Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 31.

Transkript

1 NTNU Side av 7 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 3. mai 007 Oppgave. Kvarkmodell for q q-mesoner Gi en beskrivelse av hvordan man i kvarkmodellen tenker seg at mesoner er bygd opp av en u eller d kvark og en ū eller d antikvark. Prøv spesielt å forklare a) hvilket spinn S det kombinerte q q-systemet kan ha, Ifølge vektormodellen for kobling av spinn har vi at = 0, () dvs at det kombinerte systemet kan ha spinn S = 0 (singlett) eller S = (triplett). Målt i enheter der =. b) hvilket isospinn I det kombinerte q q-systemet kan ha, Siden spinn og isospinn er matematisk ekvivalent har vi fortsatt = 0, () dvs at det kombinerte systemet kan ha isospinn I = 0 (isosinglett) eller I = (isotriplett). c) hvilken relativ banedreieimpuls L det kombinerte q q-systemet kan ha, Banedreieimpulsen er kvantisert i heltallige enheter av, L = 0,,... (3) d) hvilken total dreieimpuls J det kombinerte q q-systemet kan ha, J = (L + S),(L + S ),..., L S (4) e) hvilken spektroskopisk notasjon man bruker for å betegne q q-systemer som over, der X = S for L = 0, X = P for L =, X = D for L = osv. S+ X J (5)

2 Løsning FY3403 Partikkelfysikk, 3. mai 007 Side av 7 f) kvalitativt hvordan massen til mesonet avhenger av de forskjellige kvantetallene (illustrer helst med et diagram), Må lage figur g) hvordan pariteten P til mesonet avhenger av de forskjellige kvantetallene, fordi q og q har motsatt intrinsikk paritet. P = () L+ (6) h) hvordan C-pariteten til de nøytrale mesonene avhenger av de forskjellige kvantetallene, må huskes.(eller kan finnes fra oppgave!) C = () L+S (7) i) hvordan G-pariteten til mesonet avhenger av de forskjellige kvantetallene, må huskes.(eller kan finnes fra oppgave!) G = () I C (8) j) hvilke mer kvantitative matematiske modeller man kan bruke for å beregne massen (og andre fysiske egenskaper) til mesonet. Ikkerelativistisk kvarkmodell, Bagmodell Bethe-Salpeter integralligning... M m q + m q + A m q m q s q s q (9) Oppgave. Henfall av mesoner lagd av lette (anti-)kvarker, dvs. u,ū,d, d Ifølge Review of Particle Physics har ρ-mesonene ( 3 S -tilstander med I = ) masse m = 77 MeV/c og vidde Γ = 49 MeV/c, mens de tilsvarende ω-mesonene ( 3 S -tilstander med I = 0) masse m = 78 MeV/c og vidde Γ = 8.44 MeV/c. a) Hvorfor er ω-mesonene så mye mer stabile enn ρ-mesonene? Moden ρ ππ er mulig ved sterke vekselvirkninger (G = + for ρ, G = () = for π π), ω π π bryter G-paritet (siden ω har G = ) og kan derfor ikke gå ved sterke vekselvirkninger. I Review of Particle Physics finner vi a -mesonene ( 3 P -tilstander med I = ) listet med masse m = 38 MeV/c og vidde Γ = 07 MeV/c. b) Forklar hvorfor henfallsmoden a ππ ikke er observert a har G = så a ππ kan ikke gå ved sterke vekselvirkninger. Prosessen kan gå ved elektromagnetiske vekselvirkninger, men slike henfall blir maskert av mye mer dominerende prosesser som f.eks a ρπ.

3 Løsning FY3403 Partikkelfysikk, 3. mai 007 Side 3 av 7 c) Henfallsmoden a πππ er heller ikke observert. Hva tror du kan være grunnen til dette? Siden a ρπ er observert, og ρ π π også går, er prosessen altså mulig. Men a π π π direkte har ikke vært observert. Mulige årsaker: (i) Vesentlig mindre amplitude for 3-partikkel henfall (sammenlignet med sterkt -partikkel henfall), og (ii) mange av henfallskanalene for a π π π er umulig uten paritetsbrudd. Oppgitt: Ifølge Review of Particle Physics finner vi følgende kvantetall tilordnet endel mesoner: π 0 (35) I G (J PC ) = (0 + ) π ± (40) I G (J PC ) = (0 ) η(547) I G (J PC ) = 0 + (0 + ) ρ(770) I G (J PC ) = + ( ) ω(78) I G (J PC ) = 0 ( ) a (38) I G (J PC ) = ( ++ ) Vi har følgende sammenhenger: P = () L+, C = () L+S, G = () I C. Oppgave 3. Kvantitativ modell for henfall av pseudoskalare mesoner Som en sterkt forenklet (og derfor unøyaktig) modell for henfall av ladete π-mesoner og K-mesoner, f.eks π + µ + + ν µ, K + µ + + ν µ, antar vi at disse mesonene kan konvertere til et virtuelt W + vektormeson, som igjen kan konvertere til µ + +ν µ som indikert av Feynmanreglene nedenfor. im πe cos θ c im Ke sin θ c im µe π + W + K + W + W + µ + ν µ Propagatoren for et virtuelt W-vektormeson med firerimpuls p settes til i p m W I naturlige enheter har vi m µ 05.7 MeV, m π 40 MeV, m K 495 MeV, m W 80.4 GeV, α = e /4π / a) Tegn Feynman diagrammene for henfallsprosessene π + µ + + ν µ og K + µ + + ν µ. µ+ µ + W + W + π + K + p = (m π,0) ν p = (m K,0) µ ν µ b) Skriv ned de tilhørende algebraiske uttrykk for henfallsamplitudene M fi i de to tilfellene. M fi (π + µ + ν µ ) = i e m π m µ cos θ c m π m W M fi (K + µ + ν µ ) = i e m K m µ sinθ c m K m W ie cos θ c m π m µ m W ie sin θ c m K m µ m W (0) ()

4 Løsning FY3403 Partikkelfysikk, 3. mai 007 Side 4 av 7 c) Anta at mesonet er i ro før henfallet. Hva blir energien E µ til myonet i de to tilfellene? La m m bety enten m π eller m K. Vi bruker naturlige enheter. Vi må ha E µ + E ν = m m. Siden p µ = p ν og m ν = 0 finner vi at E ν = Eµ m µ. Altså at Eµ m µ = m m E µ. Kvadrert, og løst ut for E µ gir dette E µ = m m + m µ m m = { 09.9 MeV når m er π +, 58.8 MeV når m er K +. () d) Det er eksperimentelt kjent at Γ(K + µ + + ν µ) Γ(π + µ + + ν 4 µ) 3. (3) Velg θ c slik at denne relasjonen er oppfylt. Her trenger vi bevegelsesmengden til myonet etter henfall av partikkel m. Fra ligning () finner vi at p m = Fra dette følger det at dvs. at vi må ha eller E µ m µ = m m (m m + m µ ) 4m m m µ = m m m µ m m (4) Γ(K + µ + + ν µ ) Γ(π + µ + + ν µ ) = m π m K tan θ c = 4 3 (m K m µ )/m K (m π m µ)/m π m 4 K sin θ c m 4 π cos θ c, m π m K m π m µ m K m µ = 0.036, θ c = (5) Kommentar: Den eksperimentelle verdien på Cabibbo-vinkelen er θ C = 0.9 = 3.. e) Hva blir da henfallsratene, Γ(π + µ + + ν µ) og Γ(K + µ + + ν µ)? Ved innsetting av tallverdier finner man ( ) Γ(π + µ + + ν µ ) = e 4 cos m 4 π θ m µ m π m µ c m W 8πm π m π = πα cos m π m ( µ m π m µ) θ c m 4 W = m π = MeV, (6) og ( ) Γ(K + µ + + ν µ ) = e 4 sin m 4 K θ m µ m K m µ c m W 8πm K m K = πα sin m K m ( µ m θ K m µ) c m 4 W = m K = MeV. (7)

5 Løsning FY3403 Partikkelfysikk, 3. mai 007 Side 5 av 7 f) Bestem levetidene τ π og τ K til henholdsvis π + og K + i denne modellen, under antagelse om at de oppgitte henfallsmodene er de eneste som forekommer. Oppgi svaret i SI-enheter, dvs. sekunder. (Hvis du ikke har fått til forrige punkt, forklar med eksempel hvordan du konverterer fra en henfallsrate Γ gitt i naturlige enheter til en levetid τ gitt i sekunder.) τ π = Γ π = s (8) τ K = Γ K = s (9) Kommentar: De eksperimentelle levetidene er τ π = s, og τ K = s, så denne grovt tiløksede modellen fungerer egentlig mye bedre enn den fortjener! g) Forklar hvordan du vil generalisere denne modellen til å beskrive henfall av D + s -mesoner, dvs. D + s µ + + ν µ. Oppgitt: a) Sammenhengen mellom amplitude M fi og henfallsrate er i dette tilfellet (med to partikler i sluttilstanden), i naturlige enheter, Γ = p 8πm M fi, (0) der m er massen til partikkelen (i ro) som henfaller, og p er bevegelsesmengden til en av partiklene i sluttilstanden. b) = Js = MeVs, c = m/s. Oppgave 4. e + e produksjon pga. vekselvirkning med den kosmiske bakgrunnsstrålingen Det er velkjent at universet er fyllt med termiske fotoner med en temperatur T.7 K. Denne kosmiske bakgrunnstrålingen er essensielt isotrop i vårt Lorentz referansesystem. Dette betyr at andre fotoner med veldig høy energi ikke kan propagere over store avstander i universet. De vil istedet kollidere med fotoner fra bakgrunnstrålingen og skape elektron-positron par. a) Anslå hvilken energi, ω, et foton må ha for å danne et elektron-positron par ved en head-on kollisjon med et foton fra bakgrunnsstrålingen (målt i vårt Lorentz referansesystem). Oppgitt: Boltzmann s konstant k B ev/k, m e = 0.5 MeV/c. Vi regner først med naturlige enheter, = c =. Når vårt foton, med firervektor q = (ω,0,0,ω), kolliderer med et foton fra bakgrunnsstrålingen med firervektor q B = (ω B,0,0, ω B ) blir det invariante massekvadratet s = (q + q B ) = (ω + ω B ) (ω ω B ) = 4ωω B. () Dette må være minst like stort som det invariante massekvadratet for et elektronpositron par uten relativ hastighet (i ro i massesentersystemet), dvs. s (m e ). Med og c gjeninnsatt ω m e c4 ω B m e c4 k B T = ( ev) ev. 05 ev. ()

6 Løsning FY3403 Partikkelfysikk, 3. mai 007 Side 6 av 7 b) Som en svært forenklet modell for parproduksjonsprosessen behandler vi fotonet som en masseløs nøytral skalar partikkel, og elektronet som en ladet skalar partikkel med masse m e. Propagatorene for elektronet og fotonet, og vekselvirkningsknuten mellom dem, er som gitt av Feynman reglene nedenfor. p i p m e k i k iem e Tegn Feynman diagrammene for parproduksjonsprosessen. q B p q B p q k + p q k p M M Her er k = q p = p q B og k = q B p = p q. c) Finn i denne forenklede modellen det algebraiske uttrykket for spredningsamplituden M fi. Du kan bruke naturlige enheter, dvs. enheter der = c =. Vi har M fi = M + M, med M = i (iem e) k m e og M = i(iem e). (3) k m e d) Finn i denne modellen det differensielle tverrsnittet for parproduksjon i massesentersystemet. I massesentersystemet kan vi skrive q = (E,0,0,E), q B = (E,0,0,E), p = (E,p) og p = (E, p), der p = E m e ˆp med ˆp retningen på det skapte elektronet. Dette gir k m e = (q p ) m e = q + p m e p q = p q = E ( + β e cos ϑ) (4) k m e = (q p ) m e = p q = E ( β e cos ϑ). (5) Her har vi brukt at q = 0, p = p = m e og innført β e = p /E. Når vi videre setter S = (elektronet og positronet er ikke identiske partikler), E + E = E og p f / p i = β e i den generelle formelen (3), får vi dσ dω = e4 m 4 e β e 04π E 6 0 ( β e cos ϑ + + β e cos ϑ ) = α m 4 e 6 E 6 β e ( βe cos ϑ). (6) e) Finn i denne modellen det totale tverrsnittet for parproduksjon. Ved integrasjon finner vi det totale tverrsnittet til π ( ) dσ σ tot = dϕ d cos ϑ = πα m 4 e β e dω 8E 6 dx ( βe x ) = πα m e β e 8E 4 { + β e log β e Her har vi brukt at m e /( β e ) = E. ( + βe β e )}. (7)

7 Løsning FY3403 Partikkelfysikk, 3. mai 007 Side 7 av 7 f) Skisser hvordan du vil gå fram for å transformere det differensielle tverrsnittet for parproduksjon til vårt Lorentz referansesystem. En måte å angripe dette problemet på er å gå via de relativistiske invariantene. Generelt (sålenge de to fotonene beveger seg kolineært) har vi at s = (q + q B ) = 4ωω B, dvs. at vi kan skrive ω = ξ s og ω B = ξ s, der ω/ω B = ξ (veldig stor i vårt referansesystem). Men, siden p = q + q B p, finner vi at p = p p (q + q B ) + (q + q B ). Siden p = p gir dette s = p (q + q B ) = ( ξ + ξ ) se ξ (ξ ξ ) sp ξ cos ϑ ξ. (8) Tilsvarende finner vi at t (q p ) = m e p q = m e +ξ s E ξ ξ s p ξ cos ϑ ξ. Vi kan skrive disse relasjonene på matriseform ( ξ + ξ ξ + ξ )( ) ( ) E s ξ s = ξ ξ p ξ cos ϑ ξ t m. (9) e Dette kan inverteres ( E ξ p ξ cos ϑ ξ ) = s ( ξ ξ + ξ ξ ξ ξ )( s t m e ). (30) Her er altså E ξ energien til elektronet i referansesystemet definert ved parameteren ξ, p ξ = Eξ m e, og ϑ ξ er den tilhørende spredningsvinkelen. Ligning (30) gir en eksplisitt transformasjon mellom størrelsene i massesentersystemet og et generelt system. Oppgitt: Sammenhengen mellom amplitude M fi og spredningstverrsnitt er dσ dω = S M fi p f 64π (E + E ) p. (3) i Følgende integral kan være nyttig Z dx ( u x ) = u + «+ u u log når < u <. u