Eksamen FY3403 Partikkelfysikk Onsdag 10. desember 2008 Løsninger

Transkript

1 Eksamen FY3403 Partikkelfysikk Onsdag 0. desember 008 Løsninger a) Den minste massesenterenergien vi kan ha, er E CM (m p + m Δ )c ( ) MeV 70 MeV. Det er ikke noe poeng i å regne mer nøyaktig her, siden Δ-resonansen har en bredde på 8 MeV/c. Vi har to protoner, nummerert f.eks. som a og b. Når E E a + E b er total energi og P p a + p b er total impuls, så er s E c P en relativistisk invariant. I massesentersystemet er P 0, pr. definisjon, og s E CM c. I laboratoriesystemet i start-tilstanden er p b 0, pr. definisjon, og s (E a + m b c ) c p a mb c +E a m b + E a c p a mb c +E a m b + ma c m p (m p c + E a ). Energien til det akselererte protonet er da E a s m p c E ( ) CM 70 m p m p c m pc MeV 57 MeV. Den tilsvarende impulsen er p a p a E a c m p c MeV/c 6 MeV/c. b) Proton og nøytron har isospinn I / og Δ har isospinn I 3/. Start-tilstanden a + b p + p har nødvendigvis isospinn I med tredjekomponent I 3, den er i p, p I,I 3. Partiklene i slutt-tilstanden c + d har isospinn I c / ogi d 3/, og det totale isospinnet kan bli enten I eller I. I tabellen over Clebsch Gordan-koeffisienter finner vi ikke I c / ogi d 3/, men vi finner den motsatte rekkefølgen, I c 3/ ogi d /. Det gjør samme nytten, i følge tabellen er koeffisientene de samme, med et ekstra fortegn ( ) I Ic I d ( ) I,somer ganske uvesentlig i denne sammenhengen, la oss ta det med bare som en prinsippsak.

2 Slutt-tilstanden er enten f p, Δ + I c3,i d3 eller f n, Δ ++ I c3,i d3 3 4 I,I I,I 3 4 I,I 3 4 I,I 3. Isospinnet er bevart, og det betyr at spredningsamplituden fra en start-tilstand i I,I 3 til en slutt-tilstand f I,I 3 avhenger bare av I, slik: M f M i I,I 3 M I,I 3 M (I) δ I,I δ I3,I 3. Følgelig er M(p + p p +Δ + ) 4 M(), M(p + p n +Δ ++ ) 4 M(). () Spredningstverrsnittet σ er proporsjonalt med M,altsåer σ(p + p p +Δ + ) σ(p + p n +Δ ++ ) 3. Dette forholdet gjelder både det differensielle tverrsnittet og det totale tverrsnittet (integrert over vinklene). c) I prosessen p + n n +Δ + har vi start-tilstanden i p, n I a3,i b3 og slutt-tilstanden f n, Δ + I c3,i d3 Det gir spredningsamplituden M(p + n n +Δ + ) 4 M(), og de to tverrsnittene er like, I,I I 0,I 3 0 I,I 3 0 I,I 3 0. σ(p + n n +Δ + ) σ(p + p p +Δ + ). Dette er et eksempel på såkalt ladningssymmetri, som er en svakere symmetri enn isospinnsymmetri: den sterke vekselvirkningen er uavhengig av elektrisk ladning, slik at tverrsnittet er uforandret om vi bytter ut et proton med et nøytron både i starttilstanden og i slutt-tilstanden.

3 d) Vi tillater oss åforenklesåmyeatviserpå hver prosess : p + p p +Δ + p + p + π 0, : p + p p +Δ + p + n + π +, 3: p + p n +Δ ++ n + p + π +. som en totrinnsprosess. Første trinn har vi allerede behandlet, det er en av prosessene 4: p + p p +Δ +, 5: p + p n +Δ ++. Andre trinn er en av de tre desintegrasjonene 6: Δ + p + π 0, 7: Δ + n + π +, 8: Δ ++ p + π +. Nummerer partiklene som c, d i mellomtilstanden og som e, f, g i slutt-tilstanden i hver av reaksjonene, og 3. For fire-impulsene p c,p d,p e,p f,p g antar vi at p c p e og p d p f + p g.damå den invariante massen m fg, definert ved at mfg c (E f + E g ) c ( p f + p g ), være i nærheten av m Δ 3 MeV/c. I tabellen over Clebsch Gordan-koeffisienter finner vi koeffisientene for kopling av isospinn og isospinn /, i den rekkefølgen. Hvis vi insisterer på motsatt rekkefølge, I f / ogi g,får vi et ekstra fortegn ( ) I I f I g ( ) I (3/),somvitarmed, selv om det ikke betyr noe for sluttresultatet. Vi finner at p, π 0 I f3,i g3 0 3 I 3,I I,I 3, n, π + I f3,i g3 3 I 3,I 3 3 I,I 3, p, π + I f3,i g3 I 3,I 3 3. Siden isospinnet er bevart, og Δ har isospinn 3/, har vi amplitudene M 6 3 M(3/), M 7 3 M(3/), M 8 M (3/). Det gir følgende tre amplituder, når vi også bruker ligning () ovenfor, M M 4 M 6 6 M() M (3/), M M 4 M 7 M() M (3/), M 3 M 5 M 8 4 M() M (3/). 3

4 Overfladisk sett skulle det gi følgende forhold mellom spredningstverrsnittene: σ : σ : σ 3 6 : : 3 4 ::9. Nå tilbake til spørsmålet i oppgaven, forholdet mellom tverrsnittene for p+p p+p+π 0 og p+p p+n+π +. Dersom den invariante massen til π-mesonet og det ene nukleonet er nær m Δ, mens den invariante massen til π-mesonet og det andre nukleonet er vesentlig forskjellig fra m Δ, er saken grei. Da ser vi forskjell på de tre prosessene,, 3, og forholdet mellom de differensielle spredningstverrsnittene bør være : : 9, under den forutsetningen at Δ-resonansen gir det dominerende bidraget. Dersom begge de invariante massene er nær m Δ, blir saken vesentlig mer komplisert, fordi vi får interferens mellom flere amplituder for samme prosess. Vi må antisymmetrisere slutt-tilstanden p + p + π 0, fordi protonene er fermioner. Og vi får interferens mellom prosessene og 3. En full analyse er umulig uten å ta hensyn til egenspinnet til partiklene, og det ville føre alt for langt her. a) Start-tilstanden K + d har isospinn / i alle reaksjonene, siden K har isospinn / og deuteronet d har isospinn 0. Slutt-tilstanden Λ 0 +Δ 0 er umulig (ved sterk vekselvirkning) fordi den har isospinn 3/. Begge reaksjonene K + +d Σ 0 +Δ + og K + +d Σ 0 +Δ ++ er umulige (ved sterk vekselvirkning) fordi særtallet S ikke bevares, vi har S +i start-tilstanden og S i slutt-tilstanden. Reaksjonen K + + d Σ 0 +Δ + bevarer ikke engang elektrisk ladning. De tre gjenværende reaksjonene er mulige: K + d Σ 0 +Δ 0, Σ +Δ +, Σ + +Δ. Isospinnet i start-tilstanden er I /, I 3 /, og isospinnet i slutt-tilstanden må væredetsamme.viskalkopleisospinni c ogi d 3/ tili / ogi 3 /. Koeffisientene er tabulert for den motsatte rekkefølgen 3/ og, sådaskalvihamed en ekstra fortegnsfaktor ( ) I Ic I d ( ) I 5/ ( ) I /. Vi kunne ha gjort som ovenfor og dekomponert hver av slutt-tilstandene i komponenter med totalt isospinn I 5/, 3/ og /. Men siden vi trenger bare den ene isospinntilstanden I /, I 3 /, er det nok å dekomponere den, slik:,, 3 3 0, Σ+, Δ Σ0, Δ 0 +, 6 Σ, Δ +. Forholdet mellom tverrsnittene for slutt-tilstandene Σ + +Δ,Σ 0 +Δ 0 og Σ +Δ + blir : 3 : 6 3::. b) Levetiden er så langatdetmåværesvak vekselvirkning. Den lange levetiden har sammenheng med at særtallet ikke er bevart, noe som kjennetegner svak vekselvirkning. Λ 0 har isospinn 0, så hvisδi /, må slutt-tilstanden ha isospinn / og være I,I 3 3 p, π 3 n, π0. Vi skulle da få /3 66, 7% p + π og /3 33, 3% n + π 0, ganske nær de observerte andelene på 63, 9 % og 35, 8%. 4

5 c) En tilstand med et nøytron og en π har nødvendigvis totalt isospinn I 3/, I 3 3/. Når Σ + (89) p + π 0 og n + π + med omtrent like mye av de to slutt-tilstandene, såmådet bety at vi har en superposisjon med noenlunde like mye av totalt isospinn I / ogi 3/. Som vi nettopp så, ville nemlig I / gi /3 av p + π og /3 av n + π 0. Omvendt ville I 3/ gi /3 av p + π og /3 av n + π 0.Både I / og I 3/ er konsistente med utvalgsregelen ΔI / (mer presist: ΔI /). Σ 0 (93) Λ 0 +γ er en elektromagnetisk prosess, den er rundt regnet 0 9 ganger sårask som desintegrasjonene av Σ ± ved svak vekselvirkning. Desintegrasjonene Σ 0 p + π og Σ 0 n + π 0 er mulige ved svak vekselvirkning, men får aldri sjansen fordi den elektromagnetiske prosessen er så mye raskere. d) Den grunnleggende prosessen er at s-kvarken, med S, sender ut en (virtuell) W og går over til enten en d-kvark eller en c-kvark. I denne prosessen er ΔS ΔQ. Tilsvarende prosesser for anti-kvarkene s, u og c gir ΔS ΔQ. ( ) 3a) Definer f f(t) e im S + Γ S )t (im L + Γ t og g g(t) e L, slik at ψ(t) ( f K 0 + g K0 ) Den unormerte sannsynligheten for K 0 er når vi definerer ( (f + g) K 0 (f g) K 0 ) q f + g (f + g )(f + g) f + g + f g + g f e ΓSt +e ΓLt +e Γ t cos(δmt) e Γ t (cosh(γt)+cos(δmt)),. Γ Γ S +Γ L, γ Γ S Γ L, Δm m L m S. Den unormerte sannsynligheten for K 0 er q f g (f g )(f g) f + g f g g f e ΓSt +e ΓLt e Γ t cos(δmt) e Γ t (cosh(γt) cos(δmt)). Den normerte sannsynligheten for K 0 er da p mens den normerte sannsynligheten for K 0 er p q q + q + cos(δmt)) cosh(γt), q q + q cos(δmt)) cosh(γt). Vi ser at q (t) / ogq (t) / når t. 5

6 3b) Med de forutsetningene vi har gjort, er δ(t) p (t) p (t) cos(δmt)) cosh(γt). Spesielt impliserer det at δ(t) 0når t. 3c) Vår teoretiske formel er uavhengig av fortegnet til Δm. Det er vist eksperimentelt at Δm >0, men da på andre måter, her kan vi bare måle Δm. Det mest nøyaktige estimatet av Δm, ihvertfallnår vi bare bruker øyemål, får vi antagelig fra nullpunktene til asymmetrien δ(t). I følge vår teoretiske formel skal δ(t) 0for Δmt π/ ogforδmt3π/. Nå vet vi strengt tatt ikke hvor nøyaktig nullpunktet for tidsaksen er bestemt, derfor er det tryggest å bruke de to synlige nullpunktene, som vi estimerer til t 0, 7 ns og t 0, 94 ns, idet vi tar hensyn til at grenseverdien når t tydeligvis ikke er 0. Vi skal altså haat Δm (t t )Δm 0, 67 ns π, og dermed (husk at h ogc ) π Δm 0, 67 ns 4, 7 09 /s4, ( h/s)/c 4, , 58 0 MeV/c 3, 0 MeV/c. Fasitsvaret er Δm 3, MeV/c og Δm/m K 7, Raten γ kan vi for eksempel estimere fra den negative minimumsverdien til δ(t), som er anslagsvis 0.057, ved t 3 0, 4 ns. Ved dette tidspunktet skal vi ha at ( π cos(δm t)cos + (t ) ( ) 3 t )π π cos +0, 4 π 0, 65. t t Altså: som gir at δ(t 3 ) 0, 057 0, 65 cosh(γt 3 ), 30 e γt 3, γ ln(, 30/0, 057) t 3 3, 3 0, 4 ns 7, 4 09 /s, s. Nå vet vi tilfeldigvis at Γ L << Γ S, og da kan vi sette Γ S γ, /s 6, 7 0 s. Etter dette skulle midlere levetid for K S være 6, 7 0 s (fasit er 8, 96 0 s). Figuren antyder at grenseverdien for δ(t) når t er rundt regnet (den eksperimentelle fasiten er 0, 0033 ± 0, 00006). Siden vi regnet ut grensverdien 0 under forutsetning av CP-invarians, har vi her et eksperimentelt bevis påatcp-invariansen er brutt. 6