Heldagsprøve R - Våren 07-0.05.7 Løsningsskisser (versjon.05.7) Del - Uten hjelpemidler - timer Oppgave Deriver funksjonene: a) fx x ln x b) gx sinln x c) hx x cos x a) Produktregel: f x ln x x x ln x b) Kjerneregel: gx sinu, u ln x g x cosu x x cosln x c) Brøkregel: h x cos xxsin x cos x cos xxsin x cos x Oppgave Regn ut integralene: a)x x x dx b) x sin x dx c) x x dx a)x x x dx x x x ln x C x ln x C b) Delvis integrasjon: x sin x dx cosx x cosxdx x cosx sin x C c) Kjerneregel: (Kan også gjøres med delbrøksoppspaltning.) Oppgave u x du x x dx x u du x x dx du dx x u du ln u C ln x C a) Vis at den deriverte av fx x blir gx b) Bestem arealet avgrenset av grafen til gx og linjene x og x. (Burde stått: "... linjene x og x og x-aksen.) c) Bestem volumet av den figuren vi får når vi dreier fx 60 om x-aksen fra x til x. x x Sletta/Ulven.05.7 av 0 r_0057_hd_ls.tex
a) Kjerneregel: fx u, u x x f x u 0 x x x x x QED b) Areal: gxdx fx x c) Volum: fx dx x dx x ln x ln ln ln Oppgave 4 a) Finn konvergensområdet og summen sx av rekken x x x x x... b) Løs ligningene: ) sx ) sx a) Geometrisk rekke med a x og kvotient k x Konvergens: k x x x x 0 x 0 x Dessuten: a 0 når x. ): Konvergensområde: 0, b) I konvergensområdet blir summen sx a k x x x x ) sx x x x Oppgave 5 ) sx x x (Utenfor konvergensområdet) x ): Ingen løsning. a) Bruk induksjon til å bevise at... 6 0 5 nn n b) Finn summen av den uendelige rekken... 6 0 5 Sletta/Ulven.05.7 av 0 r_0057_hd_ls.tex
a) Vi kaller summen Sn n n : Sum av ett ledd: S a Formel: S OK Induksjonstrinn: n n : Må vise at Sn n hvis vi antar at Sn n gjelder for en n. Sn Sn a n n n nn nn OK n4 nn n nn n b) S 6 0 5... lim n n lim n n 0 Oppgave 6 En kuleflate har ligningen x y z y 4z44 0 a) Finn sentrum S og radius R til kuleflaten. b) Vis at kuleflaten går gjennom punktet P,, 4 c) Planet har ligningen x y z4 0. Finn sentrum T og radius r i skjæringssirkelen mellom planet og kuleflaten. d) Finn skjæringspunktene mellom en linje gjennom S og T og kuleflaten. a) : x y y z 4z 44 x y z 7 ): Sentrum: S 0,, Radius: R 7 b) SP,,6 SP 6 7 R Viser at P har avstand lik radien fra sentrum. P må derfor ligge på kuleflaten. (Kan også sjekke om koordinatene, - og -6 passer i ligningen for kuleflaten.) c) Avstand fra til S: d x Sy S z S 4 04 En dertil egnet figur vil vise at Pythagoras gir: r R d 7 46 Normalvektor : n,, OT OS de OS d n n 0,,,, Sletta/Ulven.05.7 av 0 r_0057_hd_ls.tex
0,,,, OT,, OT, 0, ): T, 0, (da,, ikke ligger i planet.) d) Skjæringspunktene på normal gjennom planet og S, i avstand R fra S: OQ OS R e OS R n 0,, 7,, n OQ 7, 7, 7 OQ 7, 7, 7 ): Q 7, 7, 7 Q 7, 7, 7 Oppgave 7 Løs ligningen sin x sin x cosx sin x 0, x 0, sin x sin x cosx 0 sin x 0 sin x cosx sin x 0 x 0 x sin x cosx sinx sinx 6 6 sinx x m x n 6 6 6 6 6 x 0 x ): L 0,, Oppgave 8 Finn den spesielle løsningen av y 4y 5y 0 når y0 og y 0 Karakteristisk ligning: r 4r5 0 r i Generell løsning: y e x A sin x B cosx y0 0: 0 e 0 A 0 B cos0 B 0 ): y e x A sin x y e x A sin x e x A cosx Ae x cosx sin x y 0 : Ae 0 cos0 sin 0 A Spesiell løsning: y e x sin x Oppgave 9 Gitt differensialligningen y x y 8 x y 0. a) Vis at y Cx 4 D x er en løsning til ligningen. (Du skal ikke løse ligningen her.) Sletta/Ulven.05.7 4 av 0 r_0057_hd_ls.tex
b) Finn en løsning der y og y 4. a) y Cx 4 Dx gir: y 4Cx Dx og y Cx 6Dx 4 VS Cx 6Dx 4 x 4Cx Dx 8 x Cx4 Dx Cx 6Dx 4 4Cx Dx 4 8Cx 8Dx 4 C 4C 8C 8Cx 6DD8Dx 4 0 VS HS QED b) y : C D I y 4Cx D x y 4: 4 4C D C D II I II gir: C 4 C 4 Innsatt i II gir: D C 4 ): Spesiell løsning: y 4 x x4 Del - Med hjelpemidler - timer Oppgave 0 En sirkel med sentrum i Origo har radius R. Sirkelen skjærer x-aksen i punktet A. Et punkt P, med x-koordinat p, ligger på sirkellinjen i første kvadrant. Linjen gjennom A og P skjærer y-aksen i punktet B. Bruk CAS til å bestemme hvilken verdi av p som gjør de to skraverte arealene A og A i figuren under like store: Sletta/Ulven.05.7 5 av 0 r_0057_hd_ls.tex
CAS: f(x):sqrt(r^-x^) A:(R,0) P:(p,f(p)) l(x):linje[p,a] A_:IntegralMellom[l,f,0,p] A_:IntegralMellom[f,l,p,R] Løs[A_A_,p] gir: p R (Falsk løsning, A udefinert når p R og A P) og p R 4R 4 R 4 4 Oppgave Vi har en tallfølge a n :, 7, 5, 5,... a) Vis at a n er definert av at telleren er de n første partallene og nevneren er de n neste partallene. b) Vis at summen av de n første partallene kan skrives S n nn c) Forklar at a n S n S n S n. Regn ut denne brøken. a) a, a 4 4, a 68 7 46, 80 5 468 a 4 5 QED 046 b) Kan vises med figurtall (rektangler), men bruker aritmetisk rekke med a og differanse d som gir: a n a dn n n og S n n a a n n n nn QED Sletta/Ulven.05.7 6 av 0 r_0057_hd_ls.tex
c) a n 46...n nn4...nn 46...n 46...nn4...4n46...n S n S n S n (Nevner: Differanse av alle ledd fra til n minus alle ledd fra til n.) QED a n S n S n S n nn nnnn nn 4n nn n nn n n nn nn n n Oppgave Tid: [år] 996t 0 007t Bestand: [par] 5 4 Tabellen viser en telling av antall ulvepar i en bestand av ulver i det sentrale Idaho i 996 (t 0) og 007 (t ). I en modell for antall ulvepar y som funksjon av tiden t (målt i antall år etter 996) gjelder følgende differensialligning: y kyy 490 y OBS: Feil i oppgave, skulle vært y ky 490 y Dette er en variant av den logistiske differensialligningen, hvor vi i tillegg til å ha en øvre grense for bestanden også har en minste grense, som bestanden ikke må komme under hvis den ikke skal dø ut. a) Vis at y 904Cek86t er en generell løsning av differensialligningen. Ce k86t Finnes det andre løsninger? (Som ikke er dekket av alle mulige valg av C?) b) Vis at k 0. 0045 og C 85 ut fra verdiene i tabellen. OBS: Feil i oppgave, skulle vært C 85 c) Hva er den øvre grense for antallet ulvepar i det sentrale Idaho? d) Bruk modellen til å regne ut på hvilket tidspunkt veksthastigheten er størst. Hva er veksthastigheten på dette tidspunktet? e) I hvilket år ville bestanden ha dødd ut hvis det var fødedyktige ulvepar i 996? a) og b): Sletta/Ulven.05.7 7 av 0 r_0057_hd_ls.tex
a) Vi ser at løsningen er den samme som i oppgaven, hvis vi setter C c 6 og multipliserer både teller og nevner med. Dessuten ser vi at y 4 og y 90 også oppfyller differensialligningen. y 90 er dekket av C 0, men y 4 er ikke dekket av endelige verdier for C, så y 4 må også være med i den generelle løsningen. b) På Fil, Innstillinger, Avrundinger bør du sette minst gjeldende siffer for å få svarene C 85 og k 0. 0045. (c 6 85 i CAS tilsvarer C 85 i oppgaven.) c) Vi definerer den spesielle løsningen som g(t), der C og k har fått numeriske verdier. g(t) vil da bli vist i grafdelen. Grenseverdien er bærekraften 90. d) Størst vekst i vendepunktet, som vi finner i linje 8,9 og 0: Bestanden øker da med 8. ulvepar/år. e) Regner med samme k 0. 0045, da vi ser i a) at bare C avhenger av startverdien Sletta/Ulven.05.7 8 av 0 r_0057_hd_ls.tex
f0 og definerer ny funksjon ht. Bestemmer deretter integrasjonskonstanten med h0 og lager en ny spesiell løsning ix: Oppgave Bestanden dør altså ut etter ca..5 år. I en trekantet pyramide ABCT er trekanten ABC grunnflate og T toppunkt. A,4,, B,,, C 0,, og T,,5. a) Finn arealet av grunnflaten. b) Finn volumet av pyramiden. c) Finn ligningen for et plan som inneholder grunnflaten. d) Finn avstanden fra T til grunnflaten ABC på to forskjellige måter. Går fortest med GGB: A:(--4,) B:(-,-,) C:(0,-,) T:(-,-,-5) ab:vektor[a,b] ac:vektor[a,c] n:ab ac (alt-shift-8 for vektormultiplikasjon) A_{ABC}: n / at:vektor[a,t] V_{ABCT}: (ab ac)*at /6 abc:plan[a,b,c] h: V_{ABCT}/A_{ABC} h_:avstand[t,abc] Tar lengre tid å regne manuelt: AB,,, AC,, AB AC,,,, 6 9 Sletta/Ulven.05.7 9 av 0 r_0057_hd_ls.tex
a) AB AC e x e y e z A ABC ABAC,,,, b) V ABCT ABACAT 6,,,,,,6 6,,,,6 6 c) Normalvektor: n AB AC,, AP n 0 x, y 4, z,, 0 x y z 0 ): Plan gjennom A, B og C: x y z 0 d) Avstanden som høyde i pyramide: h V ABCT A ABC Avstand plan til punkt: 4 (Som tilsvarer projeksjonen: x T y T z T ATn n 5,,6,, 4 4 4 Sletta/Ulven.05.7 0 av 0 r_0057_hd_ls.tex