Moderne fysikk og erkjennelsesmessige konsekvenser Heisenbergs uskarphetsrelasjon C Arnt Inge Vistnes http://folk.uio.no/arntvi/ Bakgrunn (1) Fysikken fram til omtrent 1900 handlet nesten utelukkende om makroskopiske system. Man begynte nå å studere atomer, elektroner og kjerner, og oppdaget at fysikklovene da var annerledes enn i den makroskopiske verden. Heisenberg (1901-1976) var omtrent som en sønn av Niels Bohr (1885-1962) i kvantefysikkens barndom. Atomære systems særstilling ble da diskutert livlig. Heisenbergs matriseteori og Heisenbergs uskarphetsrelasjon ble til uten Bohrs direkte innvirkning. Bakgrunn (2) Atomer er små!!! Massen til et hydrogenatom er om lag. -27 1,67 10 kg = 0.000 000 000 000 000 000 000 0167 kg Det er derfor ikke rart at fysikken på atomnivå blir annerledes enn den vi kjenner fra hverdagens erfaringer.
Bakgrunn (3) Vi kan måle nøyaktig både posisjon og hastighet til f.eks. en golfball uten problemer. To bilder tatt med et lite mellomrom er alt som skal til. Men lyset som treffer ballen og som siden går inn i vårt fotoapparat, påvirker i prinsippet ballens bevegelse. La oss gjøre en liten beregning: Bakgrunn (4) Strålingstrykket fra f.eks. sollys fører til at det virker en kraft på golfballen som er: Strålingskraft = Strålingstrykk * Tverrsnitt For sollys med energitetthet 1370 W/m 2, og en golfball som veier 45 gram og har en diameter på 45 mm: Strålingskraft = 7.3. 10-9 N I forhold til gravitasjonskraften: 1.7. 10-8 (dvs uvesentlig!) Bakgrunn (5) På et bitte lite støvkorn med diameter 0.004 mm vil strålingstrykket fra sollys gi en Strålingskraft = 5.8. 10-17 N I forhold til gravitasjonskraften: 5.9. 10-5 Bakgrunn (6) Tallene våre er uvesentlige, men de antyder at: Målinger påvirker et atomært system betraktelig! Dette var bakteppe for Bohr og Heisenbergs diskusjoner om uskarphetsrelasjonen på 1920-30-tallet. Forholdstallet har økt med en faktor mer enn 3000! På atomært nivå vil strålingskraften dominere over gravitasjonen!
Uskarphetsrelasjonene opprinnelig Fokus var opprinnelig: Måleprosessen Matematisk: Med ord: Δx: usikkerhet i x posisjonsmålinger Δp: usikkerhet i måling av bevegelsesmengde i x-retning Δt: usikkerhet i en tidsangivelse ΔE: usikkerheten i målt energi Figurer fra Bohrs bok: Atomfysikk og menneskelig erkjennelse: Det er umulig å måle posisjon og bevegelsesmengde helt nøyaktig samtidig. Tilsvarende for tid og energi. En digresjon... Tenkte i form av kuler som gjennom støt med veggen i spalten fikk ekstra hastighet i retning langs skjermen. Fokus var opprinnelig: Måleprosessen Figurer fra Bohrs bok: Atomfysikk og menneskelig erkjennelse: NB v v Dette bildet stemmer ikke overens med hvordan en stråle faktisk oppfører seg etter et hull/spalt (høyre side).
Fokus var opprinnelig: Måleprosessen Dersom man ønsket en nøyaktig bestemmelse av f.eks. posisjon i et eksperiment, ville det føre med seg at man fikk en dårligere bestemmelse av bevegelsesmengden (hastigheten). Man brukte ordet USIKKERHETS-relasjonene fordi man koblet dem så nøye til måleusikkerhet. På engelsk sier man fortsatt uncertainty relations mens vi mer har gått over til å si uskarphets-relasjonene. Hvorfor det? Alt vi kjenner til har en bølgenatur Dette gjelder både elektromagnetiske bølger, så som lys, og materie, så som elektroner m.m. For elektromagnetiske bølger er Maxwells bilde fruktbart: Pilene indikerer styrken til elektrisk og magnetisk felt langs selve x-aksen. Ikke noen ting beveger seg! Se animering på http://www.walter-fendt.de/ph11e/emwave.htm. Alt vi kjenner til har en bølgenatur Dette gjelder både elektromagnetiske bølger, så som lys, og materie, så som elektroner m.m. For materiebølger har vi foreløpig ikke noe brukbart bilde. Et elektron har masse, ladning og spinn. Hvordan kan det bakes sammen til en bølge som har både positive og negative verdier langs bølgen? Vanlig oppfatning at elektronet som en partikkel vugger opp og ned i rommet. Det er et ubrukelig bilde! Sammenheng svingning / bølge Står du på ett sted og en bølge passerer deg, vil du oppleve en svingning. Tar du et øyeblikksbilde av en bølge, vil du se en svingning i rommet. Kvantemekanisk amplitude En bølge kan du bare oppleve dersom du følger bølgen både i tid og rom. x t
Fourier-analyse (1) For alle svingninger/bølger gjelder: For svingninger som varer lenge, kan vi bestemme frekvensen nøye. Varer svingningen bare en kort stund, er det vanskeligere å bestemme frekvensen nøye. [Frekvens er antall svingninger pr sekund.] Eksempel: Lytteprøve Forsøk å bestemme tonehøyden (dvs frekvensen) på noen lydkutt jeg spiller av. Sammenlign med hvor nøye man kan angi tidspunktet for lyden. [Tidsbildene som vist.] Fourier-analyse (2) TIDSBILDET 0.496 0.500 0.504 Tid (s) FREKVENSBILDET 0 200 400 600 800 1000 Frekvens (Hz) 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 350 400 450 500 550 600 650 NB: Merk ulik skalering for hvert diagram langs x-aksen 470 480 490 500 510 520 530 540 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Tid (s) Tid (s) Tid (s) 490 495 500 505 510 Frekvens (Hz) Frekvens (Hz) Frekvens (Hz) Signal (relative enheter) 1 0.5 0 0.5 TIDSBILDET Max amplitude 1 " t 0.48 0.485 0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515 0.52 Tidsakse (s) 1 e Talleksempel: t f = 2 0.0049 s 2 67 Hz ( /4) = 1.0 Max amplitude Intensitet, relative enheter) 15 10 5 0 5 10 15 20 Fourier-transformerte bilder av hverandre: FREKVENSBILDET Max amplitude "Δf 2 1 e Max amplitude 350 400 450 500 550 600 650 Frekvens (Hz)
Fourier-analyse og uskarphetsrelasjonen Vi så at for enhver svingning/bølge gjelder: Fourier-analyse og uskarphetsrelasjonen Vi så at for enhver svingning/bølge gjelder: Kan vise: Δt. Δf = 1.0 (for Gaussisk omhylling) Δt. Δf _ > 1.0 (for annen omhylling) Δt. Δf = 1.0 (for Gaussisk omhylling) Δt. Δf _ > 1.0 (for annen omhylling) Multipliserer med Plancks konstant h og bruker E = hf: Δt. ΔE > _ h Multipliserer med Plancks konstant h og bruker E = hf: Δt. ΔE > _ h Sammenlign med: Fourier-analyse og uskarphetsrelasjonen Vi så at for enhver svingning/bølge gjelder: Δt. Δf = 1.0 (for Gaussisk omhylling) Δt. Δf _ > 1.0 (for annen omhylling) Multipliserer med Plancks konstant h og bruker E = hf: Δt. ΔE > h = ( h/2 ). 4π Sammenlign med: Den andre varianten... Vi kan relativt lett komme fra: Δt. ΔE _ > h til Δx. Δp _ > h og har da begge varianter av uskarphetsrelasjonen, begge basert på klassiske svingninger/bølger, multiplisert med Plancks konstant. [Ansér f.eks. bølgen i et øyeblikk i stedet for å betrakte tidsforløpet for bølgen idet den passerer ett punkt.]
Kan også utledes direkte fra kvantefysikk Kan vise at tidsbildet og bevegelsesmengdebildet er Fourier transformerte av hverandre, akkurat tilsvarende som vi nettopp har sett for klassiske svingninger/bølger. Ligningene er utledet i J.J.Sakurai: Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley Longman, 1994. (Ligning 1.7.34 a og b.) Moderne forståelse av uskarphetsrelasjonen Bølgenaturen til lys og materie gir automatisk en sammenheng mellom f.eks. hvor mye et system breier seg ut i tid og hvor mye det breier seg ut i energi/frekvens. Dette er i utgangspunktet helt uavhengig av om vi måler på systemet eller ikke. Vår kjennskap har null å si! Men siden det er en innebygget egenskap, vil den selvfølgelig også komme til syne når vi gjør målinger. Hver gang vi endrer på et system (f.eks. slipper elektroner gjennom et lite hull) endrer vi på systemet. Elektronene som da slipper gjennom, vil ha en hastighetsfordeling som svarer til det nye systemet (nye tilstanden). Relaterte eksempler (debroglie relasjonen: ) Når vi slipper lys gjennom en smal spalt eller et bitte lite hull, kan vi fange opp et diffraksjonsbilde på en skjerm. Bredden på stripene eller diameteren på sirklene i Airy skiven er omvendt proporsjonal med størrelsen på hullet. Formalistisk begrunnelse Vanlig å begrunne Heisenbergs uskarphetsrelasjon også på en mer abstrakt /formalistisk måte: For alle kvantemekaniske operatorer som ikke kommuterer, gjelder det at man ikke kan bestemme skarpt forventningsverdiene til begge de tilsvarende fysiske variablene. Eksempel: [Tavleregning viser sammenhenger.]
Formalistisk begrunnelse Vanlig å begrunne Heisenbergs uskarphetsrelasjon også på en mer abstrakt /formalistisk måte: For alle kvantemekaniske operatorer som ikke kommuterer, gjelder det at man ikke kan bestemme skarpt forventningsverdiene til begge de tilsvarende fysiske variablene. Eksempel: Vanskelig å finne en fysisk interpretasjon av dette. Filosofiske konsekvenser (1) Newtons mekanikk medførte et strengt deterministisk verdensbilde. Vi kan beregne entydig hvordan en golfball beveger seg (tror vi). Forutsetningen er at vi kjenner posisjon og hastighet eksakt ved ett tidspunkt. Uskarphetsrelasjonen sier at vi IKKE kan kjenne både posisjon og hastighet eksakt. Følgelig kan verden IKKE være strengt deterministisk. Filosofiske konsekvenser (2) MEN... Bølgefunksjonen utvikler seg deterministisk! Statistikken kommer først inn når vi skal tolke hva bølgefunksjonen forteller oss. Her er det fortsatt ulike oppfatninger! (Københavnerskolens kollaps av bølgefunksjon, Bohms oppfatninger, mange verdener -interpretasjon m.m.) Filosofiske konsekvenser (2) MEN... Bølgefunksjonen utvikler seg deterministisk! Statistikken kommer først inn når vi skal tolke hva bølgefunksjonen forteller oss. Her er det fortsatt ulike oppfatninger (Københavnerskolens kollaps av bølgefunksjon, Bohms oppfatninger, mange verdener -interpretasjon m.m.) Derfor: Det er sannelig ikke sikkert at vi selv i dag fullt ut forstår rekkevidden av Heisenbergs uskarphetsrelasjon.
Digresjon (1) Selv om vi finner fram til andre måter å håndtere problemet med kollaps av bølgefunksjonen, og selv om vi finner fram til andre tolkninger av bølgefunksjonen (eller får helt nye teorier) har jeg selv lite tro på at vi kan redde determinismen slik den ble oppfattet like etter Newton. Min egen vurdering bygger kanskje mer på erfaringer med kaotiske system enn på ren kvantemekanikk. Kaotiske system var ikke kjent på tilsvarende måte på Heisenbergs tid som den er i dag. Digresjon (2) Vi burde vel være flinkere til å si at Newtons lover ikke gir entydige svar for trelegemeproblematikk. I dag underviser vi stort sett tolegemeproblemer som har en bestemt, entydig løsning. Demo: Dobbeltpendel som representerer et trelegeme-problem. En påminnelse Det er vanskelig å beskrive historisk utvikling korrekt og rettferdig. Vi har lett for å tolke argumentasjonen til tidligere fysikere ut fra hva vi har av oppfatninger i dag. Videre krever det nøye studier av kildematerialet for å få en så god forståelse som mulig. Få kan ta seg den tiden dette trenger. Jeg er derfor åpen for at min fremstilling av historiske begivenheter i fysikken kan vise seg å være feilaktige. Jeg forsøker å gjøre så godt jeg kan, og fremstiller i det minste ikke historisk stoff feilaktig med vilje (f.eks. for å oppnå en argumentasjon som passer meg selv). Mange populærvitenskapelige bøker tilgjengelig... noen få eksempler Sjekk Akademika, biblioteket (BIBSYS) og www.amazone.com.
Kvantemekanisk amplitude Til ettertanke: Er dette en bølge eller en partikkel? x t Eventuelle spørsmål kan sendes til: a.i.vistnes@fys.uio.no. Filen finnes på min webside: http://folk.uio.no/arntvi/ under undervisning og kurs