OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke vaskelig, me veldig ofte vil det være tidkrevede. Det er ettopp i slike sammeheger at ma ka utytte Maples regekapasitet. I stedet skal vi kosetrere oss om å forstå ideee som ligger bak. Mage av fuksjoee ma møter i praksis er defiert på e slik måte at det er umulig å rege ut eksakt verdiee av disse fuksjoee i de fleste puktee : dette gjelder f.eks. fuksjoer det det igår trigoometriske, ekspoesial-, eller logaritmefuksjoer. Me ma ka berege approksimative verdier av slike fuksjoer, og Taylor polyomer gir e måte å gjøre dette på som er effektiv i mage tilfeller.. Som e oppvarmig begyer vi med de ekleste form for approksimasjo. Vi betrakter vi e fuksjo f som er deriverbar år = a. Tagete til grafe til f i puktet a, f a er som kjet defiert som de rette lije L som går gjeom puktet a, f a og som har stigigstall s = f ' a. Likige for L i y -plaet er da gitt ved y Kf a = s K a, dvs. y = f a C f ' a K a. Poeget å er at lije L og grafe til f vil ligge tett opp til hveradre i ærhete av puktet a, f a. Dette ka vi se fra selve defiisjoe av f ' a : f ' a = lim / a f K f a K a ; dette betyr at f ' a z f K f a K a år er ær a, altså at f Kf a z f ' a K a år er ær a. Så vi har at f z f a C f ' a K a år er ær a. Dee formele agir e lieær approksimasjo av f vi har liearisert f rudt = a. rudt = a, og beskrives gjere ved å si at
Omskrives de på forme kalles de ofte for tilvektsformele. f a C Da z f a C f ' a $ Da der Da er lite (i tallverdi), Polyomet F = f = a. a C f ' a K a kalles Taylor-polyomet til f av grad (opptil) rudt Vi ka da skrive at f z F år er ær a. Alt dette ka vi lett illustrere med Maple. Eksempel. Vi velger f.eks. f = e si og a = 0 : Da er f 0 = e si 0 = e 0 =. Videre er f ' = e si $ cos (ved kjereregele), så f ' 0 = e 0 $ cos 0 =. Dermed vil tagete L til f i puktet 0, f 0 = 0, ha likige y = f 0 C f ' 0 K 0, dvs. y = C. Dette gir også at F = C. Vi får følgede bilde : y L : y = C 2 0, f 0 = 0, f = e si F = C Kp K0.5 p 0 0.5 p p
La oss å approksimere e si 0.2 = f a = 0. 0.2 ved hjelp av det vi har gjort, ved å betrakte 0.2 som ær Vi får da at e si 0.2 = f 0.2 z F 0.2 = C 0.2 =.2. Til sammelikig ka vi sjekke hva Maple sier : e si 0.2 at 5 digits.298. For å få et itrykk av hvor god approksimasjo vi får år vi beytter F til å berege f ka vi tege grafe til feilfuksjoe E = f KF = e si K C i et passede itervall rudt a = 0 : 0.5 E = e si K C 0.0 e si K C / 0.05 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 Ved å klikke på grafe (i Maple) ser det f.eks. ut som feile E er midre e 0.0 for alle i itervallet K0.4, 0.4, mes de er midre e 0.05 for alle i itervallet K0., 0.. Geerelt sett treger ma metoder for å estimere hvor stor feile E ka være. Vi skal kort beskrive e av disse på slutte. 2. Vi betrakter å e fuksjo f som er deriverbar rudt = a, og to gager deriverbar i = a. Idée å er å fie et 2. grads polyom som oppfører seg som f i ærhete av a, f a. Først legger vi merke til at F er. grads polyomet som er bestemt ved at F a = f a, F ' a = f ' a. Grafe til F er jo de rette lije som går gjeom a, f a og har stigigstall f ' a.
Nå fies det (akkurat) et 2. grads polyom som er slik at a = f a, ' a = f ' a, '' a = f '' a, emlig = f a C f ' a $ K a C 2 f '' a $ K a 2. Dette er lett å sjekke : a = f a C f ' a $0 C 2 f '' a $0 = f a, ' = 0 C f ' a $ C 2 $2$ f '' a $ K a, så F ' a = f ' a C f '' a $0 = f ' a, og 2 ' = 0 C f '' a $, så '' a = f '' a. Polyomet kalles Taylorpolyomet til f av grad (opptil) 2 rudt = a. Eksempel. Vi velger igje f = e si og a = 0. Vi vet allerede at f 0 =, f ' = e si $ cos og f ' 0 =. Ved produktregele får vi f '' = e si $cos $ cos C e si $ Ksi = e si $ cos 2 K si. Dermed er f '' 0 = e 0 $ cos 0 2 K si 0 =. Vi fier derfor at = C $ C 2 $$2 = C C 2 2. Grafee til f, F og rudt puktet 0, f 0 = 0, ser slik ut : 2 F (0, ) f Kp K0.5 p 0 0.5 p p
Vi ser at grafe til ligger tettere opptil grafe til f e grafe til F. Vi ka å sjekke at 0.2 gir e gaske god approksimasjo av f 0.2 = e si 0.2 : Vi får at 0.2 = C 0.2 C 2 0.2 2 =.22, og det er gaske ært Maples approksimasjo av e si 0.2 at 5 digits.298. Et itrykk av hvor godt approksimerer f får vi ved å tege grafe til feile E 2 = f K : K0.6 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6 K0.002 e si K C C 2 2 / K0.004 K0.006 E 2 K0.008 K0.00 som idikerer at feile å er midre e 0.0 for alle i itervallet K0.58, 0.58.. Vi betrakter å e fuksjo f som vi atar er deriverbar så mage gager vi øsker rudt = a. La være et aturlig tall. Vi vil ha bruk for følgede otasjo : vi beteger produktet av alle aturlige tall fra til og med med! ( som uttales -fakultet ). Vi har spesielt at! =, 2! = $2 = 2,! = $2$ = 6, 4! = $2$$4 = 24. Vi setter også 0! =. Legg merke til at! = K! $. Så 5! = 4! $ 5 = 24$5 = 20, osv.
Det ka da vises at det fis (akkurat) et polyom F av grad (opptil) som er slik at F a = f a, F ' a = f ' a, F '' a = f '' a, $$$, F a = f a, emlig F = f a C f ' a! $ K a C f '' a 2! $ K a 2 C $$$ C f a! $ K a. Dette polyomet kalles Taylorpolyomet til f av grad (opptil) rudt = a. Videre ka det vises at f z F år er ær ok a, m.a.o. at feile E = f K F er lite i tallverdi år er ær ok a. Mere presist formulert har vi at det fis et itervall som ieholder a slik at for ehver i dette itervallet, så fies det et tall c som ligger mellom a og der E % f C c C! $ K a C ( Lagrages formel ) ; det følger da at det fies e M O 0 slik at E % som gir et estimat for feile. M C! $ K a C, Eksempel. Vi velger f = e og a = 0. Da er f 0 = og f = e, så f 0 = for alle. Vi får at e z F = C C og Lagrages formel sier da at E = Velger vi f.eks. = og = 5 gir dette 2! 2 C $$$C!, e c C! e z C C 2 C 6 C 24 C 20 = 6 60 der vi vet 0! E 5 = ec 6! 6! Maple oppgir e at 5 digits 2.78, så det stemmer bra. C for e c mellom 0 og. at 5 digits 2.767, 720! 0.0 (fordi ec! e! år c er mellom 0 og ).
I Maple fies det et eget oppsett for å berege og vise frem Taylor polyomer (jf. Lab 2). Det ka brukes til å lage følgede bilde av Taylorpolyomet F 5 til f = e rudt = 0 : 0 f = e y 20 0 F 5 K K2 K 0 2 Eksempel. Vi velger f = l og a =. Da er f = 0. Videre er f ' =, så f ' = ; f '' = K K2, så f '' = K ; f = 2 K, så f = 2. Dermed er Taylorpolyomet av grad til f = l rudt a = gitt ved F = 0 C $ K C så l z K K 2 K 2 K 2 C K 2 C 2 6 K, K år er ær. 0 K F l 0.5.5 2 2.5 K2 K
4. Hvis f er glatt rudt a vil det i mage tilfeller være slik at f = f a C f ' a! $ K a C f '' a 2! $ K a 2 C $$$ C f a! $ K a C $$$ for alle i et passede itervall rudt a. Uttrykket på høyreside kalles Taylorrekka til f rudt a. Når og i hvilket itervall dee formele holder skal vi ikke si oe om her, bortsett fra å eve følgede kjete formler : e = C C 2! 2 C $$$C! C $$$ for alle. si = K! C 5! 5 K$$$ C K K 2 K! 2 K C $$$ for alle. cos = K 2! 2 C 4! 4 C$$$ C K K 2! 2 C $$$ for alle. l = K K 2. K 2 C K C $$$ C K K K C $$$, 0! % 2.