TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010
2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon 5.6 Substitusjon i bestemte integraler og areal mellom kurver 5.7 Logaritmen definert som et integral I dag 5.7 Logaritmen definert som et integral 6.1 Volum ved skivemetoden 6.2 Volum ved sylinderskallmetoden
3 Logaritmen definert ved integral Definisjon, side 371 ln x = x 1 1 dt, x > 0. t
4 Regneregeler for logaritmen Merknad, side 373 1 ln(ab) = ln(a) + ln(b) når a, b > 0. 2 ln ( ) 1 x = ln(x) når x > 0. 3 ln ( ) a b = ln(a) ln(b) når a, b > 0. 4 ln(x r ) = r ln(x) når x > 0.
5 Egenskaper ved logaritmen 1 ln(x) er en deriverbar funksjon og d dx ln(x) = 1 x. 2 ln(x) er en kontinuerlig og voksende funksjon. 3 lim x ln(x) = og lim x 0 + ln(x) =. 4 Verdimengden til ln(x) er (, ).
6 Eksponentialfunksjoner Definisjon, side 374 Funksjonen ln(x) er voksende er dermed en-til-en. Vi kan derfor definere exp(x) til å være den inverse funksjonen til ln(x). Da verdimengden til ln(x) er (, ), er exp(x) definert på (, ). Hvis a > 0 og r er et rasjonalt tall har vi at a r = exp(ln(a r )) = exp(r ln(a)). Definisjon, side 377 For a > 0 definerer vi derfor for alle tall r, a r til å være tallet exp(r ln(a)).
7 Den naturlige eksponentialfunksjonen Definisjon Vi la e være tallet ln(1). (e 2, 718281828). Merknad, side 374 375 Vi har da at e x = exp(x ln e) = exp(x) for alle x, e ln x = x for alle x > 0, ln(e x ) = x for alle x.
8 Egenskaper ved eksponentialfunksjon 1 e x er en deriverbar funksjon og d dx ex = e x. 2 Verdimengden til e x er (0, ). 3 e x er en kontinuerlig, positiv og voksende funksjon. 4 lim x e x = og lim x e x = 0.
9 Regneregeler for eksponentialfunksjonen Teorem 8, side 376 1 e a e b = e a+b 2 e x = 1 e x 3 ea e b = e a b 4 (e x ) r = e rx
10 Regneregeler for eksponentialfunksjonen med grunntall a Merknad, side 377 For a > 0 har vi at 1 a x a y = a x+y 2 a x = 1 a x 3 ax a y = a x y 4 (a x ) r = a rx
11 Egenskaper ved eksponentialfunksjonen med grunntall a 1 a x er en deriverbar funksjon og d dx ax = a x ln(a). 2 a x er en kontinuerlig og positiv funksjon. 3 a x er en voksende funksjon hvis a > 1 og avtagende hvis a < 1. 4 lim x a x = og lim x a x = 0 hvis a > 1. 5 lim x a x = 0 og lim x a x = hvis a < 1. 6 Verdimengden til a x er (0, ) hvis a 1.
12 Logaritmefunksjonen med grunntall a Definisjon, side 378 La a 1. Funksjonen a x er da monoton og dermed en-til-en. Vi kan derfor definere log a (x) til å være den inverse funksjonen til a x. Da verdimengden til a x er (0, ), er log a (x) definert på (0, ). 1 log a (x) er en deriverbar funksjon og d dx log a (x) = 1 x ln(a). 2 log a (x) er en kontinuerlig funksjon. 3 log a (x) er en voksende funksjon hvis a > 1 og avtagende hvis a < 1. 4 lim x log a (x) = og lim x 0 + log a (x) = hvis a > 1. 5 lim x log a (x) = og lim x 0 + log a (x) = hvis a < 1. 6 Verdimengden til log a (x) er (, ).
13 Regneregeler for logaritmen med grunntall a Merknad, side 378 1 log a (xy) = log a (x) + log a (y) når x, y > 0. ( 2 log 1 ) a x = loga (x) når x > 0. ( ) 3 log x a y = log a (x) log a (y) når x, y > 0. 4 log a (x r ) = r log a (x) når x > 0.
14 Volumet av et legeme Definisjon, side 392 (Rottmann side 173) Volumet av et legeme hvis tverrsnittsareal er gitt som en integrerbar funksjon A, D(A) = [a, b] er b a A(x)dx.
15 Tverrsnittmetoden (skivemetoden) Merknad, side 394 La a < b og la f være en positiv, kontinuerlig funksjon definert på [a, b]. Volumet av legemet som fremkommer når grafen til f roteres om x-aksen er lik b a π(f (x)) 2 dx.
16 The Washer Method Merknad, side 397 La a < b og la f og g være kontinuerlige funksjoner slik at 0 f (x) g(x) for alle x [a, b]. Volumet av legemet som fremkommer når området avgrenset av grafene til f og g og linjene x = a og x = b roteres om x-aksen er lik π b a (g(x)) 2 (f (x)) 2 dx.
17 Sylinderskallmetoden Merknad, side 404 La L a b og la f være en positiv, kontinuerlig funksjon definert på [a, b]. Volumet av legemet som fremkommer når et område avgrenset av linjene x = a og x = b og med høyde f (x) i x roteres om linjen x = L er lik b a 2π(x L)f (x)dx.
18 Plan for neste uke Onsdag 8:15 10:00 i R7 6.2 Volum ved sylinderskallmetoden 6.3 Lengde av kurver 6.4 Overflateareal av omdreiningslegemer Torsdag 14:15 16:00 i R1 6.5 Eksponentiell vekst og separable differensialligninger 6.6 Arbeid