signalet som et signal i en komponent, og utgangs signalet som et signal i en annen komponent, en helt annen plass i nettverket. Oppgave 1 Gitt spenni

Transkript

1 Frekvensrespons, impedans og reaktans? Mats Hfivin 23rd May Innledning Bruken av komplekse tall ved beregninger innen elektronikk og signalbehandling er meget utbre. For nye studenter er dette vanligvis ansett som noe av det mest vanskelige og utilgjengelige aspektet ved disse fagretningene. Mange lρrebfiker dekker bruken av komplekse tall og transformer pνa en utmerket mνate, men veldig ofte er det lagt lite, eller ingen vekt pνa νa introdusere studentene gradvis til disse abstrakte metodene. Nνar man har sittet lenge nok νa lurt pνa hvorfor man kan bruke komplekse, eller ikke-eksisterende" tall til νa lfise praktiske, eksisterende problem, og boka kun bruker en linje pνa νa forklare det, kan man fνa en ffilelse av at det ikke var meningen at man skulle forstνa noe av det. Resultatet blir derfor ofte at man lρrer seg νa bruke avanserte teknikker uten νa forstνa hvorfor de funker. Da har dessuten det meste en tendens til νa gνa i glemmeboka like etter eksamen. Dette kompendiet er et forsfik pνa νa forklare hva som ligger til grunn for begrepene frekvensrespons, impedans og reaktans, og hvorfor disse begrepene funker. Om det lykkes vet jeg ikke, men det var i alle fall go ment. Tanken er νa starte ut pνa et lett nivνa, forsfike νa finne et fast fundament som intuitivt lett kan forstνas, og sνa pνa en sνa enkel mνate som mulig gνa opp veien fram til begrepene frekvensrespons, impedans og reaktans uten νa etterlate hull i tankerekken. Kompendiet er bygd opp run et sett med oppgaver som lfises fortlfipende, men da det ofte krever endel tid og krefter νa fνa pνa plass slike nye tanke modeller, vil jeg beskrive sνa enkle kretser som mulig. Jeg har derfor begrenset meg til feedback-lfise RC kretser. Har man forstνatt grunnlaget basert pνa RC kretser, er det lett νa generalisere til enhver dynamisk krets, inkludert kretser med spoler, OP'amper og feedback. Det sentrale begrepet jeg finsker νa formidle, er frekvens respons. Dette er et kraftig begrep som ikke bare letter analysen av dynamiske kretser betraktelig, men ogsνa bidrar til fikt forstνaelse av dynamiske system generelt. Begrepene impedans og reaktans blir en direkte konsekvens avνa anvende begrepet frekvensrespons pνa elektroniske kretser bestνaende av R, C og L elementer. Men ffir vi starter, husk at begrepene frekvensrespons, impedans og reaktans bare har en mening nνar man analyserer lineρre kretser med rene sinus og cosinus signaler pνa inngangene. Det man finsker νa finne er steady-state responsen, ikke en eventuell transient respons. 2 Enkle modeller basert pνa differensial ligninger I det ffilgende ser vi pνa noen enkle lineρre systemer. Nνar vi snakker om inngangs signaler og utgangs signaler i et lineρrt nettverk, stνar vi fritt til νa definere disse selv. Vi kan, for eksempel, definere spenningen over en motstand som inngangs signalet, og strfimmen i motstanden som utgangs signalet, eller motsatt. Vi kan til og med definere inngangs 1

2 signalet som et signal i en komponent, og utgangs signalet som et signal i en annen komponent, en helt annen plass i nettverket. Oppgave 1 Gitt spennings signalet v(t) = A cos(!t) over en enkel motstand med resistans R, finn et uttrykk for strfimmen som vil trenge i gjennom motstanden. Oppgave nr. 1 I ffilge Ohm's lov er, til enhver tid, strfim lik spenning delt pνa motstand, dermed har vi i(t) = A cos(!t) R Man merker seg at strfim signalet bare er en ren skalering av spennings signalet, og at man har man et enkelt uttrykk for svaret uansett hvilken frekvens 1, fase 2 og amplitude inngangs signalet har. Dette er veldig greit. Oppgave 2 Anta at man sender en strfim i(t) =A cos(!t) inn i gjennom en kondensator, finn et uttrykk for spenningen som vil bygge seg opp over kondensatoren. Her gjelder ikke Ohm's lov lengre, men nνar man sier at man sender en strfim inn i "gjennom" en kondensator, slik som illustrert i figuren, mener man egentlig at man fiker antall elektroner pνa nederste plate og fjerner et tilsvarende antall elektroner pνa fiverste plate (elektron-strfim retning). Dette gir opphav til et elektrisk felt i mellom platene, og dermed en spenning. Siden spenningen er proporsjonal med ladningen (antall elektroner) vi har tilffirt/fjernet fra platene kan man uttrykke spenningen ved integralet av strfimmen over tid. Dermed er det man nνa har νa forholde seg til, differensial ligningen v(t) = 1 C Z t 1 i(fi)dfi (1) Man merker seg at spennings signalet ikke nfidvendigvis er en ren skalering av strfim signalet, og at man, for νa finne svaret pνa ligningen, mνa integrere inngangs signalet. Dette er generelt mye mere arbeid enn for tilfellet med motstanden. Hvis strfimmen derimot er gitt av i(t) =A cos(!t) kan man i dette tilfelle finne lfisningen ved v(t) = A!C sin(!t) 1 Frekvensen! = 2ßf, ogsνa kalt vinkelhastighet, er bare en skalering av den virkelige frekvensen f. Denne notasjonen brukes kun for νa spare skrive arbeid. 2 Med fase mener man variabelen i uttrykket cos(!t + ) 2

3 Dette kan skrives som v(t) = A cos(!t ß=2)!C Man ser at for dette spesielle tilfelle, der strfimmen er gitt av A cos(!t), blir spenningen ogsνa her en skalering av inngangs signalet, men signalet blir fase skiftet (forsinket) med ß=2. Det litt pussige er at maksimal spenning over kondensatoren dermed ikke kommer samtidig med at strfimmen over den er pνa sitt hfiyeste, slik det er for en motstand. Oppgave nr. 2 En annen ting man ser er at pνa grunn av kjerne regelen under integrasjon, har vi fνatt frekvensen! i nevneren pνa skalerings faktoren. Dette betyr at for hfiye frekvenser vil amplituden pνa spenningen som bygger seg opp bli liten, og for lave frekvenser vil amplituden bli stor. Nνar frekvensen gνar mot null vil spenningen gνa i mot uendelig. Dette kan intuitivt forstνas som at hvis man tvinger inn en nesten konstant strfim og venter bortimot uendelig lenge, sνa vil jo naturlig nok spenningen bygge seg opp i mot uendelig. Oppgave 2b Anta at man pνatrykker spennings signalet v(t) = A cos(!t) over kondensatoren, finn et uttrykk for strfimmen som vil gνa i gjennom kondensatoren. Som sagt, den eneste modellen man har for sammenheng i mellom strfim og spenning over en kondensator, er gitt av ligning 1. Dermed kan man finne svaret ved νa snu ligningen (derivere begge sider) i(t) =C dv(t) Her ser man at strfimmen i kondensatoren er proposjonal med den deriverte av spenningen. Med andre ord, jo raskere spenningen forandrer seg, jo stfirre strfim gνar det. Dermed, for en ren DC eller likespenning har man ingen strfim da kondensatoren nνa blokkerer. Hvis spenningen er gitt av v(t) =A cos(!t) blir svaret fra ligning 2 eller i(t) =!AC sin(!t) i(t) =!AC cos(!t + ß=2) Man ser at for dette spesielle tilfelle, der spenningen er gitt av A cos(!t), blir strfimmen en skalering av inngangs signalet, fase skiftet med +ß=2. (Har tatt med minus tegnet som gir et fase skift pνa ß). Her ser vi at maksimal strfim i kondensatoren ikke kommer samtidig med at spenningen over den er maksimal, men kommer nνar den deriverte av (2) 3

4 spenningen er maksimal. Dette inntreffer nνar spenningen passerer 0V pνa vei oppover. Pνa denne mνaten kommer det vi har definert som utgangs signalet (strfimmen), ffir inngangs signalet (spenningen). Siden vi snakker om periodiske signaler, fνar vi likevel ingen problem med kausalitet. Oppgave nr. 2b Ogsνa her ser vi at pνa grunn av kjerne regelen vil strfimmen bli skalert med!. Dette medffirer at for lave frekvenser vil amplituden pνa strfimmen bli liten. Nνar frekvensen gνar mot null (DC) vil strfimmen stoppe opp, og kondensatoren blokkerer. Nνar frekvensen gνar mot uendelig vil amplituden pνa strfimmen gνa mot uendelig, kondensatoren nνa kan sees pνa som en ren kortslutning. Med andre ord, dess hfiyere frekvens man har pνa spenningen over en kondensator, dess mer strfim slipper den i gjennom. Oppgave 3 Gitt en strfim i(t) inn pνa kretsen i figuren, sett opp en differensial ligning som beskriver sammenhengen i mellom spenningen v(t) som bygger seg opp pνa inngangen, og strfimmen inn i kretsen. Oppgave nr. 3 Her har en i ffilge Kirchoff at spenningen over motstanden pluss spenningen over kondensatoren mνa vρre lik spenningen inn. Dermed har en, i fra ligning 1 at v(t) =v C (t)+v R (t) v(t) = 1 C Z t 1 i(fi)dfi + i(t)r (3) Denne differensial ligningen beskriver sammenhengen i mellom en generell inngangs spenning og strfimmen som vil gνa inn i kretsen. Som vi ser, vil lfisningen vρre sterkt avhengig av hvilket type signal man kjfirer inn. 4

5 Oppgave nr. 3b Oppgave 3b Finn en differensial ligning som beskriver sammenhengen i mellom spenningen inn og spenningen ut av kretsen i figuren. Siden utgangen av kretsen ikke er belastet, vet vi at strfimmen i gjennom motstanden til enhver tid mνa vρre lik strfimmen i gjennom kondensatoren Dermed har en, fra ligning 2 at i C (t) =i R (t) C dv ut(t) = v R(t) R Vi vet og, i ffilge Kirchoff, at v R (t) =v inn (t) v ut (t), dermed har vi at RC dv ut(t) = v inn (t) v ut (t) Denne differensial ligningen beskriver sammenhengen i mellom inngangs spenning og utgangs spenning i kretsen. Fra ligningen kan vi ogsνa her ane at at denne sammenhengen er helt avhengig av det pνatrykte signal v inn (t). Oppgave 4 Finn en differensial ligning som beskriver sammenhengen i mellom spenningen inn og spenningen ut av kretsen i figuren. Oppgave nr. 4 Som ffir har vi at strfimmen i gjennom motstanden til enhver tid mνa vρre lik strfimmen i gjennom kondensatoren, i C (t) =i R (t). Dermed har vi at C dv C(t) Vi vet og at v C (t) =v inn (t) v ut (t), slik at = v ut(t) R RC dv inn(t) RC dv ut(t) = v ut (t): 5

6 Oppgave 5 Finn sammenhengen i mellom spenning og strfim inn pνa kretsen i figuren. Her har en i ffilge Kirchoff at summen av strfimmen i gjennom kondensatoren i C (t), og strfimmen i gjennom motstanden i R (t) mνa vρre lik strfimmen inn i kretsen. i(t) =C dv(t) + v(t) R Oppgave nr. 5 Oppgave 6 Finn en differensial ligning som beskriver sammenhengen i mellom spenningen inn og spenningen ut av kretsen i figuren. Oppgave nr. 6 Her har en i ffilge Kirchoff at summen av strfimmen i gjennom kondensatoren i C (t) og strfimmen i gjennom motstanden i R2 (t), til sammen mνa vρre lik strfimmen i gjennom R 1. Dermed har vi i R1 (t) =i C (t) +i R2 (t) v R1 (t) R 1 = C dv ut(t) Sνa vet vi at v R1 = v inn (t) v ut (t), og vi fνar resultatet som kan trekkes sammen til v inn (t) R 1 v ut(t) R 1 v inn (t) =R 1 C dv ut(t) = C dv ut(t) + v ut(t) R 2 + v ut(t) R 2 + v ut (t) 1+ R 1 R 2 6

7 3 Komplekse tall Poenget med dette avsnittet er νa bli fortrolig med komplekse tall representert pνa eksponentiell form. Oppgave 7 Gitt to komplekse tall c 1 =3+j4 og c 2 =4+j3, finn summen av tallene. Finn c 1 c 2, samt c 1 multiplisert med c 2. Sum: Adderer real og imaginρr del hver for seg: (3 + j4) + (4 + j3) = (3 + 4) + j(4 + 3) = 7 + j7 Differanse: Subtraherer real og imaginρr del hver for seg: (3 + j4) (4 + j3) = (3 4) + j(4 3) = 1+j Produkt: Finnes ved vanlig utregning, men husker pνa atj j = p 1 p 1= 1 (3 + j4)(4 + j3) = j3 +j4 4+j4 j3 =j25 25 im re Oppgave nr. 7-8 Oppgave 8 Gitt to komplekse tall c 1 =3+j4 og c 2 =4+j3. Uttrykk tallene pνa eksponentiell form (Ae j! ). Euler har pνa en eller annen mystisk mνate funnet ut at opphfiyer man tallet e i tallet j!, der! er et reell tall, fνar man et komplekst tall som har helt identiske egenskaper med det komplekse tallet cos! + j sin!. Dette er ikke lett νa se da et komplekst tall i seg selv er en abstrakt stfirrelse som gir uttrykket e j! en, om mulig, enda mer abstrakt dimensjon. I alle fall sνa har han funnet ut at under alle mulige regne operasjoner oppffirer tallet e j! seg helt identisk med tallet cos! + j sin!. Ut i fra dette har han til slutt klart νa bevise at disse to tallene virkelig er identiske. 7

8 Tallet e j! er begrenset til νa ligge pνa en sirkel i det komplekse plan med radius 1 og senter i origo. Dette ser en enklest ut i fra uttrykket cos! + j sin! for forskjellige verdier pνa!. Hvis man vil uttrykke et vilkνarlig komplekst tall, bνade utenfor og innenfor enhetssirkelen, pνa eksponential form, mνa man derfor multiplisere e j! med en passende konstant A. Dermed har man at et hvert komplekst tall kan skrives pνa formen Ae j!. Dette er en polar form, da! representerer vinkelen til tallet og A modulen eller avstanden til origo. Her mνa en merke seg at Ae j! ikke bare er en konvensjon, eller en mνate νa skrive et komplekst tall pνa, tallet Ae j! er et fullverdig tall som vil oppffire seg identisk med det opprinnelige tallet under alle mulige regne operasjoner. For νa kunne overffire et vilkνarlig tall gitt pνa formen x + jy til eksponentiell form kan vi ut i fra sammenhengen Ae j! = A cos! + jasin! sette x = A cos(!) ogy = A sin(!), og finne at jx + jyje j 6 (x+jy) = x + jy med andre ord, vi har at det opprinnelige tallet kan skrives som modulen til tallet multiplisert med e opphfiyd i j ganger vinkelen i mellom tallet og den reelle aksen. Et enkelt uttrykk for modulen og vinkelen er som ffilger q x 2 + y 2 e j tan 1 (y=x) = x + jy (4) Tallet c 1 = 3+j4 kan nνa skrives som p e j tan 1 (4=3) som blir 5e j0:927, og da fνar en bare stole pνa Euler som sier at dette tallet vil oppffire seg identisk med tallet 3+j4 under alle mulige regne operasjoner. Tilsvarende har en at tallet c 2 =4+j3 kan skrives som 5e j0:644. Hvis en finsker νa finne produktet av tallene, nνa gitt pνa eksponentiell form, er det bare νa regne i vei med vanlige potens regler 5e j0:927 5e j0:644 =5 5e j(0:927+0:644) =25e j1:570 Nνa viser det seg at vinkelen 1.570rad tilsvarer ß=2, og i fra sammenhengen e jß=2 = cos(ß=2) + j sin(ß=2) = 0 + j 1 = j, ser man at svaret blir j25 som stemmer med utregningen i oppgave 7. Oppgave 9 Gitt to komplekse tall c 3 = j7 ogc 4 = 3, uttrykk tallene pνa eksponentiell form. Modulen til c 3 er 7 og vinkelen fra c 3 til den reelle aksen er ß=2, dermed har vi at j7 = 7e jß=2. Modulen til c 4 er 3, og vinkelen i mellom c 4 og den reelle aksen er 0. dermed har vi at det reelle tallet 3 kan skrives som 3=3e j0. Tenker vi oss om, vet vi jo at et hvert tall forskjellig fra null opphfiyd i null er lik 1, dermed, 3e j0 =3 1=3. Poenget med dette avsnittet har vρrt νa gi noen eksempler som viser at et komplekst tall representert pνa eksponentiell form, uttrykt ved Ae j!, oppffirer seg identisk med tallet representert pνa formen x + jy under vanlige regneregler. 8

9 4 Lfisning av differensial ligninger ved bruk av signalet e j!t En elektrisk krets bestνaende av motstander, spoler og kondensatorer kan modelleres med en ffirste-ordens lineρr differensial ligning slik vi har sett eksempler pνa i oppgave 1-6. Det νa lfise en slik ligning er generelt mye arbeid avhengig av hva slags signal man har inn pνa kretsen. Hvis man derimot begrenser seg til νa se pνa sinus/cosinus signaler, vil vanskelighets graden ved νa lfise ligningene reduseres, men fremdeles kan jobben vρre meget tidkrevende. Sinus/cosinus signaler har vist seg νa vρre svρrt viktige signaler innen elektronikk da det kan vises at et vilkνarlig signal kan approksimeres sνa go man bare finsker ved en skalert sum av sinus/cosinus signaler. Dette, og det faktum at kretsene er lineρre betyr at; kjenner man kretsens respons pνa et generelt cosinus signal, kan en lett finne kretsens respons pνa et vilkνarlig signal (jmf. Fourier transform). Definisjonen pνa en lineρr krets er todelt: 1. Multipliserer man inngangs signalet med en konstant k, vil utgangs signalet bli k ganger stfirre. Konstanter slipper" altsνa direkte i gjennom kretsen. 2. Adderer man et nytt signal til det opprinnelige inngangs signalet, vil utgangs signalet inneholde det opprinnelige utgangs signalet pluss kretsens respons pνa det nye signalet. Det opprinnelige utgangs signalet blir altsνa ikke fidelagt" eller mikset" med det nye signalet, og det blir derfor mulig νa finne igjen det opprinnelige signalet pνa utgangen. Lineρr krets Siden et kompleks tall er et fullverdig tall pνa alle mνater, gir det ogsνa mening νa la definisjonen av linearitet gjelde komplekse inngangs/utgangs signaler. Et komplekst signal har selvffilgelig ingen fysisk mening, men matematisk sett er signalet et fullverdig signal pνa lik linje med et komplekst tall. De to nevnte egenskapene til en lineρr krets, kan nνa brukes til νa forenkle lfisningen av differensial ligninger med sinus/cosinus signaler inn. Her er det komplekse tall kommer inn i bildet, og pνa en mystisk mνate forenkler hele lfisnings prosessen. Gitt den enkle lineρre kretsen til venstre i figuren under, bestνaende av enenkel kondensator. Hvis man pνatrykker spenningen v(t) = cos(!t) over kondensatoren, vet man at man fνar en strfim gitt ved en skalert og fase skiftet utgave av inngangs signalet, i(t) = A cos(!t + ), der er ß=2. For spenningen v(t) = sin(!t) inn, fνar vi tilsvarende, i(t) = A sin(!t + ) ut. Da dette er en reell, lineρr krets, vet man at hvis man multipliserer inngangs signalet med konstanten j, sνa vil denne konstanten "slippe" i gjennom slik som illustrert til hfiyre i figuren. Det man nνa har, er et imaginρrt signal pνa inngangen som resulterer i et imaginρrt signal pνa utgangen. Dette er matematisk sett helt greit da et komplekst tall er like 9

10 Venstre: Reell (fysisk) strfim som ffilge av et reelt spennings pνatrykk. Hfiyre: Imaginρr (teoretisk) strfim som ffilge av et imaginρrt (teoretisk) spennings pνatrykk fullverdig som et reelt tall under alle mulige regne operasjoner. Pνa den annen side, den praktiske betydningen har nνa falt helt bort da man meget vanskelig kan se for seg et komplekst strfim/spennings signal. Hvis man derimot adderer dette imaginρre spennings signalet pνa det reelle spennings signalet, sier kretsens lineρre egenskaper at det reelle utgangs signalet ikke vil bli pνavirket av at kretsen nνa ogsνa ffirer et imaginρrt signal i gjennom seg. Dette er selvffilgelig bare et matematisk triks, (man kan fremdeles ikke ha et imaginρrt signal i en virkelig krets). Pνa den annen side, ved νa legge til denne imaginρre hjelpe stfirrelsen kan man nνa, i ffilge Euler, skrive inngangs signalet som e j!t, og dette... er tingen som skal til for νa enkelt kunne lfise differensial ligninger. Man husker jo at den deriverte av e t er lik e t selv, (mνa huske eventuell kjerne). Tilsvarende for integrasjon. Reell strfim blandet med imaginρr strfim som ffilge av et spennings pνatrykk bestνaende av en reell og en imaginρr komponent Altsνa, for νa summere opp; mνalet er νa lfise lineρre differensial ligninger. Disse er generelt vanskelige νa lfise, men vi finsker νa lfise dem for inngangs signaler pνa formen cos(!t). Dette er generelt enklere, men for stfirre kretser, fremdeles tids krevende. Ved νa addere pνa det imaginρre hjelpe signalet j sin(!t), kan inngangs signalet istedenfor skrives pνa formen e j!t. Dette letter lfisnigsarbeidet av en differensial ligning betydelig. Nνar man sνa sitter igjen med lfisningen av ligningen mνa man separere ut kretsens respons pνa det imaginρre hjelpe signalet og kaste det, da dette signalet bare har vρrt med i prosessen for νa lette lfisnings arbeidet. Har man forstνatt dette lille trikset har man i praksis forstνatt hele dette kompendiet, da resten bare er detaljer. Nνa er vi endelig klare til νa lfise differensial ligningene i fra oppgave 3-6 pνa enenkel mνate. Oppgave 3 Nνar man sender en cosinus inn pνa et lineρrt system, vet vi at vi fνar en skalert og faseskiftet cosinus ut. Siden systemet er lineρrt, gjelder dette ogsνa for et kompleks signal pνa formen e j!t. Sender man e j!t inn, fνar vi Ae j(!t+ ) ut. For systemet i figuren skulle vi finne sammenhengen i mellom strfim og spenning inn pνa kretsen. Fra ligning 3 har vi at v(t) = 1 C Z t 1 i(fi)dfi + i(t)r: (5) 10

11 Oppgave nr. 3 Med i(t) =e j!t vet vi at svaret blir pνa formen v(t) =Ae j(!t+ ), og det eneste vi trenger νa finne er A og. Putter man i(t) =e j!t inn i ligning 5, integrerer, og kombinerer med det generelle svaret, fνar vi v(t) =Ae j(!t+ ) = 1 j!c ej!t + e j!t R Vi merker oss uttrykket 1=j!C som framkommer som ffilge av kjerneregel under integrasjon. Nνar man sνa trekker litt sammen fνar man v(t) =Ae j(!t+ ) = 1 j!c + R e j!t (6) Dette er pνa sett og vis lfisningen pνa ligningen, siden vi har fνatt utgangs signalet pent representert ved inngangs signalet multiplisert med en konstant (kompleks). Det som nνa gjenstνar er bare νa separere ut kretsens respons pνa det imaginρre hjelpe signalet som sνa skal kastes. Dette er det samme som νa fjerne den imaginρre delen av hfiyre side i ligning 6. Men ffir vi gjfir det, merker vi oss at foran eksponential leddet pνa hfiyre side i ligningen, har vi i parentes et komplekst tall som ikke er gitt pνa eksponentiell form. Multipliserer man dette rett fram med eksponential leddet blir det bare grums. Heldigvis, takket vρre Euler kan man ogsνa skrive tallet i parentesen pνa eksponentiell form, og slνar man sammen de to eksponential leddene man da fνar, og trekker sammen ekponentene, har man fνatt en hfiyre side pνa 100% eksponentiell form, Ae j(!t+ ). Nνa har vi funnet A og. Iogmed at Ae j(!t+ ) = A cos(!t + )+jasin(!t + ), er det nνa lett νa fjerne den imaginρre delen, og vi stνar igjen med at kretsens respons pνa det reelle signalet cos(!t) blir A cos(!t + ). Det var det. Men, bortsett i fra at vi nνa har lfist differensial ligningen pνa en enkel mνate, er det grunn til νa stoppe litt opp, fordi ser man nfiyere pνa ligning 6, ser man noe som egentlig er ganske bemerkelsesverdig; vi har representert utgangs signalet v(t) som en ren skalering av inngangs signalet i(t), og dette - selv om systemet opprinnelig var beskrevet av en differensial ligning. Dette fungerer kun for komplekse inngangs signal pνa formen e j!t, og generelt mνa konstanten vρre kompleks, men like vel. Den komplekse konstanten kalles for kretsens frekvensrespons. Altsνa, det vi nνa har oppnνadd er; hvis man har et komplekst inngangs signal pνa formen e j!t, blir utgangs signalet rett og slett bare en kompleks skalering av inngangs signalet. Dette ligner litt pνa Ohm's lov, forskjellen er bare at signalene er komplekse. Hvis man kikker litt pνa det mest nρrliggende restitive tilfelle der man har en krets bestνaende av to motstander R 1 og R 2 i serie, har en i ffilge Ohm's lov, at spenning er lik motstand multiplisert med strfim. v(t) =(R 1 + R 2 ) i(t) (7) 11

12 Resitiv krets Sammenligner man ligning 6 og 7 ser man at i begge tilfeller er svaret en konstant skalering av inngangs signalet. I det resitive tilfelle representerer man komponentenes motstands verdier ved R. Spfirsmνalet er om man kanskje kan driste seg til νa gjfire noe tilsvarende i det komplekse tilfelle. Fra ligning 6 ser man at motstandens bidrag ogsνa her er uttrykt ved R, mens kondensatorens bidrag eller motstand" er gitt av 1=j!C. Det viser seg at har man et inngangs signal pνa formen e j!t, vil man uansett hvilken lineρr RC krets man regner pνa, kunne ende opp med et uttrykk for svaret gitt pνa formen y(t) =H(j!) e j!t der H(j!) er en kompleks konstant som kalles kretsens frekvensrespons. Inne i denne konstanten vil bidrag fra motstander dukke opp som R og bidrag fra kondensatorer dukke opp som 1=j!C, der bidragene er knyttet sammen som om Ohm's lov var gjeldende. I denne sammenhengen kaller man en kondensator's motstand" for reaktans, der verdien er gitt av 1=j!C. Tilsvarende kan en vise at en spoles motstand", som ogsνa kalles reaktans, kan skrives som j!l der L er spolens induktans. For νa summere opp; hvis man finsker νa lfise differensial ligningene pνa en enkel mνate kan man, hvis man snakker om inngangs signaler pνa formen e j!t, nνa begynne νa regne pνa kretser med motstander, kondensatorer og spoler som om Ohm's lov var gjeldene. En motstand behandles som en motstand med verdi R, enkondensator behandles som en vanlig motstand med verdi Z C =1=j!C, og en spole behandles og som en vanlig motstand, men med verdi Z L = j!l. Sνa er det bare νa bruke vanlige regneregler for paralelkobling og serie kopling av motstander for νa finne svaret. Haken er, selvffilgelig at inngangs signalet mνa vρre pνa formen e j!t eller Ae j!t, og at vi mνa finne oss iνa regne med komplekse tall. Man merker seg selvffilgelig og at motstanden" til en kondensator og en spole mνa bli kompleks. Nνar man sνa har satt opp ligningen for kretsen og lfist den, slik som vist i ligning 6, har man funnet kretsens frekvensrespons gitt av det komplekse tallet foran inngangs signalet. Sνa gjenstνar det νa bare νa separere ut og kaste den imaginρre hjelpe stfirrelsen for νa finne kretsens respons pνa det virkelige signalet cos(!t). Dette skal jeg nνa vise en grei metode for. Med utgangs punkt i ligning 6 er denne kretsens frekvensrespons gitt av H(j!) =Z C + R = 1 j!c + R I dette tilfelle er inngangs signalet en strfim og utgangs signalet en spenning, derfor representerer frekvensresponsen her ogsνa kompleks motstand" i kretsen: Z tot = Z C + R. En kompleks "motstand" som inneholder bidrag i fra reelle motstander (R) kalles impedans. Z tot = Z C + R i ligning 8 kalles derfor impedans. Ok, vi finsket νa representere frekvensresponsen, som her er lik impedansen, pνa eksponentiell form ved hjelp av Euler. Har ffirst fra ligning 6 at (8) 12

13 v(t) =H(j!) e j!t som kan skrives som Trekker sνa sammen eksponentene og fνar v(t) =jh(j!)je j 6 H(j!) e j!t v(t) =jh(j!)j e j(!t+ 6 H(j!)) Nνa kan en lett separere ut imaginρr delen ved νa igjen bruke Euler v(t) =jh(j!)j cos[!t 6 H(j!)] + jjh(j!)j sin[!t 6 H(j!)] Kaster sνa den imaginρre hjelpe stfirrelsen og fνar kretsens respons pνa det reelle (virkelige) signalet REfi(t)g = cos(!t), som blir REfv(t)g = jh(j!)j cos[!t 6 H(j!)] Nνa er en ved veis ende. Kjfirer man inn strfimmen cos(!t) pνa nettverket i oppgave 3 bygger det seg altsνa opp en spenning over kretsen gitt av jh(j!)j cos[!t 6 H(j!)] der jh(j!)j, fra ligning 8 er gitt av p 1=(!C) 2 + R 2,og6 H(j!) er gitt ved tan 1 ( 1=(!RC)). Som vi ser, inneholder frekvens responsen H(j!) ved sin modul, informasjon om hvor mye cosinus signalet blir dempet eller forsterket av kretsen, og ved sin vinkel, hvor mye cosinus signalet blir faseskiftet i gjennom kretsen. Ellers ser man at H(j!) er en kompleks konstant som forandrer seg med! som er gitt av frekvensen pνa signalene inne i kretsen. Vi ser at amplituden pνa spenningen som bygger seg opp over kretsen i oppgave 3 er avhengig av frekvensen pνa strfimmen vi putter inn. For lave frekvenser vil spenningen bli hfiy, da motstanden" i kondensatoren 1=(j!C) blir stor. For hfiye frekvenser blir motstanden" og dermed spenningen over kondensatoren lav, og spenningen over kretsen er hovedsakelig gitt av spenningsfallet over motstanden R. Tilsvarende har en at ved lave frekvenser kommer maksimal spenning over kretsen nesten ß=2 rad etter maksimal strfim da motstanden" i kretsen blir dominert av kondensatoren. For hfiye frekvenser kommer maksimal spenning nesten helt i fase med maksimal strfim da motstanden er dominert av R. Generell lfisnings metode basert pνa kretsens frekvensrespons 1. Hvis kretsens fysiske inngangs signal er pνa formen cos(!t), legg til det imaginρre hjelpe signalet j sin(!t). Inngangs signalet kan nνa skrives som e j!t. 2. Nνa kan man regne pνa krets elementene som om de var vanlige motstander der motstanden til en resistans er R, motstanden til en kondensator er 1=(j!C), og motstanden til en spole er j!l. Finn lfisningen ved vanlig bruk av Ohm's og Kirchoff's lover. 3. Uttrykk lfisningen pνa formen y(t) =H(j!) e j!t, der y(t) er det signalet man finsker νa finne, e j!t er inngangs signalet, og alle andre konstanter, komplekse og reelle, er samlet sammen i konstanten H(j!). 13

14 4. For νa kunne separere ut det imaginρre hjelpe signalet fra y(t), uttrykker man frekvensresponsen H(j!) pνa eksponentiell form, dermed har en resultatet: y(t) = jh(j!)j e j!t+ 6 H(j!) 5. Ved νa bruke Eulers formel og samtidig kaste imaginρr delen av lfisningen stνar en igjen med kretsens respons pνa det fysiske signalet cos(!t) som blir det reelle signalet REfy(t)g = jh(j!)j cos[!t + 6 H(j!)] 6. Hvis inngangs signalet var gitt ved A cos(!t) kan konstanten A nνa multipliseres med REfy(t)g da en konstant passerer et lineρrt system uten modifikasjon. Oppgave 3b Her finsker vi νa finne spenningen v ut (t) som funksjon av spenningen inn, v inn (t). Har Oppgave nr. 3b man en spenning inn gitt av v inn (t) = e j!t, kan man nνa bruke vanlige regne regler for motstander for νa finne spenningen ut. Man mνa nνa regne med den komplekse motstanden" for kondensatoren gitt av Z C =1=(j!C). Setter sνa opp det vanlige uttrykket for en resitiv spennings deler Dette kan skrives som v ut (t) = der frekvensresponsen er gitt ved Z C Z C + R v inn(t) = H(j!) = v ut (t) =H(j!) v inn (t) 1=(j!C) 1=(j!C)+R v inn(t) 1=(j!C) 1=(j!C)+R = 1 1+j!RC Siden bνade inngangs og utgangs signalene er spenninger, vil frekvensresponsen i dette tilfelle ikke representere kompleks motstand i kretsen. Sender vi inn det reelle signalet cos(!t) vil det komme ut et signal pνa formen A cos(!t + ) der A er gitt av jh(j!)j og er gitt av 6 H(j!). Med andre ord, med spenningen cos(!t) pνa inngangen fνar man en spenning ut gitt av 1 p (!RC)2 +1 cos[!t + tan 1 (!RC)] Studerer man modulen til H(j!), ser man at lave frekvenser slipper i gjennom med lite dempning, mens hfiye frekvenser blir kraftig dempet. Slike kretser brukes blant annet som lavpass filtre. 14

15 Oppgave nr. 4 Oppgave 4 Finn sammenhengen i mellom spenning inn og spenning ut av kretsen i figuren. Setter opp det vanlige uttrykket for en resitiv spennings deler der motstanden" til kondensatoren er gitt ved dens reaktans Z C Dette kan skrives som v ut (t) = der frekvensresponsen er gitt ved R R + Z C v inn (t) = H(j!) = v ut (t) =H(j!) v inn (t) R R +1=(j!C) = R R +1=(j!C) v inn(t) j!rc 1+j!RC Med andre ord, for spenningen cos(!t) pνa inngangen, fνar man en spenning ut gitt av!rc p 1+(!RC) 2 cos[!t + tan 1 ( 1=(!RC))] Kikker man pνa modulen til H(j!), ser man at hfiye frekvenser slipper i gjennom med lite dempning, mens lave frekvenser blir kraftig dempet. Slike kretser brukes blant annet som hfiypass filtre. Oppgave 5 Gitt spennings signalet v(t) over kretsen i figuren, finn strfimmen som vil gνa inn i kretsen. Oppgave nr. 5 Finner total impedans i kretsen ved uttrykket for parallell kopling av motstander: 15

16 Z tot = Z C R Z C + R = 1=(j!C) R 1=(j!C)+R = R j!rc +1 I ffilge Ohm's lov har vi at strfim er lik spenning over motstand. Dette vil ogsνa gjelde her hvis spenningen er gitt pνa formen e j!t. i(t) = v(t) Z tot =(j!c +1=R) v(t) Her blir frekvensresponsen H(j!) = j!c + 1=R. Med andre ord, for spenningen cos(!t) over kretsen fνar man en strfim inn gitt av q i(t) = (!C) 2 +1=R 2 cos[!t + tan 1 (!RC)] Siden inngangs signalet var definert ved spenning, og utgangs signalet ved strfim, vil frekvensresponsen i dette til felle representere kompleks invers motstand eller admittans. Oppgave 6 Finn sammenhengen i mellom spenning inn og spenning ut av kretsen under. Oppgave nr. 6 Har man inngangs signalet gitt pνa formen e j!t, kan man bare putte inn i uttrykket for parallell kopling av motstander, samt bruke uttrykket for en resitiv spenningsdeler v ut (t) = R 2 Z C =(R 2 + Z C ) [R 2 Z C =(R 2 + Z C )] + R 1 v inn (t) v ut (t) = (R 2 1=j!C)=(R 2 +1=j!C) (R 2 1=j!C)=(R 2 +1=j!C) +R 1 v inn (t) = Her blir kretsens respons pνa inngangs spenningen cos(!t) gitt av 1 1+R 1 =R 2 + j!r 1 C v inn(t) 1 p (1 + R1 =R 2 ) 2 +(!R 1 C) 2 cos[!t + tan 1 (!R 1 C=(1 + R 1 =R 2 ))] 16

17 4.1 Kommentar til begrepene "phasor" og "frekevens-domene" Hvis man ser nfiyere pνa lfisningsmetodene beskrevet over, ser man at i det fiyeblikk man har funnet frekvensresponsen til kretsen, har man egentlig funnet utgangs signalet, da dette er beskrevet ved modulen og fasen til frekvensresponsen. Men for νa i det hele tatt kunne finne en frekvensrespons, mνa en representere inngangs signalet som en kompleks eksponential. Nνar inngangs signalet er representert ved en kompleks eksponential, lar vi det bare vρre slik helt til vi har funnet frekvensresponsen. Med andre ord, den komplekse eksponentialen er ikke i "bruk" ffir vi har funnet kretsens frekvensrespons. For νa forenkle utregningene kan man derfor, hvis man vil, se pνa den komplekse eksponentialen bare som et symbol for inngangs signalet. Et symbol kan skrives pνa enhvilken som helst mνate bare det representerer all nfidvendig informasjon. Hvis man antar at frekvensen er fastsatt, blir all nfidvendig informasjon gitt av amplituden og fasen til signalet. Det er dette som representeres iensνakalt phasor. En kompleks eksponentiell strfim i x (t) =Ae j(!t+ ) representert ved en phasor skrives defor slik I x = A6 Siden vi ikke trenger noe tids informasjon for νa beskrive en phasor sier man at den er i frekvens domenet. Hvis dere synes phasor konseptet har noe for seg er det bare νa bruke det, hvis ikke, er det ingen fare da det bare er et hjelpemiddel man bruker for νa fνa ligningene til νa se penere ut. 17