Eksamen i fag nummer 74 55 Kjernefysikk, lrdag 10. mai 1997 Lsninger 1. a) Skallmodellen fungerer best for kjerner der protonene og nytronene hver for seg fyller opp nyaktig et helt antall energinivνa for en-partikkelsystemet. Eller for kjerner i nρrheten av disse. Vρskedrνapemodellen er komplementρr", og fungerer best for kjerner som har halvfulle en-partikkelnivνa. Den typen vibrasjoner som er enklest, og som derfor har lavest energi, er kvadrupolvibrasjoner. Ett kvadrupolfonon gir et eksitert nivνa med spinn og paritet +, og med en typisk energi rundt 1 MeV. To kvadrupolfononer gir tre nivνa med spinn og paritet 0 +, + og 4 +, og med typiske energier rundt MeV. Kollektiv rotasjon av en (deformert) 0 + -kjerne gir energier E` = `(` + 1)μh I der ` =0; ; 4; 6;::: er dreieimpulsen og I er treghetsmomentet. Spinn og paritet for nivνaene er `+. Forholdet mellom energiene til nivνaene 4 + og + er da ca. for vibrasjon og 0=6 = ; ::: for rotasjon. b) Regler som gjelder mer eller mindre generelt: (i) Like-like-kjerner har spinn og paritet I ß =0 +. (ii) Like-odde-kjerner har spinn og paritet som for det odde protonet/nytronet. (iii) Odde-odde-kjerner har spinn og paritet bestemt av det odde protonet og det odde nytronet tilsammen. Koplingen av dreiempulsene er slik at egenspinnene til protonet og nytronet er parallelle. H (tritium): 1 (1=)+ (regel (ii), korrekt). He: (1=)+ (regel (ii), korrekt). 9Be: (=) 4 (regel (ii), korrekt). 1C: (1=) 6 (regel (ii), korrekt). 14C: 6 0+ (regel (i), korrekt). 09Pb: 8 (9=)+ (regel (ii), korrekt). 09 10 8 Bi: (9=) (regel (ii), korrekt). 8 Bi: 0 (regel (iii), korrekt er 1 ). c) La I 1 og I vρre kjernespinnet henholdsvis fr og etter fl-overgangen. Utvalgsregler for elektrisk multipolstrνaling EL og magnetisk multipolstrνaling ML: Forandringen i kjernespinnet er ji I 1 j =0; 1;:::;L. Dessuten mνa L» I 1 + I. Altsνa: ji 1 I j»l» I 1 + I. Forandringen i paritet er ( 1) L for EL og ( 1) L+1 for ML. De mulige overgangene blir da: (=) +! (=) : E1,M (mindre sannsynlig: E). (=) +! (5=) : E1,M (E,M4). (=) +! (7=) : M,E (M4,E5). (=)! (5=) : M1,E (M,E4). (=)! (7=) : E,M (E4,M5). (5=)! (7=) : M1,E (M,E4,M5,E6). ; 1
d) Antallet gjenvρrende radioaktive kjerner etter en tid t er N(t) =N 0 e t ; der N 0 og er konstanter. Halveringstiden er gitt ved at e t 1= =1=, altsνa t 1= = ln : Antallet kjerner som desintegrerer i et tidsintervall fra t til t +dt er dn = dn = N 0 e t dt: Etter uendelig lang tid er alle de opprinnelige N 0 kjernene desintegrert. Den midlere levetiden er = 1 Z N0 t dn = 1 Z 1 t N 0 e t dt N 0 N 0 0 = d d Den naturlige linjbredden er da Z 1 e t dt 0 0 = 1 = t 1= ln : = μh μh ln 197 MeV fm ln = = = 197 MeV 10 15 m0; 69 =4; 55 10 6 ev : t 1= c 10 10 s ; 00 10 m Massen M til kjernen er (tilnρrmet) lik 100 u. Fotonet har energi E fl ß E og impuls p = E fl =c. Rekylimpulsen til kjernen er like stor og motsatt rettet. Rekylenergien er altsνa E r = p M = E fl Mc ß ( E) (0; 1 MeV) = =0; 054 ev : Mc 00 91 MeV Som er ca. 10 000 ganger strre enn den naturlige linjebredden, men likevel mye mindre enn E fl. Vi fνar altsνa bekreftet antagelsen om at E fl = E E r ß E. e) Mössbauer-effekten gνar ut pνa at rekylenergien til en atomkjerne som sender ut et foton, typisk er mindre enn bindingsenergien for atomet i et krystallgitter. Derfor er det mulig at rekylen tas opp av hele krystallen. Noe av rekylenergien kan tas opp av gitteret i form av gittervibrasjoner (fononer), men det er ogsνa mulig at det ikke eksiteres fononer. Kjernemassen M i formelen for rekylenergien erstattes dermed av massen til en hel krystall, som typisk kan vρre 10 ganger kjernemassen. Det gjr rekylenergien forsvinnende liten, sammenlignet f.eks. med den naturlige linjebredden. f) De mulige radioaktive prosessene er: ff-desintegrasjon: (A; Z)! (A 4;Z ), -desintegrasjon: (A; Z)! (A; Z + 1), elektroninnfanging (ffl): (A; Z)! (A; Z 1). A er massetallet og Z protontallet (atomnummeret). Det som avgjr om en prosess er mulig eller ikke, er om Q-verdien (overskuddsenergien") er positiv eller negativ. + -desintegrasjon vil ikke forekomme i praksis,
fordi den alltid har mindre Q-verdi enn elektroninnfanging. Q-verdien for hver av de tre prosessene nner vi ganske enkelt ved νa ta differensen mellom atommasser m A. Ta frst iridium 190: (ff) : Q = m A ( 190 Ir) m 77 A( 186 Re) m 75 A( 4 He) c =0; 0099 u c =; 788 MeV: ( ): Q = m A ( 190 Ir) m 77 A( 190 Pt) 78 c =0; 00066 u c =0; 618 MeV: (ffl) : Q = m A ( 190 77 Ir) m A ( 190 76 Os) c =0; 00144 u c =1; 997 MeV: Alle tre prosessene er mulige. ff-desintegrasjon er lite sannsynlig, fordi Q-verdien er liten, sammenlignet med hyden av en potensialbarriere som skyldes bνade Coulomb-potensialet og sentrifugalpotensialet med relativ dreieimpuls ` =; 5; 7;:::. (For en overgang 4 +! 1 mνa `, og ` mνa vρre odde fordi paritetsforandringen til atomkjernen er ( 1)`). Strst Q-verdi av de to andre har ffl-overgangen. Den er tredje-forbudt hvis den gνar til grunntilstanden i 190 76 nivνa innenfor de 1; 997 MeV. Fasit: levetiden for ffl-overgangen er 11,8 dager. Ta sνa iridium 191: (ff) : Q = Os, men sannsynligvis nner den et mer tillatt" eksitert m A ( 191 77 Ir) m A( 187 75 Re) m A( 4 He) c =0; 007 u c =; 084 MeV: ( ): Q = m A ( 191 Ir) m 77 A( 191 Pt) 78 c = 0; 001081 u c = 1; 007 MeV: (ffl) : Q = m A ( 191 77 Ir) m A ( 191 76 Os) c = 0; 0006 u c = 0; 10 MeV: Den eneste mulige er ff, som igjen er undertrykt fordi Q-verdien er liten sammenlignet med potensialbarrieren som skyldes Coulomb-potensialet og sentrifugalpotensialet med ` =; 4; 6;:::. Fasit: Iridium 191 er stabil i flge alle tabeller, det mνa betyatlevetiden er sνa lang at desintegrasjonen ikke observeres. Sνa til iridium 19: (ff) : Q = m A ( 19 Ir) m 77 A( 188 Re) m 75 A( 4 He) c =0; 001871 u c =1; 74 MeV: ( ): Q = m A ( 19 Ir) m 77 A( 19 Pt) 78 c =0; 001561 u c =1; 454 MeV: (ffl) : Q = m A ( 19 77 Ir) m A ( 19 76 Os) c =0; 00111 u c =1; 07 MeV: Alle tre prosessene er igjen mulige. ff er undertrykt fordi Q-verdien er liten og ` =4; 6; 8;:::. Strst Q-verdi forvrig har -overgangen. Den er tredje-forbudt hvis den gνar til 190 grunntilstanden i 76 Os, men nner antagelig et eksitert nivνa νa desintegrere til innenfor de 1; 454 MeV.
Fasit: levetiden for -overgangen er 74, dager. Og endelig iridium 19: (ff) : Q = m A ( 19 Ir) m 77 A( 189 Re) m 75 A( 4 He) c =0; 001095 u c =1; 00 MeV: ( ): Q = m A ( 19 Ir) m 77 A( 19 Pt) 78 c = 0; 000060 u c = 0; 056 MeV: (ffl) : Q = m A ( 19 77 Ir) m A ( 19 76 Os) c = 0; 0011 u c = 1; 17 MeV: Den eneste mulige prosessen er ff, som igjen er undertrykt fordi Q-verdien er svρrt liten (for en ff-overgang). Fasit: Liksom iridium 191 er iridium 19 stabil i flge alle tabeller. g) Atomkjerner lettere enn jern bygges opp for det meste ved fusjon av lette kjerner. For de kjernene som er tyngre enn jern, er Coulomb-barrieren i praksis ugjennomtrengelig, og de mνa derfor produseres ved innfanging av nytroner. Siden atomkjernene i nρrheten av jern er de mest stabile (de har strst bindingsenergi pr. nukleon), sνa frigjres det energi nνar lettere kjerner smelter sammen, mens det koster energi νa produsere de tyngre kjernene. Det frste og mest langvarige stadiet som de fleste stjernene gνar gjennom, er fusjon av hydrogen (protoner) til helium. Reaksjoner i proton-proton-syklusen: p+p! d+e + + ν; p+d! He + fl; He + He! 4 He+p+p: Det neste stadiet er forbrenning" av helium til 1 C, via den ustabile kjernen 8 Be. Fra 1 Ckan 16 O, 0 Ne, osv., bygges opp ved absorpsjon av 4 He. Enda et stadium er forbrenning av 1 C, f.eks. ved reaksjonene 1 C+ 1 C! 0 Ne + 4 He eller Na + p : Produksjon av tyngre kjerner ved nytronabsorpsjon ser ut til νa ha skjedd ved to vesensforskjellige prosesser. For det frste en sakte" prosess (s-prosess"), der nytronfluksen er liten nok til at en nyprodusert kjerne har tid til νa -desintegrere fr den absorberer et nytt nytron. Dette er den normale situasjonen i en stjerne, som kan vare i mange millioner νar inntil det oppstνar en tilnρrmet stasjonρr tilstand med likevekt mellom produksjon og forbruk av de fleste isotopene. Og for det andre en rask" prosess (r-prosess") der nytronfluksen er stor og en nyprodusert kjerne derfor fνar svρrt kort tid til νa -desintegrere. Denne prosessen foregνar muligens i supernovaeksplosjoner. Beviset for at begge mekanismene mνa ha vρrt virksomme, er at det nnes visse isotoper i naturen som er rene s-isotoper", og andre som er rene r-isotoper", dvs. at de bare kan ha blitt produsert ved den ene av de to mekanismene. 4
. a) Eksempel pνa en utvidet tabell: Sterk Elektromagnetisk Svak vekselvirkning vekselvirkning vekselvirkning Energi Impuls Dreieimpuls Paritet (P ) Tidsreversjon (T ) Elektrisk ladning Baryontall Leptontall Isospinn Sρrtall Ladningskonjugasjon (C) CP CPT b) Det gjelder at T = 0 for sterke vekselvirkninger, mens T = 0 eller T = 1 for elektromagnetiske ogsvake vekselvirkninger. Forklaringen er, grovt sett, at bνade elektromagnetiske og svake overganger i frste tilnρrming involverer bare ett nukleon i en kjerne, med all de andre som tilskuere". Ett nukleon har isospinn 1=, derfor kan ikke det totale isospinnet forandres med mer enn maksimalt en enhet. c) Utvalgsregelen T = 1= i desintegrasjonen av Λ betyr at slutt-tilstanden mνa ha isospinn 1=. Vi mνa altsνa addere isospinn T ß = 1 (for ß-mesonet) og T N = 1= (for nukleonet) til totalt isospinn 1/. Isospinnkomponenten T er 1+ 1 = 1 og 0 1 = 1 for henholdsvis ß +pogß 0 +n. Tabellen over Clebsch Gordan-koefsienter gir at T = 1 ;T = 1 fl = r 1 T ß =0;TN = 1 fl r T ß = 1; TN = 1 fl : Forgreningsforholdet er kvadratet av Clebsch Gordan-koefsientene, altsνa 1= for ß 0 + n og = for ß +p. Fasit: (5; 8 ± 0; 5)% for ß 0 + n og (6; 9 ± 0; 5)% for ß +p. Avviket fra forholdet 1/ kan delvis forklares ved at Q-verdiene er litt forskjellige, idet ß 0 er lettere enn ß, mer enn p er lettere enn n. 5
Siden K-mesonet har isospinn 1/, gir utvalgsregelen T = 1= at enten T = 0 eller T = 1 i slutt-tilstanden. Blgefunksjonen for en tilstand med to ß-mesoner, med kvantisert totalt isospinn, kan skrives som et produkt ψ(total) = ψ(isospinn) ψ(rom) : Den mνa vρre symmetrisk under ombytte av de to partiklene, siden ß-mesoner er bosoner (de har spinn 0). Siden K-mesonet har spinn 0, mνa dreieimpulsen i massesentersystemet til de to ß- mesonene vρre ` =0. Det betyr at romblgefunksjonen har symmetri ( 1)` =1, og flgelig mνa isospinnblgefunksjonen ogsνa vρre symmetrisk. To isospinn T ß = 1 adderes til totalt isospinn T lik enten, 1 eller 0. Av disse er T =ogt = 0 symmetriske, mens T = 1 er antisymmetrisk (Clebsch Gordan-koefsientene for kopling av dreieimpulser j 1 og j til total dreieimpuls j har en generell symmetrifaktor ( 1) j j 1 j se tabellen over Clebsch Gordankoefsienter). I desintegrasjonen KS 0! ß + ß mνa altsνa slutt-tilstanden, i flge regelen T =1=, ha isospinn 0. Tabellen gir at r r 1 1 jt =0;T =0i = jt ß =1;Tß= 1i jt ß =0;Tß=0i r 1 + jt ß = 1; T ß =1i : Altsνa like stor sannsynlighet for hver av de tre mulighetene ß + + ß, ß 0 + ß 0 og ß + ß +. To ladde ß-mesoner er dobbelt sνa sannsynlig som to nytrale. Fasit: (68; 61 ± 0; 8)% for ß + + ß og (1; 9 ± 0; 8)% for ß 0 + ß 0. Q-verdiene er litt forskjellige, men den korreksjonen gνar i favr av ß 0 + ß 0, altsνa i feil retning. 6