FYS40 Kodeserte fsers fysikk Modul Sidre Rem Bilde 8. februr 06
ppgve - Cl krystll At et uedelig lgt Cl gitter i e dimesjo. ) Velg e bsis for ehetcelle til dette gitteret. Svr: Bsise blir ett trium-io og ett klorio. Som plsseres i et edimesjolt gitter med kostt puktvstd. c) At e edelig krystll med e størrelse mellom og 50 ehetceller, og plot utviklige til mdelugkostte med tll ehetceller. Svr: Dette ble løst ved å løse uttrykk ummerisk fr = til 50. Kode og plott er lgt uder. + Cl b) Kom frem til e lytisk løsig for mdelugkostte. Svr: Mdelugkostte k bereges lgvis ut i de edimesjole krystlle, for hvert ledd ut vil vstde øke med vstde é og være totlt lg. Det vekselvirker med tiltrekig og frstøtig så forteget vil lterere, ser først i é retig: U α = Qq R = = q ) = = q ) = Dette gges opp med to for å få bidrg fr både positiv og egtiv retig: = q U α = q α α = = = ) ) Som kovergerer mot α = l] ) import mtplotlib. pyplot s plt import umpy s p = ] E = ] I = p. lispce,50) z = # coorditio L = E #ev rho = 0. # Agstrom q = R =.8 # Agstrom def TTE M): retur z*l*p.e** -R/ rho )\ -M*q **/ R def mdelug ): md = 0 for i rge, it )+): md += -.0* -)** / prit md retur md for i i I: mdel = mdelug i). pped mdel ) E. pped TTE mdel )) plt. subplot,,) plt. plot I,) plt. xlbel Uitcells ) plt. ylbel r $Mdelug \ lph$ ) plt. subplot,,) plt. plot I,E) plt. xlbel Uitcells ) plt. ylbel Cohercive eergy ev] ) plt. show )
d) Er det e betigelser reltert til blse mellom frstøtede og tiltrekkede krefter i krystlle? Prøv å berege lokevektsvstde mellom klor og trium ved å t Pulifrstøtig som i D, λ = kev og ρ = 0.Å. Svr: E geerell betigelse er miimliserig v eergi, likevektsvstde til krystlle vil gi miiml eergi og k bereges ummerisk. år tll ehetceller øker, vil likevektsvstde mike d krystlle blir mer stbil. # -*- codig : utf -8 -*- import mtplotlib. pyplot s plt import umpy s p d = ] I = p. lispce,50) z = # coorditio L = E #ev rho = 0. # Agstrom q = # R =.8 # Agstrom def TTE M,R): retur z*l*p.e** -R/ rho )\ -M*q **/ R def mdelug ): md = 0 for i rge, it )+): md += -.0* -)** /) prit md retur md for i i I: m = mdelug i) r = 0. # Agstrom E_ew = TTE m,r); E_old = 00* E_ew while E_old - E_ew ) > E -0: r += 0.0 E_old = E_ew E_ew = TTE m, r) prit r=,r, # E,E_ew d. pped r) plt. plot I,d) plt. xlbel Uitcells ) plt. ylbel Distce Ag ] ) plt. show ) ppgve - Heksgol ehetcelle Se på e heksgol tettpkket ehetcelle hcp) ) Bereg tll tomer i ehetcelle. Svr: Ehetcelle hr tomer som deles mellom seks ehetceller, disse teller derfor 6 hver og summeres opp til fullverdige tomer. Ehetcelle hr to tomer som deles mellom to ehetceller og summeres opp til ett fullverdig tom. I tillegg hr ehetcelle tre ege tomer som teller ett hver. Tilsmme blir dette seks fullverdige tomer i ehetcelle.
b) Bereg det krkteristiske c/ forholdet. Svr: Ved å se på e trekt i gruflte v de heksgole ehetcelle vil m kue se t lle sidee hr legde. x Legde x i til seter v dee likesidede trekte er x cos0 deg) = x = cos0 deg) være volumet fylt v kuler dividert på det totle volumet ρ = 4 6 V kule V tot 0.748. d) Avvik fr ideelet fies mge steder som i for eksempel wursite Z c/ =.60), se for deg hvilke kosekveser dette vviket k føre til. Svr: Avviket vil jeg tro skyldes v svkheter i modelle om hrde kuler. I relitete vil elektroskyee til tomee overlppe i e viss grd vhegig v hvilke grd v ioisitet bidigee hr. x = Ved å så se på e trekt med x som gruflte k m se t høyde c k fies ved pytgors. ppgve - Plvstder At e kubisk krystll og vis t vstde mellom plee gis ved c d hkl = h + k + l x = = c ) + ) = 4 c 8 c =.6 c) Vis t tetthete er 74% Svr: Ser m på ett prlellogrm, får m relet A = cos 60, og volumet 8 V tot = c cos 60 =. I dette volumet fies volumet v 4 6 kuler med origilt volum V kule = π 6, tetthete vil Svr: Jeg velger å se på et pl i et vektorrom med ortogole ehetsvektorer = b = c, og defierer tre pukter P p, 0, 0), Q0, q, 0) og R0, 0, r) som ligger der plet skjærer ksee. P setter som et strtpukt for plet og vektoree P Q = p, q, 0] og P R = p, 0, r] speer ut plet. Disse vektoree der ormlvektore = qr, pr, pq]. Jeg velger å fie vstde fr origo til plet d dee vstde også vil være mellom de repeterede prlelle plee. Avstde fr strtpuktet P til origo blir P =, 0, 0]. Projeksjoe på ormlvektore gir vstde d mellom plee.
Setter t p = x, q = y og r = z. d = P pqr = q r + p r + p q = xyz y z + x z + x y = hkl + + h k h l k l = h + k + l ppgve 4 - Pl i krystll Se på de trikliiske krystlle som er gitt. ) Hv er Millerideksee til plee -6? Svr: Ideksee er gitt uder: r. Miller 0 0) 0) 0 0) 4 0) 5 0 0) 6 0 0) b) Teg e oversikt over de resiproke puktee som represeter plee fr ). Svr: Der først det resiproke rommet fr det reelle: Illustrsjoe viser smme ummererig som brukt i ): 6 c) Se på e rødtgestråle med bølgevektor k og de resiproke gittervektore G tilhørede 0 0) plee i figure fr b). Vis t difrksjo ikke skjer for oe k G < G hvor k G er legde til projeksjoe v k på G. Svr: M k se fr b) t pukt, som tilsvrer pl 0 0) ligger ærmest origo. m m så trekker e vektor G til dette puktet ser m hv k må være for å tilfredstille Luebetigelse for difrksjo. M k videre se på k = k k og t k = k for elstisk spredig. 5 4 k = G k k = G G + k = k k = k G + k) = k G + k G + k = k k G = G k G = k G G = G
d) Geerliser rgumetet fr c) til de dre puktee rudt origo og itroduser Brillouisoer. Svr: Argumetet i c) gjelder ku i é retig og tillter uedelig lge vektorer så lege projeksjoe er uder G, i e e retig vil vektore få e e projeksjo me smme kriterier. m m itroduserer G hkl) tilhørede hvert pukt i det resiproke rommet k m fie e soe der vektoree hr e projeksjo k Ghkl) kortere e G hkl) for lle G hkl). ppgve 5 - Brillouisoer Teg de første tre Brillouisoee for et ekelt kubisk gitter i é, to og tre dimesjoer. Svr: ppgve 6 - Krystllogrfi Hv er begresigee for å se krystllogrfiske pl i et røtgedifrksjoseksperimet? Svr: Visse kriterier for observsjo gjør t m ikke k se lle pl med difrksjo, dette skjer for eksempel i bcc strukturer der oe pl ligger med e vstd på og gir derfor destruktiv iteferes. ppgve 7 - Puktdefekter Se på vkser i e krystll ) Vis t miiml fri eergi i e krystll ku k oppås ved et gitt tll vkser i krystlle. Svr: m m ser på fri eergi i e krystll vil vkser åpe for e eergigevist ved økt etropi S og tp ved delsesetlpi H f. ]! S = k l ) )!! Utregig ligger som Vedlegg eq = exp H ] f ) Her k m se t tllet vkser i e krystll ved likevekt vil være større e ull, me også t kosetrsjoe vil vriere med temperture til krystlle. Det skl poegteres t formele gjelder ku om krystlle er tilstrekkelig stor.
b) Utled et uttrykk for likevektskosetrsjoe v vkser C v som e fuksjo v tempertur T og stress σ. Svr: M k se på H f som H f = E f + σv f, settes dette uttrykket i i hv som ble fuet i ) får m: C v = = exp E f + σv f = exp E f ] exp ] σv f ] b) At e XRD målig me λ =.54Å v ret Si, ret Si 0.8 Ge 0. og e film v Si 0.8 Ge 0. på Si. Teg kvlittivt difrksjo for hver v prøvee, for pl 400). Svr: Siglet vil bli skrpere i et reere stoff, og vikele θ vil følge Brggs lov, λ d si θ: Si c) Forklr hv ktiverigseergie og ktiverigsvolumet iebærer. Svr: Hver vks vil h e ktiverigseergi, dette er eergie som kreves for å fjere et tom fr krystlle. Vkse etterlte seg også et rom som tomee rudt forsøker å fylle, dette skper stress i mterilet. Ved høye temperturer vil krystlle få tilført mer eergi som k de vkser, derfor vil kosetrsjoe v vkser eller øvrige defekter) ofte være høyere ved høyere tempertur. ppgve 8 - Stri og stress Svr: d) Se på e SiGe legerig, Si og Ge hr ligede gitterstruktur me litt forskjellige gitterprmetere. Svr: ) Bereg stresset som fies effektivt i filme v Si 0.8 Ge 0. på e re Si 00) overflte. Svr: Fier f m x = 0.) = 0.048x = 0.0086 og setter i i uttrykket for σ 0. σ 0 = µ v + v f mx) = 5GP 0.8 + 0.8 0.086 =.55GP c) Ved å t t S Si 0.8 Ge 0. Stried Si Si 0.8 Ge 0. θ θ θ
Vedlegg - Utregig til deloppgve 7) Atr << og >> : S =k l!] l )!] l!]) =k l ] ) l )] + ) l ] + ) =k l ] ) l )] ) l ] =k l ] ) l ] + l ]) ) l ] Setter l ] =.. og vet, som gir l ] = k l ] ) l ] ) ) l ] =k l ] l ] + l ] + ) l ] ) =k l ] l ] + ] =k l + ) Atr t er så lite t de k eglisjeres, det smme med, og sitter igje med: S =k l ] De deriverte v Gibbs fri eergi blir derfor G = H f l] l]) ] ) = H f l ] 0 H f l ] H f = l ] H f = l H f ] = l = exp H ] f