Side 1 av 1 Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: okmål Dato: 30.11.016 Tid: 5 timer / kl. 9-14 tall sider ikl. forside: 1 tall ogaver: 10 Tillatte hjelemidler: Forhådsgodkjet ordbok. Hådholdt kalkulator som ikke kommuiserer trådløst og som ikke ka rege symbolsk. Merkad: Kadidate må selv kotrollere at ogavesettet er fullstedig. Ved evetuelle uklarheter i ogavetekste skal du redegjøre for de forutsetiger du legger til gru for løsige. esvarelse skal merkes med kadidatummer, ikke av. ruk blå eller sort kulee å iførigsarket. Faglig veileder: Eva Hadler Vihovde Utarbeidet av faglærer: Eva Hadler Vihovde Kotrollert av e av disse: e lærer Sesor Istituttleder/ Programkoordiator Istituttleders/ Programkoordiators uderskrift: Emekoder: DPE1300 ITPE1300
Side av 1 lle de 10 ogavee teller likt. I ogaver med uderukter vil krevede og mer omfattede uderukter kue telle mer e lette og ekle uderukter. Det er ikke slik at lette ogaver kommer først og vaskelige til slutt. ruk derfor ikke for mye tid å e ogave du ikke får til. Prøv istede e y ogave. lle svar skal begrues! Det ka for eksemel skje ved at du tar med mellomregiger eller gir adre former for argumetasjo. Ku et svar ute oe begruelse er ormalt verdiløst. Ogave 1 a Utsagee uder omhadler arbeidskrav, eksame og karakter i faget Diskret matematikk. La utsagee, og r være gitt ved: : Jeg har bestått arbeidskravee. : Jeg ka ta eksame. r: Jeg ka få. Skriv følgede utsag ved hjel av, og logiske oeratorer: i Jeg har bestått arbeidskravee og ka ta eksame, me jeg ka ikke få. ii iii Jeg ka ta eksame bare hvis jeg har bestått arbeidskravee. Hvis jeg verke har bestått arbeidskravee eller ka ta eksame, så ka jeg ikke få. Er oe av utsagee ekvivalete? b La og være utsag. vgjør om utsagee og er ekvivalete. c La utsagsfuksjoe Px, y være defiert ved setige «x er glad i y», der x og y er ersoer. Skriv følgede utsag ved hjel av logiske oeratorer, kvatorer og utsagsfuksjoe P : i «lle er glad i Kari.» ii «Ige er glad i Per.» iii «Ikke alle er glad i oe.»
Side 3 av 1 Ogave a La megdee og være gitt ved = {1,, 3, 4 } og = {3, 4, 5, 6 }. Fi megdee i ii iii iv v b La, og C være vilkårlige megder. Er megdee C og C like? vgjør det ved å tege et Ve-diagram for hver av dem der du skravérer de aktuelle områdee. c Fi e megdeformel med, og C for det skraverte området i Vediagrammet: d På e arbeidslass ble det foretatt e udersøkelse av hvilke aviser de asatte leste daglig. Udersøkelse viste at 150 ersoer leste fteoste, 100 ersoer leste VG mes 70 leste Dagbladet. Videre leste 80 ersoer både fteoste og VG, 45 ersoer leste både fteoste og Dagbladet, 10 ersoer leste VG og Dagbladet mes ku 5 ersoer leste alle tre avisee daglig. i Hvor mage ersoer leste mist e av de tre avisee? ii iii Hvor mage leste ku fteoste? Hvor mage leste ku é avis? Vis hvorda du har kommet frem til svaree.
Side 4 av 1 Ogave 3 La være megde av de ikke-egative heltallee, dvs. = {0, 1,, 3, 4,....}. La f: og g: være fuksjoee defiert ved fx = x mod 9 gx = x div 9 a Fi fx og gx for x = 8, x = 9 og x = 18. b Fi verdimegdee til f og g. c vgjør om f og g er i å? ii e-til-e? Ogave 4 Gitt de logiske matrise La = [] = være det logiske matriseroduktet av med seg selv. a Vis at b Fi. c Fi. d Fi [] [3]. Ogave 5 I ogave a og b skal du vise hvorda du har kommet frem til svaree UTEN bruk av kalkulator. a Heltallet a = 110011001001100110101010 er gitt å biær form. i Fi a å heksadesimal form.
Side 5 av 1 ii Fi a å desimal form. Svaret ka gjere skrives som e sum av faktorer. b Heltallet b = 71710 er gitt å desimal form. i Fi b å biær form. ii Fi b å oktal form. c Fi summe av følgede rekke: 6 + 11 + 16 + 1 +... + 166 + 171 d Fi summe av følgede rekke: + 6 + 18 + 54 + 16 +... + 1458 Ogave 6 a Hvor mage ermutasjoer av bokstavee CDEFG fies det? b Hvor mage ermutasjoer av bokstavee CDEFG ieholder bokstavrekke FG? okstavrekke CFGED er e slik ermutasjo. c På hvor mage måter ka ma fordele 0 like bøker i tre esker, eske, eske og eske C? Ogave ka løses å mage måter. Hvis du står fast kaskje følgede tis hjele deg å vei: Tek deg at du lasserer bøkee etter hveradre å e lije, og av du lasserer to skillevegger iimellom bøkee. økee som står til vestre for de vestre skillevegge er eske i, bøkee som står mellom de to skilleveggee er i eske, mes bøkee som står til høyre for de høyre skillevegge er i eske C. På figure over er det 4 bøker i eske, 6 bøker i eske og 10 bøker i eske C. Hvis skilleveggee står itil hveradre ute bøker imellom er eske tom. Hvis de vestre skillevegge står legst til vestre ute bøker å si vestre side er eske tom. Hvis de høyre skillevegge står legst til høyre ute bøker å si høyre side er eske C tom. d På hvor mage måter ka bøkee fordeles i eskee hvis det skal være mist é bok i hver eske?
Side 6 av 1 Ogave 7 a La åstade P være defiert ved: 1 + + + 3 + 4 +... + -1 = - 1 ruk iduksjo til å vise at P er sa for alle 1. b Fi miste felles multilum av tallee 5 og 198 ved hjel av rimtallsfaktoriserig. c ruk Euklids algoritme til å fie største felles divisor faktor til de samme tallee, dvs. tallee 5 og 198. d Hvilke sammeheg er det mellom største felles divisor faktor av to tall og miste felles multilum av de samme tallee? ruk dee sammehege til å sjekke om svaree du fikk i ukt b og c er riktige. Ogave 8 Gitt differesligige a a 1 6a, der og iitialbetigelsee a 0 = 3 og a 1 = 6. a Fi a og a 3. b estem differesligiges karakteristiske olyom. c Løs differesligige slik at du fier e formel for a der ikke de to foregåede leddee igår. Vis at formele di stemmer ved å sette i = og = 3. Da skal du få de samme resultatee som i ukt a. Ogave 9 La = {1,, 3, 4} og R være relasjoe å gitt ved a, b R hvis og bare hvis a + b er et oddetall. Det betyr at for eksemel 1, R side 1 + = 3 er et oddetall, mes 1, 3 R fordi 1 + 3 = 4 er et artall. a Sett o relasjoe R i form av e megde av tallar. b Teg grafe GR til relasjoe R. c Fi matrise MR til relasjoe R.
Side 7 av 1 d vgjør om R er i refleksiv? ii symmetrisk? iii trasitiv? egru svaree. Ogave 10 Figure over viser rommee i et hus. Det er fire rom med av,, C og D. I hvert rom er det et atall dører markert å figure med åiger. For eksemel er det fire dører i rom. De døree som går ut til E kalles ytterdører og de som går mellom to rom kalles ierdører. a La hvert av rommee,, C, D og utedørs E være ukter i e graf med døree som kater mellom uktee. Teg grafe og bestem grade til hvert av de fem uktee i grafe. b Er det mulig å starte i et av rommee eller evetuelt utedørs og så gå gjeom hver eeste dør øyaktig é gag? Sagt å e ae måte: Fies det e åe eller lukket Euler-vei gjeom grafe? egru svaret. c Tek deg at det skal settes i e y ytterdør i huset. Vil det da være mulig å starte i et av rommee eller evetuelt utedørs og så gå gjeom hver eeste dør øyaktig é gag? Hvor måtte de ye ytterdøre i så fall settes i? Sagt å e ae måte: Fies det å e åe eller lukket Euler-vei gjeom grafe etter at de ye ytterdøre er satt i i huset? egru svaret.
Side 8 av 1 Vedlegg Defiisjoer og formler Logiske oeratorer: ikke, og, eller, eksklusiv eller, imlikasjo Noe ekvivaleser fra utsagslogikk: r r r r x P x x xp x P x x xp Noe megdeidetiteter: C C C C Kardialitet atallet elemeter i e uio: C C C C C Fuksjoer: I fuksjoe f : betyr defiisjosmegde og verdiområde. E fuksjo f : er e-til-e hvis a a 1, og 1 a a, medfører at 1 a f a f. E fuksjo f : er å hvis a b slik at b a f. Matriser De trasoerte til e matrise beteges med T og er de matrise vi får år radee og koloee i byttes om. Første rad i blir første koloe i T, adre rad i blir adre koloe i T, osv. Det betyr sesielt at hvis er e m matrise, så blir T e m matrise.
Side 9 av 1 Heltallsdivisjo divisjosalgoritme, div og mod: La a være et heltall og d et ositivt heltall. Da fies etydige heltall og r med 0 r d slik at a d r. Oerasjoee div og mod defieres ved at a div d og a mod d r. Største felles divisor Største felles divisor greatest commo divisor gcd for to hele tall som ikke begge er 0, er det største heltallet som går o i begge tallee. Miste felles multilum Miste felles multilum least commo multile lcm for to ositive heltall er det miste ositive heltallet som begge går o i. Formel gcda,b og lcma,b: Hvis gcd a, b er største felles divisor for a og b og lcm a, b er miste felles multilum for a og b, så er ab gcd a, b lcm a, b Moduloregig: La m være et ositivt heltall. To heltall a og b kalles kogruete modulo m hvis m går o i a b og det beteges med a b mod m. 1 a b mod m hvis og bare hvis a mod m = b mod m a b mod m og c d mod m, så er a c b d mod m og ac bd mod m. Tverrsum La a være et ositivt heltall. Tverrsumme til a er kogruet med a modulo 9. Summe av rekker: 1 k r 1 Geometrisk rekke: ar a, r 1 k 0 r 1 ritmetisk rekke: La a være første ledd, b siste ledd og d differese mellom to og to b a a b ledd. tall ledd er gitt ved 1 og summe er lik d iomialkoeffisieter:! 1 r 1 r r! r! r!, 1 0, 1, 1, r r 1 1, r r r 1
Side 10 av 1 iomialteoremet: a b k 0 k k k 1 a b a a b a b k0 k 0 1 1 ab 1 b tall forskjellige utvalg å r stykker fra e samlig å stykker: Ordet ute tilbakeleggig: 1 r 1 Uordet ute tilbakeleggig: r Ordet med tilbakeleggig: r Uordet med tilbakeleggig: r 1 r Det geerelle «igeohole»-risiet: Hvis N objekter skal lasseres i k bokser, må mist N é boks ieholde mist k objekter. Differesligiger: De geerelle lieære homogee differesligige av orde med kostate koeffisieter er å forme a c a c a 1 1 der c 1 og c er kostater. Ligiges karakteristiske olyom er gitt ved: r c r c. 1 Hvis det karakteristiske olyomet har to forskjellige reelle løsiger r 1 og r, blir geerell løsig lik r r der og er vilkårlige kostater. Hvis a 1 startbetigelsee a 0 og a1 er gitt, fier e og ved å løse et ligigssystem. Hvis det karakteristiske olyomet har ku é løsig r 0, blir geerell løsig lik a r0 r0 der og er vilkårlige kostater. Hvis startbetigelsee a 0 og a1 er gitt, fier e og ved å løse et ligigssystem.
Side 11 av 1 Relasjoer: E relasjo R å e megde er e delmegde av roduktmegde. La R være e relasjo å e megde. R er refleksiv hvis a, a R for alle a. R er symmetrisk hvis a, b R, så er b, a R. R er atisymmetrisk hvis a b og a, b R, så er b, a R. R er trasitiv hvis a, b R og b, c R, så er a, c R. E artisjo E samlig delmegder 1,, 3,..., av e megde utgjør e artisjo av hvis 1 3... og Ø for alle i j. Ekvivalesrelasjoer i E relasjo R å e megde er e ekvivalesrelasjo hvis de er refleksiv, symmetrisk og trasitiv. Ekvivalesklasser j Hvis R er e ekvivalesrelasjo å e megde og a, så er ekvivalesklasse [a] til a defiert ved [ a] { b a, b R}. Eller med ord: [a] er lik megde av de b som er relatert til a. Ekvivalesklassee til e relasjo utgjør e artisjo av. Delvis- eller artiell ordig E relasjo R å e megde er e delvis ordig hvis de er refleksiv, atisymmetrisk og trasitiv. Hvis dette er ofylt, sier vi at er e delvis ordet megde med hesy å R. Et elemet a er et maksimalt elemet hvis det ikke fies oe b b a slik at a, b R. Det betyr at det er ikke oe elemet som kommer «etter» a i ordige. Tilsvarede er et elemet a et miimalt elemet hvis det ikke fies oe b b a slik at b, a R. Grafteori: Grade til et ukt. La a være et ukt eg: vertex i e urettet graf. Grade grad a til a er atallet kater kyttet til uktet.
Side 1 av 1 Grad-kat-setige: La G være e urettet graf med edelig mage kater. Da vil summe av gradee til uktee i G være dobbelt så stor som atallet kater. Eulers setig: E sammehegede urettet graf med mist to ukter har e lukket Euler-vei e Euler-sykel hvis og bare hvis alle uktee i grafe har artallsgrad. E sammehegede urettet graf har e åe ikke-lukket Euler-vei hvis og bare hvis øyaktig to ukter i grafe har oddetallsgrad.