Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010
Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har ingen, en eller uendelig mange løsninger.
Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har ingen, en eller uendelig mange løsninger. Et homogent lineært ligningssystem har minst en løsning x 1 = x 2 =... = x n = 0.
Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har ingen, en eller uendelig mange løsninger. Et homogent lineært ligningssystem har minst en løsning x 1 = x 2 =... = x n = 0. Et homogent lineært ligningssystem med flere ukjente enn ligninger har uendelig mange løsninger.
Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har ingen, en eller uendelig mange løsninger. Et homogent lineært ligningssystem har minst en løsning x 1 = x 2 =... = x n = 0. Et homogent lineært ligningssystem med flere ukjente enn ligninger har uendelig mange løsninger. Et homogent linært ligningssystem med n ukjente og n ligninger har eksakt en løsning hvis og bare hvis koeffisientmatrisen til systemet er radekvivalent med identitetsmatrisen I n = 1 0... 0 0 1... 0............ 0 0.. 1
Addisjon av matriser Hvis A = [a ij og B = [b ij er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen som vi får ved å legge sammen samsvarende elementer i A og B, A + B = [a ij + b ij.
Addisjon av matriser Hvis A = [a ij og B = [b ij er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen som vi får ved å legge sammen samsvarende elementer i A og B, A + B = [a ij + b ij. Eksempel [ 1 2 5 0 [ 4 1 + 0 3 [ 5 3 = 5 3
Multiplikasjon av en matrise med et tall Hvis A = [a ij er en matrise og c er et tall, så er ca matrisen som vi får ved å multiplisere hvert element i A med c, ca = [ca ij.
Multiplikasjon av en matrise med et tall Hvis A = [a ij er en matrise og c er et tall, så er ca matrisen som vi får ved å multiplisere hvert element i A med c, ca = [ca ij. Eksempel [ 1 2 3 5 0 [ = 3 6 15 0
Indreprodukt Hvis u = (u 1,..., u p ) og v = (v 1,..., v p ) er to p-vektorer, så er indreproduktet (skalarproduktet/prikkproduktet) tallet gitt ved u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 +... + u p v p. Produktet av en rad-vektor a = [a 1,..., a p og en kolonne-vektor b 1 b =... b p er definert ved ab = a b = [a 1 b 1 +... + a p b p
Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj.
Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj. Eksempel [ 3 1 2 5 0 1 4 1 2 0 2 7 =
Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj. Eksempel [ 3 1 2 5 0 1 4 1 2 0 2 7 = [ 3 4 + 1 ( 2) + ( 2) 2 3 1 + 1 0 + 2 7 5 4 + 0 ( 2) + 1 2 5 1 + 0 0 + 1 7
Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj. Eksempel [ 3 1 2 5 0 1 4 1 2 0 2 7 = [ 3 4 + 1 ( 2) + ( 2) 2 3 1 + 1 0 + 2 7 5 4 + 0 ( 2) + 1 2 5 1 + 0 0 + 1 7 [ 6 11 = 18 2