MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene 8 4.1 Rasjonale tall............................. 8 4.2 Matriser og vektorer......................... 8 4. Tupler................................. 8 Merknader 1. Hver student får sin egen variant av obligen. Variantene er like vanskelige. 2. Før du leverer besvarelsen, les Seksjon 4 om hvordan du formaterer svarene.. Les gjerne eksemplene fra Seksjon. 1
1 OPPGAVE Beregn determinanten det A til en 4 4 matrise A som avhenger av en parameter λ. Determinanten det A blir da et polynom av grad 2: det A = F (λ) = f 0 + f 1 λ + f 2 λ 2. Du oppgir radvektoren i svaret. For eksempel, hvis [f 0, f 1, f 2 F (λ) = 17 + 5λ 2, vil svaret bli [-17,0,5. Hint: for å unngå divisjon med uttrykk som inneholder λ, flytt først alle radene med λ nedover. Bruk Gauss for å redusere matrisen til en blokktriangulær matrise (Kompendium, Definisjon 4.4) med blokkene 1 1, 1 1, og 2 2, og bruk Teorem 4.5. Det er mulig (men anbefales ikke!) å bruke én av kolonneoperasjoner (å bytte to kolonner for å flytte kolonnene med λ til høyre). Husk å endre fortegnet foran determinanten hvis du bytter to kolonner! 2 OPPGAVE Gitt 6 radvektorer v 1, v 2, v, v 4, w, u R 4. La V = span (v 1, v 2, v, v 4 ) R 4 være spennet av vektorene v i (the subspace spanned by v i ). a) Tuppelet G = (v 1, v 2, v, v 4 ) er lineært avhengig. Finn en ikke-triviell lineær kombinasjon av v i som er lik 0: a 1 v 1 + a 2 v 2 + a v + a 4 v 4 = 0. Svaret oppgis som en radvektor a = [ [ a 1 a 2 a a 4 0 0 0 0. For eksempel, hvis 1 2 v 1 + 0 v 2 4v + 11v 4 = 0, 2
vil svaret bli [1/2,0,-4,11. b) Beskriv w som en lineær kombinasjon av vektorene v i : w = d 1 v 1 + d 2 v 2 + d v + d 4 v 4. Svaret oppgis som en radvektor d = [ d 1 d 2 d d 4. c) Finn en basis G = (g 1, g 1,..., g k ) for underrommet V. Svaret oppgis som et k-tuppel (se Subseksjon 4.) av radvektorer. For eksempel, hvis svaret er G = ([ 1 1 0 0, [ 1 0 2 ), skal det skrives som ([1,-1,0,0,[1,0,2,). Legg merke til runde parenteser rundt tuppelet, kvadratparenteser rundt vektorene, kommaene mellom vektorene (slik betegnes et tuppel) og kommaene mellom koordinatene (fordi tuppelet består av radvektorer). d) Finn koordinatvektoren [u G = h = [ h 1 h 2... h k til vektoren u mht basisen G (the coordinate vector of u relative to the base G). Svaret oppgis som en radvektor. Hint: alle vektorer i oppgaven er skrevet som radvektorer. Det er lurt å konvertere (dvs. å transponere, beregne the transpose, Def. 1..7 i boka) noen av dem til kolonneform.
Eksempler.1 Oppgave 1 La A = 1 1 2 1 λ 4 1 1 5 λ 2 5 2 2 La oss beregne determinanten det A på den samme måten som i Eks. 4.2 i Kompendium. Vi skal unngå å dele med uttrykk med λ, og derfor flytter slike uttrykk nedover. Det er lurt også å flytte radene med ±1 oppover for å unngå brøker. Husk å sette minus foran determinanten når du bytter to rader. 1. det A = 1 1 2 1 λ 4 1 1 5 λ 2 5 2 2. (bytter rad nr. 1 og 2) = 1 λ 4 1 2. 1 1 2 1 5 λ 2 (setter felles multiplum 1 fra rad nr 1 foran de- 5 2 2 terminanten) = 1 λ 4 1. 1 1 2 1 5 λ 2 (bruker radoperasjon nr tre ganger) = 5 2 2 1 λ 4 1 4. 0 λ 1 1 5 0 0 5λ 18 7 Metode 1: Vi har allerede fått en øvre blokk-triangulær matrise med to blokker 1 1 og, derfor, i følge Teorem 4.5 fra Kompendium, er determinanten lik det A = 1 λ 1 1 5 5λ 18 7 = = ((λ 1) (λ 4) 7 + 1 ( 1) ( 5λ) + ( 5) ( λ 5) ( 18)) (( 5) (λ 4) ( 5λ) + ( 18) ( 1) (λ 1) + 1 ( λ 5) 7) = 4λ 2 + 6λ 48. Svaret som skal skrives i feltet for f, blir da [-48,6,-4. 4
Metode 2: Vi kan forenkle den siste determinanten ved å addere rad nr. 2 ganger 5 til rad nr. 1 og rad nr. 2 ganger 7 til rad nr.. Bytter deretter rader nr. 2 og : λ 1 1 5 5λ 18 7 = 8λ + 24 5λ 0 12λ 2 7λ 46 0 = 8λ + 24 5λ 0 12λ 2 7λ 46 0 Den siste matrisen er en nedre blokk-triangulær matrise med blokker 2 2 og 1 1, derfor er determinanten lik 8λ + 24 5λ 12λ 2 7λ 46 det [ 1 = ( 4λ 2 + 6λ 48 ) ( 1) = 4λ 2 +6λ 48. Merknad.1 Det er mulig å bruke kolonneoperasjoner for determinanter. Kolonneoperasjoner generelt anbefales ikke. La oss tillate kun denne operasjonen: bytt to kolonner og sett minus foran determinanten. Se Metode nedenfor: Metode : bytter kolonner nr. 1 og, og bruk radoperasjoner etterpå: λ 1 1 5 det A = 5λ 18 7 = 5 1 λ 1 1 λ 4 λ 5 7 18 5λ = 1 λ 4 λ 5 5 1 λ 1 7 18 5λ 1 λ 4 λ 5 = 0 5λ 8λ + 24 0 7λ 46 12λ 2 = ( 1) 5λ 8λ + 24 7λ 46 12λ 2 = 4λ2 + 6λ 48..2 Oppgave 2 Anta at v 1 = [ 8, v 2 = [ 6 18 11 6, v = [ 5 11 0 5, v 4 = [ 2 2 2, w = [ 0 0 5 0, u = [ 9 25 14 9. La oss sette vektorene som kolonner i en matrise [ A = (v 1 ) T (v 2 ) T (v ) T (v 4 ) T (w) T (u) T = T 8 6 18 11 6 = 5 11 0 5 2 2 2 = 0 0 5 0 9 25 14 9 8 18 11 2 0 25 11 0 5 14.. 5
La oss utføre Gauss-Jordan på denne siste matrisen. Vi prøver å unngå brøker så lenge som mulig! 8 18 11 2 0 25 11 0 5 14 Gauss r 2 r 2 + r 11 0 5 14 0 5 5 5 5 5 0 4 0 40 7 0 9 8 5 45 42 r r + 4r 2 r 4 r 4 + 9r 2 Jordan r 1 r 1 11r r 2 r 2 r 1 0 0 12 24 10 0 1 0 7 4 0 0 0 0 0 0 r 2 r 2 r 1 r r r 1 r 4 r 4 r 1 r 2 1 5 r 2 0 1 1 1 1 1. 11 0 5 14 0 9 8 5 45 42 0 4 0 40 7 0 9 8 5 45 42 1 15 0 81 50 0 1 0 7 4 0 0 0 0 0 0 = [ c 1 c 2 c c 4 y z. 0 1 1 1 1 1 0 4 0 40 7 0 9 8 5 45 42 r 4 r 4 r r 1 r 1 15r 2 r 1 r 2 r 2 r 2 r 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Det er klart at c 4 = 12c 1 + c 2 4c, eller 12c 1 + c 2 4c c 4 = 0. I følge Teorem 6.1(1) fra Kompendium, er 12 (v 1 ) T + (v 2 ) T 4 (v ) T (v 4 ) T = 0, derfor Vi har funnet 12v 1 + v 2 4v v 4 = 0. a = [ a 1 a 2 a a 4 = [ 12 4 1, 6
og vi skal skrive [-12,,-4,-1 i feltet 2a. Siden y = 24c 1 + 7c 2 6c = 24c 1 + 7c 2 6c + 0c 4, er, i følge Teorem 6.1(2) fra Kompendium, og w = 24v 1 + 7v 2 6v + 0v 4, d = [ d 1 d 2 d d 4 = [ 24 7 6 0. Vi skal skrive [-24,7,-6,0 i feltet 2b. Det er klart at G = (c 1, c 2, c ) danner en basis for V = span (c 1, c 2, c ) = span (c 1, c 2, c, c 4 ). I følge Teorem 6.1(6) fra Kompendium, danner G = (v 1, v 2, v ) en basis for V = span (v 1, v 2, v, v 4 ) = span (v 1, v 2, v ). Vi skal da skrive ([,-8,,,[6,-18,11,6,[-5,11,0,-5) i feltet 2c. Endelig, siden z = 10c 1 + ( 4) c 2 + c, er, i følge Teorem 6.1(2), Koordinatvektoren er lik og vi skal skrive [10,-4, i feltet 2d. u = 10v 1 + ( 4) v 2 + v. (u) G = (z) G = [ 10 4, 7
4 Formatering av svarene 4.1 Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som 120, 0, -22 osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -2/ for 2, 45/17 for 45 17. Merknad. Tall på formen 7 2 11 eller 2 17 er ikke tillatt. Skriv -2/ eller 45/17 i stedet. 4.2 Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen 1 2 11 4 0 5 4 5 0 11 1 5 2 2 skal skrives som [1,2,-/11,4;0,-5/4,5,0;11/5,,1/2,2, radvektoren (the row vector) [ 1 2 11 4 skal skrives som [1,2,-/11,4, og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [1;0;11/5. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 4. Tupler 1 0 11 5 Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R 5 består av kolonnevektorer 1 6 11 1 17 2 G = (g 1, g 2, g, g 4, g 5 ) = 4, 7 8 9, 12 1 0, 1 1 1, 18 19 20, 5 0 0 1 0 8
er G et 5-tuppel, og skal skrives ned som ([1; 2; ; 4; 5, [6; 7; 8; 9; 0, [11; 12; 1; 0; 0, [1; 1; 1; 1; 1, [17; 18; 19; 20; 0) Merknad 4.1 Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i 5-tuppelet er separert med kommaer. Hvis vi betrakter R n som mengden av radvektorer, skal en basis også bestå av kolonner, f. eks. G = (g 1, g 2, g, g 4, g 5 ) = ([ 1 2 4, [ 6 7 8 9, [ 11 12 1 0, [ 1 1 1 1 ) er en basis for R 4. Denne basisen skal skrives ned som ([1, 2,, 4, [6, 7, 8, 9, [11, 12, 1, 0, [1, 1, 1, 1) Legg merke til kommaer som separerer både vektorer i tuppelet, og elementer i vektorer. 9