EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet er på 3 sider eks forside, og inneholder 4 deloppgaver: abcd, 2abc, 3abcd, 4abc Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov Telefon: 93 67 58 32 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen
Begrunn svarene dine, vis fremgangsmåten ved oppgaveløsningen tydelig! OPPGAVE Vi ser på et lineært system Cx = b, der C = b = a 2 a 2 2, a) Beregn determinanten det C For hvilke a R er matrisen C invertibel? b) For hvilke a R er systemet konsistent (dvs at det har løsninger)? c) For hvilke a R har systemet en entydig løsning? d) For hvilke a R har systemet uendelig mange løsninger? 2 OPPGAVE Gitt 4 vektorer i R 3 : (v, v 2, v 3, v 4 ) =,,, Betrakt to basiser for R 3 (du behøver ikke å sjekke at de er basiser) G = (v, v 2, v 3 ), der H = (h, h 2, h 3 ), h = v 2, h 2 = v 3, h 3 = v 4
a) Finn koordinatvektoren [v 4 ] G mht basisen G (the coordinate vector of v 4 relative to G) b) Finn overgangsmatrisen P G H fra basisen H til basisen G (the transition matrix from H to G) Merknad I læreboka betegnes en slik matrise som P H G c) Finn overgangsmatrisen P H G fra basisen G til basisen H (the transition matrix from G to H) Merknad I læreboka betegnes en slik matrise som P G H 3 OPPGAVE Gitt matrisen A = a) Finn det karakteristiske polynomet (the characteristic polynomial) til matrisen A b) Vis at og 2 er egenverdier (eigenvalues) til A Finn alle egenvektorer (eigenvectors) til A c) Undersøk om A er diagonaliserbar (diagonalizable) Hvis svaret er ja, finn en invertibel matrise P og en diagonalmatrise D slik at P AP = D d) Undersøk om A er ortogonalt diagonaliserbar (orthogonally diagonalizable) Hvis svaret er ja, finn en ortogonal matrise Q slik at 4 OPPGAVE Q T AQ = D La V = P 2 være vektorrommet av polynomer av grad 2 med standardbasisen G = (g, g 2, g 3 ) = (, x, x 2), og la W = Mat 2 2 være vektorrommet av reelle 2 2 matriser med standardbasisen ([ ] [ ] [ ] [ ]) H = (h, h 2, h 3, h 4 ) =,,, 2
Gitt også matrisene En lineær transformasjon er gitt ved For eksempel, hvis er C = B = [ ] 2, 3 2 [ ] 4 6 T : V W T (f) = f (C) f (x) = 4 3x + 2x 2, T (f) = f (C) = 4 I 2 3C + 2C 2 = [ ] [ ] [ 2 2 = 4 3 + 2 3 2 3 2 [ ] 5 6 = W 9 8 ] 2 = a) Vis at matrisen [T ] H G til denne transformasjonen mht basisene G og H (the matrix for T relative to the bases G and H) er lik 7 [T ] H G = 3 9 2 6 2 Merknad: i læreboka betegnes en slik matrise som [T ] H,G b) Finn en basis for kjernen (the kernel) ker (T ) og nulliteten (the nullity) til T Minner om at ker (T ) består av alle vektorer f V (dvs polynomer) som tilfredsstiller likningen [ ] T (f) = = W Hva er rangen (the rank) til T? c) Finn alle polynomer f, som tilfredsstiller likningen T (f) = B LYKKE TIL! 3
EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Lovlige hjelpemiddel: Godkjent kalkulator, to A4 ark eigne notatar og Rottmanns tabellar Oppgåvesettet er på er 3 sider eks forside, og inneheld 4 deloppgåver: abcd, 2abc, 3abcd, 4abc Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov Telefon: 93 67 58 32 NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med oppgåvesvaret
Grunngi svara dine, vis framgangsmåten ved oppgåveløysinga tydeleg! OPPGÅVE Vi ser på eit lineært system Cx = b, der C = b = a 2 a 2 2, a) Rekn ut determinanten det C For kva for a R er matrisa C inverterbar? b) For kva for a R er systemet konsistent (dvs at det har løysingar)? c) For kva for a R har systemet ei eintydig løysing? d) For kva for a R har systemet uendeleg mange løysingar? 2 OPPGÅVE Gitt 4 vektorar i R 3 : (v, v 2, v 3, v 4 ) =,,, Sjå på to basisar for R 3 (du treng ikkje sjekke at de er basisar) G = (v, v 2, v 3 ), der H = (h, h 2, h 3 ), h = v 2, h 2 = v 3, h 3 = v 4
a) Finn koordinatvektoren [v 4 ] G mot basisen G (the coordinate vector of v 4 relative to G) b) Finn overgangsmatrisa P G H frå basisen H til basisen G (the transition matrix from H to G) Merknad I læreboka vert ei slik matrise kalla som P H G c) Finn overgangsmatrisa P H G frå basisen G til basisen H (the transition matrix from G to H) Merknad I læreboka vert ei slik matrise kalla som P G H 3 OPPGÅVE Gitt matrisa A = a) Finn det karakteristiske polynomet (the characteristic polynomial) til matrisa A b) Vis at og 2 er eigenverdiar (eigenvalues) til A Finn alle eigenvektorar (eigenvectors) til A c) Undersøk om A er diagonaliserbar (diagonalizable) Hvis svaret er ja, finn ei inverterbar matrise P og ei diagonalmatrise D slik at P AP = D d) Undersøk om A er ortogonalt diagonaliserbar (orthogonally diagonalizable) Hvis svaret er ja, finn ei ortogonal matrise Q slik at 4 OPPGÅVE Q T AQ = D La V = P 2 vere vektorrommet av polynom av grad 2 med standardbasisen G = (g, g 2, g 3 ) = (, x, x 2), og la W = Mat 2 2 vere vektorrommet av reelle 2 2 matriser med standardbasisen ([ ] [ ] [ ] [ ]) H = (h, h 2, h 3, h 4 ) =,,, 2
Gitt også matrisene Ein lineær transformasjon er gitt ved Til dømes, viss er C = B = [ ] 2, 3 2 [ ] 4 6 T : V W T (f) = f (C) f (x) = 4 3x + 2x 2, T (f) = f (C) = 4 I 2 3C + 2C 2 = [ ] [ ] [ 2 2 = 4 3 + 2 3 2 3 2 [ ] 5 6 = W 9 8 ] 2 = a) Vis at matrisa [T ] H G til denne transformasjonen mot basisane G og H (the matrix for T relative to the bases G and H) er lik 7 [T ] H G = 3 9 2 6 2 Merknad: i læreboka vert ei slik matrise kalla som [T ] H,G b) Finn ein basis for kjerna (the kernel) ker (T ) og nulliteten (the nullity) til T Minner om at ker (T ) består av alle vektorar f V (dvs polynom) som tilfredsstiller likninga [ ] T (f) = = W Kva er rangen (the rank) til T? c) Finn alle polynom f, som tilfredsstiller likninga T (f) = B TIL LYKKE! 3