle tre variantene. (Bør antagelig tegne forskjellige skisser av dette...) 5 av 8 hd ls.tex
y 5.5-5 -.5.5 5 x -.5-5 I resten av oppgaven setter vi a. b) Bestem skjæringpsunktene med aksene når t,6. Skjæring med x-aksen gitt av: yt, d.v.s. t sin t t t k Altså:,,,,,,,,,,5,, 6, Skjæring med y-aksen gitt av: xt, d.v.s. t cost t t k Altså:,,,,,,, 5,, 7,, 9,, Parameteren t er i dette tilfellet vinkelen mellom r t og x-aksen. Da er et lite areal (A) mellom r t og r t t og kurven tilnærmet gitt av: A bueradius r t t r t r t t Summerer vi alle disse arealene mellom to t verdier, får vi: t t tt A tt r t t og som grenseverdi når t : t A r t dt t t r t dt t Dette arealet er arealet avgrenset av r t, r t og kurven gitt av r t. c) Vis at arealet begrenset av denne spiralen i første omløp og den positive x-aksen er gitt ved A. r t t cost t sin t t cos t t sin t t cos t sin t t A r t dt t dt 6 6 8 t d) En sølvtråd til en bildevev skal ha form som en slik spiral med tre hele omløp. Hvor lang sølvtråd går med til 5 slike spiraler? En enhet tilsvarer cm. r t cost t sin t,sint t cost cost t sin t,sint t cost r t cost t sin t sin t t cost cos t costtsint t sin t sin t sinttcost t cos t cos t sin t t sin t cos t t 6 6 s r t dt t dt 79.7 Lommeregner: fnint( ^,,,6 gir 79.7. 5 spiraler: 5 79.7cm 8985cm 89.85m 9m Oppgave 5 Vi ser på den uendelige rekken: 6 av 8 hd ls.tex
9... a) Skriv opp de tre neste leddene i rekken. Er denne rekken geometrisk? a n n a 5,a 5 5 6,a 6 6 7 7 9 a a, a a 9 9 Ikke geometrisk, da forholdet mellom påfølgende ledd ikke er konstant. I figuren (utelatt her) er det tegnet rektangler med bredde lik. Gjennom rektanglenes høyre hjørner er det tegnet grafen til funksjonen fx x b) Forklar at S til rekken i a) er lik summen av arealene til de fire rektanglene på figuren. Sum rektangler: R sum x fx x f f f f S 9 c) Forklar videre at: S fxdx Av figuren ser vi at arealet i integralet er større enn a a a. Da a, har vi: S a a a fxdx Fra teorien om rekker i matematikken har vi følgende setning om konvergens: Dersom en tallfølge S n er voksende og hvert ledd er mindre enn et fast tall k, så er tallfølgen konvergent. d) Bruk denne setningen og forklar at rekken i a) konvergerer og at summen av den uendelige rekken er mindre enn. Summen av n antall ledd (S n i rekken S betrakter vi her som en følge! n Resultatet i c) kan generaliseres til n: S n fxdx som igjen er mindre enn: fxdx x x dx x lim x x Alle leddene er følgelig mindre enn k og tallfølgen S n er konvergent etter teoremet. Dette viser samtidig at summen av den uendelige rekken, S, er mindre enn. I et matematisk oppslagsverk kan vi finne: 6 9... e) Bruk lommeregneren og finn ved å prøve deg frem hvor mange ledd vi må summere for å få med 99% av summen til den uendelige rekken. n Vi regner ut S n x på lommeregner ved å bruke: x Y/X ^ sum(seq(y,x,,n).99. 685 6 Litt prøving gir:... sum(seq(y,x,,6).68558.685 sum(seq(y,x,,6).68676.685 Vi må altså summere minst 6 ledd. 7 av 8 hd ls.tex