Matematikk for IT Prøve Osdag. oktober 5 Løsigsforslag 6. oktober 5 Oppgave Gitt følgede slutig: Hvis fakturae ble sedt forrige madag så fikk du pegee i går. Du fikk pegee i går. Derfor ble fakturae sedt forrige madag. i) all de atomære utsagee i dee slutige p og q, og skriv slutige ved hjelp av p og q. p: fakturae ble sedt forrige madag q: du fikk pegee i går. p q q p ii) Agi om dette er e gldig slutig og hvilke slutigsregel som i så fall er bettet. De tre slutigsreglee vi har i boka er følgede: ) Modus poes p p q q ) Modus tolles p q q p 3) Sllogismelove
p q q r p r Vi ser at slutige i oppgave ikke er oe av disse tre. Vi ka derfor kokludere: Dee slutige better ikke oe av disse tre gldige slutigsreglee. Oppgave Ata at uiverset i dee oppgave er alle fisker i verde. Følgede predikater er defiert: G(x): x puster med gjeller F(x): x lever i ferskva Bett disse predikatee samme med kvatorer ( og ) til å uttrkke følgede: i) Ikke alle fisker lever i ferskva. x F(x) ii) Det fies fisker som ikke puster med gjeller. x G(x) iii) Alle fisker som ikke puster med gjeller lever i ferskva. x G( x) F( x) Oppgave 3 Gitt to komplekse tall Skriv svaret på forme z a bi. z z 4 6i og w i. Fi. w z w 4 6i 4 6i i 4 ( ) 4 ( i) 6i ( ) 6i ( i) i i i ( ) 4 4i 6i 6i i i 5 i Oppgave 4 Bevis at summe av et partall og et oddetall er et oddetall. Ata at x er et partall og er et oddetall. Da ka vi skrive x = a
og = b + hvor a og b er heltall. Da er summe av disse x + = a + b + = (a + b) + Fordi a og b er heltall er også a + b et heltall. To gager et heltall er et partall. Altså er (a + b) et partall. Et partall pluss vil være et oddetall. Følgelig er x + et oddetall. Og det var ettopp det vi skulle bevise. Oppgave 5 Bruk iduksjo til å vise at følgede gjelder for alle Z + = {,, 3, 4, }: 5 9 (4 3) ( ). Basistri, = : Vestre side: Høre side: ( ) = = Vi ser at vestre side = høre side. Basistri er følgelig O.. Iduksjostri: Ata at det gjelder for = k, altså at 5 9 (4k 3) k(k ) Dette kalles iduksjoshpotese. Vi skal vise at dersom det gjelder for = k så gjelder det også for = k +. Vi udersøker dette ved å sette i = k + i uttrkket vi skal bevise og så bette iduksjoshpotese: 5 9 (4k 3) (4( k ) 3) ( k )(( k ) ) De k første leddee på vestre side ka vi, basert på iduksjoshpotese, skrive k ( k ), og vi får da: k ( k ) (4( k ) 3) ( k )(( k ) ) Vi gager så ut paretesee på begge sider og trekker samme: k k 4k 4 3 ( k )(k ) k k 3k k 3k k k k 3k 3
Vi ser at vestre side er lik høre side. Følgelig har vi vist at dersom uttrkket gjelder for = k så gjelder det også for = k +. Side vi har vist at det gjelder for =, har vi da vist at det gjelder for alle. Oppgave 6 Gitt følgede utsag: ( p q) F Bett lovee i logikk gitt på vedlagte ark til å vise at dette utsaget er logisk ekvivalet med p q Bett ku e lov i hvert tri, og agi for hvert tri hvilke lov du bruker. Det er flere veier fram til målet. Her er e mulighet: ( p q) F Implikasjo () ( p q) F Idetitetslove (9) ( p q) De Morgas lov (4) p q Ivolusjoslove (7) p q Implikasjo () p q som er det søkte uttrkket. Oppgave 7 Fi e geerell løsig for følgede differesligig: 6 5 Vi må først løse de tilhørede homogee ligige: 6 De karakteristiske ligige for dee, er 6 Vi fier røttee i dee: 4
4 ( 6) 4 5 5 5 4 5 6 3 Her har vi altså to reelle røtter i de karakteristiske ligige. De geerelle løsige av dee differesligige er følgelig ( h) A B ( 3) Så må vi fie e partikulær løsig av de ihomogee ligige. Side høre side i ligige er 5, må vi forsøke med e løsig på samme form, og vi prøver med Da blir og ) ( ) ( Setter vi så dette i i differesligige, får vi ( ) ( ) 6( ) 5 Så løser vi opp paretesee på vestre side: 6 6 5 Faktoree fora på vestre side skal til samme bli : altså og 6 4 4 3 ostatleddee på vestre side skal til samme bli 5: 6 5 5
Vi setter å i at 3 som vi fat ovefor: Dette gir ( 3) ( 3) 6 5 6 5 3 36 4 8 8 4 7 E partikulær løsig av de ihomogee ligige er følgelig ( ) p 3 7 De geerelle løsige av differesligige er følgelig ( h) ( p) A B ( 3) 3 7 6