Litt foreløpige, si ifra hvis dere finner feil! Oppgave 1 S - Eksamen V10-6.06.10 Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x x lnx x 1 x x lnx x x lnx 1 ) Kjerneregel: f x 3e x 3e u, u x f x 3e u x 6xe x b) Geometrisk rekke med a 1 1, k 1 1 k 1 :Konvergent rekke S a 1 1 1 k 1 1 1 1) P A 1 P 3 P 0 P B 1 0. 0.1 0.3 0.4 P X 1 P 3 P 0 0. 0.1 0.3 ) E X alle x xp x 3 0. 0 0.1 1 0.4 B 0.3 0.3B 0. E x 1.0 0.3B 0. 1.0 B 1.0 0. 0.3 4 3) Var X alle x x E X P x 3 1 0. 0 1 0.1 1 1 0.4 4 1 0.3 6.0 QED d) 1) f 1 3 1 3 6 1 3 1 6 0 f x har x 1 som faktor. ) Kan faktorisere direkte: 3x x 3 x 3x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x Med polynomdivisjon: Ulven.04.11 1 av 8 s_eks_v10_ls.tex
3x 3 6x 3x 6 x 1 3x 3x 6 3x 3 3x 3x 3x 3x 3x 6x 6x 6 6 abc-formel gir: 3x 3x 6 3 x x 3 x 1 x ): f x 3 x 1 x 1 x f x 0 x x 1 x 1 e) 1) f x ax bx c f x ax b f x a f 4 : 4a b c 4 I f 0: 4a b 0 II f 8: a 8 III III gir: a 4 II gir: 4 4 b 0 b 16 I gir: 4 4 16 c 4 c 4 16 3 1 ): f x 4x 16x 1 ) Nullpunkter: f x 0 4 x 4x 3 0 x 1 x 3 (abc-formel) Ekstremalpunkter: f x 0 8x 16 0 x f 8 viser at vi har bunnpunktet,f, 4 f) 1) Antallet rør i en rad øker med 1 for hver rad vi går nedover, altså en aritmetisk følge med a 1 4ogd 1. a n a 1 d n 1 4 1 n 1 4 n 1 n 3 ) S n a 1 a n n 4 n 3 n 7 n n n n 7 3) n n 7 5 n 7n 450 0 Ulven.04.11 av 8 s_eks_v10_ls.tex
abc-formel: 7 49 4 1 450 n n 18 x 5 (Forkastes) 7 1849 7 43 ): Vi trenger 18 rader med rør for at det totale antall rør skal bli 5. Oppgave Del Setter opp en tabell som viser at sluttverdiene av alle innskuddene utgjør en geometrisk rekke: S 8 30 30 1.04 30 1.04... 30 1.04 7 a 1 k n 1 k 1 30000 1.048 1 1.04 1 7647 [kr] b) S n 400000 30000 1.04n 1 400000 3 1.04n 1 40 1.04 1 0.04 1.04 n 40 0.04 1 1. 53333333 1.04 n 1.533 3 ln1.04 n ln 1.533 ln1.533 n 10. 9 ln 1.04 ): Beløpet på kontoen passerer 400000 etter at Signe har satt inn det ellevte innskuddet. (Etter 11 år.) a 1.048 1 1.04 1 400000 a 400000 0.04 1.04 8 1 43411 [kr] ): Signe må sette inn ca. 43411 kroner hvert år. Oppgave 3 P X 31 normalcdf(0,31,30,.5) 0.655 b) P X 8 P X 8 normalcdf(8,30 5*.5,30,.5) 0.788 (Bruker 5 som øvre grense, da normalfordelinger ikke har forekomster utenfor 5 ) Oppgave 4 X : Antall kasser med ødelagte bær av n 50, binomisk fordeling, da vi antar at kassenes kvalitet er uavhengige av hverandre. (Egentlig litt tvilsomt, da kassene sannsynligvis kommer fra samme jordbæråker...) P X x b x n x p x 1 p n x 50 x 0.1 x 0.9 50 x P X 5 b 5 50 0.1 5 0.9 45 binompdf(50,0.1,5) 0.185 5 b) Ulven.04.11 3 av 8 s_eks_v10_ls.tex
4 50 P X 5 1 P X 4 1 x 0 x 1-binomcdf(50,0.1,4) 0.569 0.1 x 0.9 50 x d) Nullhypotese: p 0.1 (Feilprosenten er som den "alltid" har vært.) Alternativ hypotese: p 0.1 (Feilprosenten er større enn før. (Ensidig test)) Signifikansnivå: 0.05 Testresultat: 14 90 P X 15 1 P X 14 1 x 0 x 0.1 x 0.9 90 x 1-binomcdf(90,0.1,14) 0.0333 ): Vi forkaster nullhypotesen med signifikansnivå 0.05; vi har grunnlag for å si at kvaliteten har blitt dårligere enn tidligere. Oppgave 5 f x 10x 000x 100000 f x 0x 000 f 0 000 f 1 0 000 1980 f 40 000 1960 f 3 60 000 1940 b) Differansen mellom de utregnede verdiene er d 0, (-1980-(-000) 0, -1960-(-1980) 0, -1940-(-1960) 0, osv.) så vi har en aritmetisk rekke med a 1 000 og d 0. Obs: Vær oppmerksom på at n 1,,3,...,n tilsvarer x 0,1,,...,n 1! a n a 1 d n 1 000 0 n 1 0n 00 S n a 1 a n n 000 0n 00 n 0n 400 n 10n 010n d) S 100 10 100 010 100 101 000 f x er veksthastigheten for funksjonen i modellen, i dette tilfellet nedgangen i antall gjenlevende per år. Summererer vi nedgangen hvert år i 100 år har vi totalt antall døde i løpet av 100 år, og da svært få blir over 100 år gamle, forventer vi at denne summen omtrent tilsvarer det antallet vi startet med. (Forskjellen på 1000 skyldes at vi har summert momentane veksthastigheter i starten av hvert år istedenfor veksthastigheten i hver periode på ett år og derfor får en viss unøyaktighet.) Ulven.04.11 4 av 8 s_eks_v10_ls.tex
Oppgave 6 Alternativ I Inntekst som funksjon av pris: I p pe p p 0.5p 80 0.5p 80p Kostnad som funksjon av pris: K p K E p 8 0.5p 80 100 0.5p 80 45600 8 0.5p 80p 6400 600p 96000 45600 p 40p 800 b) Overskudd: O p 5p 10 O p I p K p 0.5p 80p p 40p 800.5p 10p 800 Størst overskudd når prisen er gitt av: O p 0 5p 10 0 p 4 [kr] Produksjon ( etterspørsel): E 4 0.5 4 10 108 [enheter] g x 00 e 0.0x, x 1,6 Kommentar: Definisjonsmengde gitt som kontinuerlig intervall, hadde vært mer naturlig å bruke x 1,,3,...,6 altså som en heltallsfunksjon for hver uke... g x 70 00 e 0.0x 70 e 0.0x 1.35 lne 0.0x ln1.35 x ln1.35 0.0 15 [uke] Grafisk på lommeregner: Y1 00*e ^(0.0*X), Y 70, CALC, intersect e) Som heltallsfunksjon: Ulven.04.11 5 av 8 s_eks_v10_ls.tex
P 6 x 1 g x sum(seq(y1,x,1,6) 6889 [enheter] Tilnærmet som areal under graf: 6.5 P g x dx fnint(y1,x,0.5,6.4) 6889 [enheter] x 0.5 (Bruker 0.5 ekstra i hver ende, da vi ellers mister en halv histogram-stolpe i hver ende, gir bedre tilnærming enn: fnint(y1,x,1,6) 6618 ) Alternativ II K x 1000 8000 1 70e 0.15x [kr/dag], x 60 [enheter] Kommentar: Logistisk funksjon, hevet med 1000 over x-akse! Graf: Se lenger ned under d). b) Kjerneregel på e 0.15x e u,u 0.15x e 0.15x e u 0.15 0.15e 0.15x Grensekostnad: K x 0 0 1 70e 0.15x 8000 0 70 0.15e 0.15x 1 70e 0.15x 84000e 0.15x 1 70e 0.15x (Brøkregel) K 0 84000e 0.15 0 1 70e 0.15 0 08 [kr/dag/enhet] Dette forteller oss at når vi produserer 0 enheter er merkostnaden per dag ved å øke produksjonen med en enhet ca. 08 kroner/dag. Grensekostnaden er størst i vendepunktet på den logistiske kurven, dvs. der K x 1000 8000 5000. Lommeregner: Y1 1000 8000/(1 70*e ^(-0.15*X)) Y 5000 CALC, intersect gir: (Logistisk fuksjon: regnet ut direkte: x B 1 ae kx ln 70 x 8 [enheter per dag] har vendepunkt ln a k 0.15 8), B ), så vi kunne (Kunne også lagt inn K x i Y og funnet maksimum med CALC, maximum.) Størst grensekostnad: K 8 84000e 0.15 8 1 70e 0.15 8 300 [kr/dag/enhet] (Maksimalt stigningstall for logistisk funksjon er Bk 4 regnet ut direkte: Bk 8000 0.15 300 ) 4 4, så dette kunne vi også Ulven.04.11 6 av 8 s_eks_v10_ls.tex
d) Ikke så fristende å regne på dette, så vi bruker lommeregner: Y1 1000 8000/(1 70*e ^(-0.15*X)) (K x ) Y 0X-X ^ (I x ) Y3 Y-Y1 (O x ) Vi finner størst overskudd med CALC, maximum på Y3, og får x 19 [enheter] (Bør også sjekke at dette overskuddet, 140, er større enn ved 60 enheter.) e) Dette er enklest med for eksempel GeoGebra og en glider/skyver for a: Eksperimentering viser at 145 er omtrent den verdien som såvidt gir overskudd, dessuten at a 10 ikke kan gi overskudd. Med lommeregner blir det litt mer fiklete: Y1 1000 8000/(1 70*e ^(-0.15*X)) Y 0X-X ^ Y3 Y-Y1 (K x ) (I x ) (O x ) Ved å variere tallet der 0 står i Y 0X-X ^ og ved å se når Y3 såvidt er over x-aksen får vi også at a 10 ikke kan gi overskudd og at a 145 er omtrent den verdien som såvidt gir Ulven.04.11 7 av 8 s_eks_v10_ls.tex
overskudd. Ulven.04.11 8 av 8 s_eks_v10_ls.tex