MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall............................. 4 9. Matriser og vektorer......................... 4 9. Tupler................................. 4 Fasit 6. Oppgave................................ 6. Oppgave................................ 6. Oppgave................................ 8.4 Oppgave................................ 9. Oppgave.................................6 Oppgave.................................7 Oppgave.................................8 Oppgave................................
Løsningsforslag. Oppgave................................. Oppgave................................ 4. Oppgave.................................4 Oppgave................................. Oppgave................................ 8.6 Oppgave................................ 4.7 Oppgave................................ 4.8 Oppgave................................ 44. Forord. Oppgavene nedenfor dekker nesten alle typer av oppgaver, som kan gis på eksamen. Prøveeksamenen er stor: den inneholder 4 deloppgaver (abc, abcdefghijk, abcd, 4abcdefg, abc, 6, 7, 8abcd), noen delt opp i enda mindre deloppgaver. Tilsvarende deloppgaver på eksamen vil bli lettere beregningsmessig. Betrakt derfor denne prøveeksamenen som en tredobbel eksamen.. En oppgave om komplekse matriser kan bli inkludert i eksamenen. Oppgave 8 er et typisk eksempel av en slik oppgave. Den ligner oppgave 4 fra eksamenen 6-6, men er litt vanskeligere. OPPGAVE Vi ser på et lineært system Ax b, der: A b 6a 4 4a + 8 a + a a + a., a) Finn determinanten det A. Resultatet er et polynom det A k + k a + k a. Du oppgir radvektoren [k, k, k i feltet a. b) For hvilke a R er systemet konsistent (dvs. at det har løsninger)? Svaret skal være på formen a s, der s er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet s i feltet b.
c) For hvilke a R har systemet uendelig mange løsninger? Svaret skal være på formen a t, der t er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet t i feltet c. Hint: se eksamensoppgaver -6-, -9-, -6- og -9-, samt Exercise.9,.7 og.8. OPPGAVE En del av oppgaven nedenfor er knyttet til Ch. 6 Inner Product Spaces. Vi betrakter vektorer fra R både som kolonnevektorer og radvektorer. Gitt matrisen A 4. 4 Betrakt systemet Ax b der x x x x x 4 x, b Lag en utvidet matrise [ A b, og bruk Gauss-Jordan for å få en annen matrise [ A b slik at A har en redusert trappeform (reduced row echelon form). Denne siste matrisen skal hjelpe deg til å løse alle deloppgaver nedenfor. Merknad. Istedenfor kolonnen b b b b b 4 b b b b 4. i den utvidede matrisen [ A b, kan du bruke en 4 4 identitetsmatrise. a) Finn en basis G (g, g,..., g s ) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer (som i Seksjon 9.). b) Gitt vektoren u [ 8 4 row (A). Finn koordinatvektoren [u G til u mht basisen G du fant i deloppgave a. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) (u ; u ;...; u s )
der u u g + u g +... + u s g s. Hint: hvis du skriver likningen u u g + u g +... + u s g s koordinatvis, får du et system med likninger og s variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen G ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. c) Finn en ortogonal basis for G (g, g,..., g s) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer. la Hint: bruk Gram-Schmidt. d) For en vilkårlig kolonnevektor x x x x x 4 x R, T (x) proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A)). T er en lineær operator T : R R, derfor beskrives den som en matriseoperator T (x) Bx, der B er en matrise. Du oppgir matrisen B i svaret. Hint: se Oblig 6, oppgave f. e) Finn en basis J (j, j,..., j u ) for nullrommet (the null space) Null (A). Svaret skal gis i formen av et u-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). 4
f) Gitt vektoren w 6 Null (A). Finn koordinatvektoren [w J til w mht basisen J du fant i deloppgave e. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) w w... w u der w w j + w j +... + w u j u. Hint: hvis du skriver likningen w w j + w j +... + w u j u koordinatvis, får du et system med likninger og u variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen J ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. g) Finn en ortogonal basis J (j, j,..., j v) for det ortogonale komplementet row (A) til radrommet (the orthogonal complement of the row space). Svaret skal gis i formen av et v-tuppel av kolonnevektorer. Hint: se Oblig 6, Oppgave b. h) For en vilkårlig kolonnevektor x x x x x 4 x R, la S (x) proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A) ). S er en lineær operator S : R R,
derfor beskrives den som en matriseoperator S (x) Mx, der M er en matrise. Du oppgir matrisen M i svaret. i) Finn betingelsen for b for at systemet Ax b er konsistent, dvs. har minst én løsning x. Betingelsen skal oppgis som en radvektor av lengde 4. k b + k b + k b + k 4 b 4, k i R, [k, k, k, k 4 Hint: se på den siste linjen i den utvidede matrisen [ A b. j) Finn en basis H (h, h,..., h t ) for kolonnerommet (the column space) col (A). Svaret skal gis i formen av et t-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). k) Gitt vektoren v 4 4 col (A). Finn koordinatvektoren [v H til v mht basisen H du fant i deloppgave d. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) v v... v t der v v h + v h +... + v t h t. 6
OPPGAVE Gitt tre vektorer u, v, w 9 9 4 i R. Operatoren er gitt ved formelen T : R R T (x) u (v x) der x R, og er kryssproduktet (the cross product). For eksempel, hvis x, er T (x) 8. a) Finn matrisen [T E til operatoren T med hensyn til standardbasisen E (i, j, k), (the matrix for T relative to the base E). Svaret skal oppgis som en matrise., b) Finn en basis for kjernen (the kernel) ker T. Svaret skal gis som et s-tuppel av kolonnevektorer. c) Finn en basis for bildet (the range) R (T ). Svaret skal gis som et t-tuppel av kolonnevektorer. d) Finn en vektor x som tilfredsstiller likningen T (x) w. Svaret skal gis som en kolonnevektor. 7
4 OPPGAVE La W M være mengden av antisymmetriske (X T X) matriser. For eksempel, matrisen er antisymmetrisk fordi mens er ikke antisymmetrisk fordi T T W er et underrom i Mat av dimensjon og har en basis G (g, g, g ),,., (du behøver ikke å sjekke at W er et underrom, eller at G er en basis for W ). La V P være rommet av polynomer av grad med standardbasisen Gitt også matrisen La E (, x, x, x ). B U : V W være en lineær transformasjon gitt ved formelen. U (f) f (B) f (B) T. (du behøver ikke å sjekke at U er lineær). For eksempel, hvis f + x x x, 8
er f (B) I + B B B + og 6 9 4 4 6 U (f) (f (B)) (f (B)) T 6 9 4 4 6 6 9 4 4 6 6 9 4 4 6 6 4 9 6 4 T 6 6. a) Finn matrisen [U G E (i læreboken betegnes som [U G,E ) til transformasjonen U mht basisene E og G. Svaret skal gis som i Seksjon 9.. b) Finn en basis for kjernen (the kernel) til U. Det påminnes om at ker U {v V U (v) }. Svaret skal gis som et s-tuppel (Seksjon 9.) av kolonnevektorer som tilsvarer polynomer på følgende måte: a a + a x + a x + a x a a. a c) Finn en basis for bildet (the range) R (U) til U. Det påminnes om at R (U) {U (v) v V }. Svaret skal gis som et t-tuppel (se Seksjon 9.) av matriser. d) Finn et polynom f slik at U (f) 4 6 4 6. 9
Svaret skal gis som en kolonnevektor a a a, a som tilsvarer polynomet f a + a x + a x + a x. e) La oss betrakte en annen basis G for W : G (g, g, g ),,. Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P G G og P G G (i læreboken betegnes de som P G G og P G G ). f) La oss betrakte en annen basis E for V : E (, + x, x, x + x ). Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P E E og P E E (i læreboken betegnes som P E E og P E E ). g) Finn matrisene til U mht diverse basispar: [U G E, [U G E, og [U G E. Hint: bruk Teorem.7 og Korollar.9 på s. 96 i Kompendium. OPPGAVE Gitt matrisen A 8 6 8 8 8 4 9. a) Finn det karakteristiske polynomet p (λ) til matrisen A. Hvis p (λ) a + a λ + a λ + a λ, skal svaret gis som en radvektor [ a a a a.
Merknad. Polynomet skal beregnes som i læreboka, dvs. p (λ) det (λi A). Det er tillatt å bruke metoden som var gitt på forelesningene, men husk å sette minus foran (fordi er et odde tall): p (λ) det (λi A) det (A λi). Du kan også bruke formlene fra Teorem.9 på s. i Kompendium. b) Finn en invertibel matrise P slik at P AP D der D er en diagonalmatrise med voksende diagonalelementene: D λ λ, λ λ λ. λ Både D og P skal oppgis i svaret. Hint: for å finne egenverdiene, bruk Ex.... c) Finn formelen for A m der m er et vilkårlig helt tall. Formelen skal se ut som A m b m B + c m C, der b og c er rasjonale tall, b < c, mens B og C er konstante (dvs. som ikke avhenger av m) matriser. Hint: A m ( P DP ) m P D m P. 6 OPPGAVE Gitt matrisen F 4 4 4 4 Det karakteristiske polynomet q (λ) til matrisen F er lik q (λ) λ 9λ 9λ + 8 (λ + ) (λ ) (λ 9). Matrisen F er ortogonalt diagonaliserbar (hvorfor?). Finn en ortogonal matrise Q slik at Q F Q Q T F Q. 9.
7 OPPGAVE Gitt matrisen a b d A c e [ k k k f som inneholder 6 ukjente elementer a, b, c, d, e, f. Det er kjent at A er ortogonal, og at a >, b <, d <. Finn a, b, c, d, e, f (de er rasjonale tall), og oppgi den resulterende matrisen A i svaret. Hint: for å finne a, bruk betingelsen at kolonnen k har lengden ( k ) og at a >. For å finne b og c, bruk betingelsene k, k k, b <. For å finne d, e og f, bruk betingelsene k, k k, k k, d <. Se oppgave 7.7 fra læreboken og eksamensoppgave -9-b. 8 OPPGAVE a) Gitt den komplekse matrisen [ + (a + ) i ( + i) z A i der a R, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er A Hermitsk (A A). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret., b) Gitt den komplekse matrisen [ 7a + + i ( i) z B 4i 6i,
der a R, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er B anti-hermitsk (B B). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret. c) Gitt den komplekse matrisen [ a 4 C 7 i z 7 + 8 7 i 7 der a R, a >, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er C unitær (C C I). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret. 7 i, Hint: betrakt de to kolonnene som C består av: C [ k k. Bruk Th. 7..4(d) fra læreboka. Betingelsen k gir to mulige verdier til a. Velg a >. Betingelsen gir verdien til z. k k d) Gitt den komplekse matrisen [ i z D 4 + i i der z b + ci C. Finn for hvilke verdier av b, c er D normal (D D DD ). Du oppgir radvektoren [b, c i svaret.,
9 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som,, - osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -/ for, 4/7 for 4 7. Merknad. Tall på formen 7 eller 7 er ikke tillatt. Skriv -/ eller 4/7 i stedet. 9. Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen 4 4 skal skrives som [,,-/,4;,-/4,,;/,,/,, radvektoren (the row vector) [ 4 skal skrives som [,,-/,4, og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [;;/. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 9. Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R består av kolonnevektorer 6 7 G (g, g, g, g 4, g ) 4, 7 8 9,,, 8 9, 4
er G et -tuppel, og skal skrives ned som ([; ; ; 4;, [6; 7; 8; 9;, [; ; ; ;, [; ; ; ;, [7; 8; 9; ; ) Merknad 9. Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i -tuppelet er separert med kommaer.
Fasit. Oppgave a) [4,-4,-4 det A 4 4a 4a. s 9 4, t 6. b) -9/4 c) /6. Oppgave a) G (g, g, g ) ([, [, [ ). Rangen s rank (A), nulliteten t nullity (A). ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) b) [-;;- [u G. c) G (g, g, g ) ([, [ 8 7, [ 48 4 ). ([,,,,,[,,-8,,7,[48,,-,4,-) d) T (x) 6 x + x + 7 x + x 4 + 4 x x + x 4 x + x 4 + x 7 x 4 x + 8 x 8 x 4 8 x x + x 8 x + 4 4 x 4 4 x 4 x + x 8 x 4 x 4 + 9 4 x 6 7 4 7 4 8 4 4 8 8 8 8 4 4 4 4 9 4 [6/,/,/7,/,4/;/,/,-/4,/,/;/7,-/4,/8,- /8,-/8; /,/,-/8,4/4,-/4;4/,/,-/8,-/4,9/4 x x x x 4 x Bx. 6
e) J ([-;;;;,[-;-;;;),. f) [-; [w J [. g) J (j, j ), 6 7. ([-;;;;,[-6;-7;;;) h) S (x) 9 x x 7 x x 4 4 x 7 x x + 4 x x 4 x 4 x 7 x + 8 x + 8 x 4 + 8 x 8 x x x + 99 4 x 4 + 4 x 8 x x 4 x + 4 x 4 + 4 x 9 7 4 7 4 7 4 8 8 8 99 8 4 4 4 8 4 4 [9/,-/,-/7,-/,-4/;-/,7/,/4,-/,-/;-/7,/4,/8,/8,/8; -/,-/,/8,99/4,/4;-4/,-/,/8,/4,/4 x x x x 4 x Mx. i) b b + b b 4. [,-/,,-/ eller [,-,,- j) H (h, h, h ) ([;;;,[;;;,[;4;; 4),, 4 4. 7
k) [6;-;-7 [v H 6 7.. Oppgave a) x x y, z 7x y z 7 T (x) x y + 6z 6 x + y 4z 4 7 [T E A 6. 4 [-7,-,-;-,-,6;-,,-4 x y z, b) er en basis for ker T. ([-;;) c) En basis for bildet R (T ): ([-7;-;-,[-;-;) 7,. d) x y z t t t + t, 8
for eksempel: x y z x y z 8,. [-;; eller [-;8;.4 Oppgave a) [U (f) G E [,,,;,-,,-4;,,-,- b) En basis for ker U er 4 (, 4x x + x ).. ([;;;,[;-4;-;) c) En basis for R (U) er G (g, g ),. ([,,-;-,,;,,,[,,;-,,-;,,) d) [;-;-; f ( x x ) + s + t ( 4x x + x ). e) P G G P G G,. 9
4e_P_G_Gprime: [,,;,,;,,- 4e_P_Gprime_G: [,-,;,,;,,- f) P E E P E E,. 4f_P_E_Eprime: [,,,;,,,;,,,;,,, 4f_P_Eprime_E: [,-,,;,,,;,,,-;,,, g) [U G E [U G E [U G E 9 4, 6 4 6 4 6 4g_U_Gprime_E: [,,,9;,-,,-4;,,, 4g_U_G_Eprime: [,,,6;,-,,-4;,,-,-6 4g_U_Gprime_Eprime: [,,,;,-,,-4;,,,6.,. Oppgave a) [-,-,-, p (λ) λ λ + λ. b) D P.,
b_d: [-,,;,-,;,, b_p: [,,;,,;,, c) A m ( ) m 4??? c_b: -??? c_c: c_b: [-,,4;-,,;-,, c_c: [4,-,-4;,-,-;,-,- + m 4 4..6 Oppgave Q [-/,/,/;-/,/,-/;/,/,/..7 Oppgave 4 A. [/,-4/,-/;/,-/,/;-/,-/,/.8 Oppgave a) a, z 7 + 7 i, [ + i A i. [-/,7/,7/ b) a 7, z 4 9 9 i, [ i 4i B 4i 6i.
[-/7,4/9,-/9 c) a 7, [/7,8/7,-/7 d) b 8 7, c 7, [ C 7 4 7 i 8 7 7 i 7 + 8 7 i 7 7 i. b, c 4, [ i 4i D 4 + i i. [,-4
Løsningsforslag. Oppgave A b 6a 4 4a + 8 a + a a + a., a) det A blokk-diagonal 6a 4 4a + 8 ( 6a) (9 + 4a) 4 4a 4a. Vi skriver [4,-4,-4 i feltet a. bc) Setter sammen koeffi sientmatrisen og vektoren b: 6a 4 a + A a 4a + 8 a + a. Systemet Ax b har en entydig løsning Matrisen er invertibel det A ( 6a) (9 + 4a) a 9 4, 6.. Hvis a 9 4, blir den utvidede matrisen slik: 9 4 4 4 9 og systemet er inkonsistent. G J. Hvis a 6, blir den utvidede matrisen slik: 6 4 G J. 7 74,,
og x x x x 4 t t 7 74 7 74 + t dvs. systemet vil ha uendelig mange løsninger. 4. Endelig: s 9 4, t 6. Du skriver -9/4 i feltet a, og /6 i feltet b.. Oppgave A 4 4 La oss lage den utvidede matrisen som består av matrisen A og kolonnevektorene b b b b, v 4. b 4 4 Man kan sette en 4 4 identitetsmatrisen I 4 istedenfor b, men vi inkluderer begge deler (både b og I 4 ). Bruker deretter Gauss-Jordan: b 4 b b 4 G J 4 b 4 4 G J., b + 4b b 4 4 6 9 b 8b + b 9 4 8 b + b b 4 7 b b + b b 4 a) De tre første radene i den reduserte matrisen A gir en basis for radrommet: G (g, g, g ) ([, [, [ ). Rangen s rank (A), nulliteten t nullity (A). Vi skriver ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) i feltet a. b) La u [ 8 4 u g + u g + u g u [ + u [ + u [ [ u u u u u u + u u.. 4
og Det er klart at Vi skriver [-;;- i feltet b. La oss kontrollere resultatet: u, u, u [u G [ + [ [ [ 8 4 u.. c) La oss bruke Gram-Schmidt: G (g, g, g ) ([, [, [ ). g g [, g g g g g g g [ [ [ T [ [ T [ [ [ [ 8 7. Vi kan bruke i stedet. g [ 8 7 [ 8 7 g g g g g g g g g g g g [ [ [ T [ [ T [ [ [ T 8 7 [ [ [ T 8 7 8 7 8 7 [ [ ( ) ( 7 ) [ 8 7 4
Vi kan bruke g 4 [ 48 4 i stedet. Endelig: G (g, g, g ) [ 48 4 4 4 4 4 4 4. [ 48 4 ([, [ 8 7, [ 48 4 ). Vi skriver ([,,,,,[,,-8,,7,[48,,-,4,-) i feltet c. d) La oss finne projeksjonen (se Th. 6..4a). Vi skal skrive vektorer g i både radvis og kolonnevis: T (x) x g g g g + x g g g T x x x x 4 g + x g g g g x [ [ T T x x x 8 x 4 x 7 [ [ T 8 7 8 7 + 8 7 T x 48 x x x 4 4 x [ [ T 48 4 48 4 ( x + x + ) x + + ( x + 4 x 8 x + 7 x 48 4 ) 8 7 6
6 ( + 4 x + 8 x 48 x + 4 x 4 ) 74 x x + x + 7 x + x 4 + 4 x x + x 4 x + x 4 + x 7 x 4 x + 8 x 8 x 4 8 x x + x 8 x + 4 4 x 4 4 x 4 x + x 8 x 4 x 4 + 9 4 x 6 7 4 7 4 8 4 48 4 4 8 8 8 8 4 4 4 4 9 4 Vi skriver [6/,/,/7,/,4/;/,/,-/4,/,/;/7,-/4,/8,- /8,-/8; /,/,-/8,4/4,-/4;4/,/,-/8,-/4,9/4 i feltet d. dvs. e) Siden nullity (A), består basisen J av to vektorer J (j, j ). Å finne basisen er det samme som å løse systemet Ax. x s og x t er frie variable, og x s t x x x 4 s t s t s + t, x t J,. Vi skriver ([-;;;;,[-;-;;;) i feltet e. x x x x 4 x Bx. f) La 6 w w j + w j w + w w w w w w w w. 7
Det er klart at w, w, [w J [. Vi skriver [-; i feltet f. g) Vi vet (Th. 4.8.9) at row (A) Null (A), derfor er J, en basis for det ortogonale komplementet row (A). For å finne en ortogonal basis, bruker vi Gram-Schmidt: j j, j J j j j j j T T ( ) 6 7. 8
Vi kan bruke i stedet. Endelig: j 6 7 J (j, j ), 6 7 6 7. Vi skriver ([-;;;;,[-6;-7;;;) i feltet g. h) La oss finne projeksjonen (se Th. 6..4a). x x x x 4 x T T S (x) x j j j j + x j j j j ( x x + ) x 9 + x x 7 x x 4 4 x 7 x x + 4 x x 4 x 4 x 7 x + 8 x + 8 x 4 + 8 x 8 x x x + 99 4 x 4 + 4 x 8 x x 4 x + 4 x 4 + 4 x x x x x 4 x 6 7 T T 6 7 6 7 6 7 ( + 8 x x 4 8 x + 4 x 4 + ) 4 x 9 7 4 7 4 7 4 8 8 8 99 8 4 4 4 8 4 4 x x x x 4 x 6 7 Mx. Vi skriver [9/,-/,-/7,-/,-4/;-/,7/,/4,-/,-/;-/7,/4,/8,/8,/8; -/,-/,/8,99/4,/4;-4/,-/,/8,/4,/4 9
i feltet h. Merknad. Begge matrisene, M og C 6 7 4 7 4 8 4 4 8 8 8 8 4 4 4 4 9 4 er symmetriske. Merknad. Sammenlign de to matrisene! Finnes det noen relasjon mellom dem? i) Det siste elementet i kolonne nr. 6 (eller de siste elementene i kolonnene nr. 7-) gir oss betingelsen for b for at systemet Ax b er konsistent: b b + b b 4. Vi skriver [,-/,,-/ i feltet i. stedet. Vi kunne godt skrive [,-,,- i j) Kolonnene nr, og 4 i den opprinnelige matrisen danner en basis for kolonnerommet: H (h, h, h ),, 4. 4 Vi skriver ([;;;,[;;;,[;4;; 4) i feltet j. k) Se på den siste kolonnen i den reduserte matrisen: 6 7. Den siste elementet er lik, derfor v virkelig tilhører kolonnerommet. De tre resterende elementene gir koordinatene mht basisen H: 6 [v H. 7 Vi skriver [6;-;-7 i feltet k.
. Oppgave u, v, w T (x) u (v x). 9 9 4. a) Hvis er T (x) 7x y z x y + 6z x + y 4z x x y z x y z, 7 6 4 x y z, y + z x + z x y dvs. der og A [T E A T T A 7 6 4, 7 6 4 Vi skriver [-7,-,-;-,-,6;-,,-4 i feltet a. Lag den utvidede matrisen som består av A, kolonne a b b c og/eller identitetsmatrisen I, og kolonne w 9 9, 4.
og bruk Gauss-Jordan: 7 a 9 6 b 9 G J 4 c 4 G J 8b 6c 8 6 8 b + 6 c 8 6 a b c. b) For å finne en basis for kjernen ker T, løs systemet Ax. z t er en fri variabel: x t y t t, z t dvs. er en basis for ker T. Vi skriver ([-;;) i feltet b. c) Kolonnene nr. og i den opprinnelige matrisen gir en basis for bildet R (T ): 7,. Vi skriver ([-7;-;-,[-;-;) i feltet c. d) Løser systemet Ax w: x t y t z t + t. Det er uendelig mange løsninger, for eksempel: x t, y z, t, x y z t t + t 8. Vi skriver [-;; eller [-;8; (eller en vektor som tilsvarer en annen verdi av t) i feltet d.
La oss kontrollere svarene: 8 9 9 4 9 9 4..4 Oppgave G (g, g, g ) W M., V P, E (, x, x, x ). B U : V W,. U (f) f (B) f (B) T.,. a) Løsning. f a + a x + a x + a x, f (B) a I + a B + a B + a B a + a a a a + a a a a a + + a 4a a a a a 4a a + a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a U (f) U ( a + a x + a x + a x ) f (B) f (B) T + a a a 4a a a a 8a 4a.
dvs. a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a [U (f) G a + a + a a 4a a a a a a a + 4a a + a a + a + a a 4a a a [U (f) G E 4 4 Vi skriver [,,,;,-,,-4;,,-,- i feltet 4a. Løsning. [U () G [ I I T G [U (x) G [ B B T G, 4 4 4 4 G G. T. [ U ( x ) G [ B ( B ) T G T G G, a a a a T, G, T G 4
4 4 T 8 4 8 4 Setter de 4 kolonnene i matrisen [ U ( x ) G [ B ( B ) T G [U (f) G E G 4 4 4. G 4. T G b) Vi tar i betrakning matrisen 4 6 4 6 fra deloppgave 4d, og setter sammen matrisen [U (f) G E, kolonnen a b c (eller identitetsmatrisen I ; vi setter begge), og kolonnen 4 4 4 6. 6 6 Bruker Gauss-Jordan: a 4 4 b c 6 La a a a a G G J Null ([U (f) G E ). a og a er frie variable. Det er klart at a s a a 4t t s a t + t 4 b c a + b + c 4..
Oversetter tilbake til P -språket: en basis for ker U er (, 4x x + x ). Vi skriver ([;;;,[;-4;-;) i feltet 4b. c) Bildet R (U) tilsvarer kolonnerommet til [U (f) G E. En basis for kolonnerommet består av kolonnene nr. og :,. Oversetter tilbake til matriser: en basis for R (U) er G (g, g ),. Vi skriver ([,,-;-,,;,,,[,,;-,,-;,,) i feltet 4c. d) U (f) 4 4 6 6 Den siste kolonnen i den trappeformede matrisen sier at den generelle løsningen til systemet er a a a + s + t 4. a Vi kan velge s og t selv. Hvorfor ikke å sette s t : a a a, a og det ønskelige polynomet er Vi skriver [;-;-; i feltet 4d. Den generelle løsningen er x x.. f ( x x ) + s + t ( 4x x + x ). 6
La oss kontrollere resultatet: B B U ( x x ) U () I I T 8 8 4 8 4 8 4 8 8 4 8 4 8 4 T T 8 8 4 8 4 8 4 4 4 6 6,, 4B B + B 4 U ( 4x x + x ) + T., 4 4 6 6 U (( x x ) + s + t ( 4x x + x )) + s + t 4 4 6 6. e) G (g, g, g ), P G G [[g G, [g G, [g G P G G,,.. Vi skriver [,,;,,;,,- i feltet 4e_P_G_Gprime og [,-,;,,;,,- i feltet 4e_P_Gprime_G. f) 7
E (, + x, x, x + x ). P E E [ [ E, [ + x E, [ x E, [ x + x E P E E Vi skriver [,,,;,,,;,,,;,,, i feltet 4f_P_E_Eprime og [,-,,;,,,;,,,-;,,, i feltet 4f_P_Eprime_E. g) [U G E P G G [U G E [U G E [U G E P E E [U G E P G G [U G E P E E 4 6. 4. 4, 9 4 4 6 4 6,, Vi skriver [,,,9;,-,,-4;,,, i feltet 4g_U_Gprime_E, [,,,6;,-,,-4;,,-,-6 i feltet 4g_U_G_Eprime, og [,,,;,-,,-4;,,,6 i feltet 4g_U_Gprime_Eprime.. Oppgave A 8 6 8 8 8 4 9. 8
a) p (λ) a + a λ + a λ + a λ. a det A det 8 6 8 8 8 4 9 a tr (A), a 8 8 + 6 8 9 + 4 Vi skriver [-,-,-, i feltet a. b) P AP D p (λ) λ λ + λ. λ λ λ, 8 9,, λ λ λ. Siden a, er det bare 4 muligheter for egenverdiene (dvs. røttene til p (λ)): ± og ±. Det er enkelt å sjekke at og er to egenverdier. Siden er den resterende egenverdien tr (A) λ + λ + λ, ( ). Derfor er diagonalmatrisen D. Vi skriver [-,,;,-,;,, i feltet b_d. La oss finne egenvektorer:. λ, : A + I x x x 6 8 6 8 4 8 8 4 8 s + t s t s G J + t,, s + t. 9
. λ : A I x x x 8 6 8 8 8 8 4 t t t t G J, t., Setter de tre egenvektorene som kolonner i matrisen P : P, 8 6 P AP 8 8 8 4 9 D. Vi skriver [,,;,,;,, i feltet b_p. c) A m b m B + c m C. A m ( P DP ) m P D m P P ( ) m ( ) m m ( ) m ( ) m m P 4 m ( ) m ( ) m m 4 ( ) m 4 m m ( ) m ( ) m m ( ) m m m ( ) m ( ) m m ( ) m m ( ) m 4 + m 4 4 ( ) m B + m C. Vi skriver - i feltet c_b, i feltet c_c, [-,,4;-,,;-,, i feltet c_b, og [4,-,-4;,-,-;,-,- i feltet c_c. 4
La oss kontrollere resultatet (f. eks. for m 7): 8 6 8 8 8 4 9 7 ( ) 7 4 A m (( ) m B + m C) 4 4 + 7..6 Oppgave F 4 4 4 4. q (λ) λ 9λ 9λ + 8 (λ + ) (λ ) (λ 9). La oss finne egenvektorene:. λ :. λ : F + I x x x F I x x x 6 4 4 4 8 4 4 t t t t 4 4 4 4 t t t t G J G J,, t., t.,. λ 9: F 9I x x x 6 4 4 4 4 4 8 t t t t G J, t., 4
De tre vektorene,, danner en ortogonal basis for R, men vi trenger en ortonormal basis. La oss normalisere vektorene, og sette dem som kolonner i matrisen:,,, Q Vi skriver [-/,/,/;-/,/,-/;/,/,/ i feltet d. La oss kontrollere resultatet: QQ T dvs. Q er en ortogonal matrise. Q T AQ T 4 4 4 4. T, 9..7 Oppgave A a b d c e f AA T I, a >, b <, d <. [ k k k, Fiiner a: 4
k a k k, a +, a 4, a, siden a >. Finner b: k k, b c, b + c + 9, b c, k k, ( c ) ( + c +, ) 4 c + c + 6 9, 4 c + c + 7 9, Løsningen [ b 6 7, c 4 7 forkastes, siden b <, derfor b 4, c. Finner d, e og f. Vi kan godt løse systemet k k, k k, 4
og velge deretter løsningen som tilfredsstiller betingelsene d + e + f, d <. Men det er lettere å bruke kryssproduktet: d e f t t ±. 4 t t t, Siden er d + e + f, ( ) ( ) ( ) t + t + t, t, t (fordi d < ), og Endelig: d e f. 4 A Vi skriver [/,-4/,-/;/,-/,/;-/,-/,/ i feltet 6a...8 Oppgave a) A [ + (a + ) i ( + i) z i der z b + ci C. [ A + i (a + ) i (A T ) ( + i) z, [ i (a + ) + i ( i) z. Det er klart at a +, a, 44
og ( + i) z + i, z + i + i 7 + 7i ( + i) ( i) ( + i) ( i) 7 + 7 i. A [ + (a + ) i ( + i) z i [ + i. i [ ( ( ) ) ( + + i ( + i) 7 + 7 i) i Du oppgir [-/,7/,7/ i svaret. b) B der a R, og z b + ci C. B (B T ) [ 7a + + i ( i) z 4i 6i [ 7a + + i 4i ( i) z 6i, [ 7a + i + 4i ( + i) z 6i. Det er klart at og 7a +, a 7, ( i) z 4i, z 4i i 4 9 9 i. B [ 7a + + i ( i) z 4i 6i [ i 4i. 4i 6i [ ( ) ( 7 7 + + i ( i) 4 4i 6i 9 9 i) Du oppgir [-/7,4/9,-/9 i svaret. c) [ a 4 C 7 i z 7 + 8 7 i 7 4 7 i [ k k,
der a R, a >, og z b + ci C. Siden k, er ( a 4 ) ( 7 i a + 4 ) ( 7 i + 7 + 8 ) ( 7 i 7 8 ) 7 i a + 96 89 + 4 7,, Siden er ( a 4 ) 7 i a 96 89 4 7 89, a 89 7 >. ( z + k k, 7 + 8 ( 7 4 7 i ) ( 7 i ) 7 + 7 i ), z 4 7 + 6 7 i, z z 4 7 6 7 i 7 4 7 i 8 ( 8 7 + 7 i Du oppgir [/7,8/7,-/7 i svaret. 7 + 7 i, ) 8 7 7 i. d) der z b + ci C. D [ i z 4 + i i, [ D i + 4 i (D T ), z + i [ [ DD i z i + 4 i 4 + i i z + i [ zz + i z + iz, i z iz [ [ [ D i + 4 i i z D z + i 4 + i i z + iz z iz zz +. 46
og Siden DD D D, er zz z, Endelig: D DD DD i z + iz z + iz, z ( i) + i, z + i 4i. i [ i 4i, 4 + i i [ [ [ i 4i + i 4 i, 4 + i i + 4i + i [ [ [ + i 4 i i 4i, + 4i + i 4 + i i og D er normal. Du oppgir [,-4 i svaret. 47